Prawo GAUSSA

Wymiana
ciepła
Ładunek
jest skwantowany
ładunek elementarny – ładunek pojedynczego elektronu (-e).
Każdy ładunek q (dodatni lub ujemny) jest całkowitą wielokrotnością jego bezwzględnej
wartości.
q=n.e gdzie n = ±1, ±2, ±3
[1C = 6,24. 1018e] e=1,60. 10 -19C
Wymiana
ciepła
Ładunek
jest zachowany
W układzie ciał izolowanych elektrycznie od wszystkich innych ciał,
ładunek może być przemieszczony z jednego ciała do drugiego, ale jego
całkowita wartość nie może ulec zmianie.
B. Franklin
Prawo Coulomba
Wymiana ciepła
Wartość siły wzajemnego oddziaływania dwóch ładunków jest wprost
proporcjonalna do iloczynu tych ładunków i odwrotnie proporcjonala do kwadratu
odległości między nimi.
Prawo to stosuje się jedynie do ładunków punktowych, czyli takich naładowanych
ciał, których wymiary są bardzo małe w porównaniu do odległości między nimi lub
też do ciał jednorodnych w kształcie kuli.
Pole elektryczne
Wymiana ciepła
M. Faraday XIX
-centralne

Natężenie pola elektrostatycznego

F
E 
q0
N C 
Prawo GAUSSA
W-3
Nowe spojrzenie na prawo Gaussa
Gdzie jest środek masy ziemniaka ???
- doświadczalnie
- obliczenia zawierające numeryczne obliczenia całki potrójnej
Prawo Coulomba – podstawowe prawo elektrostatyki – nie pozwala jednak na wykonanie
obliczeń w przypadku symetrii
Prawo Gaussa jest równoważne prawu Coulomba dla elektrostatyki
Carl Friedrich Gauss
(1777 - 1855)
Powierzchnia Gaussa
Właściwości :
- jest to powierzchnia hipotetyczna – matematyczna konstrukcja myślowa,
- jest dowolną powierzchnią zamkniętą – w praktyce powinna mieć kształt
związany z symetrią pola,
- powierzchnia Gaussa przechodzi przez punkt, w którym obliczamy natężenie
pola.
- w każdym punkcie powierzchni jest określone natężenie pola
elektrycznego
- wektory E mają taka samą wartość
- skierowane na zewnątrz
Aby obliczyć wypadkowy ładunek dodatni, objęty przez powierzchnię,
należy wiedzieć ile pola elektrycznego przenika przez powierzchnię
Strumień
Przez ramkę o polu powierzchni S przepływa szeroki strumień powietrza
o stałej prędkości v
ϴ - szybkość przepływu przez powierzchnię, czyli objętość powietrza przepływającego
przez powierzchnię S w jednostce czasu
Strumień pola elektrycznego
Strumień pola elektrycznego dla powierzchni Gaussa
Każdy kwadrat na powierzchni Gaussa
Strumień pola elektrycznego
Dokładną definicję strumienia pola elektrycznego,
przenikającego przez zamkniętą powierzchnię otrzymujemy
przez podejście do coraz mniejszych pól powierzchni kwadratów
Strumień elektryczny F przenikający przez
powierzchnię Gaussa jest proporcjonalny do całkowitej
liczby linii pola elektrycznego, przechodzącego przez tę powierzchnię
Przykład
b
a
Powierzchnia Gaussa
c
Wszystkie linie pola, które reprezentują pole elektryczne ,
całkowicie przechodzą przez powierzchnię Gaussa i dają
Wypadkowy strumień równy zero.
Prawo Gaussa
 0F  qwew
 
 0  E  dS  qwew
Ładunek qwew – wypadkowy ładunek
Słuszne gdy ładunek znajduje się w próżni lub w powietrzu
Prawo Gaussa
Powierzchna S1: we wszystkich punktach
powierzchni linie pola elektrycznego wychodzą
na zewnątrz. Strumień pola jest dodatni,
dodatni jest też ładunek wypadkowy wewnątrz
powierzchni.
Powierzchnia S2: we wszystkich punktach
powierzchni linie pola elektrycznego wchodzą
na zewnątrz. Strumień pola jest ujemny,
ujemny jest też ładunek wypadkowy wewnątrz
powierzchni.
Powierzchnia S3: Powierzchnia nie otacza
żadnego ładunku, więc qwew = 0. Strumień pola
elektrycznego jest równy zero.
Prawo Gaussa a prawo Coulomba
Należy policzyć całkę po powierzchni S, E jest stałe
Całka jest równa sumie po polach powierzchni ds. elementów sfery i jest równa
polu powierzchni sfery
Zastosowanie prawa Gaussa –
symetria walcowa
Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego
w odległości r od pręta?
Wybieramy powierzchnię walca o promieniu r
i wysokości h, współosiowego z prętem.
Powierzchnia musi być zamknięta.
Pole powierzchni bocznej walca 2πrh
Zastosowanie prawa Gaussa –
symetria płaszczyznowa
1. Wybieramy powierzchnię Gaussa
2. Powierzchnia musi być zamknięta
Z symetrii wynika, że E musi być prostopadłe
do płyty i do denek
Ładunek jest dodatni !!!
Linie pola nie przecinają powierzchni bocznej,
więc strumień pola przez tę część jest równy zero
Zastosowanie prawa Gaussa –
dwie przewodzące płyty
Przykład
s(+) ++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
s(-) -
L
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
M
-
P
Zastosowanie prawa Gaussa –
symetria sferyczna
Powłoka sferyczna naładowana jednorodnie przyciąga lub odpycha cząstkę naładowaną,
znajdującą się na zewnątrz powłoki, tak jakby cały ładunek powłoki był skupiony
w środku powłoki
Powłoka sferyczna naładowana jednorodnie nie działa siłą elektrostatyczną na cząstkę
naładowaną znajdującą się wewnątrz tej powłoki
S2
S1
q
Zastosowanie prawa Gaussa –
symetria sferyczna
S2
S1
q
Zastosowanie prawa Gaussa –
symetria sferyczna
Ładunek objęty
Wynosi q
Powierzchnia Gaussa
r
R
R
r
Jeśli cały ładunek q zamknięty wewnątrz sfery o promieniu R jest rozłożony
jednorodnie, to ładunek q’ wewnątrz sfery o promieniu r jest proporcjonalny do q
Zastosowanie prawa Gaussa –
symetria sferyczna
Jeśli cały ładunek q zamknięty wewnątrz sfery o promieniu R jest rozłożony
jednorodnie, to ładunek q’ wewnątrz sfery o promieniu r jest
proporcjonalny do q
R
R
r
Elektryczna energia potencjalna
Na ładunek q0 znajdujący się w
polu elektrycznym o natężeniu E
działa siła elektrostatyczna
Praca wykonana na przemieszczenie ładunku q0 o ds wykonana przez pole
elektryczne wynosi
Na skutek przemieszczania ładunku, energia potencjalna układu pole-ładunek
zmienia się
Siła elektrostatyczna jest siłą zachowawczą, tak więc
powyższa całka nie zależy od kształtu toru po jakim poruszał
się ładunek q0
Potencjał elektryczny
Energia potencjalna U układu pole-ładunek próbny podzielona przez wartość
tego ładunku nazywana jest potencjałem elektrycznym V. Potencjał jest
wielkością skalarną.
Potencjał elektryczny jest skalarem
Różnica potencjałów DV pomiędzy punktami początkowym A i końcowym B w
polu elektrycznym jest równa zmianie energii potencjalnej DU podzielonej na
jednostkowy ładunek między tymi dwoma punktami
Praca wykonana przez siłę zenetrzną
Podczas ruchu siła wykonuje pracę Wp nad ładunkiem oraz
pole elektryczne wykonuje nad nim pracę W
Jeśli cząstka spoczywała przed wprawieniem w ruch
i po jej zatrzymaniu
Wp = - W
DEp = Ep koń - Ep pocz = Wp
Powierzchnie ekwipotencjalne
Innym sposobem graficznego przedstawienia pola elektrostatycznego jest metoda powierzchni
ekwipotencjalnych, czyli powierzchni stanowiących zbór punktów o tych samych wartościach potencjału.
Można wykazać, że w każdym punkcie pola wektor natężenia
jest prostopadły do powierzchni
ekwipotencjalnej. W tym celu na powierzchni ekwipotencjalnej wybierzemy dwa punkty odległe od siebie o
dr. Pracę wykonywaną podczas przemieszczania ładunku między tymi punktami możemy wyrazić
następująco:
Obliczanie potencjału na podstawie
natężenia pola
Podstawiając całkowitą pracę
Potencjał pola ładunku punktowego
Przyjmijmy, że
Natężenie pola wytworzonego przez cząstkę
o ładunku q, w dowolnej odległości r od cząstki
Potencjał pola ładunku punktowego
Cząstka dodatnio naładowana wytwarza dodatni
potencjał elektryczny.
Cząstka ujemnie naładowana wytwarza ujemny
potencjał elektryczny
Potencjał dipola elektrycznego
Ponieważ natężenie
pola wewnątrz
przewodnika wynosi
zero, wiec dV/dr = 0, co
oznacza, że potencjał
wewnątrz przewodnika
jest stały
Powierzchnia przewodnika jest powierzchnią ekwipotencjalną, tzn.
punkty na powierzchni mają ten sam potencjał. Na powierzchni
wektory E i ds są zawsze
prostopadłe