całkowanie i rózniczkowanie numeryczne - L-5

Transkrypt

Wprowadzenie
Kwadratury – węzły równoodległe
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Różniczkowanie numeryczne
CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE
INFORMATYKA
Transport, studia I stopnia
rok akademicki 2011/2012
Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
Ewa Pabisek
Adam Wosatko
INFORMATYKA
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Kiedy stosujemy całkowanie numeryczne?
W przypadkach elementarnych obliczanie wartości całki oznaczonej
odbywa się na podstawie wzoru Newtona-Leibnitza
Zb
f (x) dx = F (b) − F (a)
I (f ) =
a
Powyższy wzór możemy stosować wtedy, gdy znana jest tzw.
funkcja pierwotna F (x) spełniająca związek:
dF (x)
= f (x)
dx
Jeśli wyznaczenie funkcji pierwotnej jest bardzo trudne lub niemożliwe
i/lub funkcja podcałkowa f (x) zadana jest w postaci tablicy, to możliwe
jest stosowanie całkowania numerycznego.
INFORMATYKA
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Na czym polega numeryczne całkowanie?
Gdy przedział całkowania jest skończony, wówczas numeryczne
całkowanie polega na zastąpieniu funkcji podcałkowej f (x)
odpowiednim wielomianem interpolacyjnym lub aproksymacyjnym
ϕ(x) zbudowanym na zbiorze n + 1 węzłów o współrzędnych
xi , i = 0, 1, 2, . . . , n .
Wymaga to wówczas całkowania jedynie prostych funkcji bazowych
z wykorzystaniem wzoru na I (f ).
W dalszym ciągu omówione zostaną najprostsze metody całkowania
numerycznego wykorzystujące interpolację (aproksymację) funkcji
za pomocą wielomianów algebraicznych.
Podstawiając w miejsce funkcji podcałkowej f (x) wielomian algebraiczny
ϕ(x) = f0 N0 (x) + f1 N1 (x) + · · · + fn Nn (x)
otrzymamy tzw. wzór kwadraturowy.
INFORMATYKA
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Kwadratura całkowania
Wzorem kwadraturowym albo krócej kwadraturą nazywamy:
Zb
Zb
f (x) dx ≈
I (f ) =
a
ϕ(x) dx =
n
X
i=0
a
Zb
f (xi )
Ni (x) dx =
a
n
X
wi f (xi ) = S(f )
i=0
w którym
Zb
wi =
Ni (x) dx,
i = 0, 1, 2, . . . , n
a
są tzw. współczynnikami wagowymi (wagami). Wartość wi określa
wielkość udziału rzędnej fi ≡ f (xi ) w wartości całej sumy S(f ) .
INFORMATYKA
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Rząd kwadratury
Jako kryterium dokładności kwadratury można przyjąć zgodność
I (W ) z S(W ) gdy W jest wielomianem.
Najczęściej stosowaną miarą dokładności jest tzw. rząd kwadratury.
Kwadratura S(f ) jest rzędu r (r 1) , jeśli
I (W ) = S(W )
dla wszystkich wielomianów W (x) stopnia mniejszego niż r
oraz jeśli istnieje taki wielomian W (x) stopnia r dla którego
I (W ) 6= S(W ).
Można wykazć, że kwadratury interpolacyjne zbudowane na n + 1
węzłach są co najmniej n + 1 rzędu.
INFORMATYKA
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Kwadratury dla węzłów równoodległych
Najprostszymi kwadraturami interpolacyjnymi są kwadratury zbudowane
na węzłach równoodległych: xi = a + i h, i = 0, 1, 2, . . . , n .
Jeśli końce przedziału są również węzłami wówczas kwadratury noszą
nazwę kwadratur zamkniętych.
INFORMATYKA
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Wzór prostokątów
Wzór prostokątów
Najprostszym sposobem obliczania przybliżonej wartości S(f ) całki
oznaczonej I (f ) jest zastosowanie aproksymacji funkcji f (x) za pomocą
wielomianu
ϕ(x) = f (x0 ) = const.
Po podstawieniu do wzoru
Zb
Zb
f (x) dx ≈
a
ϕ(x) dx
a
otrzymujemy
Zb
Zb
f (x) dx ≈
I (f ) =
a
f (x0 ) dx = (b − a) f (x0 ) = S(f ).
a
INFORMATYKA
(1)
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Wzór prostokątów
Wybór położenia węzła dla wzoru prostokątów
W zależności od wyboru położenia węzła x0 otrzymujemy wzory:
(a) lewych prostokątów, gdy x0 = a
(b) środkowych prostokątów, gdy x0 = (a + b)/2
(c) prawych prostokątów, gdy x0 = b
INFORMATYKA
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Wzór trapezów
Wzór trapezów
Jeśli do interpolacji funkcji f (x) zastosujemy interpolację za pomocą
wielomianu liniowego Lagrange’a, to otrzymamy wzór kwadraturowy,
nazywany wzorem trapezów.
Zb
f (x) dx ≈
I (f ) =
a
Zb
h
Zb h
i
f0 L10 (x) + f1 L11 (x) dx =
a
(2)
i
x −b
x −a i b−a h
+ f (b)
=
f (a) + f (b) = S(f ).
f (a)
a−b
b−a
2
a
INFORMATYKA
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Wzór Simpsona
Wzór Simpsona
Zastosowanie kwadratowej interpolacji Lagrange’a prowadzi do wzoru
kwadraturowego:
Zb
f (x) dx ≈
a
Zb h
i
f0 L0 + f1 L1 + f2 L2 dx =
a
Zb h
(x − c)(x − b)
(x − a)(x − b)
(x − a)(x − c) i
f0
+ f1
+ f2
dx
(a − c)(a − b)
(c − a)(c − b)
(b − a)(b − c)
a
Ostatecznie kwadratura (wzór) Simpsona przyjmuje postać:
Zb
f (x) dx ≈
1
h f0 + 4 f1 + f2 = s(f ),
3
h=
b−a
2
a
INFORMATYKA
(3)
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Wzór Simpsona
Wzór Simpsona
Zb
f (x) dx =
1
h f0 + 4 f1 + f2 = s(f ),
3
h=
b−a
2
a
Uwaga:
Wzór Simpsona jest rzędu czwartego, co oznacza, że jest dokładny
nie tylko dla wielomianów stopnia drugiego, lecz także dla
wielomianów stopnia trzeciego tzn. I (W3 ) = S(W3 ) oraz
I (W4 ) 6= S(W4 ) .
INFORMATYKA
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Wzory Newtona-Cotesa
Stosowanie wielomianów ϕ(x) coraz to wyższych stopni we wzorze
kwadraturowym prowadzi do tzw. wzorów Newtona-Cotessa.
xZn =b
f (x) dx ≈
S(Wk ) =
n
X
wi f (xi ) = S(f )
i=0
x0 =a
Dla wielomianów ϕ(x) kolejnych stopni n wartości współczynników
wagowych wi otrzymuje się z rozwiązania układu n + 1 liniowych
równań algebraicznych, które otrzymamy na podstawie kwadratury
zastosowanej dla wielomianów Wk (x) = x k , k = 0, 1, 2, . . . , n, dla
których I (Wk ) = S(Wk ) .
Zb
I (Wk ) =
x k dx =
a
skąd
n
X
i=0
wi xik =
n
X
wi xik = S(Wk )
i=0
1
b k+1 − ak+1 ,
k +1
INFORMATYKA
k = 0, 1, 2, . . . , n
(4)
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Układ równań
Po rozpisaniu
Pn
i=0
1 w0
x0 w 0
x02 w0
+
+
+
1 w1
x1 w 1
x12 w1
x0n w0
+
x1n w1
wi xik =
1
k+1
b k+1 − ak+1
otrzymamy:
+ 1 w2 · · · + 1 wn = b − a
+ x2 w2 · · · + xn wn = 12 (b 2 − a2 )
+ x22 w2 · · · + xn2 wn = 13 (b 3 − a3 )
.................................... +
x22 w2
···
+ xnn wn
=
1
(n+1)
b (n+1) − a(n+1)
Powyższy układ równań można zapisać w postaci macierzowej:


 
b−a
1 1 1 ... 1
w0
1
2

(b
− a2 )
 x0 x1 x2 . . . xn   w1  
2
 2

 
1
3
2
2
2
(b
− a3 )
 x0 x1 x2 . . . xn   w2  = 
3


 
.
.
.
.
.
.....

 .  
..........
1
n
n
2
n
(n+1)
(n+1)
x0 x1 xn . . . xn
wn
b
−
a
(n+1)
Rozwiązaniem tego układu są wartości wag wi .
INFORMATYKA







Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Wagi we wzorach kwadraturowych
Wagi wi , i = 0, 1 występujące we wzorze trapezów można wyznaczyć
rozwiązując układ równań:
b−a
1 1
w0
= 1 2
2
a b
w1
2 (b − a )
skąd w0 = w1 =
1
2
(b − a) .
Dla 3 węzłów równoodległych, tzn. gdy c = 0.5 (a + b) współczynniki
wagowe wi , i = 0, 1, 2 we wzorze Simpsona oblicza się z układu równań:


 

b−a
1 1 1
w0
 a c
b   w1  =  12 (b 2 − a2 ) 
1
2
2
3
3
a c
b2
w2
3 (b − a )
Po rozwiązaniu tego układu otrzymamy
w0 = w2 =
b−a
,
6
INFORMATYKA
w1 =
2 (b − a)
.
3
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Zestawienie współczynników wagowych
Zestawienie wartości współczynników wagowych wi
n
1
w00
1
w10
w20
w30
w40
2
1
4
1
3
1
3
3
1
4
7
32
12
32
1
5
19
75
50
50
75
w50
m
2
6
8
90
19
228
Wartości wag występujące we wzorze Newtona-Cotesa (4) obliczane są
według wzoru
w0
wi = i
m
Uwaga:
Kwadratury Newtona-Cotesa uzyskane przy zastosowaniu wielomianów
interpolujących ϕ(x) stopni n > 8 ujawniają cechy narastajacej
niestabilności kwadratury interpolacyjnej (4).
INFORMATYKA
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Kwadratury Gaussa
Do podwyższenia dokładności wzorów kwadraturowych można zastosować
propozycję Gaussa, polegajacą na:
optymalizacji położenia n węzłów interpolacyjnych,
doborze odpowiednich wartości współczynników wagowych.
Można przyjąć, że we wzorze:
Zb
f (x) dx ≈
n
X
wi f (xi )
(5)
i=0
a
niewiadomymi są nie tylko współczynniki wagowe wi ale także współrzędne
węzłów xi . Zatem równanie (5) zawiera 2(n + 1) niewiadomych.
Kwadratura będzie dokładna gdy f (x) będzie wielomianem co najwyżej stopnia
(2n + 1). Wszystkie niewiadome można wyznaczyć z układu 2n + 2 równań dla
n + 1 wag wi oraz n + 1 węzłów xi , i = 0, 1, . . . , n.
INFORMATYKA
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Układ równań dla kwadratury Gaussa
Dla funkcji podcałkowej f (x), która ma postać wielomianu zgodnie ze
wzorem:
Zb
n
X
k
x dx =
wi xik , k = 0, 1, 2, . . . , 2n + 1
a
i=0
otrzymujemy układ równań:
n
X
i=0
wi xik =
1 k+1
b
− ak+1 ,
k +1
k = 0, 1, 2, . . . , 2n + 1
(6)
który jest liniowy ze względu na wagi i nieliniowy ze względu na węzły.
INFORMATYKA
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Wzór kwadraturowy Gaussa
w przedziale unormowanym
Odwzorowanie przedziału [a, b] na osi x na unormowany przedział
[−1, 1] na pomocniczej osi ξ i odwzorowanie do niego odwrotne można
opisać za pomocą wzorów:
a+b b−a
+
ξ
2
2
(7)
co daje wygodny sposób zapisu całki:
ξ=
Zb
2x − a − b
b−a
⇔
b−a
f (x) dx =
2
x=
Z1
f(
a+b b−a
+
ξ) dξ
2
2
−1
a
oraz wzoru kwadraturowego Gaussa:
Zb
n
f (x) dx ≈
a
a + b b − a b−a X
wi f
+
ξi .
2
2
2
i=0
INFORMATYKA
(8)
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Obliczanie współczynników dla wzoru Gaussa
Dla tej postaci wzoru wartości wi , ξi można obliczyć z układu równań
Z1
Przykład:
I =
R1
−1
ξ k dξ =
n
X
wi ξik ,
k = 0, 1, 2, . . . , 2n − 1.
(9)
i=0
α0 + α1 ξ + α2 ξ 2 + α3 ξ 3 dξ
−1
Wynik ścisły: I = 2α0 + 32 α2 = 2α0 + 0α1 + 23 α2 + 0α3
I = w0 f (ξ0 ) + w1 f (ξ1 ) =
= w0 α0 + α1 ξ0 + α2 ξ02 + α3 ξ03 + w1 α0 + α1 ξ1 + α2 ξ12 + α3 ξ13 =
= (w0 + w1 )α0 + (w0 ξ0 + w1 ξ1 )α1 + (w0 ξ02 + w1 ξ12 )α2 + (w0 ξ03 + w1 ξ13 )α3
w0 + w1 = 2
w 0 ξ0 + w 1 ξ1 = 0
⇒ w0 = w1 = 1
w0 ξ02 + w1 ξ12 = 23
w0 ξ03 + w1 ξ13 = 0
INFORMATYKA
√
ξ0,1 = ±1/ 3
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Tablica węzłów i wag Gaussa
n
0
1
2
3
ξi , i = 0, . . . , n
ξ0 = 0 √
ξ0 = +1/√3
ξ1 = −1/
√ 3
ξ0 = + 0.6
ξ1 = 0 √
ξ2 = − 0.6
ξ0 = +0.86113631
ξ1 = +0.33998104
ξ2 = −0.33998104
ξ3 = −0.86113631
wi , i = 0, . . . , n
w0 = 2
w0 = 1
w1 = 1
w0 = 5/9
w1 = 8/9
w2 = 5/9
w0 = 0.34785485
w1 = 0.65214515
w2 = 0.65214515
w3 = 0.34785485
Uwaga:
Niezależnie od postaci funkcji f (x)
10 wartości wag wi i węzłów Gaussa ξi są zawsze takie same,
20 zależą tylko od liczby węzłów interpolacji n.
INFORMATYKA
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Przykład
Zastosowanie wzorów kwadraturowych dla 1 przedziału
Obliczyć S(f ) =
Rb
f (x) gdy f (x) = 4 · x 3 + 5 · x 2 + 1 dla
a
a = −1.0, b = 1.0, .
Rozwiązanie:
Dwupunktowa metoda Gaussa (n = 1):
Zb
a
b−a
f (x)dx =
2
Z1
1
f (ξ) dξ ≈
−1
INFORMATYKA
b−a X
wi f (ξi ) = 5.33333.
2
i=0
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Przykład
Wyniki dla prezentowanych wzorów
Wartość dokładna I (f )
=
Wzór
prostokątów:
lewych
środkowych
prawych
Postać kwadratury
trapezów
Simpsona
Gaussa dla n = 1
5.3333
Wartość
S(f ) = h f (a)
S(f ) = h f ( a+b
2 )
S(f ) = h f (b)
=
=
=
4
2
20
S(f ) =
h
2
=
12
S(f ) =
1h
32
S(f ) =
[f (a) + f (b)]
[f (a) + 4 f ( a+b
2 ) + f (b)]
b−a
2
1
P
wi f (ξi )
= 5.3333
=
5.3333
i=0
INFORMATYKA
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Kwadratury złożone
Podział przedziału całkowania na podprzedziały
Bardzo skutecznym sposobem podwyższania dokładności całkowania
numerycznego jest dokonanie podziału przedziału [a, b]
na podprzedziały [aj , bj ], j = 1, 2, . . . , N przy zachowaniu związków:
a1 = a, bN = b, bi = ai+1 , i = 1, 2, . . . , N − 1.
Można zapisać:
bj
Zb
I (f ) =
f (x) dx =
a
N Z
X
f (x) dx = I1 (f ) + I2 (f ) + · · · + IN (f )
j=1 a
j
Każda z całek oznaczonych Ij (f ) , wystepujacych we wzorze różni
się od od całek I (f ) tylko wartościami granic całkowania.
Do obliczania każdego składnika sumy można posłużyć się dowolnym
wzorem kwadraturowym.
INFORMATYKA
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Wzór sumacyjny prostokątów
Metoda prostokątów
Gdy długości wszystkich podprzedziałów [aj , bj ] są sobie równe czyli
bj − aj = H, j = 1, 2 . . . , N, H = b−a
N , to możemy określić wzory
sumacyjne. Przedział całkowania < a, b > dzielimy na N równych
podprzedziałów < x0 , x1 >, < x1 , x2 >, · · · < xn−1 , xn > gdzie
H = (b − a)/N. W każdym z nich stosujemy wzór złożony:
(a) lewych prostokątów
Zb
f (x)dx ≈ H
N
X
f (xj−1 ) = H f0 + f1 + f2 + · · · + fN−1
j=1
a
(b) środkowych (średnich) prostokątów
Zb
f (x)dx ≈ H
N
X
f(
j=1
x
+x
a
xj − xj−1
) = H f01 + f12 + f23 + · · · + fN−1 N
2
gdzie fj−1 j = f j−12 j ,
(c) prawych prostokątów
Zb
f (x)dx ≈ H
a
N
X
j = 1, 2, . . . , N,
f xj ) = H (f1 + f2 + · · · + fN
j=1
INFORMATYKA
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Wzór sumacyjny prostokątów
Ilustracja metody prostokątów lewych
Zb
f (x)dx ≈ H
a
N
X
f (xj−1 ) = H f0 + f1 + f2 + · · · + fN−1
j=1
INFORMATYKA
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Wzór sumacyjny trapezów
Metoda trapezów
Zb
f (x)dx ≈
N
i
f
1 Xh
fN 0
H
f (xj−1 + f (xj ) = H
+ f1 + f2 + · · · +
2
2
2
j=1
a
lub
Zb
N−1
X
1
1
f0 +
fj + fN
f (x)dx ≈ H
2
2
j=1
a
INFORMATYKA
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Wzór sumacyjny Simpsona
Metoda Simpsona
Zb
f (x)dx ≈
a
1 H ( f0 + fN ) + 4 ( f1 + f3 + · · · + fN−1 )+
3
2 (f2 + f4 + · · · + fN−2 ) ,
przy czym H = (xN − x0 )/N i N musi być liczbą parzystą.
INFORMATYKA
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Wzór sumacyjny Simpsona
Przykład – podsumowanie
Oblicz
Zb
S=
f (x)dx,
gdzie
f (x) = 4 · x 4 + 5 · x 3 + 1.
a
Przyjmij a = −5, b = 5, N = 3.
Metoda
prostokątów lewych
prostokątów prawych
prostokątów średnich
trapezów
Simpsona
Gaussa 3pkt
dokładne
biblioteka
INFORMATYKA
Wynik
6465.761317
10632.427984
3302.181070
8549.094650
5051.152263
5009.999985
5010.000000
5010.000000
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Na czym polega numeryczne różniczkowanie?
Zadanie różniczkowania numerycznego polega na obliczeniu wartości
pochodnych k– tego rzędu funkcji y = f (x), za pomocą wzorów
przybliżonych tzw. wzorów różnicowych.
Są to wzory służące do obliczenia pochodnej w węźle i za pomocą
znanych wartości funkcji w innych węzłach, np.:
mamy dane wartości funkcji f (x0 ), f (x1 ), f (x2 )
w równo oddalonych węzłach x0 , x1 , x2 ,
należy zbudować wzory różnicowe do obliczenia pierwszej i drugiej
pochodnej w węźle x1 .
Pochodne funkcji f (x) można obliczyć wieloma metodami np.:
różniczkując wcześniej zbudowany wielomian iterpolacyjny,
wykorzystującą rozwijanie w szereg Taylora wartośći węzłowych.
INFORMATYKA
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Wyprowadzenie wzorów z użyciem szeregu Taylora
Na podstawie rozwinięcia Taylora funkcji:
1
1
1
f (x + h) = f (x) + hf 0 (x) + h2 f 00 (x) + h3 f 000 (x) + h4 f IV (x) + . . . +
2
6
24
(10)
możemy wyprowadzić wzory przybliżone na obliczanie pochodnych.
INFORMATYKA
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Wyprowadzenie wzorów różnicowych dla węzła centralnego
Poszukujemy wzoru różnicowego jako kombinacji liniowej znanych
i nieznanych (nieoznaczonych) wartości
Pnwęzłowych i = 0, 1, 2 o postaci:
1. Dla pierwszej pochodnej: f 0 (x) ≈P i=0 ai f (xi ) = a0 f0 + a1 f1 + a2 f2
n
2. Dla drugiej pochodnej: f 00 (x) ≈ i=0 bi f (xi ) = b0 f0 + b1 f1 + b2 f2
Rozpisujemy rozwinięcia w szereg dla punktów i = 0, 1, 2 obu funkcji a
następnie kolejne równania i mnożymy przez współczynniki ai , bi ;
i =0:
i =1:
i =2:
1
f1 − hf10 + h2 f100 e + . . . / · a0 , b0
2
f1 = f1
/ · a1 , bb
1
f2 = f1 + hf10 + h2 f100 + . . . / · a2 , b2
2
f0 =
INFORMATYKA
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Po dodaniu otrzymujemy wzory:
dla pierwszej pochodnej:
a0 fo + a1 f1 + a2 f2 = f1 (a0 + a1 + a2 ) + f10 (−ha0 + ha2 ) + f100 ( 12 a0 + 12 a2 )
f10 = f1 (a0 + a1 + a2 ) + f1 (−ha0 + ha2 ) + f100 ( 12 h2 a0 + 12 h2 a2 )
dla drugiej pochodnej:
b0 fo + b1 f1 + b2 f2 =
f1 (b0 + b1 + b2 ) + f1 (−hb0 + hb2 ) + f100 ( 21 h2 b0 + 12 h2 b2 )
f100 = f1 (b0 + b1 + b2 ) + f1 (−hb0 + hb2 ) + f100 ( 12 h2 b0 + 12 h2 b2 )
W zapisie macierzowym:

 
1 1
1
a0 b0
0
 −h 0
h · a1 b1  =  1
1 2
a2 b2
0
0 12 h2
2h

INFORMATYKA


0
a0
rozw.
0  −−−→  a1
1
a2
 
1
− 2h
b0
b1  = 
0
1
b2
2h
1
h2
− h22
1
h2


Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne

1
 −h
1 2
2h
1
0
0

1
a0
h · a1
1 2
a2
2h
 
b0
0
b1  =  1
b2
0


0
a0
rozw.
0  −−−→  a1
1
a2
 
1
− 2h
b0


b1 =
0
1
b2
2h
Stąd:
1
(f2 − f1 )
2h
1
≈ b0 f0 + b1 f1 + b2 f2 = 2 (f0 − 2f1 + f2 )
h
f10 ≈ a0 f0 + a1 f1 + a2 f2 =
f100
INFORMATYKA
1
h2
− h22
1
h2


Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Wzór różnicowy centralny
Pierwsza pochodna
1
1
1
f (x + h) = f (x) + hf 0 (x) + h2 f 00 (x) + h3 f 000 (x) + h4 f IV (x) + . . . +
2
6
24
(
−
f2
= f1 + h f10 +
1
2
h2 f100 +
1
6
h3 f1000 + . . .
f0
= f1 − h f10 +
1
2
h2 f100 −
1
6
h3 f1000 + . . .
f2 − f0
f10 =
= 2 h f10 +
2
6
h3 f1000
1
1
(−f0 + f2 ) − h2 f1000
2h
6
INFORMATYKA
(11)
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Wzór różnicowy centralny
Druga pochodna
(
f2
= f1 + h f10 +
1
2
h2 f100 +
1
6
h3 f1000 +
1
24
f0
= f1 − h f10 +
1
2
h2 f100 −
1
6
h3 f1000 +
1 4 IV
24 h f1
+
f0 + f2
f100 =
h4 f1IV + . . .
= 2 f1 + h2 f100 +
1
12
+ ...
h4 f1IV
1 2 IV
1
(f0 − 2 f1 + f2 ) −
h f
h2
12 1 1
INFORMATYKA
(12)
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Wzór różnicowy zwykły (wprzód)
(
+
− 4 f1 + f2
f1
= f0 + h f00 +
f2
= f0 + 2 h f00 +
= −3 f0 − 2 h f00 −
1
2
4
2
h2 f000 +
1 3 000
6 h f0 + . . .
1
1
2 00
3 000
2 (2h) f0 + 6 (2h) f0
h2 f000 +
4
2
h2 f000 −
4
6
/−4
+ ...
h3 f0000 +
8
6
h3 f0000
1
1
(−3 f0 + 4 f1 − f2 ) + h2 f0000
2h
3
= f0 + h f00 + 12 h2 f000 + 16 h3 f0000
/−2
f00 =
(
+
f1
f2
= f0 + 2 hf00 +
1
2
(2h)2 f000 +
− 2 f1 + f2
f000 =
1
6
(2h)3 f0000
= −f0 + h2 f000 + h3 f0000
1
(f0 − 2 f1 + f2 ) − h f0000
h2
INFORMATYKA
(13)
(14)
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Wzór różnicowy wstecz
(
+
f1
f0
= f2 − h f20 +
= f2 −
2 h f20
h2 f200 −
1 3 000
6 h f2 + . . .
1
1
2 00
3 000
2 (2h) f2 − 6 (2h) f2
1
2
+
f0 − 4 f1
+
+ ...
= −3 f2 + 2 h f20 −
2
3
f1
1 2 000
h f2
3
1 2 00
1 3 000
0
= f2 − h f2 + 2 h f2 − 6 h f2 + . . .
f0
= f2 − 2 h f20 +
f20 =
(
1
/−4
h3 f2000
2h(f0 − 4 f1 + 3 f2 ) +
1
2
(2h)2 f200 −
f0 − 2 f1
f200 =
1
6
(15)
/−2
(2h)3 f2000 + . . .
= −2 f2 + h2 f200 − h3 f2000
1
(f0 − 2 f1 + f2 ) + h f2000
h2
INFORMATYKA
(16)
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Przykład
Wyznaczyć pochodną pierwszego i drugiego rzędu funkcji
f (x) = −x 3 + 6.0 x 2 − 11 x + 6.
Do obliczeń przyjąć a = 1, b = 3.5, n = 9 .
Wyniki porównać z rozwiązaniem ścisłym.
INFORMATYKA

całkowanie i rózniczkowanie numeryczne - L-5

Transkrypt

Podobne dokumenty

Projekty celowe – prace badawczo – rozwojowe

a * u(t) - Katedra Inżynierii Biomedycznej

Prawo GAUSSA