Wielościany

Joanna Jaszuńska, Olimpijskie seminarium dla nauczycieli matematyki
Wielościany
Warto dobrze ustawić
1. (8/I/XXV OM) Czy istnieje taki wielościan wypukły W i taki punkt X w jego
wnętrzu, aby żaden rzut punktu X na płaszczyznę zawierającą ścianę nie należał
do tej ściany?
2. (matex 2007) √
Dany jest ostrosłup trójkątny ABCS. Krawędzie podstawy mają długości: AB = 3 2, BC = CA = 5. Krawędzie boczne mają długości: AS = BS = 3,
CS = 4. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
3. Odległość pomiędzy środkami przeciwległych krawędzi czworościanu foremnego
równa jest d. Wyznacz długość krawędzi i objętość tego czworościanu.
4. Jaką długość ma najkrótsza droga po powierzchni sześcianu o krawędzi 1, łącząca
dwa jego przeciwległe wierzchołki? Którędy taka droga prowadzi? Ile jest różnych
takich najkrótszych dróg?
Spłaszczanie, przekroje
5. Dwa wielościany mają te same siatki. Czy muszą być równe?
6. Czworokąt ABCD jest podstawą ostrosłupa o wierzchołku S i krawędziach bocznych o długości 1. Dane są kąty: ]ASB = 19◦ , ]BSC = 20◦ , ]CSD = 21◦ ,
]DSA = 22◦ . Wyznacz najmniejszą długość takiej łamanej AXY D, że punkty X
i Y leżą odpowiednio na krawędziach BS i CS.
7. (5/II/II OMG) Trójkąt ABC jest podstawą ostrosłupa ABCS, w którym ]ASB =
]BSC = ]CSA = 20◦ . Wykaż, że obwód trójkąta ABC jest nie mniejszy od długości każdej z krawędzi AS, BS i CS.
8. (6/I/V OMG) Czworościan foremny o krawędzi 1 przecięto płaszczyzną tak, że
w przekroju otrzymano czworokąt. Jaki jest najmniejszy możliwy obwód tego czworokąta?
9. (7/I/VII OMG) Niech ABCDA0 B 0 C 0 D0 będzie sześcianem o podstawie ABCD
i krawędziach bocznych AA0 , BB 0 , CC 0 , DD0 . Punkty K, L, M, N są odpowiednio
środkami krawędzi AD, BC, A0 B 0 , C 0 D0 . Punkty P i Q leżą odpowiednio
√ na odcinkach KM i LN . Krawędź sześcianu jest równa 2. Udowodnij, że P Q ­ 2.
10. Czy jednym płaskim cięciem można przeciąć sześcian tak, by
a) przeciąć wszystkie jego ściany?
b) w przekroju uzyskać pięciokąt foremny?
Liczba krawędzi, ścian, wierzchołków, numerowanie
11. Dwa wielościany mają te same wierzchołki. Czy muszą być równe?
12. Czy istnieje graniastosłup, który ma o 13 więcej
a) krawędzi niż wierzchołków?
b) krawędzi niż ścian?
13. Pewien ostrosłup i pewien graniastosłup mają taką samą liczbę krawędzi. Wykaż, że liczba ta jest podzielna przez 6.
14. (1/II/I OMG) Pewien graniastosłup ma dwa razy więcej wierzchołków niż pewien
ostrosłup. Który z tych wielościanów ma więcej ścian i o ile więcej?
15. (test/VII OMG) Czy istnieje taki graniastosłup, którego liczba krawędzi jest równa
a) 3100 ?
b) 5100 ?
c) 100001?
16. (test/VII OMG) Dany jest ostrosłup o parzystej liczbie wierzchołków, którego
wszystkie krawędzie mają równą długość. Czy wynika z tego, że liczba krawędzi
danego ostrosłupa jest mniejsza od
a) 9?
b) 11?
c) 13?
Joanna Jaszuńska, Olimpijskie seminarium dla nauczycieli matematyki
17. (5/III/IV OMG) Czy istnieje taki wielościan wypukły, który ma nieparzystą liczbę
krawędzi i którego każda ściana ma parzystą liczbę boków?
18. (5/I/XLI OM) Czy krawędzie sześcianu da się ponumerować liczbami od 1 do 12,
używając każdej z nich dokładnie raz, tak, by suma numerów krawędzi wychodzących
z każdego wierzchołka była taka sama?
19. (5/I/LXII OM) Krawędzie dwunastościanu foremnego chcemy ponumerować liczbami 1, 2, . . . , 30, używając każdej z nich dokładnie raz. Czy można to uczynić tak,
by suma numerów krawędzi wychodzących z dowolnego wierzchołka była:
a) parzysta?
b) podzielna przez 4?
20. Na każdej ścianie sześcianu zapisano dodatnią liczbę całkowitą, a w każdym
wierzchołku iloczyn liczb występujących na trzech ścianach z danym wierzchołkiem.
Suma wszystkich liczb zapisanych w wierzchołkach tego sześcianu jest równa 2009.
Jaka jest suma liczb zapisanych na jego ścianach?
Oszustwa
21. Pewien wielościan ma 5 wierzchołków i 7 krawędzi. Ile ma ścian?
22. Na kuli o promieniu 1 opisano wielościan o polu powierzchni 12. Wyznacz
objętość tego wielościanu.
23. Wyznacz wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 10 i krawędzi bocznej 7.
24. Dany jest taki ostrosłup czworokątny ABCDS o podstawie ABCD, w którym
AS = BS = DS i 2]ASB = ]BSC, 2]BSC = ]CSD, 2]CSD = ]DSA.
Wiadomo też, że ]SAB = 2]SAD. Wyznacz rozwartość kąta SAB.
Jeszcze kilka zadań
25. Podziel prostopadłościan na trzy ostrosłupy o równych objętościach.
26. (matex 2008) Czy istnieje taki ostrosłup czworokątny, że dwie jego ściany boczne
nie mające wspólnej krawędzi są prostopadłe do podstawy?
27. (4/III/I OMG) Dany jest taki czworościan, że każdy kąt dwuścienny wyznaczony
przez jego sąsiednie ściany jest ostry lub prosty. Wierzchołki tego czworościanu leżą
na sferze o środku S. Czy punkt S może leżeć na zewnątrz tego wielościanu?
28. (5/III/V OMG) Czy istnieje wielościan wypukły mający dokładnie 100 ścian,
z których przynajmniej jedna jest 99-kątem i taki, że w każdym jego wierzchołku
zbiegają się dokładnie trzy krawędzie?
29. (2/I/VI OMG) W pewnym czworościanie każdy wierzchołek połączono odcinkiem
ze środkiem okręgu opisanego na przeciwległej ścianie. Okazało się, że otrzymane
odcinki są wysokościami czworościanu. Wykaż, że czworościan ten jest foremny.
30. (5/II/VI OMG) Dany jest czworościan foremny opisany na sferze o promieniu 1.
Udowodnij, że w tym czworościanie można umieścić 6 kul o promieniu 12 , w taki
sposób, aby każde dwie kule miały co najwyżej jeden punkt wspólny.
31. Czy istnieją czworościany S i T takie, że czworościan T znajduje się wewnątrz
czworościanu S oraz suma długości krawędzi czworościanu T jest większa od sumy
długości krawędzi czworościanu S?
32. Ściany boczne ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS są trójkątami
równobocznymi. Na ścianie SBC zbudowano, na zewnątrz, czworościan foremny
SBCU . Ile ścian ma otrzymana w ten sposób bryła?
X/Y/Z OM(G) — zadanie nr X z etapu nr Y Olimpiady Matematycznej (Gimnazjalistów) nr Z.
X/Y/KM SEM — zadanie nr X z serii nr Y Koła Matematycznego SEM.
matex — zadanie z egzaminu wstępnego do klas matematycznych w XIV LO im. S. Staszica w Warszawie.
Rozwiązania większości zadań z OMG i z Koła Matematycznego SEM można znaleźć na stronie www.omg.edu.pl.
Zadania z egzaminów do matexu dostępne są na stronie www.staszic.waw.pl.