elementy

1
Element skończony – prosty przykład budowy

Podział na
elementy

Funkcje
aproksym.

Zasada prac
wirtualnych

Macierz
sztywności

Tylko stan napięć i przemieszczeń podłużnych
Równanie
różniczkowe
Pokazany zostanie sposób budowy macierzy
sztywności dla jednego elementu.
ALGORYTM
2
Element skończony – prosty przykład budowy

Podział na
elementy

Funkcje
aproksym.

Zasada prac
wirtualnych
Na brzegu (punkty 1 i 2) przemieszczenia i obciążenia:

Macierz
sztywności
Zestaw równań łączących obciążenia i przemieszczenia:

ALGORYTM
Równanie
różniczkowe
gdzie
3
Funkcje aproksymujące

Podział na
elementy

Funkcje
aproksym.

Zasada prac
wirtualnych

Macierz
sztywności

Funkcje aproksymujące:
Opis pola przemieszczeń uwzględniający oba parametry
jest następujący:
Do doboru funkcji używa się np. wielomianów Lagrange’a
ALGORYTM
4
Funkcje aproksymujące
Funkcje aproksymujące:

Podział na
elementy

Funkcje
aproksym.

Zasada prac
wirtualnych
Opis pola odkształceń:

Macierz
sztywności
B jest pochodną macierzy N:

ALGORYTM
Określenie sił podłużnych:
5
Zasada prac wirtualnych

Podział na
elementy

Funkcje
aproksym.
Wykorzystujemy zasadę prac wirtualnych:
praca sił zewnętrznych = praca sił wewnętrznych
p1, p2 – obciążenia na brzegu

Zasada prac
wirtualnych

Macierz
sztywności

ALGORYTM
Praca sił wewnętrznych:
6
Zasada prac wirtualnych

Podział na
elementy

Funkcje
aproksym.

Zasada prac
wirtualnych

Macierz
sztywności

ALGORYTM
Stałe parametry umieszczamy przed całką:
7
Macierz sztywności

Podział na
elementy

Funkcje
aproksym.

Zasada prac
wirtualnych

Macierz
sztywności

ALGORYTM
Porównanie Lw i Lz:
prawdziwe dla
każdego
.
macierz sztywności
8
Podsumowanie:

Podział na
elementy

Funkcje
aproksym.

Zasada prac
wirtualnych

Macierz
sztywności

ALGORYTM
Równania wiążące przemieszczenia i siły w elemencie.
9
ALGORYTM

Podział na
elementy
Metoda elementów skończonych swój praktyczny wymiar
osiąga dopiero w implementacji komputerowej.

Funkcje
aproksym.
Podstawą implementacji jest algorytm.

Zasada prac
wirtualnych

Macierz
sztywności

ALGORYTM
algorytm:

programowanie
ideowy
10
Algorytm ideowy MES




Podział na
elementy
1.
Przyjąć globalny układ współrzędnych.
2.
Podzielić konstrukcję na elementy i ponumerować je.
3.
Przyjąć dla każdego elementu lokalny układ wsp.
Funkcje
aproksym.
Zasada prac
wirtualnych
4.
Macierz
sztywności
5.

Przyjąć dla każdego elementu wektor przemieszczeń
węzłowych
Obliczyć macierz sztywności elementów.
ALGORYTM
11
Algorytm ideowy MES

Podział na
elementy

Funkcje
aproksym.

Zasada prac
wirtualnych

Macierz
sztywności

ALGORYTM
Znamy macierz sztywności jednego elementu:
Budowa globalnej macierzy sztywności:
Od czego zależy wymiar macierzy elementu?
Od liczby stopni swobody. Np. element belkowy:
12
Algorytm ideowy MES

Podział na
elementy

Funkcje
aproksym.

Zasada prac
wirtualnych

Macierz
sztywności

Od czego zależy wymiar globalnej macierzy? Od liczby
stopni swobody w zadaniu.
W praktyce od ilości węzłów X stopnie swobody.
w zagadnieniach liniowych
jest symetryczna
1.
2.
skomplikowanie wzrasta
z liczbą węzłów
ALGORYTM
13
Algorytm ideowy MES

Podział na
elementy

Funkcje
aproksym.

Zasada prac
wirtualnych

Macierz
sztywności

ALGORYTM
6.
7.
Dla wszystkich elementów zbudować wektory alokacji
przyporządkowujące numery lokalnych stopni
swobody numerom współrzędnych uogólnionych.
Zbudować globalną macierz sztywności na podstawie
macierzy sztywności elementów i wektora alokacji.
14
Algorytm ideowy MES

Podział na
elementy
8.

Funkcje
aproksym.
9.

Zasada prac
wirtualnych
globalny wektor obciążeń i przemieszczeń

Macierz
sztywności

ALGORYTM
Globalny wektor sił węzłowych -> zainicjować
wartościami sił zewnętrznych w węzłach.
Obciążenia na elemencie zredukować do węzłowych
i dodać do globalnego wektora sił węzłowych.
15
Algorytm ideowy MES


Podział na
elementy
Funkcje
aproksym.
10.
Uwzględnić warunki brzegowe.
11.
Rozwiązać układ równań.
Rozwiązanie

Zasada prac
wirtualnych

Macierz
sztywności

ALGORYTM
Przemieszczenia!
+ warunki brzegowe
16
Algorytm ideowy MES

Podział na
elementy
12.

Funkcje
aproksym.
13.

Zasada prac
wirtualnych

Macierz
sztywności

ALGORYTM
Wektor przemieszczeń poddać transformacji i wybrać
wektory przemieszczeń elementów
Wyznaczyć siły wewnętrzne na podstawie wektora
przemieszczeń elementu.
+ obciążenia na elemencie!
Naprężenia i odkształcenia kalkulowane na podstawie
przemieszczeń!
17