Dziaªania na zbiorach

Dziaªania na zbiorach
1
Sposoby okre±lania zbiorów
1) Zbiór wszystkich elementów postaci f (t), gdzie t przebiega
zbiór T :
{f (t); t ∈ T }.
2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj¡cych warunek
ϕ(x):
{x ∈ X : ϕ(x)}.
3) Zbiór sko«czony mo»emy okre±li¢ przez wypisanie jego ele-
mentów, np.
{n ∈ N1 : n | 6} = {1, 2, 3, 6}.
2
•
Zbiór liczb parzystych mo»emy okre±li¢ na dwa sposoby:
{2k; k ∈ Z} = {n ∈ Z : 2 | n}.
•
Prost¡ o równaniu y = ax + b mo»emy okre±li¢ jako zbiór
punktów o wspóªrz¦dnych (x, ax + b), gdzie x ∈ R:
{(x, ax + b); x ∈ R}
lub jako zbiór tych punktów o wspóªrz¦dnych
speªniaj¡ warunek y = ax + b:
(x, y),
które
{(x, y) ∈ R2 : y = ax + b}.
3
Wa»ny przykªad zbiorów stanowi¡ przedziaªy osi liczbowej.
(a, b) = {x ∈ R : x > a ∧ x < b},
[a, b) = {x ∈ R : x > a ∧ x < b},
(−∞, a) = {x ∈ R : x < a}.
4
Rozwa»my dowolne dwa zbiory
A
i
B.
Suma A ∪ B skªada si¦ z wszystkich
zbioru A lub do zbioru B :
elementów, które nale»¡ do
(x ∈ A ∪ B) ⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B).
skªada si¦ z wszystkich elementów, które nale»¡ jednocze±nie do zbioru A i do zbioru B :
Cz¦±¢ wspólna (przekrój) A ∩ B
(x ∈ A ∩ B) ⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B).
Ró»nica A \ B skªada si¦ z wszystkich elementów,
do zbioru A, ale nie nale»¡ do zbioru B :
które nale»¡
(x ∈ A \ B) ⇔ (x ∈ A ∧ x6∈B).
Oczywi±cie
(x6∈A) ⇔∼ (x ∈ A).
5
Ró»nica symetryczna A ÷ B skªada si¦ z wszystkich
które nale»¡ do zbioru A, a nie nale»¡ do B , oraz
nale»¡ do B , a nie nale»¡ do A:
elementów,
tych, które
(x ∈ A ÷ B) ⇔ (x ∈ A Y x ∈ B).
Zauwa»my, »e
A ÷ B = (A \ B) ∪ (B \ A).
6
Przykªady:
[0, 2) ∪ [1, 3) = [0, 3), [0, 2) ∩ [1, 3) = [1, 2),
[0, 2) \ [1, 3) = [0, 1), [0, 2) ∪ {2} = [0, 2],
(−1, +∞) ∩ (−∞, 1) = (−1, 1),
[−1, 1] \ {−1, 1} = (−1, 1),
[−1, 1] \ {0} = [−1, 0) ∪ (0, 1].
Inny przykªad:
{n ∈ N1 : n | 12} ∩ {n ∈ N1 : n | 18} = {n ∈ N1 : n | 6}.
7
Wªasno±ci dziaªa« na zbiorach
Dla dowolnych zbiorów A, B i C zachodz¡ nast¦puj¡ce równo±ci:
1) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C),
2) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C),
3) (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C),
4) (A ∩ B) \ C = (A \ C) ∩ (B \ C),
8
5) (A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ B ,
6) (A \ B) ∪ C = (A ∪ C) \ (B \ C),
7) (A \ B) \ C = A \ (B ∪ C),
8) A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C).
Takich równo±ci mo»na dowodzi¢ dwiema metodami rachunku
zda« (bardziej formalna) i diagramów Venne'a (bardziej obrazowa).
9
Przykªad zastosowania diagramów Venne'a.
Zadanie. Zaªó»my, »e prawdziwe s¡ nast¦puj¡ce stwierdzenia:
w±ród ludzi posiadaj¡cych telewizory s¡ tacy, którzy nie s¡
malarzami,
(1)
ludzie, którzy codziennie pªywaj¡ w basenie, a nie s¡ malarzami, nie maj¡ telewizorów.
(2)
Czy wynika st¡d, »e prawdziwe jest nast¦puj¡ce stwierdzenie:
nie wszyscy posiadacze telewizorów pªywaj¡ codziennie w
basenie?
(3)
10
Inkluzja zbiorów
Mówimy, »e zbiór A jest zawarty w zbiorze B , co zapisujemy
A ⊂ B, je±li wszystkie elementy zbioru A nale»¡ do zbioru B ,
czyli dla dowolnego elementu x prawdziwe jest zdanie
(x ∈ A) ⇒ (x ∈ B).
Przykªady:
{0} ⊂ [0, 1) ⊂ (−1, 1) ⊂ [−1, 1] ⊂ (−∞, 1],
N1 ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
11
Wªasno±ci:
1) Je»eli
A⊂B
i
B ⊂ A,
to
A = B.
2) Je»eli
A⊂B
i
B ⊂ C,
to
A ⊂ C.
3) Je»eli
A⊂C
i
B ⊂ C,
to
A ∪ B ⊂ C.
4) Je»eli
A⊂B
i
A ⊂ C,
to
A ⊂ B ∩ C.
Zadanie. Wyka», »e dla dowolnych zbiorów A, B i C zachodz¡
nast¦puj¡ce równowa»no±ci:
A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A ⇔ A ∪ B = B.
12
Zbiór pusty to zbiór posiadaj¡cy
symbolem ∅.
0
elementów, oznaczamy go
Zbiór pusty jest zawarty w ka»dym zbiorze:
∅ ⊂ A.
Jest tylko jeden zbiór pusty:
(∅1 ⊂ ∅2) ∧ (∅2 ⊂ ∅1) ⇒ (∅1 = ∅2).
13
Algebra podzbiorów danego zbioru
Przez X oznaczmy dowolny zbiór. Zbiór podzbiorów zbioru
oznaczamy symbolem 2X , na przykªad:
je±li
X = {a, b},
to
X
2X = {∅, {a}, {b}, {a, b}},
je±li
X = {1, 2, 3}, to
2X = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.
Twierdzenie. Je±li zbiór X ma n elementów, to zbiór 2X ma
2n
elementów.
Je±li mamy ustalony zbiór X i rozwa»amy tylko jego podzbiory,
to zbiór X nazywamy przestrzeni¡ lub uniwersum.
14
Dopeªnieniem zbioru A (w przestrzeni X ) nazywamy zbiór A0 =
X \ A. Dla ka»dego elementu x ∈ X prawdziwe jest zdanie
x ∈ A0 ⇔∼ (x ∈ A).
Zachodz¡ nast¦puj¡ce zale»no±ci:
A ∩ A0 = ∅, A ∪ A0 = X, (A0)0 = A,
∅0 = X, X 0 = ∅.
15
Odnotujmy prawa de Morgana dla zbiorów:
(A ∪ B)0 = A0 ∩ B 0, (A ∩ B)0 = A0 ∪ B 0.
Podobne zale»no±ci zachodz¡ dla wi¦kszej liczby zbiorów, na
przykªad:
(A ∪ B ∪ C)0 = A0 ∩ B 0 ∩ C 0,
(A ∩ B ∩ C ∩ D)0 = A0 ∪ B 0 ∪ C 0 ∪ D0.
16
Iloczyn kartezja«ski zbiorów
Rozwa»my dwa zbiory A i B . Z dowolnych elementów a ∈ A i
b ∈ B mo»emy utworzy¢ par¦ (a, b). Zbiór wszystkich takich par
oznaczamy symbolem A×B i nazywamy iloczynem kartezja«skim
zbiorów A i B :
A × B = {(a, b); a ∈ A, b ∈ B},
przy czym
(a, b) = (a0, b0) ⇔ (a = a0) ∧ (b = b0).
Je±li zbiory A i B s¡ sko«czone i zbiór A ma m elementów, a zbiór B ma n elementów, to zbiór A × B ma m · n
elementów.
Uwaga.
17
Kwadratem kartezja«skim zbioru
A
nazywamy zbiór
A2 = A × A.
Przykªad. R2 = R×R pªaszczyzna (z ukªadem wspóªrz¦dnych),
[0, 3) × (1, 2] ⊂ R2,
[0, 3) × (1, 2] = {(x, y); x ∈ [0, 3), y ∈ (1, 2]}.
18
Analogicznie okre±lamy iloczyn kartezja«ski wi¦kszej liczby zbiorów, na przykªad
A × B × C = {(a, b, c); a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C},
przy czym
(a, b, c) = (a0, b0, c0) ⇔ (a = a0) ∧ (b = b0) ∧ (c = c0).
Zbiór
An = |A × A ×
{z . . . × A} =
n
= {(a1, a2, . . . , an); a1, a2, . . . , an ∈ A}
nazywamy n-t¡ pot¦g¡ kartezja«sk¡ zbioru A, na przykªad R3 to
przestrze« trójwymiarowa (z ukªadem wspóªrz¦dnych) i ogólnie
Rn to przestrze« n-wymiarowa.
19
Dziaªania uogólnione na zbiorach
Je±li T jest zbiorem i dla ka»dego t ∈ T jest okre±lony pewien
zbiór At, to mówimy, »e jest okre±lona rodzina zbiorów
{At, t ∈ T }.
Przykªady:
{[t, +∞), t ∈ R},
{(−t, t), t > 1}={(−t, t), t ∈ (1, +∞)},
{{0, 1, . . . , n}, n ∈ N},
{{0, n}, n = 1, 2, 3}={{0, n}, n ∈ {1, 2, 3}}.
20
Suma
[
At
zbiorów tej rodziny skªada si¦ z wszystkich elemen-
t∈T
tów, które nale»¡ do co najmniej jednego z tych zbiorów:
x∈
[
At ⇔ ∃t∈T x ∈ At.
t∈T
Przypadek szczególny:
n
[
Ak = A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An
k=1
x∈
n
[
Ak ⇔ x ∈ A 1 ∨ x ∈ A2 ∨ . . . ∨ x ∈ An .
k=1
21
Przykªad.
x∈
[
[t, +∞) ⇔ ∃t∈Rx ∈ [t, +∞) ⇔ ∃t∈Rx > t
t∈R
Otrzymane zdanie jest prawdziwe dla ka»dego
[
x ∈ R,
wi¦c
[t, +∞) = R.
t∈R
Podobnie
[
(−t, t) = R
t∈(1,+∞)
oraz
[
{0, 1, . . . , n} = N.
n∈N
22
Cz¦±¢ wspólna (przekrój)
\
At
zbiorów tej rodziny skªada si¦ z
t∈T
wszystkich elementów, które nale»¡ do ka»dego z tych zbiorów:
x∈
\
At ⇔ ∀t∈T x ∈ At.
t∈T
Przypadek szczególny:
n
\
Ak = A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An
k=1
x∈
n
\
Ak ⇔ x ∈ A 1 ∧ x ∈ A2 ∧ . . . ∧ x ∈ An .
k=1
23
Przykªady.
x∈
\
[t, +∞) ⇔ ∀t∈Rx ∈ [t, +∞) ⇔ ∀t∈Rx > t
t∈R
Otrzymane zdanie jest faªszywe dla ka»dego
\
x ∈ R,
wi¦c
[t, +∞) = ∅.
t∈R
x∈
\
(−t, t) ⇔ ∀t∈(1,+∞)x ∈ (−t, t) ⇔ ∀t>1 − t < x < t
t∈(1,+∞)
Otrzymane zdanie jest prawdziwe dokªadnie wtedy, gdy x ∈ [−1, 1],
wi¦c
\
(−t, t) = [−1, 1].
t∈(1,+∞)
24
Zbiór sªów nad alfabetem
•
Alfabet dowolny zbiór
sko«czony).
•
Litery elementy zbioru A.
•
Sªowa nad alfabetem
•
Dªugo±¢ sªowa liczba liter.
A
A
(zazwyczaj zakªadamy, »e jest
ci¡gi liter.
Je±li elementy zbioru A oznaczamy pojedynczymi symbolami, to
litery sªowa piszemy (bez odst¦pów i przecinków) jedna za drug¡.
25
Przykªady:
• A = {a, b, c},
sªowa jednoliterowe (dªugo±ci 1): a, b, c,
sªowa dwuliterowe (dªugo±ci 2): aa, ab, ac, ba,
cc,
sªowa trzyliterowe (dªugo±ci 3): aaa, aab, . . .
• A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},
000 dªugo±ci 3,
1234 dªugo±ci 4,
5 dªugo±ci 1,
100 000 000 dªugo±ci 9,
007 dªugo±ci 3.
bb, bc, ca, cb,
sªowami s¡ na przykªad:
26
Je±li sªowo w ma dªugo±¢ m, a sªowo v ma dªugo±¢ n, to mo»emy
utworzy¢ sªowo wv, które ma dªugo±¢ m + n.
Przyjmujemy, »e jest jedno sªowo puste ε zªo»one z
dowolnego sªowa w mamy εw = wε = w.
0
liter. Dla
Bardziej formalnie, zbiorem sªów dªugo±ci n nad alfabetem A nazywamy zbiór An. Ponadto przyjmujemy A0 = {ε}. Zbiór wszystkich sªów oznaczamy symbolem A∗.
A ∗ = A 0 ∪ A1 ∪ A 2 ∪ . . . =
∞
[
An .
n=0
27