Robert Bieda - Generator siatki elementów przestrzennych

Generator strukturalnej siatki elementów
przestrzennych
Robert Bieda
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki
Kierunek Informatyka, Rok V
[email protected]
Streszczenie
W niniejszej pracy zaprezentowany został nowy generator trójwymiarowy siatek strukturalnych. Generator ten wypełnia obszar elementami czternastościennymi,
których kształt zbliżony jest do kuli. Rozwiazanie
˛
takie pozwala na znacznie lepsze
odwzorowanie struktury krystalicznej wyst˛epujacej
˛ mi˛edzy innymi w metalach. Odpowiednie rozmieszczenie wykorzystanych elementów zapewnia całkowite wypełnienie przestrzeni, bez konieczności uzupełniania powstałych luk elementami innego
kształtu. Elementy o kształtach różniacych
˛
si˛e od czternastościanu Kelvina powstaja˛
jedynie na brzegach dyskretyzowanej bryły.
1
Wst˛ep
Metoda elementów skończonych ma ogromne znaczenie w obliczeniach nie jednego złożonego problemu inżynierskiego. Jedna˛ z najbardziej kosztownych i zarazem jedna˛ z najtrudniejszych faz tej metody jest utworzenie siatki elementów skończonych, w której elementy, pod wzgl˛edem wielkości i kształtu odwzorowywałyby model najwierniej jak to
tylko możliwe.
Opisane w literaturze metody generowania trójwymiarowych siatek elementów skończonych dziela˛ si˛e na trzy kategorie:
• metoda triangulacji obj˛etości (the volume triangulation method), wi˛ekszości przypadków składa si˛e z dwóch cz˛eści [3], generacji w˛ezłów oraz generacji czworościanów (triangulacja Delaunay (Delaunay’s triangulation)[7])
• ekstrakcja elementów (element extraction), polega na ekstrakcji czworościanów na
podstawie geometrii i danych topologicznych dotyczacych
˛
bryły [8][6]
• rekursywna dekompozycja przestrzeni (recursive spatial decomposition), przykładem jest metoda drzew czwórkowych(2D) lub ósemkowych(3D); siatka sześcienna
zwierajaca
˛ obiekt, który ma być zdyskretyzowany jest rekursywnie dzielona dopóki
nie zostanie osiagni˛
˛ eta oczekiwana rozdzielczość [4]
1
W dwóch pierwszych przypadkach siatka tworzona jest wyłacznie
˛
z czworościanów, w
trzecim przypadku moga˛ si˛e pojawić sześciany, graniastosłupy, ostrosłupy oraz inne elementy bryłowe[5]. Każda z wyżej wymienionych metod może generować elementy zniekształcone. Elementy te w wi˛ekszości skoncentrowane sa˛ w pobliżu brzegów modelu.
Celem niniejszej pracy jest przedstawienie sposobu generowania siatki elementów
przestrzennych z wykorzystaniem hybrydowych elementów czternastościennych tzw. czternastościanów Kelvina, których kształt zbliżony jest do kuli. Wykorzystane w niniejszej
pracy elementy skończone moga˛ w sposób lepszy niż używane w wymienionych powyżej
metodach czworościany i sześciany, odwzorować struktur˛e krystaliczna˛ metali oraz ich
stopów[1]. To od struktury krystalicznej zależa˛ własności fizyczne metalu, takie jak na
przykład wytrzymałość, twardość, temperatura topnienia czy przewodność elektryczna i
cieplna. Opisywane elementy sa˛ bardzo przydatne do modelowania ziaren oraz warstw
mi˛edzyziarnowych w stopach b˛edacych
˛
w stanie stało-ciekłym[2].
2
Struktura krystaliczna metali
Sieć krystaliczna to sposób w jaki atomy wypełniaja˛ przestrzeń tak, że pewna konfiguracja
atomów zwana komórka˛ elementarna˛ jest wielokrotnie powtarzana. Wiele spośród ciał
stałych ma budow˛e krystaliczna.˛ Oznacza to, że atomy, z których si˛e składaja˛ ułożone sa˛
w określonym porzadku.
˛
Od dawna wiadomo, że badanie struktury metali dostarcza wielu cennych informacji na temat rodzaju i stanu materiału. Dzi˛eki obrazom mikroskopowym rozpoznajemy
odlewy, możemy si˛e również dowiedzieć, czy ich struktura jest prawidłowa, spełniajaca
˛
wymagania użytkownika, czy też posiadaja˛ one ukryte wady, widoczne tylko pod mikroskopem.
Rys. 1: Ziarna w strukturze drutu wykonanego z czystego tytanu (po lewej), struktura
krystaliczna miedzi (po prawej)
Podstawowa˛ cecha˛ metali obok struktury krystalicznej jest wielkość ziarna b˛edace˛
go obszarem monokrystalicznego uporzadkowania.
˛
Ziarna (krystality) moga˛ układać si˛e
w sposób uporzadkowany
˛
tworzac
˛ okragłe
˛ (lub sferyczne) sferolity, dendryty o budowie
drzewiastej, igły i inne. Wielkości ziaren i ich orientacji ma decydujacy
˛ wpływ na struktur˛e danego materiału a tym samym na jego właściwości. Im mniejsza jest średnia wielkość ziarna, tym wi˛eksza jest granica plastyczności, wytrzymałość i twardość, natomiast
2
mniejsza plastyczność materiału. Gruboziarnistość cz˛esto powoduje kruchość i zmniejsza wytrzymałość. Niejednakowa wielkość ziarna pogarsza właściwości mechaniczne, a
może też powodować wyraźna˛ kruchość materiału.
3
Generacja siatki
Struktura metalu i jego stopów, a w zasadzie ich sieć krystaliczna jest zbudowana z elementów wygladem
˛
przypominajac
˛ a˛ kule. Utworzenie siatki z elementów sferycznych nie
jest możliwe, nie daje ona pełnego zapełnienia obszaru. Czternastościan Kelvina (Rys.
2) kształtem zbliżony jest do sfery oraz umożliwia pełne wypełnienie obszaru. Element
ten powstał poprzez ści˛ecie narożników ośmiościanu i składa si˛e z ośmiu sześciokatów
˛
i sześciu kwadratów. Zadaniem generatora siatki opisanego w tej pracy jest utworzenie,
Rys. 2: Czternastościan Kelvina, od lewej: dwie pozycje ukierunkowania elementu oraz
sposób powstania tetradekahedronu.
siatki elementów w oparciu o opis geometrii zadanego obszaru (w przestrzeni trójwymiarowej). Siatka tworzona przez program jest strukturalna, co oznacza że liczba kraw˛edzi
incydentnych do poszczególnych w˛ezłów jest stała. Sposób tworzenia siatki zależy bezpośrednio od wielkości brzegów obszaru, a także od szeregu dodatkowych parametrów
pozwalajacych
˛
wpływać na ostateczny kształt siatki, jej g˛estość, a tym samy na wielkość
i ilość elementów. Dzi˛eki temu możliwe jest uwzgl˛ednienie istotnych wymagań, parametrów uzależnionych od czynników zwiazanych
˛
z rodzajem procesu fizycznego, wybrana˛
metoda˛ jego symulowania czy specyfika˛ obszaru, wewnatrz
˛ którego proces zachodzi.
3.1
Specyfikacja danych wejściowych generatora
Dane wejściowe programu wczytywane sa˛ z przygotowanego pliku, zawierajacego
˛
parametry opisujace
˛ modelowany obszar oraz siatk˛e elementów, która ma zostać utworzona.
Modelowany obszar b˛edacy
˛ prostopadłościanem, opisany jest za pomoca˛ trzech wartości
zmiennych (a, b, c), dla każdego z kierunków przestrzeni (Rys. 3) gdzie zmienna a odpowiada kierunkowi osi x, b kierunkowi osi y a c kierunkowi osi z. Na liczb˛e elementów
siatki, wpływa liczba podanych elementów w danym kierunku, badź
˛ rozmiar pojedynczego elementu skończonego. Modyfikacja odpowiednich parametrów pliku pozwala wybrać
jeden z dwóch pozycji ukierunkowania elementu wzgl˛edem modelowanego obszaru(Rys.
3
Rys. 3: Fragment siatki elementów przestrzennych wraz zarysem modelowanego obszaru.
2), co wpływa na charakterystyk˛e siatki. Wpływ na charakterystyk˛e ma również możliwość wyśrodkowania elementów siatki wzgl˛edem modelowanego układu w dowolnym z
kierunków.
3.2
Algorytm generujacy
˛
Metoda generacji siatki opiera si˛e na podziale elementu skończonego na trzy warstwy
różne pod wzgl˛edem położenia w˛ezłów.
Rys. 4: Podział elementu na warstwy dla jednej z dwóch pozycji ukierunkowania elementu.
Rys. 5: Podział elementu na warstwy dla jednej z dwóch pozycji ukierunkowania elementu.
Warstwy te różnia˛ si˛e również w zależności od położenia elementu wzgl˛edem obszaru
(Rys. 4 i 5). Niezależnie jednak od ułożenia elementu, układ w˛ezłów w danej warstwie
4
powtarza si˛e cyklicznie co trzecia generowana warstwa. Zaleta˛ tej metody jest możliwość wykorzystania rekurencji do tworzenia w˛ezłów na danej warstwie oraz kolejnych
warstw na podstawie uprzednio wyznaczonych. W przypadku wyznaczania kolejnych
warstw zmianie ulega jedynie zmienna odpowiedziana za położenie danej warstwy na
kierunku osi y.
Rys. 6: Pierwotne warstwy podziału w zależności od ukierunkowania elementu.
3.3
Elementy brzegowe
Przed rozpocz˛eciem generacji siatki, niezb˛edne jest:
• wyznaczenie liczby elementów w każdym z trzech kierunku modelowanego układu
• rozmiaru pojedynczego elementu
• określenie położenia pierwszego elementu warstwy pierwotnej, b˛edacego
˛
punktem
odniesienia dla tworzonych warstw
Jako rozmiar elementu przyjmuje si˛e długość boku kwadratu oraz sześciokata
˛ składaja˛
cych si˛e na czternastościan Kelvina.
Rys. 7: Przykładowe elementy brzegowe.
Elementy brzegowe ulegaja˛ zniekształceniu, a ich wyznaczenie jest dość trudne. Przesuni˛ecie warstw wzgl˛edem siebie wpływa na zróżnicowanie elementów brzegowych, po
wzgl˛edem kształtu oraz liczby w˛ezłów składajacych
˛
si˛e na dany element. W zależności
od wprowadzonych parametrów generowania może powstać do 32 różniacych
˛
si˛e pod
wzgl˛edem geometrii elementów brzegowych (Rys. 7).
5
4
Przykłady zastosowań
Siatka wygenerowana przez opisany w niniejszej pracy generator może być stosowana
w obliczeniach numerycznych, zjawisk fizycznych i zagadnień inżynierskich, w których
struktura badanych materiałów może być odwzorowana przez kształt elementów wykorzystanych do jej utworzenia. Przykładem takich obliczeń może być modelowanie p˛ekania
stopów o strukturze równoosiowej w stanie stało-ciekłym. Kolejnym przykładem zastosowanie elementów, prezentowanych w niniejszej pracy może wyznaczanie przenikalności
cieplej polistyrenów, których sieć krystaliczna zbudowana jest z sferolitów.
5
Podsumowanie
W niniejszej pracy przedstawiony został schemat generowania trójwymiarowej strukturalnej siatki elementów przestrzennych. Elementami wypełniajacymi
˛
określony obszar
sa˛ czternastościany, których kształt zbliżony jest do sfery. Elementy te pozwalaja˛ lepiej
odwzorować struktur˛e krystaliczna˛ metali, stopów oraz materiałów zbudowanych z krystalitów w kształcie sferolitu, niż tradycyjne elementy (czworościany, sześciany) używane
podczas badania zagadnień w przestrzeni trójwymiarowej.
Literatura
[1] Szwarc G., Modelowanie p˛ekania stopów o strukturze równoosiowej w stanie stałociekłym, Praca doktorska, Cz˛estochowa, 2003.
[2] Parkitny R., Sczygiol N., Szwarc G., Modelowanie p˛ekania kruchych materiałów
ziarnowych w uj˛eciu hybrydowych elementów skończonych, Zeszyty Naukowe Politechniki Białostockiej. Mechanika, 2001.
[3] E. Amezua, M. V. Hormaza, A Hernandez, M. B. G. Ajuria, A method for the improvement of 3D solid fine-element meshe.s, Bilbao, Hiszpania, 1995.
[4] N. Sapidis, R. Perucchio, Combining recursive spatial decomposition and domain
Delunay tetrahedralization for meshing arbitrary shaped solid models., Computer
Methods in Applied Mechanics and Engineering ,1993.
[5] R. Perucchio, M. Saxena,A. Kela, Automatic mesh generation from solid models
based on recursive spatial decompositions., International Journal of Applied Mechanics and Engineering, 1989.
[6] T. C. Woo, T. Thomasma, An algorithm for generating solid elements in objects with
holes., Computer Structures, 1984.
[7] Nguyen-Van-Phai, Automatic mesh generation with tetrahedron elements., Int. J. numer. Meth. Engng, 1982.
[8] B. Wördenweber, Automatic mesh generation of 2 and 3 dimension curvilinear manifolds., Computer Laboratory, University of Cambridge, Cambridge, U.K., 1981.
6