ETR 2014/2015 5. Miary zagro˙zenia ryzykiem 16 § 5. Miary zagro

ETR 2014/2015
§ 5.
5. Miary zagrożenia ryzykiem
16
Miary zagrożenia ryzykiem
Problem inwestora
Jak analizować duże straty, które moga doprowadzić do bankructwa?
‘
W latach 90-tych (1994, JP Morgan) powstala parametryczna miara ryzyka dużych strat
dla inwestycji finansowych. Miara ta, zwana VaR (Value at Risk, wartość zagrożona
ryzykiem), pozwala określić:
- potencjalnie maksymalna strate jaka może sie zdarzyć z prawdopodobieństwem nie
‘
‘
‘
przekraczajacym ustalonego poziomu tolerancji, np. ≤ 0, 05 albo ≤ 0, 01;
‘
- minimalny kapital potrzebny do tego aby prawdopodobieństwo ruiny (bankructwa)
zredukować do ustalonego poziomu.
Definicja matematyczna
Niech X - mozliwa strata, ryzyko inwestycji, α ∈ (0, 1) - ustalony poziom bezpieczeństwa, np. α = 0, 95 (1 − α = 0, 05 jest wtedy male). Miara VaR ryzyka
‘
X na poziomie bezpieczeństwa α nazywamy wartość
Varα (X) = inf{x ∈ R : P (X > x) < 1 − α}.
Definicja jest poprawna, bo
inf{x ∈ R : P (X > x) < 1 − α} = inf{x : 1 − P (X ≤ x) < 1 − α}
= inf{x : P (X ≤ x) > α} = inf{x : F (x+) > α} ∈ R,
bo wystarczy zauważyć, że {x : F (x+) > α} jest niepusty i ograniczony z dolu, gdyż
F (−∞) = 0 < α < 1 = F (+∞).
Dogodny do obliczeń VaR jest wzór
Varα (X) = inf{x ∈ R : F (x+) > α}.
[rys]
Kwantyle
Niech α ∈ (0, 1). Kwantylem rzedu α rozkladu zmiennej losowej X o dystrybuancie
‘
F nazywamy każda liczbe x ∈ R taka, że
‘
‘
‘
F (x) ≤ α ≤ F (x+),
(*)
tj. każda liczbe rzeczywista x taka, że P (X < x) ≤ α ≤ P (X ≤ x). Jeśli F jest
‘
‘
‘
‘
ciagla, to kwantylami rzedu α sa wszystkie rozwiazania x równania F (x) = α.
‘
‘
‘
‘
[rys]
Uwagi
1. VaRα (X) = maksymalny kwantyl rzedu α.
‘
ETR 2014/2015
5. Miary zagrożenia ryzykiem
17
2. VaRα (X) = inf{x : F (x+) > α} = inf{x : P (X ≤ x) > α}.
3. Na podstawie definicji kresu dolnego istnieje nierosnacy ciag xn ∈ R taki, że
‘
‘
xn → VaRα (X) oraz P (X ≤ xn ) > α. Stad
‘
∞
T
α ≤ limn P (X ≤ xn ) = P (
{X ≤ xn }) = P (X ≤ VaRα (X)),
n=1
skad α ≤ P (X ≤ VaRα (X)).
‘
4. VaRα (X) = potencjalnie maksymalna strata X z prawdopodobieństwem co
najmniej α.
5. Mamy P (X ≤ VaRα (X)) ≥ α ⇔ 1 − P (X > VaRα (X)) ≥ α ⇔ P (X >
VaRα (X)) ≤ 1 − α. Zatem prawdopodobieństwo wystapienia straty wiekszej niż
‘
‘
VaRα (X) nie przekracza 1 − α.
Interpretacja kapitalowa
Jeśli zmienna losowa X określa koszt realizacji inwestycji, to VaRα (X) określa minimalny kapital potrzebny do tego aby prawdopodobieństwo bankructwa (ruiny) zredukować
do poziomu ≤ 1 − α.
Przyklady
(a) Niech X - zmienna losowa (koszt inwestycji) o rozkladzie wykladniczym z parametrem λ > 0. Mamy: E(X) = 1/λ,
VaRα (X) = inf{x : F (x+) > α}
= inf{x : 1 − e−λx > α}
= inf{x : x >
=
1
1
ln
}
λ 1−α
1
1
ln
.
λ 1−α
Dla λ = 1/2 średni koszt inwestycji to E(X) = 2 mln zl. Inwestor ma 3 mln zl.
Czy gwarantuja one 95% bezpieczeństwo? Dla α = 0, 95 otrzymamy VaR0,95 =
‘
2 ln 20 ≈ 5, 99. Zatem dopiero środki finansowe w wysokości 5,99 gwarantuja iż ryzyko
‘
bankructwa nie przekroczy 5%.
Sugestia. Firma nie posiadajaca dużych środkow może ubezpieczyć sie od ryzyka
‘
‘
bankructwa.
(b) Niech X - zmienna losowa (koszt inwestycji) o rozkladzie: P (X = 1) = 1/3,
P (X = 2) = 1/3, P (X = 3) = 1/3. Dystrybuanta FX (x) = P (X < x) ma postać:
ETR 2014/2015
5. Miary zagrożenia ryzykiem
1
18
y=F(x)
a=0,95
2/3
1/3
0
1
2
3
Mamy:
E(X) = 1 · (1/3) + 2 · (1/3) + 3 · (1/3) = (1 + 2 + 3)/3 = 2,
VaR0,95 (X) = inf{x : F (x+) > 0, 95} = inf(3, ∞) = 3,
VaR0,99 (X) = inf{x : F (x+) > 0, 99} = inf(3, ∞) = 3.
Stad środki finansowe w wysokości 3 gwarantuja iż ryzyko bankructwa nie przekroczy
‘
‘
5%, 1% i dowolnie malego p%, p > 0, tj. kapital w wysokości 3, to 100% (ściślej, z
prawdopodobieństwem 1) gwarancja realizacji inwestycji.
Uwagi
1. Miara VaR ma także wady, np. nie określa jak wysokie moga być straty, gdy wartość
‘
VaR zostanie przekroczona a zwlaszcza wtedy, gdy pojawiaja sie wartości ekstremalne.
‘ ‘
2. Expected Shortfall (ES, miara ryzyka ekstremalnego, 1997), jest to miara zagrożenia ryzykiem zwiazana z ”ogonem” rozkladu rozważanego ryzyka wyznaczonym
‘
przez VaR. Inne określenia: CVaR - conditional value at risk, AVaR - average value
at risk, TVaR -tail value at risk ETL - expected tail loss. Miare ES określamy wzorem
‘
ES = E(X|X > VaR), ściślej:
ESα (X) = E(X|X > VaRα (X)).