Maszyna Smith

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE
41, s. 221-228, Gliwice 2011
ISSN 1896-771X
WPŁYW RODZAJU CHARAKTERYSTYKI ZMĘCZENIOWEJ
NA TRWAŁOŚĆ OBLICZENIOWĄ PRZY OBCIĄŻENIU LOSOWYM
ANDRZEJ KUREK, ADAM NIESŁONY
Katedra Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Politechnika Opolska
e-mail: [email protected]; [email protected]
Streszczenie. W algorytmie wyznaczania trwałości zmęczeniowej elementów
maszyn poddanych obciążeniu losowemu korzysta się z charakterystyk
zmęczeniowych materiału wyznaczanych przy obciążeniu stałoamplitudowym. Są
to najczęściej charakterystyki naprężeniowe, odkształceniowe i wykorzystujące
parametr energetyczny. Ich odpowiedni dobór decyduje o poprawności
otrzymanych wyników w odniesieniu do eksperymentu. W pracy dokonano próby
analizy zbieżności obliczeniowych trwałości zmęczeniowych wybranych
materiałów konstrukcyjnych poddanych obciążeniu losowemu w jednoosiowym
stanie obciążenia. Dla obliczeń dotyczących jednego materiału założono ten sam
stan obciążenia oraz wykorzystano cztery różne charakterystyki zmęczeniowe
wyznaczone na podstawie badań stałoamplitudowych. W wyniku obliczeń
otrzymano dla każdego przypadku cztery trwałości, które porównano ze sobą w
celu zbadania ich zbieżności. Zauważono, że w zależności od rodzaju materiału
zbieżność trwałości obliczeniowych jest różna. Wyniki tych porównań
przedstawiono w pracy w formie wykresów.
1. WSTĘP
Analiza trwałości zmęczeniowej elementów maszyn i konstrukcji jest nieodzowną częścią
prawidłowo przeprowadzonego procesu konstrukcyjnego nowoczesnych maszyn czy
zaawansowanych konstrukcji. Coraz częściej, ze względu na wysokie wymagania dotyczące
finalnego produktu i rosnące możliwości obliczeniowe biur konstrukcyjnych, wykonuje się
obliczenia przy założeniu obciążenia o zmiennoamplitudowym lub losowym charakterze
[1, 2]. Podczas wyznaczania trwałości zmęczeniowej w jednoosiowym losowym stanie
obciążenia obliczenia przeprowadza się w dwóch podstawowych etapach. Pierwszym z nich
jest zdefiniowanie obciążenia i wybór wielkości, która będzie opisywać jakościowo
i ilościowo obciążenie. Najczęściej inżynierowie mają do dyspozycji historię naprężenia lub
odkształcenia, rzadziej wyznaczany jest przebieg parametru energetycznego. W drugim etapie
oblicza się stopnień uszkodzenia zmęczeniowego dla założonego bloku obciążenia. W tym
celu stosuje się odpowiednią hipotezę sumowania uszkodzeń zmęczeniowych. Realizacja tego
zadania jest możliwa tylko wtedy, gdy znany jest rozkład amplitud cykli obciążenia przebiegu
losowego. Rozkład taki otrzymuje się przez zastosowanie specjalnych algorytmów zliczania
cykli, np. algorytm płynącego deszczu, lub przyjmuje się jeden ze standardowych rozkładów
charakterystycznych dla pewnej klasy urządzeń i środowisk pracy, np. rozkład FALSTAF
stosowany w lotnictwie lub CARLOS w przemyśle samochodowym.
222
A. KUREK, A. NIESŁONY
W zależności od tego, jaką wielkość wybrano do opisu obciążenia w algorytmie
obliczeniowym, występuje odpowiednia charakterystyka zmęczeniowa materiału, która
opisuje zależność liczby cykli do zniszczenia zmęczeniowego w funkcji wybranego
parametru. Basquin zaproponował, aby wyniki eksperymentalne badań zmęczeniowych
opisać następującą zależnością [3]
σ a = σ ' f (2 N f )b ,
(1)
gdzie σa jest amplitudą naprężenia, Nf liczbą cykli do zniszczenia, σ'f i b odpowiednio
współczynnikiem i wykładnikiem wytrzymałości zmęczeniowej. Inną, bardzo popularną
charakterystyką zmęczeniową materiału, jest charakterystyka odkształceniowa MansonaCoffina-Basquina (MCB) [3-5]
ε a ,t = ε a,e + ε a , p =
σ 'f
(2 N )
b
f
E
+ ε ' f (2 N f )
c
(2)
gdzie εa,t oznacza amplitudę odkształcenia całkowitego wyrażoną sumą amplitud
odkształcenia sprężystego εa,e i plastycznego εa,p, E jest modułem Younga, ε'f i c odpowiednio
współczynnikiem
i
wykładnikiem
zmęczeniowego
odkształcenia
plastycznego.
Charakterystyka MCB zbudowana jest na kontrowersyjnym założeniu o poprawności opisu
części sprężystej i plastycznej amplitudy odkształcenia całkowitego prostymi w układzie
podwójnie logarytmicznym. Jednakże dla wielu materiałów założenie to nie jest prawdziwe,
szczególnie w odniesieniu do amplitud odkształcenia plastycznego [6]. Dlatego też powstały
i są wykorzystywane inne modele odkształceniowe wiążące amplitudę odkształcenia
całkowitego z liczbą cykli do zniszczenia zmęczeniowego, np. propozycja Mansona [4]
ε a,t
⎛ C
=⎜
⎜N
⎝ f
1
⎞ξ
⎟ + ε0 ,
⎟
⎠
(3)
gdzie C, ξ i ε0 są współczynnikami modelu wyznaczonymi przez dopasowanie krzywej do
punktów eksperymentalnych metodą najmniejszych kwadratów. Trzecią grupą są
charakterystyki zmęczeniowych oparte na parametrach energetycznych. Ze względu na różne
definicje tych parametrów napotyka się znaczną grupę tych charakterystyk. Najczęściej są one
otrzymywane poprzez przekształcenia wzorów wynikających z modeli naprężeniowych
i odkształceniowych. Przykładem może tu być charakterystyka, którą otrzymuje się poprzez
porównanie parametru Smitha-Watsona-Toppera (SWT) εaσmax z iloczynem charakterystyk
naprężeniowej Basquina (1) i odkształceniowej MCB (2) [7]. W przypadku, gdy amplitudy
naprężenia nie przejawiają wartości średnich, otrzymuje się
(σ ' ) (2 N )
2
ε a ,tσ a =
2b
f
E
f
+ σ ' f ε ' f (2 N f ) .
c+b
(4)
Zarówno charakterystykę zmęczeniową naprężeniową (1), odkształceniowe (2) i (3) jak
i parametru energetycznego (4) można sporządzić na podstawie wyników jednej serii badań
eksperymentalnych. Są to typowe badania określone w normach [8] realizowane przy stałej
amplitudzie odkształcenia z rejestracją liczby cykli do zniszczenia i amplitudy naprężenia.
Biorąc pod uwagę fakt, że tylko jedna para amplitud naprężenia i odkształcenia odpowiada
WPŁYW RODZAJU CHARAKTERYSTYKI ZMĘCZENIOWEJ NA TRWAŁOŚĆ …
223
jednej liczbie cykli, należy sądzić, że wyznaczanie trwałości zmęczeniowej przy
wykorzystaniu różnych charakterystyk będzie prowadzić do tych samych trwałości
obliczeniowych.
Głównym celem pracy jest porównanie trwałości obliczonych na podstawie wybranych
charakterystyk materiałowych. Obliczenia będą wykonane dla czterech wybranych
materiałów, czterech typów rozkładów amplitud i charakterystyk zmęczeniowych materiału
Basquina (1), MCB (2), Mansona (3) i SWT (4). Nie będą przy tym rozpatrywane zagadnienia
dotyczące obciążeń wieloosiowych i doboru hipotezy sumowania uszkodzeń zmęczeniowych,
by nie wprowadzać dodatkowych czynników wpływających na wynik obliczeń.
2. ALGORYTM WYZNACZANIA TRWAŁOŚCI ZMĘCZENIOWEJ
Wyznaczając trwałość zmęczeniową przy obciążeniu losowym, identyfikuje się
w analizowanym przebiegu amplitudy składowe, zastępując w ten sposób przebieg pewną
skończoną liczbą cykli obciążenia o znanych amplitudach. Procedurę tę, odpowiednio
umiejscowioną w toku obliczeń, przedstawiono schematycznie na rys. 1.
Część algorytmu dotycząca obliczeń symulacyjnych
Zmiennoamplitudowy lub
losowy przebieg
obciążenia
Rozkład amplitud i charakterystykę
zmęczeniową wykorzystuje się w procesie
sumowania uszkodzeń zmęczeniowych
Algorytm
zliczania cykli
D=∑
n
N
Rys.1. Zastąpienie przebiegu losowego rozkładem amplitud w algorytmie wyznaczania
trwałości zmęczeniowej przy obciążeniu losowym
Wyznaczone cykle traktowane są podczas dalszych obliczeń podobnie, jak krótkie odcinki
obciążenia stałoamplitudowego. Zgodnie z liniową hipotezą o sumowaniu uszkodzeń
zmęczeniowych uszkodzenie w tym przypadku wyraża się wzorem
k
D=∑
i =1
ni
,
Ni
(5)
gdzie ni to liczba cykli o znanej amplitudzie oraz Ni jest liczbą cykli do zniszczenia odczytaną
z odpowiedniej charakterystyki zmęczeniowej dla i-tego poziomu obciążenia.
Na rys. 2 przedstawiono ogólny zarys algorytmu wykorzystanego podczas obliczeń
symulacyjnych dotyczących wyznaczania trwałości na podstawie różnych charakterystyk
zmęczeniowych. Do przeprowadzenia obliczeń symulacyjnych wybrano cztery materiały, dla
których istnieją pełne dane literaturowe dotyczące badań zmęczeniowych przy obciążeniu
stałoamplitudowym [9]. Były to trzy stale Ck45, X8CrNiTi1810 i 15Mo3 oraz stop
aluminium AlMg5,1Mn. Podstawowe stałe materiałowe zamieszczono w tabeli 1. Stałe
materiałowe występujące w modelach Basquina (1), MCB (2) i SWT (4) przyjęto na
224
A. KUREK, A. NIESŁONY
podstawie literatury [9]. Współczynniki występujące w modelu Mansona otrzymano przez
dopasowanie krzywej określonej wzorem (3) do punktów eksperymentalnych (εa,t,i, Nfi)
metodą najmniejszych kwadratów.
Aby ograniczyć do minimum liczbę operacji w algorytmie mogących wpłynąć na
wynikową trwałość obliczeniową, założono, że amplitudy odkształcenia całkowitego będą
generowane bezpośrednio z czterech wybranych funkcji gęstości prawdopodobieństwa
opisanych rozkładami: jednostajnym, jednostajnie wznoszącym, jednostajnie malejącym
i normalnym.
Podczas obliczeń symulacyjnych generowano 1000 wartości szczególnych amplitud
odkształcenia całkowitego, przy czym rozkłady przed generacją skalowano w ten sposób, aby
brzegi rozkładów odpowiadały wartościom amplitud odkształcenia odczytanym z wykresu
MCB dla ustalonych, granicznych liczb cykli Nf min = 103 i Nf max = 106. W ten sposób
otrzymano rozkład amplitud obejmujący tak zwane zakresy nisko- i wysokocyklowego
zmęczenia dla każdego z wybranych materiałów.
WYNIKI BADAŃ CYKLICZNYCH PRÓBEK MATERIAŁU
1. Wybór materiału i zestawu wyników badań
2. Wyznaczenie stałych materiałowych: E, σ'f, b, ε'f, c, C, ξ i ε0
ROZKŁAD AMPLITUD ODKSZTAŁCENIA
1. Generowanie i skalowanie 1000 wartości szczególnych amplitud na
podstawie wybranego rozkładu gęstości prawdopodobieństwa:
jednostajny
jednostajny
wznoszący
jednostajny
opadający
normalny
ROZKŁAD AMPLITUD NAPRĘŻENIA
1. Obliczanie rozkładu amplitud naprężenia na
podstawie krzywej cyklicznego odkształcenia
SUMOWANIE USZKODZEŃ ZMĘCZENIOWYCH
1. Hipoteza Palmgrena-Minera
BASQUIN
(σa-Nf)
MCB
(εa-Nf)
MANSON
(εa-Nf)
SWT
(σaεa-Nf)
TRWAŁOŚĆ OBLICZENIOWA
1. Otrzymuje się trwałość obliczeniową na podstawie czterech modeli
Rys.2. Algorytm wyznaczania trwałości zmęczeniowej na podstawie różnych
charakterystyk materiału
WPŁYW RODZAJU CHARAKTERYSTYKI ZMĘCZENIOWEJ NA TRWAŁOŚĆ …
Stała
materiałowa
E, GPa
K’, MPa
n’
σ’f, MPa
b
ε ’f
c
ξ
C
ε0
225
Tabela 1. Stałe materiałowe czterech wybranych materiałów
Materiał
AlMg5,1Mn
X8CrNiTi1810
15Mo3
CK45
206
980
0,115
987
69,05
636,4
0,0843
701,94
204
5234
0,421
1658
211
893
0,18
706
−0,0828
0,9936
−0,1014
0,1955
−0,1343
0,0669
−0,0870
0,293
−0,7147
1,884
0,0581
0,0014
−0,6505
2,765
0,0005527
0,0017
−0,3226
2,75
0,0014
0,0014
−0,4897
1,691
0,3007
0,0013
W modelach naprężeniowym Basquina (1) i parametru SWT (4) wymagana jest znajomość
amplitud naprężenia σa. Odpowiednie wartości obliczono, korzystając z wykresu cyklicznego
umocnienia opisanego modelem Ramberga-Osgooda (RO) [10]
1
ε a ,t = ε a ,e + ε a , p
σ ⎛ σ ⎞ n'
= a +⎜ a ⎟ ,
E ⎝ K' ⎠
(6)
zakładając, że wartość średnia cykli obciążenia była równa zeru [11]. Należy zauważyć, że ze
względu na nieliniowy charakter modelu RO postać funkcji gęstości prawdopodobieństwa
amplitud naprężenia różni się od założonej funkcji gęstości prawdopodobieństwa amplitud
odkształcenia, na podstawie której była wyznaczona.
Wyznaczone pary wartości (εa, σa) uczestniczą w procesie sumowania uszkodzeń
zmęczeniowych. Spośród wielu hipotez wybrano liniową hipotezę Palmgrena-Minera oraz
ustalono wartość uszkodzenia D = 1 dla zniszczenia materiału, co pozwoliło na obliczenie
trwałości zmęczeniowej wyrażonej w cyklach obciążenia dla rozpatrywanego przypadku
N obl =
1000
,
Dblk
(7)
gdzie Dblk jest wartością uszkodzenia dla jednego bloku obciążenia, a 1000 odpowiada liczbie
wygenerowanych cykli uczestniczących w procesie sumowania uszkodzeń zmęczeniowych.
Dwa spośród czterech wzorów opisujących wybrane charakterystyki zmęczeniowe pozwalają
na zwięzły zapis ogólnego wzoru (5). Dla modelu Basquina (1) otrzymuje się
k
2ni
i =1
⎛ σ a ,i ⎞ b
⎜
⎟
⎜σ 'f ⎟
⎝
⎠
Dblk = ∑
oraz dla modelu Morowa (3)
1
,
(8)
226
A. KUREK, A. NIESŁONY
k
ni (ε a,t ,i − ε 0 )
i =1
C
Dblk = ∑
ξ
.
(9)
Wyznaczanie liczby cykli Ni dla amplitud odkształcenia εa,t,i i naprężenia σa,i z wzorów
MCB (2) i SWT (4) realizowano numerycznie. Wyznaczone wartości liczby cykli
podstawiano bezpośrednio do wzoru (5).
3. PODSUMOWANIE I WNIOSKI KOŃCOWE
Obliczone trwałości przedstawiono z wykorzystaniem wykresów słupkowych na rys. 3.
Analizując uzyskane trwałości ze względu na rozkład amplitud, łatwo zauważyć, że
generowanie według rozkładu jednostajnie malejącego powodowało znaczący wzrost
trwałości. Było to spowodowane niewielką liczbą amplitud o wartościach bliskich
maksymalnej w rozkładzie, które to wywołują największe uszkodzenie. Pozostałe trwałości
różniły się w niewielkim stopniu w kolejności malejącej dla rozkładów: normalnego,
jednostajnego i jednostajnie wznoszącego.
Obliczenia według charakterystyki Mansona wykazują jej odmienną naturę w stosunku do
pozostałych charakterystyk. Można to tłumaczyć tym, że została ona skonstruowana na
podstawie odmiennych założeń teoretycznych (brak podziału na części sprężyste i plastyczne
amplitud odkształcenia) i posiada odkształceniową granicę zmęczenia ε0.
Najbardziej interesujące jest to, że dla stopu aluminium obliczenia wykazały dużą
rozbieżność trwałości zmęczeniowej ze względu na zastosowaną charakterystykę materiału.
Zakładając, że każdej parze amplitud odkształcenia i naprężenia odpowiada tylko jedna liczba
cykli, obliczone trwałości powinny być równe lub przynajmniej podobne.
Napotyka się tu problem braku tak zwanej kompatybilności charakterystyk
zmęczeniowych. Chodzi o równość części sprężystych i plastycznych wzorów MCB i RO.
Równania kompatybilności [12, 13]
n' =
K '=
b
= n'comp. ,
c
σ 'f
(ε ' f )
b
c
= K 'comp. ,
(10)
(11)
otrzymuje się poprzez porównanie wyrażeń opisujących część sprężystą i plastyczną
amplitudy odkształcenia z modeli MCB oraz RO. Gdy równości te nie są zachowane,
obliczenia dotyczące trwałości zmęczeniowej prowadzą do różnych wartości. Należy o tym
pamiętać szczególnie przy obliczaniu trwałości dla stopów aluminium, gdzie różnice te są
największe. Rozważania teoretyczne dotyczące tego zagadnienia można odnaleźć w pracy
[12]. W tabeli 2 zestawiono wykorzystane w pracy stałe materiałowe z otrzymanymi za
pomocą równań kompatybilności (10) i (11) dla poszczególnych materiałów.
WPŁYW RODZAJU CHARAKTERYSTYKI ZMĘCZENIOWEJ NA TRWAŁOŚĆ …
227
Tabela 2. Stałe materiałowe czterech wybranych materiałów
σ'f
b
K’
n’
(ε ' f ) c
Materiał
b
c
CK45
AlMg5,1Mn
X8CrNiTi1810
15Mo3
0,116
0,156
0,416
0,178
0,115
0,0843
0,421
0,18
a)
987,7
905
5111
878
980
636,4
5234
893
b)
6000
12000
5000
10000
AlMg51Mn
CK45
4000
8000
Basquin
Basquin
3000
Manson
6000
Manson
2000
MCB
4000
MCB
SWT
SWT
1000
2000
0
0
Jednostajny Jednostajnie Jednostajnie
wznoszący
malejący
Normalny
Jednostajny Jednostajnie Jednostajnie
wznoszący
malejący
c)
Normalny
d)
7000
10000
9000
6000
8000
X8CrNiTi1810
7000
Basquin
6000
5000
4000
Manson
5000
13Mo3
4000
Basquin
Manson
3000
MCB
MCB
3000
SWT
2000
2000
SWT
1000
1000
0
0
Jednostajny Jednostajnie Jednostajnie
wznoszący
malejący
Normalny
Jednostajny Jednostajnie Jednostajnie
wznoszący
malejący
Normalny
Rys.3. Porównanie trwałości obliczonych dla czterech charakterystyk zmęczeniowych,
czterech rozkładów amplitud odkształcenia całkowitego i materiałów (a) Ck45, (b)
AlMg51Mn, (c) X8CrNiTi1810 i (d) 13Mo3
LITERATURA
1.
2.
3.
4.
5.
Mitchell, M.R.: Fundamentals of modern fatigue analysis for design. In: ASM Handbook,
Ed. Steven R. Lampman, ASM International, Materials Park, 1996, p. 229-249
Rice, R.C.; Leis, B.N.; Berns, H.D.; Nelson, D.V.; Lingenfleser, D.; Mitchell, M.R.;
Fatigue design handbook. SAE, Warrendale, 1988, 369 ps.
Basquin, O.H.: The exponential law of endurance tests. “ Am. Soc. Test. Mater. Proc.”
1910, Vol. 10, p. 625-630
Manson, S.S.: Fatigue: a complex subject − some simple approximation. « Experimental
Mechanics” 1965, Vol. 5, 1965, p. 193-226
Coffin, L.F.: A study of the effect of cyclic thermal stresses on a ductile metal. “Trans
ASME” 1954, Vol. 76, p. 931-950
228
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
A. KUREK, A. NIESŁONY
Kocańda S.: Zmęczeniowe pękanie metali. Warszawa : WNT, 1985.
Smith K.N., Watson P., Topper T.H.: A stress strain function for the fatigue of metals. “J.
Materials” 1970, Vol. 5, p.767-776.
ASTM Standard E606-92: Standard practice for strain-controlled fatigue testing. In:
Annual book of ASTM standards 1997, Vol. 03.01. ASTM, p. 523-37.
Bäumel, A.; Seeger, T.: Material data for cyclic loading, Supplement 1, Materials Science
Monographs 61. Amsterdam: Elsevier Science Publishers, 1990.
Ramberg, W.; Osgood, W.R.: Description of stress-strain curves by three parameters.
Technical Note No. 902, National Advisory Committee for Aeronautics, Washington DC,
1943.
Plumtree, A.; Abdel-Raouf, H.A.: Cyclic stress–strain response and substructure.
“International Journal of Fatigue” 2001, Vol. 23, p. 799-805.
Niesłony A., El Dsoki Ch., Kaufmann H., Krug P.: New method for evaluation of the
Manson-Coffin-Basquin and Ramberg-Osgood equations with respect to compatibility.
“International Journal of Fatigue” 2008, Vol. 30, p. 1967-1977.
Niesłony A.: Wyznaczanie charakterystyk zmęczeniowych materiałów konstrukcyjnych z
zachowaniem założeń teoretycznych. W: XII Krajowa Konferencja Naukowo –
Szkoleniowa Mechaniki Pękania. Kraków, 6–9.IX.2009, s. 11
INFLUENCE OF FATIGUE LIFE CHARACTERISTIC TYPE
ON CALCULATED FATIGUE LIFE UNDER RANDOM LOADING
Summary: In the process of estimating fatigue life of machines elements under
random loading in its algorithm uses fatigue life characteristics of the material.
They are mainly strain, stress and energy characteristics. Their proper choice
decides about correctness of the calculated results with experimental ones. This
paper contains analysis of concurrence of calculated fatigue life of some selected
constructional materials under random uniaxial loading. For each material same
state of load was implied, characteristics were determined from constant
amplitude test. Fatigue life using different fatigue life characteristics was
calculated and compared for each state of loading. Results of that comparison are
shown as figures.