Algebry odwrócone oswojonego typu reprezentacyjnego

Transkrypt

UNIWERSYTET MIKOŁAJA KOPERNIKA W TORUNIU
Grzegorz Bobiński
Algebry odwrócone
oswojonego typu
reprezentacyjnego
Praca magisterska wykonana
w Zakładzie Algebry i Topologii
Wydziału Matematyki i Informatyki
pod kierunkiem
prof. dr hab. Andrzeja Skowrońskiego
TORUŃ 1999
Spis treści
Wstęp
3
1 Wiadomości wstępne z teorii reprezentacji algebr
8
1.1. Algebry i moduły . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2. Kołczany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Kołczany z translacją . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4. Kołczan Auslandera–Reiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5. Grupa Grothendiecka i forma Eulera . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6. Typ reprezentacyjny algebr
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7. Rozszerzenia jednopunktowe algebr . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.8. Rozszerzenia tubularne algebr . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Algebry odwrócone
29
2.1. Moduły odwracające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2. Algebry odwrócone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3. Algebry odwrócone typu Euklidesa . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4. Oswojone algebry odwrócone typu dzikiego . . . . . . . . . . . 35
2.5. Forma Eulera oswojonej algebry odwróconej . . . . . . . . . . 37
2.6. Wierne pierwiastki formy Eulera . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.7. Twierdzenie de la Peña . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3 Algebry 2-parametryczne
54
3.1. Przygotowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2
SPIS TREŚCI
e 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2. Przypadek E
3.2.1. Podprzypadek x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2.2. Podprzypadek y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.3. Podprzypadek z . . . .
e7 . . . . . . . . .
3.3. Przypadek E
e8 . . . . . . . . .
3.4. Przypadek E
em . . . . . . . . .
3.5. Przypadek D
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.6. Przypadek A
3.7. Główne twierdzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4 Algebry samoinjektywne
83
4.1. Algebry powtórzone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2. Algebry samoinjektywne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
A Funkcje addytywne na stabilnych kołczanach
z translacją
93
A.1. Główne twierdzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
A.2. Funkcje addytywne na ZQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
A.3. Dowód głównego twierdzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Bibliografia
99
Skorowidz symboli
103
Skorowidz nazw
105
Spis list algebr
108
3
Wstęp
Zgodnie z twierdzeniem Drozda [Dr] skończenie wymiarowe łączne algebry
z jedynką nad ciałem algebraicznie domkniętym K mogą być podzielone na
dwie rozłączne klasy. Jedna z nich jest utworzona przez algebry oswojone, dla
których dla dowolnej liczby naturalnej d prawie wszystkie nierozkładalne dwymiarowe moduły tworzą (z dokładnością do izomorfizmu) skończoną ilość
rodzin parametryzowanych przez elementy ciała K. Druga klasa jest utworzona przez dzikie algebry, dla których opis klas izomorfizmów skończenie
wymiarowych nierozkładalnych modułów jest równoważny klasyfikacji skończenie wymiarowych przestrzeni liniowych wraz z działaniem dwóch (niekoniecznie przemiennych) endomorfizmów. W związku z tym realnie oceniając
można liczyć na sklasyfikowanie skończenie wymiarowych modułów tylko dla
algebr oswojonych.
Problem typu reprezentacyjnego, a także klasyfikacja skończenie wymiarowych nierozkładalnych modułów w przypadku oswojonym, zostały w pełni
rozwiązane dla algebr dróg skończonych kołczanów bez zorientowanych cykli. Kołczanem nazywamy układ złożony ze zbioru wierzchołków i zbioru
strzałek pomiędzy tymi wierzchołkami. Jeśli Q jest skończonym kołczanem
bez zorientowanych cykli, to algebra dróg KQ kołczanu Q jest to skończenie wymiarowa przestrzeń liniowa, której bazę stanowią wszystkie drogi w
kołczanie Q, wraz z mnożeniem indukowanym przez składanie dróg. Z twierdzeń Gabriela [Ga1], Donovana–Freislich [DonFr] i Nazarowej [Na] wynika,
że algebra KQ jest oswojona wtedy i tylko wtedy, gdy Q jest rozłączną sumą kołczanów typu Dynkina lub Euklidesa. Powyższy fakt podaje pełny opis
oswojonych skończenie wymiarowych algebr globalnego wymiaru co najwyżej
jeden, ponieważ kategorie skończenie wymiarowych modułów takich algebr
są równoważne z kategoriami skończenie wymiarowych modułów algebr dróg
skończonych kołczanów bez zorientowanych cykli [Ga2].
Z algebrami dróg kołczanów blisko związane są algebry odwrócone. Algebrą odwróconą nazywamy algebrę endomorfizmów A = EndKQ (T ) odwracającego KQ-modułu T , gdzie Q jest skończonym i spójnym kołczanem bez
4
Wstęp
zorientowanych cykli. Skończenie wymiarowy KQ-moduł T jest odwracający, jeśli nie posiada samorozszerzeń i jest sumą prostą n parami nieizomorficznych nierozkładalnych KQ-modułów, gdzie n jest liczbą wierzchołków w
kołczanie Q. Teoria reprezentacji algebr odwróconych zapoczątkowana pracami Bernsteina–Gelfanda–Ponomarjewa [BeGePo], Brenner–Butler [BrBu],
Bongartza [Bon1], Happela–Ringela [HaRi], oraz rozwinięta przez Ringela [Ri2], Kernera [Ke1], [Ke2], Straussa [St], . . . , odgrywa obecnie podstawową rolę w badaniu reprezentacji dowolnych skończenie wymiarowych algebr. Ważną cechą algebr odwróconych jest to, że są one globalnego wymiaru co najwyżej dwa. Wiadomo ponadto, zgodnie z twierdzeniem Brenner–
Butler [BrBu], że jeśli A := EndKQ (T ) dla pewnego odwracającego KQmodułu T , to każdy skończenie wymiarowy nierozkładalny A-moduł jest
postaci HomKQ (T, X) lub Ext1KQ (T, X) dla pewnego skończenie wymiarowego nierozkładalnego KQ-modułu X. Z drugiej strony jednak, aby otrzymać w ten sposób wszystkie skończenie wymiarowe nierozkładalne A-moduły,
nie musimy wykorzystywać wszystkich skończenie wymiarowych nierozkładalnych KQ-modułów, a więc może być „mniej” skończenie wymiarowych
nierozkładalnych A-modułów niż skończenie wymiarowych nierozkładalnych
KQ-modułów. Oznacza to, że możemy w ten sposób otrzymać z dzikiej algebry dróg oswojoną algebrę odwróconą. Jest to jedna z przyczyn tego, że
nasza wiedza na temat oswojonych algebr odwróconych jest jeszcze daleka
od zadowalającej.
Warto jednak powiedzieć, że pewnych informacji na temat oswojonych
algebr odwróconych dostarcza nam twierdzenie Kernera [Ke1], które opisuje
ogólną postać kołczanu Auslandera–Reiten tych algebr. Kołczan Auslandera–
Reiten ΓA skończenie wymiarowej algebry A jest ważnym niezmiennikiem
homologicznym i kombinatorycznym kategorii skończenie wymiarowych modułów. Wierzchołkami kołczanu ΓA są klasy izomorfizmów skończenie wymiarowych nierozkładalnych A-modułów, zaś strzałki odpowiadają nieprzywiedlnym odwzorowaniom pomiędzy tymi modułami. Okazuje się, że w sytuacji oswojonych algebr odwróconych kołczan ten składa się ze skończonej
ilości składowych preprojektywnych, skończonej ilości rodzin rur promieniowych indeksowanych prostą rzutową P1 (K) nad ciałem K, składowej łączącej,
skończonej ilości rodzin rur kopromieniowych również indeksowanych elementami prostej rzutowej P1 (K), oraz skończonej ilości składowych preinjektywnych.
Jeszcze dalej w opisie kołczanu Auslandera–Reiten algebr odwróconych
idzie twierdzenie de la Peña [Pe1]. Wiadomo bowiem, co pokazał Ringel [Ri2],
że jeśli algebra A posiada wierny moduł kierujący, to jest odwrócona. De la
Peña udowodnił, że jeśli założymy dodatkowo, że algebra A jest oswojona,
5
Wstęp
to jej kołczan Auslandera–Reiten zbudowany jest z jednej składowej preprojektywnej, co najwyżej jednej rodziny rur promieniowych, składowej łączącej
(która może być składową preprojektywną lub preinjektywną), co najwyżej
jednej rodziny rur kopromieniowych, oraz jednej składowej preinjektywnej.
Skończenie wymiarowy nierozkładalny moduł X nazywamy kierującym, jeśli
nie istnieje ciąg X = X0 → X1 → · · · → Xn−1 → Xn = X, n ≥ 1, niezerowych nieizomorfizmów pomiędzy skończenie wymiarowymi nierozkładalnymi
modułami. Ponadto skończenie wymiarowy moduł nazywamy wiernym, gdy
wszystkie proste moduły pojawiają się jako ilorazy w jego ciągu kompozycyjnym.
Inaczej można zdefiniować wierność modułu korzystając z grupy Grothendiecka i wektorów wymiaru. W przypadku kategorii skończenie wymiarowych
modułów skończenie wymiarowej algebry A grupa Grothendiecka K0 (A) jest
to grupa wolna, której wolne generatory stanowi zbiór klas izomorfizmów
prostych A-modułów. Z każdym skończenie wymiarowym modułem M możemy związać wektor wymiaru dim M ∈ K0 (A), którego współrzędne zliczają
krotności wystąpień poszczególnych modułów prostych jako ilorazów w ciągu
kompozycyjnym modułu M . Zatem moduł jest wierny, gdy wszystkie współrzędne jego wektora wymiaru są niezerowe. Jeżeli A ma skończony wymiar
globalny, to na grupie Grothendiecka K0 (A) mamy określoną homologiczną
formę Eulera χA , która spełnia warunek
χA (dim M ) =
∞
X
(−1)i dimK ExtiA (M, M )
i=0
dla dowolnego skończenie wymiarowego A-modułu M . Okazuje się, że forma
ta może być wykorzystywana do określania typu reprezentacyjnego algebr.
Kerner udowodnił bowiem [Ke1], że algebra odwrócona A jest oswojona wtedy i tylko wtedy, gdy jej forma Eulera jest słabo nieujemna, tzn. χA (x) ≥ 0
dla każdego wektora x ∈ K0 (A) o nieujemnych współrzędnych.
Forma Eulera odgrywa również ważną rolę w opisie skończenie wymiarowych nierozkładalnych modułów. Mówimy, że forma Eulera χA kontroluje
kategorię skończenie wymiarowych A-modułów, jeśli na wektorach wymiaru
skończenie wymiarowych nierozkładalnych A-modułów przyjmuje tylko wartości 0 i 1, dla każdego spójnego wektora dodatniego d ∈ K0 (A) takiego, że
χA (d) = 1, istnieje dokładnie jeden (z dokładnością do izomorfizmu) nierozkładalny A-moduł X taki, że dim X = d, oraz dla każdego spójnego wektora
dodatniego d ∈ K0 (A) takiego, że χA (d) = 0, istnieje nieskończenie wiele parami nieizomorficznych nierozkładalnych A-modułów o wektorze wymiaru d.
Dobrze znanym faktem udowodnionym przez Ringela [Ri2] jest, że jeśli A
6
Wstęp
jest algebrą odwróconą typu Dynkina bądź Euklidesa (tzn. algebrą endomorfizmów odwracającego modułu nad algebrą dróg kołczanu typu Dynkina
lub Euklidesa), to forma χA kontroluje kategorię skończenie wymiarowych
A-modułów. Własność tę na dowolne oswojone algebry odwrócone rozszerza
twierdzenie de la Peña [Pe1].
Głównym celem pierwszej części pracy (rozdział 2) jest przedstawienie
pełnych dowodów wspomnianych wyżej twierdzeń de la Peña o strukturze
i własnościach oswojonych algebr odwróconych. Przedstawione w pracy dowody wykorzystują główne idee i fakty pracy [Pe1], oraz usuwają istotne
usterki zaprezentowanych tam rozumowań. W związku z tym w rozdziałach
1 i 2 przedstawiamy szereg pojęć i znanych faktów z teorii reprezentacji algebr
wykorzystywanych w dowodach twierdzeń de la Peña.
W drugiej części pracy (rozdziały 3 i 4) za cel stawiamy sobie udowodnienie nowych twierdzeń o strukturze oswojonych algebr odwróconych oraz
oswojonych algebr samoinjektywnych, których kołczan Auslandera–Reiten
ma prawie stabilne składowe skierowane (tzn. bez zorientowanych cykli)
posiadające tylko skończoną ilość orbit ze względu na działanie translacji
Auslandera–Reiten. Główne wyniki tej części pracy można znaleźć w publikacjach [BobSk] i [Bob2]. Omówimy teraz dokładniej zawartość drugiej części
naszej pracy.
Niech A będzie skończenie wymiarową algebrą nad algebraicznie domkniętym ciałem K oraz ΓA jej kołczanem Auslandera–Reiten. Spójną składową
C kołczanu ΓA będziemy nazywać stabilną, jeśli nie zawiera ani modułów
projektywnych ani injektywnych. Powiemy, że składowa C jest prawie stabilna, jeśli należy do niej dokładnie jeden moduł projektywno-injektywny,
zaś wszystkie pozostałe moduły w C nie są ani projektywne ani injektywne. Kołczan powstały przez usunięcie ze składowej prawie stabilnej jedynego
projektywno-injektywnego modułu nazywamy stabilną częścią tej składowej.
Ogólnie, jeśli w składowej kołczanu Auslandera–Reiten poza modułami, które są projektywno-injektywne, znajdują się tylko moduły, które nie są ani
projektywne ani injektywne, to jej stabilną częścią jest kołczan powstały z
tej składowej przez usunięcie modułów projektywno-injektywnych. Wiadomo, że kołczan ΓA nie może zawierać stabilnej składowej postaci Z∆, gdzie
∆ jest kołczanem Dynkina lub Euklidesa. Ponadto stabilną częścią prawie
stabilnej składowej kołczanu ΓA nie może być kołczan Z∆, gdzie ∆ jest kołczanem Dynkina. Dowody tych faktów przedstawione zostały w dodatku,
opracowanym na podstawie publikacji [Bob1]. Znane są natomiast oswojone
algebry odwrócone, których składowa łącząca jest prawie stabilna. Za przykład mogą służyć pewne rodziny algebr z pracy [Pe2]. W tej sytuacji stabilna
7
Wstęp
część składowej łączącej jest postaci Z∆, gdzie ∆ jest kołczanem Euklidesa.
W rozdziale 3 podajemy pełną klasyfikację oswojonych algebr odwróconych,
których kołczan Auslandera–Reiten ma prawie stabilną składową łączącą.
Główny wynik rozdziału 3 stosujemy do opisu pewnych klas oswojonych
algebr samoinjektywnych. Algebrę A nazywamy samoinjektywną, jeśli każdy
A-moduł projektywny jest injektywny. Jest dobrze znanym faktem, że spójne
i nieproste algebry samoinjektywne są nieskończonego globalnego wymiaru.
Ważna klasa algebr samoinjektywnych jest utworzona przez algebry samob
b jest algebrą
injektywne typu Euklidesa, tzn. algebry postaci B/G,
gdzie B
powtórzoną (w sensie [HuWa]) algebry odwróconej B typu Euklidesa, zaś
b Okazuje się
G dopuszczalną grupą K-liniowych automorfizmów algebry B.
bowiem, co udowodnił Skowroński [Sk1], że oswojona algebra samoinjektywna A, w której kołczanie Auslandera–Reiten występuje tylko skończnie wiele
indeksowanych elementami prostej rzutowej P1 (K) rodzin składowych, których stabilne części są rurami, posiada jednospójne nakrycie Galois wtedy
i tylko wtedy, gdy A jest algebrą typu Euklidesa. W rozdziale 4 opisujemy wszystkie algebry samoinjektywne typu Euklidesa, które posiadają prawie stabilną składową skierowaną. W szczególności dowodzimy, że wszystkie
składowe skierowane kołczanu Auslandera–Reiten algebry samoinjektywnej
A typu Euklidesa są prawie stabilne wtedy i tylko wtedy, gdy algebra A jest
b
izomorficzna z algebrą postaci B/G,
gdzie B jest domowym rozszerzeniem tubularnym kanonicznej algebry ukrytej (w sensie [Ri2]). Stosujemy też wyniki
Skowrońskiego–Yamagaty [SkYa1] i [SkYa2] do sklasyfikowania oswojonych
algebr samoinjektywnych posiadających prawie stabilne uogólnione standardowe (w sensie [Sk3]) składowe skierowane. Jako konsekwencję otrzymujemy
pełny opis oswojonych algebr samoinjektywnych, które posiadają ugólnioną
standardową składową skierowaną, i dla których wszystkie skierowane składowe kołczanu Auslandera–Reiten są prawie stabilne.
Autor składa podziękowania Panu prof. dr hab. Andrzejowi Skowrońskiemu za liczne dyskusje i uwagi dotyczące przedstawianych w pracy zagadnień.
8
Rozdział 1
Wiadomości wstępne z teorii
reprezentacji algebr
W rozdziale tym przedstawimy podstawowe pojęcia oraz fakty z teorii reprezentacji skończenie wymiarowych algebr nad ciałem algebraicznie domkniętym wykorzystywane w pracy. Dokładniejszą prezentację poruszanych zagadnień można znaleźć w [AsSiSk], [AuReSm] i [Ri2]. Jako źródło niezbędnych
informacji z ogólnej teorii modułów polecamy [AnFu], zaś z algebry homologicznej [Ba].
1.1.
Algebry i moduły
Nasz krótki wstęp do teorii reprezentacji algebr rozpoczniemy od zaprezentowania podstawowych pojęć związanych z algebrami i modułami. Przez cała
pracę K będzie ustalonym ciałem algebraicznie domkniętym, zaś przez algebrę rozumieć będziemy skończenie wymiarową łączną K-algebrę z jedynką.
Jeśli A jest algebrą, to A-modułem nazywać będziemy skończenie wymiarowy lewy A-moduł. Kategorię A-modułów będziemy oznaczać przez mod A.
Pomiędzy kategoriami lewych i prawych A-modułów mamy standardową dualność D zdefiniowaną wzorem
D(M ) := HomK (M, K) dla A-modułu (lewego bądź prawego) M .
Niech M będzie niezerowym A-modułem. Moduł M będziemy nazywać
nierozkładalnym, jeśli dla każdego rozkładu M = X ⊕ Y na sumę prostą
A-modułów mamy X = 0 lub Y = 0. Pełną podkategorię kategorii mod A
utworzoną przez nierozkładalne A-moduły będziemy oznaczać przez ind A.
9
1.1. Algebry i moduły
Moduł M jest prosty, jeśli nie zawiera w sobie żadnego właściwego niezerowego podmodułu. Sumę wszystkich prostych podmodułów modułu M będziemy
nazywać cokołem soc M modułu M . Radykałem rad M modułu M nazwiemy
przekrój wszystkich jego maksymalnych podmodułów.
Niezerowy A-moduł P będziemy nazywać projektywnym, jeśli dla dowolnego epimorfizmu A-modułów f : M → N oraz homomorfizmu g : P → N
istnieje homomorfizm h : P → M taki, że g = f h. Jeśli M jest A-modułem,
to epimorfizm f : P → M będziemy nazywać nakryciem projektywnym, jeśli P jest modułem projektywnym oraz dowolny endomorfizm α : P → P
o własności f = f α jest automorfizmem. W powyższej sytuacji będziemy
często mówić o module P jako o projektywnym nakryciu modułu M , gdyż,
jak łatwo zauważyć, jest on wyznaczony jednoznacznie z dokładnością do
izomorfizmu. W kategorii mod A istnieją nakrycia projektywne.
Rezolwentą projektywną modułu M będziemy nazywać ciąg dokładny
f1
fi
g
· · · −→ Pi −→ Pi−1 −→ · · · −→ P1 −→ P0 −→ M −→ 0,
w którym moduły Pi , i ∈ N, są projektywne. Powyższa rezolwenta jest minimalna, jeśli wszytkie homomorfizmy fi : Pi → Im fi , i ∈ N+ , oraz homomorfizm g, są nakryciami projektywnymi. Jeśli powyższa rezolwenta jest
minimalna oraz istnieje liczba naturalna d taka, że Pd 6= 0 i Pd+1 = 0, to mówimy, że wymiar projektywny pdA M modułu M jest równy d. W przeciwym
wypadku jest on równy nieskończoność. Kres górny wymiarów projektywnych
wszystkich A-modułów nazywamy wymiarem globalnym gl. dim A algebry A.
Wykorzystamy teraz rezolwenty projektywne do zdefiniowania grup rozszerzeń oraz grup torsyjnych. Niech M będzie A-modułem oraz
fi
f1
g
· · · −→ Pi −→ Pi−1 −→ · · · −→ P1 −→ P0 −→ M −→ 0
jego minimalną rezolwentą projektywną. Niech ponadto f0 : P0 → 0 będzie odwzorowaniem zerowym. Jeśli n jest liczbą naturalną oraz N jest Amodułem, to n-tą grupą rozszerzeń ExtnA (M, N ) modułu M przez moduł N
będziemy nazywać grupę
Ker HomA (fn+1 , N )/ Im HomA (fn , N ).
Podobnie, jeśli L jest prawym A-modułem, to n-tą grupą torsyjną modułów
L i M , oznaczaną TorA
n (L, M ), nazywamy grupę
Ker(IdL ⊗A fn )/ Im(IdL ⊗A fn+1 ).
10
1.2. Kołczany
Nie jest zaskakującym fakt, że pdA M = d wtedy i tylko wtedy, gdy d
jest najmniejszą z liczb naturalnych k o własności Extk+1
A (M, N ) = 0 dla
wszystkich A-modułów N . Stąd wynika, że jeśli wymiar globalny algebry
A jest skończony, to jest on najmniejszą liczbą naturalną k o własności
Extk+1
A (M, N ) = 0 dla wszystkich A-modułów M i N . Zauważmy jeszcze,
że Ext0A (M, N ) ' HomA (M, N ) oraz TorA
0 (L, M ) ' L ⊗A M dla wszystkich
A-modułów M i N oraz dowolnego prawego A-modułu L.
Pojęciem dualnym do projektywności jest injektywność. Niezerowy Amoduł I jest injektywny, jeśli dla dowolnego monomorfizmu A-modułów
f : M → N oraz homomorfizmu g : M → I istnieje homomorfizm h : N → I
taki, że g = hf . Definiujemy także powłokę injektywną A-modułu M jako
monomorfizm f : M → I taki, że I jest modułem injektywnym oraz dowolny
endomorfizm α : I → I o własności f = αf jest automorfizmem. Ponownie
w kategorii mod A istnieją powłoki injektywne. Analogicznie jak rezolwenty
projektywne możemy zdefiniować także rezolwenty injektywne i minimalne
rezolwenty injektywne oraz wykorzystać je do zdefiniowania wymiaru injektywnego idA M modułów M ∈ mod A. Ponadto wymiar globalny algebry może być równoważnie zdefiniowany jako kres górny wymiarów injektywnych Amodułów oraz przy pomocy rezolwent injektywnych można przedstawić inną
konstrukcję grup rozszerzeń. W szczególności wymiar injektywny A-modułu
M jest najmniejszą liczbą naturalną k o własności Extk+1
A (N, M ) = 0 dla
wszystkich A-modułów N .
Pierwsza grupa rozszerzeń ma dobrą interpretację w postaci ciągów dokładnych. Nie będziemy jej tutaj dokładnie omawiać, istotny dla nas będzie
fakt, że jeśli Ext1A (M, N ) 6= 0 dla pewnych A-modułów M i N , to istnieje
nierozszczepialny ciąg dokładny A-modułów postaci
0 −→ N −→ L −→ M −→ 0.
1.2.
Kołczany
Istotną rolę w teorii reprezentacji algebr odgrywa pojęcie kołczanu. Kołczanem będziemy nazywać układ Q = (Q0 , Q1 , s, e) taki, że Q0 i Q1 są zbiorami,
zaś s, e : Q1 → Q0 dwiema funkcjami. Elementy zbioru Q0 nazywamy wierzchołkami, zaś elementy zbioru Q1 strzałkami . Jeśli α ∈ Q1 jest strzałką, to
x := s(α) będziemy nazywać początkiem strzałki α, zaś y := e(α) jej końcem.
α
Przy powyższych oznaczeniach będziemy także pisać α : x → y lub x → y.
Zazwyczaj będziemy opuszczać funkcje s i e, i pisać Q = (Q0 , Q1 ). Kołczan
Q jest skończony, jeśli zbiory Q0 i Q1 są skończone.
11
1.2. Kołczany
Niech Q = (Q0 , Q1 ) będzie kołczanem. Drogą w kołczanie Q długości
l > 0 z wierzchołka x do wierzchołka y nazwiemy ciąg (y|αl , . . . , α1 |x) taki, że α1 , . . . , αl są strzałkami spełniającymi warunki e(αi ) = s(αi+1 ) dla
i = 1, . . . , l − 1 oraz s(α1 ) = x i e(αl ) = y. Ponadto dla każdego wierzchołka
x definiujemy drogę (x|x) długości 0. Drogę dodatniej długości z wierzchołka
x do wierzchołka x nazwiemy zorientowanym cyklem. Zorientowany cykl długości 1 (czyli strzałkę α o własności s(α) = e(α)) nazywamy pętlą. Kołczan
bez zorientowanych cykli nazywa się skierowany.
Jeśli dany jest skończony kołczan Q = (Q0 , Q1 ), to możemy zdefiniować
algebrę dróg kołczanu Q. Jeśli to przestrzeń K-liniowa, której bazę stanowią
wszystkie drogi w kołczanie Q, zaś mnożenie jest indukowane przez złożenie
dróg zdefiniowane wzorem
(z|βk , . . . , β1 |y)(y|αl , . . . , α1 |x) := (z|βk , . . . , β1 , αl , · · · , α1 |x)
dla dowolnych dróg (y|αl , . . . , α1 |x) i (z|βk , . . . , β1 |y). W przeciwnym wypadku złożenie dwóch dróg jest zerowe. Algebrę dróg kołczanu Q będziemy oznaczać przez KQ. Zauważmy, że algebra dróg kołczanu nie musi być skończenie
wymiarowa, ale skończoność kołczanu Q gwarantuje nam, że posiada ona jedynkę, która jest sumą wszystkich dróg długości 0. Ze względu na powyższe
mnożenie drogę (y|αl , . . . , α1 |x) będziemy też zapisywać jako αl · · · α1 .
Ideał I ⊆ KQ będziemy nazywać dopuszczalnym, jeśli wszystkie niezerowe elementy ideału I są kombinacjami liniowymi dróg długości co najmniej
2 oraz istnieje liczba naturalna n ≥ 2 taka, że wszystkie drogi kołczanu Q
długości co najmniej n należą do I. Układ (Q, I) złożony z kołczanu Q oraz
ideału dopuszczalnego I ⊆ KQ będziemy nazywać kołczanem ograniczonym
przez ideał I. Zauważmy, że jeśli (Q, I) jest kołczanem ograniczonym, to
algebra A := KQ/I jest skończenie wymiarowa i bazowa, tzn. algebra ilorazowa A/ rad A jest produktem skończonej ilości kopii ciała K. Zauważmy
przy tym, że rad A jest to przestrzeń liniowa rozpięta przez wszystkie drogi
dodatniej długości. Mamy także twierdzenie odwrotne (patrz [Ga2], a także
[Ga3]).
Twierdzenie 1.2.1 (Gabriel). Jeśli A jest algebrą bazową, to istnieje wyznaczony jednoznacznie kołczan Q oraz ideał dopuszczalny I ⊆ KQ taki, że
A ' KQ/I.
Kołczan, o którym mowa w twierdzeniu, będziemy nazywać kołczanem
algebry A oraz oznaczać przez QA . Od tego momentu zakładać będziemy, że
wszystkie rozważane algebry są bazowe.
12
1.2. Kołczany
Ciekawy jest związek między kołczanem algebry A i algebry przeciwnej
A . Przypomnijmy, że jeśli A jest algebrą, to algebra przeciwna Aop do A
jest to algebra określona na tej samej przestrzeni liniowej co A z działaniem
∗ danym wzorem a ∗ b := ba dla a, b ∈ A. Jeśli A ' KQ/I, Q = (Q0 , Q1 ),
op
op
to wtedy Aop ' KQop /I op , gdzie Qop := (Qop
0 , Q1 ), przy czym Q0 = Q0 ,
zaś dla każdej strzałki
αop : y → x w Qop .
P α op: x → opy w Q mamy strzałkę
Ponadto element i λi αi,1 · · · αi,li należy do I op wtedy i tylko wtedy, gdy
P
op
nazywamy kołczanem przeciwnym
i λi αi,li · · · αi,1 należy do I. Kołczan Q
do Q.
op
Powyższe twierdzenie pozwala nam utożsamić moduły z reprezentacjami
kołczanów. Niech (Q, I), gdzie Q = (Q0 , Q1 ), będzie kołczanem ograniczonym. Reprezentacją kołczanu (Q, I) nazywać będziemy układ (Vx , Vα )x∈Q0
α∈Q1
skończenie wymiarowych przestrzeni K-liniowych Vx , x ∈ Q0 , oraz przekształceń
że zachodzi rówP
P K-liniowych Vα : Vs(α) → Ve(α) , α ∈ Q1 , takich,
λ
α
=
0
dla
każdego
elementu
λ
V
·
·
·
V
ność
αi,1
i i i,li · · · αi,1 ideału
i i αi,li
I takiego, że e(αi,li ) = e(αj,lj ) i s(αi,1 ) = s(αj,1 ) dla wszystkich indeksów
i i j. Jeśli V = (Vx , Vα ) i W = (Wx , Wα ) są dwiema reprezentacjami kołczanu (Q, I), to morfizm f : V → W reprezentacji zadany jest przez układ
(fx )x∈Q0 przekształceń K-liniowych takich, że fx : Vx → Wx , x ∈ Q0 , oraz dla
każdej strzałki α ∈ Q1 mamy równość fe(α) Vα = Wα fs(α) . Kategorię wszystkich reprezentacji kołczanu (Q, I) oznaczać będziemy przez rep(Q, I). Jeśli
A := KQ/I i M jest A-modułem, to możemy z nim związać reprezentację
(Mx , Mα ) określoną wzorami
Mx := (x|x)M,
Mα v := αv,
dla x ∈ Q0 , α ∈ Q1 , v ∈ Ms(α) . Podobnie, każdej reprezentacji (Vx , Vα ) ∈
rep(Q, I)Lmożna przyporządkować A-moduł V zdefiniowany na przestrzeni
liniowej x∈Q0 Vx , w którym mnożenie przez elementy postaci (x|x), x ∈ Q0 ,
polega na wyliczaniu x-tej współrzędnej w powyższym rozkładzie na sumę prostą, mnożenie przez strzałki jest indukowane przez odwzorowania Vα ,
α ∈ Q1 , zaś mnożenie przez dowolny element algebry A jest naturalnym rozszerzeniem tego mnożenia. Powyższe wzory, wraz z analogicznymi wzorami
dla morfizmów, zadają równoważność kategorii mod A i rep(Q, I).
Opiszemy teraz kilka podstawowych klas A-modułów, gdzie A = KQ/I,
Q = (Q0 , Q1 ). Niech x ∈ Q0 . Definiujemy moduły Px := A(x|x) i Ix :=
D((x|x)A). Wtedy moduły Py , y ∈ Q0 , tworzą pełny układ parami nieizomorficznych nierozkładalnych projektywnych A-modułów, zaś moduły Iy ,
y ∈ Q0 , pełnią tę samą rolę wśród nierozkładalnych A-modułów injektywnych. Ponadto, jeśli Sx := Px / rad Px = soc Ix , to moduły Sy , y ∈ Q0 , tworzą
13
1.2. Kołczany
pełny układ parami nieizomorficznych prostych A-modułów. Można udowodnić, że w opisanej sytuacji reprezentacja (Ey , Eα ) odpowiadająca modułowi
Sx opisana jest wzorami
Ey = δx,y K,
Eα = 0,
dla y ∈ Q0 , α ∈ Q1 . Ponadto Px jest nakryciem projektywnym modułu Sx ,
zaś Ix jego powłoką injektywną.
Na zakończenie tego paragrafu wprowadzimy jeszcze użyteczne słownictwo związane z kołczanami. Przede wszystkim, jeśli x i y są takimi wierzchołkami kołczanu Q, że w Q istnieje droga z x do y, to x nazywamy poprzednikiem wierzchołka y, zaś y następnikiem wierzchołka x. W sytuacji, gdy wierzchołki x i y są połączone strzałką o początku x i końcu y, to x nazywamy
bezpośrednim poprzednikiem wierzchołka y, zaś y bezpośrednim następnikiem
wierzchołka x. Zbiór wszystkich bezpośrednich poprzedników wierzchołka z
będziemy oznaczać przez z − , zaś zbiór wszystkich jego bezpośrednich następników przez z + . Wierzchołek z jest źródłem w Q, jeśli z − = ∅, oraz jest
ujściem w Q, gdy z + = ∅. Bezpośredni poprzednicy i bezpośredni następnicy
wierzchołka z są nazywani jego sąsiadami . Kołczan Q jest lokalnie skończony, jeśli każdy jego wierzchołek ma skończoną liczbę sąsiadów. Kołczan Q jest
spójny, jeśli dla dowolnych jego wierzchołków x i y, istnieje ciąg wierzchołków z0 = x, z1 , . . . , zl−1 , zl = y taki, że zi−1 jest sąsiadem wierzchołka zi dla
i = 1, . . . , l. Każdy kołczan Q można w jednoznaczny sposób przedstawić w
(i)
(i)
postaci rozłącznej sumy spójnych kołczanów Q(i) = (Q0 , Q1 ), i = 1, . . . , t,
(1)
(t)
(1)
(t)
(i)
(j)
(i)
(j)
tzn. Q0 = Q0 ∪· · ·∪Q0 , Q1 = Q1 ∪· · ·∪Q1 , Q0 ∩Q0 = ∅, Q1 ∩Q1 = ∅,
i 6= j. Kołczany Q(i) , i = 1, . . . , t, nazywamy składowymi kołczanu Q.
Niech Q = (Q0 , Q1 , s, e) i Q0 = (Q00 , Q01 , s0 , e0 ) będą dwoma kołczanami. Będziemy mówić, że Q0 jest podkołczanem kołczanu Q, jeśli Q00 ⊆ Q0 ,
Q01 ⊆ Q1 , oraz s0 (α) = s(α) i e0 (α) = e(α) dla wszystkich α ∈ Q01 . Zauważmy, że składowe kołczanu są jego podkołczanami w myśl powyższej definicji.
Podkołczan Q0 jest wypukły, jeśli dla każdej drogi (y|αl , . . . , α1 |x) o własności
x, y ∈ Q00 , mamy αi ∈ Q01 , i = 1, . . . , l. Zauważmy, że warunek ten implikuje,
iż s(αi ), e(αi ) ∈ Q01 , i = 1, . . . , l. Podkołczan Q0 jest pełny, jeśli
Q01 = {α ∈ Q1 | s(α), e(α) ∈ Q00 }.
Oczywistym jest, że każdy podkołczan wypukły jest też pełnym podkołczanem.
Pojęcie wypukłości podkołczanu oraz twierdzenie Gabriela 1.2.1 pozwalają nam zdefiniować pojęcie podalgebry wypukłej. Algebra B jest wypukłą
podalgebrą algebry A = KQ/I, jeśli B = KQ0 /I 0 dla pewnego wypukłego
14
1.3. Kołczany z translacją
podkołczanu Q0 kołczanu Q i I 0 := I ∩KQ0 . Zauważmy, że gdy B jest wypukłą
podalgebrą algebry A, to dzięki utożsamieniu modułów z reprezentacjami
każdy B-moduł jest w naturalny sposób A-modułem, zaś dla każdego Amodułu M mamy zdefiniowane obcięcie M |B modułu M do algebry B.
1.3.
Kołczany z translacją
Układ Γ = (Γ0 , Γ1 , τ ) nazwiemy kołczanem z translacją, jeśli (Γ0 , Γ1 ) jest
lokalnie skończonym kołczanem bez pętli, zaś τ : Γ00 → Γ0 funkcją różnowartościową taką, że Γ00 ⊆ Γ0 oraz dla każdego z ∈ Γ00 i y ∈ Γ0 ilość strzałek z
y do z jest równa ilości strzałek z τ z do y (w szczególności (τ z)+ = z − ,
co jest wystarczające, gdy w kołczanie Γ dowolne dwa wierzchołki łączy
co najwyżej jedna strzałka). Jeśli ponadto z − 6= ∅ dla każdego z ∈ Γ00 , to
kołczan Γ nazwiemy właściwym. Funkcję τ będziemy nazywać translacją.
Wierzchołki kołczanu Γ0 , które nie należą do Γ00 , nazwiemy projektywnymi,
zaś wierzchołki, które nie należą do τ (Γ00 ), injektywnymi . Każdy zbiór postaci
{τ k x | k ∈ Z} dla pewnego x ∈ Γ0 tworzy τ -orbitą. τ -orbitę bez wierzchołków
projektywnych i injektywnych nazywamy stabilną. Kołczan, którego wszystkie τ -orbity są stabilne (tzn. taki, dla którego Γ00 = Γ0 i τ jest bijekcją)
nazywa się stabilny.
Niech Γ = (Γ0 , Γ1 , τ ) i Γ0 = (Γ00 , Γ01 , τ 0 ) będą dwoma kołczanami z translacją. Kołczan Γ0 jest pełnym podkołczanem z translacją kołczanu Γ, jeśli
(Γ00 , Γ01 ) jest pełnym podkołczanem kołczanu (Γ0 , Γ1 ) oraz τ 0 x = y wtedy i
tylko wtedy, gdy x, y ∈ Γ00 oraz τ x = y. Właściwy i skierowany kołczan z
translacją Γ nazwiemy preprojektywnym, jeśli ma on skończenie wiele τ -orbit,
z których każda zawiera wierzchołek projektywny. Jeśli Γ0 jest składową kołczanu z translacją Γ, która jest preprojektywna, to wierzchołki kołczanu Γ0
będziemy nazywać preprojektywnymi . Dualnie definiujemy kołczan preinjektywny i wierzchołki preinjektywne.
Niech Q = (Q0 , Q1 ) będzie lokalnie skończonym kołczanem. Zdefiniujemy
stabilny kołczan z translacją ZQ następująco. Zbiorem wierzchołków (ZQ)0
kołczanu ZQ jest zbiór Z × Q0 , zaś dla każdej strzałki α : x → y w Q i każdej
liczby n ∈ Z, mamy strzałki (n, α) : (n, x) → (n, y) i (n, α)0 : (n − 1, y) →
(n, x) w ZQ. Ponadto definiujemy translację τ : Z × Q0 → Z × Q0 wzorem
τ (n, x) := (n − 1, x)
dla n ∈ Z, x ∈ Q0 . Jeśli I ⊆ Z, to przez IQ oznaczamy pełny podkołczan z
translacją kołczanu ZQ o zbiorze wierzchołków I × Q0 .
15
1.3. Kołczany z translacją
Ustalmy liczbę naturalną k > 0 oraz lokalnie skończony kołczan Q =
(Q0 , Q1 ). W zbiorze Z × Q0 wprowadzamy relację równoważności ∼ wzorem
(n, x) ∼ (m, y) wtedy i tylko wtedy, gdy x = y i k | m − n.
Podobnie definiujemy relację równoważności w zbiorze strzałek kołczanu ZQ.
Otrzymany w ten sposób kołczan ilorazowy, wraz z translacją pochodzącą od
τ , oznaczać będziemy przez ZQ/(τ k ). Niech A∞ będzie kołczanem o zbiorze
wierzchołków N+ i strzałek z n do n + 1 dla każdego n ∈ N+ . Kołczan
ZA∞ /(τ k ) nazwiemy stabilną rurą rangi k. Stabilne rury rangi 1 nazywamy
jednorodnymi. Zbiór wierzchołków stabilnej rury postaci [(n, r)]∼ , n ∈ Z,
nazywać będziemy poziomem r, r > 0.
Niech Γ = (Γ0 , Γ1 , τ ) będzie kołczanem z translacją. Drogę
x0 −→ x1 −→ · · · −→ xl
nazwiemy sekcyjną, jeśli xi 6= τ xi+2 dla i = 0, . . . , l−2. Podobnie definiujemy
nieskończone drogi sekcyjne. Niech x będzie wierzchołkiem kołczanu Γ. Definiujemy pełne podkołczany x→ i x← (bez translacji) kołczanu Γ o zbiorach
wierzchołków danych wzorami
(x→ )0 := {y ∈ Γ0 | istnieje droga z x do y
i każda droga z x do y jest sekcyjna},
←
(x )0 := {y ∈ Γ0 | istnieje droga z y do x
i każda droga z y do x jest sekcyjna}.
W pewnych przypadkach kołczany x→ i x← będą stanowić przykłady przekrojów. Załóżmy, że kołczan Γ jest spójny. Spójny, wypukły, skierowany i
pełny podkołczan (bez translacji) Σ kołczanu Γ będziemy nazywać przekrojem wtedy i tylko wtedy, gdy część wspólna jego zbioru wierzchołków z każdą
τ -orbitą w Γ jest jednoelementowa.
Niech Γ = (Γ0 , Γ1 , τ ) będzie kołczanem z translacją. Funkcję f : Γ0 → Z
nazywamy addytywną na Γ, jeśli
X
f (x) + f (τ x) =
f (s(α))
α∈Γ1 ,e(α)=x
lub równoważnie
X
f (x) + f (τ x) =
α∈Γ1 ,s(α)=τ x
16
f (e(α))
1.4. Kołczan Auslandera–Reiten
dla wszystkich nieprojektywnych wierzchołków x ∈ Γ0 . Założmy dodatkowo, że kołczan Γ jest skierowany, spójny i posiada skończoną liczbę τ -orbit.
Dla każdego wierzchołka x kołczanu Γ oznaczmy przez Γ(x) pełny podkoł(x)
czan z translacją kołczanu Γ, którego zbiorem wierzchołków Γ0 jest zbiór
wszystkich następników wierzchołka x. Przez dΓ oznaczać będziemy funkcję
dΓ : Γ0 × Γ0 → Z spełniającą warunki:
(1) dΓ (x, y) = 0, jeśli nie istnieje droga z x do y;
(2) dΓ (x, x) = 1;
(3) jeśli x ∈ Γ0 , y 6= x jest wierzchołkiem projektywnym w Γ(x) , to
X
dΓ (x, y) =
dΓ (x, s(α));
α∈Γ1 ,e(α)=y
(4) funkcja dΓ (x, −)|Γ(x) jest addytywna na Γ(x) dla dowolnego x ∈ Γ0 .
0
Można pokazać, że funkcja dΓ istnieje i jest wyznaczona jednoznacznie przez
powyższe warunki.
1.4.
Kołczan Auslandera–Reiten
Ustalmy algebrę A. Niech X będzie nierozkładalnym A-modułem. Homomorfizm f : X → Y nazwiemy minimalnym lewym prawie rozszczepialnym
odwzorowaniem, jeśli
(1) f nie jest rozszczepialnym monomorfizmem;
(2) dla każdego homomorfizmu g : X → M , który nie jest nierozszczepialnym monomorfizmem, istnieje homomorfizm h : Y → M taki, że g = hf ;
(3) jeśli endomorfizm α : Y → Y spełnia warunek αf = f , to α jest
automorfizmem.
Analogicznie definiujemy minimalne prawe prawie rozszczepialne odwzorowania. Zauważmy, że minimalne prawie rozszczepialne odwzorowania są wyznaczone jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu. Jeśli moduł P jest
nierozkładalnym modułem projektywnym, to włożenie rad P → P jest minimalnym prawym prawie rozszczepialnym odwzorowaniem. Jeśli nierozkładalny moduł Z nie jest projektywny, to także istnieje minimalne prawe prawie
rozszczepialne odwzorowanie g : Y → Z i jest ono epimorfizmem. Ponadto
wtedy moduł Ker g jest nierozkładalny i włożenie Ker g → Y jest minimalnym lewym prawie rozszczepialnym odwzorowaniem. W powyższej sytuacji
17
1.4. Kołczan Auslandera–Reiten
piszemy Ker g = τA Z. Podobnie, gdy I jest nierozkładalnym modułem injektywnym, to odwzorowanie ilorazowe I → I/ soc I jest minimalnym lewym prawie rozszczepialnym odwzorowaniem. Dla nierozkładalnych modułów nieinjektywnych X minimalne lewe prawie rozszczepialne odwzorowania
f : X → Y są monomorfizmami takimi, że kanoniczne surjekcje Y → Y / Im f
są minimalne prawe prawie rozszczepialne. Piszemy Y / Im f = τA− X. Zauważmy, że gdy nierozkładalny A-moduł Z nie jest projektywny, to τA Z nie jest
injektywny i τA− (τA Z) ' Z. Podobnie τA (τA− X) ' X dla nierozkładalnego
nieinjektywnego A-modułu X. „Funkcje” τA i τA− nazywamy translacjami
Auslandera–Reiten.
Translacje Auslandera–Reiten znajdują zastosowanie przy liczeniu grup
rozszerzeń. Niech M i N będą A-modułami. Przez HomA (M, N ) oznaczać
będziemy przestrzeń HomA (M, N ) podzieloną przez podprzestrzeń utworzoną przez wszystkie homomorfizmy f : M → N , dla których istnieją moduł
projektywny P oraz homomorfizmy g : M → P i h : P → N takie, że f = hg
(tzn. homomorfizmy faktoryzujące się przez moduły projektywne). Podobnie HomA (M, N ) jest ilorazem przestrzeni HomA (M, N ) przez podprzestrzeń
homomorfizmów, które faktoryzują się przez moduły injektywne. Dla dowolnych nierozkładalnych A-modułów X i Y mamy wzory, zwane wzorami
Auslandera–Reiten [AuRe]
Ext1A (X, Y ) ' D HomA (τA− Y, X) ' D HomA (Y, τA X),
przy czym w powyższych wzorach stosujemy umowę, że τA X = 0, gdy X jest
projektywny, oraz τA− Y = 0, jeśli Y jest injektywny.
Innym zastosowaniem translacji Auslandera–Reiten jest liczenie wymiarów homologicznych modułów. Dokładniej, jeśli X jest nierozkładalnym Amodułem, to pdA X > 1 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje moduł injektywny I o własności HomA (I, τA X) 6= 0 (równoważnie możemy napisać
HomA (D(A), τA X) 6= 0). Analogicznie idA X > 1 jeśli HomA (τA− X, A) 6= 0
(tzn. istnieje moduł projektywny P o własności HomA (τA− X, P ) 6= 0). Zauważmy, że konsekwencją tych faktów jest prostsza postać wzorów Auslandera–Reiten dla modułów, których projektywny bądź injektywny wymiar nie
przekracza 1. Mamy mianowicie wzory Ext1A (X, Y ) ' D HomA (τA− Y, X) jeśli
idA Y ≤ 1 i Ext1A (X, Y ) ' D HomA (Y, τA X) jeśli pdA X ≤ 1.
Ciąg dokładny A-modułów
f
g
0 −→ X −→ Y −→ Z −→ 0
nazwiemy ciągiem Auslandera–Reiten, jeśli moduły X i Z są nierozkładalne,
zaś f i g są minimalnymi, odpowiednio lewym i prawym, odwzorowaniami
18
1.5. Grupa Grothendiecka i forma Eulera
prawie rozszczepialnymi. Zauważmy, że z powyższych rozważań wynika, że
moduł X nie może być injektywny, moduł Z nie może być projektywny, oraz
X ' τA Z i Z ' τA− X.
Powyższe pojęcia pozwolą nam zdefiniować pojęcie kołczanu Auslandera–
Reiten algebry A, który będziemy oznaczać przez ΓA . Jest to kołczan z
translacją, którego zbiorem wierzchołków jest zbiór klas izomorfizmów nierozkładalnych A-modułów, które będziemy także identyfikować z samymi
modułami. Jeśli X i Y są dwoma nierozkładalnymi A-modułami, X → M
jest minimalnym lewym prawie rozszczepialnym odwzorowaniem, N → Y
jest minimalnym prawym prawie rozszczepialnym odwzorowaniem, to ilość
strzałek z X do Y w ΓA jest równa krotności modułu Y w M lub, równoważnie, modułu X w N . Translacja w kołczanie ΓA jest indukowana przez
τA . Dzięki utożsamieniu nierozkładalnych A-modułów z wierzchołkami kołczanu ΓA możemy mówić o nierozkładalnych modułach preprojektywnych i
preinjektywnych. Ogólnie, moduł będziemy nazywać preprojektywnym, gdy
jest sumą prostą nierozkładalnych modułów preprojektywnych, zaś preinjektywnym, gdy jest sumą prostą nierozkładalnych modułów preinjektywnych.
Jeśli C jest składową skierowaną kołczanu Auslandera–Reiten o skończonej
liczbie τA -orbit, to będziemy mówić, że składowa C jest standardowa, jeśli mamy równość dimK HomA (X, Y ) = dC (X, Y ) dla wszystkich nierozkładalnych
A-modułów X i Y należących do C. Przypomnijmy, że funkcja dC została
zdefiniowana w paragrafie 1.3.
1.5.
Grupa Grothendiecka i forma Eulera
Niech A = KQ/I będzie algebrą, gdzie Q = (Q0 , Q1 ) jest jej kołczanem.
Definiujemy grupę Grothendiecka K0 (A) kategorii mod A jako ZQ0 . Elementy grupy K0 (A) będziemy nazywać wektorami. W grupie K0 (A) możemy
wprowadzić porządek. Jeśli x, y ∈ K0 (A), to x ≤ y wtedy i tylko wtedy,
gdy x(x) ≤ y(x) dla każdego x ∈ Q0 . Możemy także mówić o nierównościach ostrych. W szczególności w K0 (A) mamy wektory dodatnie określone
przez warunek x > 0. Dla każdego A-modułu M definiujemy wektor wymiaru
dim M ∈ K0 (A) wzorem
dim M (x) := dimK (x|x)M
dla x ∈ Q0 . Wektory wymiaru mają dobrą interpretację. Okazuje się bowiem,
że
dim M (x) = dimK HomA (Px , M ) = dimK HomA (M, Ix )
19
1.5. Grupa Grothendiecka i forma Eulera
dla x ∈ Q0 . Warto dodać, że wzory zadające równoważność kategorii mod A
i rep(Q, I) implikują, iż jeśli 0 → N → L → M → 0 jest ciągiem dokładnym
A-modułów, to dim L = dim M + dim N .
Wektor x ∈ K0 (A) jest spójny, jeśli jego nośnik supp x := {x ∈ Q0 |
x(x) 6= 0} jest spójny. (Dokładniej, pełny podkołczan kołczanu Q generowany
przez supp x jest spójny. Często pisząc supp x będziemy mieli na myśli ten
kołczan.) Nośnik wektora wymiaru modułu M będziemy nazywać nośnikiem
supp M modułu M . Zauważmy, że jeśli B = KQ0 /I 0 jest wypukłą podalgebrą
algebry A, to kategorię mod B możemy utożsamiać z pełną podkategorią
kategorii mod A utworzoną przez A-moduły o nośniku zawartym w Q0 . Jeśli
C jest składową kołczanu Auslandera–Reiten algebry A, to będziemy także
mówić o nośniku supp C tej składowej, który jest zdefiniowany wzorem
[
supp C :=
supp X .
X ∈C
Zauważmy, że jeśli M i N są dwoma A-modułami o własności supp M ∩
supp N = ∅, to HomA (M, N ) = 0. Wektor x jest wierny, gdy supp x = Q.
Podobnie definiujemy wierne A-moduły. Wyróżnimy pewne wektory wymiaru. Określamy px := dim Px , qx := dim Ix i ex := dim Sx dla x ∈ Q0 . Mamy
wtedy wzory ex (y) = δx,y dla x, y ∈ Q0 .
Definiujemy macierz Cartana CA algebry A jako Q0 × Q0 -macierz określoną warunkiem
CA (x, y) := dimK HomA (Px , Py ) = dimK HomA (Ix , Iy ).
Jeśli macierz CA jest odwracalna (tak jest na przykład, gdy algebra A jest
trójkątna, tzn. kołczan Q jest skierowany), to możemy zdefiniować dwuliniową formę h−, −iA na K0 (A) wzorem
hx, yiA := x(CA−1 )T yT
dla x, y ∈ K0 (A). Ringel pokazał (patrz [Ri2]), że forma ta ma następującą
interpretację homologiczną. Jeśli M i N są A-modułami takimi, że pdA M <
∞ lub idA N < ∞, to
hdim M, dim N iA =
∞
X
(−1)i dimK ExtkA (M, N ).
k=0
Formę kwadratową χA daną wzorem
χA (x) := hx, xiA
20
dla x ∈ K0 (A) nazwiemy formą Eulera algebry A. Będziemy także korzystać
z symetrycznej formy dwuliniowej (−, −)A zdefiniowanej warunkiem
(x, y)A := hx, yiA + hy, xiA
dla x, y ∈ K0 (A).
W przypadku, gdy algebra A jest trójkątna oraz gl. dim A ≤ 2, to, jak
pokazał Bongartz [Bon2], forma h−, −iA ma opis kombinatoryczny. Niech x
i y będą wierzchołkami kołczanu Q. Definiujemy I(x, y) jako przekrój ideału
I z przestrzenią liniową generowaną przez wszystkie drogi z x do y. Określamy I0 jako podzbiór zbioru ∪a,b∈Q0 I(a, b) generujący ideał I o najmniejszej
możliwej ilości elementów. Niech r(x, y) := |I0 ∩ I(x, y)|. Przy powyższych
założeniach i oznaczeniach mamy równość
X
X
X
hx, yiA =
x(a)y(a) −
x(s(α))y(e(α)) +
r(a, b)x(a)y(b).
a∈Q0
α∈Q1
a,b∈Q0
Mówimy, że forma χA kontroluje kategorię mod A, jeśli spełnione są następujące warunki:
(1) χA (dim X) ∈ {0, 1} dla każdego nierozkładalnego A-modułu X;
(2) dla każdego spójnego dodatniego wektora x ∈ K0 (A) takiego, że
χA (x) = 1, istnieje dokładnie jeden (z dokładnością do izomorfizmu) nierozkładalny A-moduł X taki, że dim X = x;
(3) dla każdego spójnego dodatniego wektora x ∈ K0 (A) takiego, że
χA (x) = 0, istnieje nieskończenie wiele parami nieizomorficznych A-modułów
Xλ , λ ∈ K, takich, że dim Xλ = x.
Spójne i dodatnie wektory x ∈ K0 (A) o własności χA (x) = 1 będziemy nazywać pierwiastkami formy χA , podczas gdy te, dla których χA (x) = 0, nazwiemy 0-pierwiastkami. Będziemy mówić, że forma χA jest dodatnio określona
wtedy i tylko wtedy, gdy χA (x) > 0 dla wszystkich x ∈ K0 (A), x 6= 0. Jeśli w
powyższym warunku dopuścimy nierówność nieostrą, tzn. jeśli χA (x) ≥ 0 dla
x ∈ K0 (A), to formę χA nazywamy dodatnio półokreśloną. Ograniczając się
do badania powyższych nierówności tylko dla wektorów dodatnich dostajemy
pojęcia słabej dodatniości i słabej nieujemności formy χA .
1.6.
Typ reprezentacyjny algebr
Niech A będzie algebrą. Będziemy mówić, że A jest skończonego typu reprezentacyjnego, jeśli w mod A jest skończenie wiele parami nieizomorficznych
21
nierozkładalnych modułów. O algebrach, które nie są skończonego typu reprezentacyjnego, będziemy mówić, że są nieskończonego typu reprezentacyjnego.
Powiemy, że A jest oswojonego typu reprezentacyjnego, gdy dla każdej liczby naturalnej dodatniej d istnieją A-K[X]-bimoduły M1 , . . . , Mn , które są
wolne skończonej rangi jako prawe K[X]-moduły oraz prawie wszystkie, z
dokładnością do izomorfizmu, d-wymiarowe nierozkładalne A-moduły można przedstawić w postaci Mi ⊗K[X] K[X]/(X − λ) dla pewnego λ ∈ K i
i ∈ {1, . . . , n}. Przypomnijmy, że K[X] oznacza pierścień wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach w K. Najmniejszą z liczb naturalnych n o
powyższej własności będziemy oznaczać przez µA (d). Jeśli istnieje liczba naturalna m taka, że µA (d) ≤ m dla wszystkich d ∈ N+ , to mówimy, że algebra
A jest algebrą co najwyżej m-parametryczną. Jeśli A jest algebrą co najwyżej
m-parametryczną, ale nie jest algebrą co najwyżej (m − 1)-parametryczną,
to mówimy, że A jest algebrą m-parametryczną. O wszystkich algebrach mparametrycznych, m ∈ N, będziemy mówić, że są algebrami domowego typu
reprezentacyjnego, lub krócej algebrami domowymi . O algebrze, która nie
jest oswojonego typu reprezentacyjnego będziemy mówić, że jest dzikiego typu reprezentacyjnego. Czasami w celu skrócenia zapisu będziemy też mówić o
algebrach dzikich i oswojonych. Zauważmy, że algebry skończonego typu reprezentacyjnego są algebrami 0-parametrycznymi, a więc są algebrami oswojonego typu.
Problem typu reprezentacyjnego jest w pełni opisany dla algebr dziedzicznych. Algebra A jest dziedziczna, jeśli gl. dim A ≤ 1. Równoważnie można
powiedzieć, że ma to miejsce, gdy A ' KQ dla pewnego skończonego kołczanu Q bez zorientowanych cykli. Mamy następujące twierdzenia (patrz [Ga1],
[DonFr], [Na]).
Twierdzenie 1.6.1 (Gabriel). Jeśli Q jest skończonym i spójnym kołczanem bez zorientowanych cykli, zaś A := KQ, to następujące warunki są
równoważne:
(a) algebra A jest skończonego typu reprezentacyjnego;
(b) forma χA jest dodatnio określona;
(c) Q jest kołczanem Dynkina.
Twierdzenie 1.6.2 (Donovan–Freislich, Nazarowa). Dla skończonego i spójnego kołczanu Q bez zorientowanych cykli takiego, że algebra A :=
KQ jest nieskończonego typu reprezentacyjnego, następujące warunki są równoważne:
(a) algebra A jest oswojonego typu reprezentacyjnego;
22
(b) forma χA jest dodatnio półokreślona;
(c) Q jest kołczanem Euklidesa.
W przypadku obu twierdzeń forma χA kontroluje kategorię mod A.
Poniżej przedstawiamy listę grafów Dynkina i Euklidesa. Odpowiednie
kołczany powstają z nich przez zorientowanie krawędzi, przy czym w przye n trzeba zadbać, aby nie powstał zorientowany cykl.
padku grafu A
An : r
r
r
p p p
r
r
Grafy Dynkina
r n wierzcho‘lk‘ow, n ≥ 1
r
@
@
@
Dm :
r
p p p
r
r m wierzcho‘lk‘ow, m ≥ 4
r
E6 : r
r
r
r
r
r
E7 : r
r
r
r
r
r
r
E8 : r
r
r
r
r
r
r
r
p p p
r
Grafy Euklidesa
r
r
@
@
@
en : r
A
r (n + 1) wierzcho‘lk‘ow, n ≥ 1
@
r
@
@
r
r
p p p
r
r
r
r
p p p
r
r
r
@
@
@
em :
D
(m + 1) wierzcho‘lk‘ow, m ≥ 4
@
@
r
@
23
r
r
r
e6 : r
E
r
r
r
r
r
e7 : r
E
r
r
r
r
r
r
r
e8 : r
E
r
r
r
r
r
r
r
Ze względu na powyższe twierdzenia spójne i skierowane kołczany, które
nie są ani kołczanami Dynkina ani Euklidesa, będziemy nazywać dzikimi .
Opiszemy teraz postać kołczanu ΓA algebry A := KQ, jeśli Q jest kołczanem Dynkina bądź Euklidesa. W sytuacji, gdy Q jest kołczanem Dynkina, to
kołczan ΓA ma tylko jedną skończoną, skierowaną i standardową składową,
jest więc jednocześnie preprojektywny i preinjektywny.
Załóżmy teraz, że Q jest kołczanem Euklidesa. Wtedy ΓA składa się ze
składowej preprojektywnej P, rodziny T = (Tλ )λ∈P∞ (K) stabilnych rur, gdzie
P1 (K) := K ∪ {∞}, oraz składowej preinjektywnej Q. Składowa preprojektywna ma postać NQ i zawiera wszystkie nierozkładalne moduły projektywne, składowa preinjektywna ma postać (−N)Q i znajdują się w niej wszystkie
nierozkładalne moduły injektywne. Ponadto obie składowe są standardowe.
Wszystkie rury Tλ , λ ∈ P1 (K), są stabilne i prawie wszystkie są jednorodne.
Istnieje dodatni wektor h ∈ K0 (A) taki, że jeśli χA (x) = 0 dla pewnego dodatniego wektora x, to x jest postaci ph dla pewnego p ∈ N+ . Wektor h jest
wierny oraz nierozkładalny A-moduł ma wektor wymiaru równy ph, p ∈ N+ ,
wtedy i tylko wtedy, gdy znajduje się w pewnej rurze Tλ na poziomie rp, gdzie
r jest rangą rury Tλ . Wynika z tego, że algebra A jest algebrą co najmniej
1-parametryczną. W istocie jest ona 1-parametryczna. Rodzina rur T separuje składowe P i Q, tzn. dla każdego homomorfizmu f : X → Y takiego,
że X ∈ P i Y ∈ Q, oraz dla dowolnego λ ∈ P1 (K), istnieją moduł H ∈ Tλ
oraz homomorfizmy g : X → H i h : H → Y takie, że f = gh. Z własności
tej wynika, że jeśli przy powyższych oznaczeniach f 6= 0, to dla każdego nierozkładalnego A-modułu H o wektorze wymiaru postaci ph, p ∈ N+ , mamy
HomA (X, H) 6= 0 i HomA (H, Y ) 6= 0. Mamy ponadto równości
HomA (H, X) = 0,
HomA (Y, X) = 0,
HomA (Y, H) = 0,
dla dowolnych X ∈ P, H ∈ T , Y ∈ Q, oraz HomA (H1 , H2 ) = 0 dla H1 ∈ Tλ ,
24
1.7. Rozszerzenia jednopunktowe algebr
H2 ∈ Tµ , λ 6= µ.
1.7.
Rozszerzenia jednopunktowe algebr
Niech A będzie algebrą, zaś R A-modułem. Jednopunktowym rozszerzeniem
A[R] algebry A przez moduł R nazywamy algebrę postaci
na r o
A R
A[R] :=
:=
a ∈ A, r ∈ R, λ ∈ K .
0 K
0 λ
Algebra A jest w powyższej sytuacji wypukłą podalgebrą algebry A[R], kołczan algebry A[R] powstaje przez dodanie do kołczanu algebry A jednego
wierzchołka ω, będącego źródłem, przy czym rad Pω = R oraz Iω = Sω . Z
drugiej strony, gdy B jest algebrą, zaś wierzchołek x jest źródłem w QB ,
to B = C[rad Px ], gdzie C jest wypukłą podalgebrą algebry B o kołczanie
powstającym z QB przez usunięcie wierzchołka x i wszystkich wychodzących
z niego strzałek.
Kategorię A[R]-modułów możemy utożsamić z kategorią trójek postaci (V0 , Vω , γV ), gdzie V0 jest A-modułem, Vω przestrzenią liniową, zaś γV :
Vω → HomA (R, V0 ) przekształceniem liniowym. Jeśli V = (V0 , Vω , γV ) i
W = (W0 , Wω , γW ) są dwoma obiektami tej kategorii, to morfizm f : V → W
jest dany przez parę f = (f0 , fω ), gdzie f0 : V0 → W0 jest homomorfizmem
A-modułów, zaś fω : Vω → Wω jest przekształceniem liniowym, przy czym
HomA (R, f0 )γV = γW fω .
Trójce (V0 , Vω , γV ) odpowiada A[R]-moduł określony na przestrzeni liniowej
V0 ⊕ Vω wzorem
a r m
am + [γV (v)](r)
:=
0 λ v
λv
dla a ∈ A, r ∈ R, λ ∈ K, m ∈ V0 , v ∈ Vω . Ponadto z opisu tego wynika, że
jeśli M jest A-modułem, który możemy identyfikować z trójką (M, 0, 0), zaś
N jest A[R]-modułem, to
HomA[R] (M, N ) = HomA (M, N |A ),
oraz jeśli HomA (N |A , M ) = 0, to HomA[R] (N, M ) = 0.
Korzystając z powyższego utożsamienia możemy opisać ciągi Auslandera–
Reiten w mod A[R] o końcach w A-modułach, zwane ciągami podniesionymi
[Ri2, (2.5)]. Jeśli
f
g
0 −→ X −→ Y −→ Z −→ 0
25
1.7. Rozszerzenia jednopunktowe algebr
jest ciągiem Auslandera–Reiten w mod A, to
(f,| IdX |)
(g,0)
0 −→ (X, |X|, | IdX |) −→ (Y, |X|, |f |) −→ (Z, 0, 0) −→ 0
jest ciągiem Auslandera–Reiten w mod A[R], gdzie | − | := HomA (R, −) jest
funktorem z kategorii mod A do kategorii przestrzeni wektorowych.
Funktor HomA (R, −) pozwoli nam także sformułować kryterium, które będzie użyteczne przy badaniu, kiedy kategoria ind A jest koskończona
w ind A[R], tzn. prawie wszystkie nierozkładalne A[R]-moduły są postaci
(X, 0, 0), gdzie X jest nierozkładalnym A-modułem. Aby sformułować owe
kryterium w bardziej zwarty sposób wprowadzimy użyteczną terminologię.
Będziemy mówić, że dwa nierozkładalne A-moduły X i Y są nieporównywalne
(ze względu na moduł R) wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieją homomorfizmy
f : X → Y i g : Y → X takie, że HomA (R, f ) 6= 0 lub HomA (R, g) 6= 0. W
przypadku, gdy moduły X i Y nie są izomorficzne oraz istnieje homomorfizm
f : X → Y taki, że HomA (R, f ) 6= 0, to będziemy pisać X ≺ Y . Zauważmy,
że gdy X ≺ Y , to HomA (R, X) 6= 0 i HomA (R, Y ) 6= 0. Mamy następujące
twierdzenie [Kl], (patrz także [Si]).
Twierdzenie 1.7.1 (Kleiner). Niech A będzie algebrą i R A-modułem takim, że dimK HomA (R, X) ≤ 1 dla wszystkich X ∈ ind A oraz istnieje skończenie wiele (z dokładnością do izomorfizmu) nierozkładalnych A-modułów
X takich, że HomA (R, X) 6= 0. Wtedy, kategoria ind A jest koskończona w
ind A[R] wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma miejsca żadna z następujących sytuacji:
(a) istnieją parami nieporównywalne nierozkładalne A-moduły X1 , X2 ,
X3 , X4 takie, że HomA (R, Xi ) 6= 0 dla i = 1, 2, 3, 4;
(b) istnieją nierozkładalne A-moduły X1 , X2 , Y1 , Y2 , Z1 , Z2 takie, że
X1 ≺ X2 , Y1 ≺ Y2 , Z1 ≺ Z2 , oraz moduły oznaczone różnymi literami są
nieporównywalne;
(c) istnieją nierozkładalne A-moduły X1 , X2 , X3 , Y1 , Y2 , Y3 , Z takie,
że Xi ≺ Xj , Yi ≺ Yj , dla i < j, HomA (R, Z) 6= 0, oraz moduły oznaczone
różnymi literami są nieporównywalne;
(d) istnieją nierozkładalne A-moduły X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , Y1 , Y2 , Z
takie, że Xi ≺ Xj , dla i < j, Y1 ≺ Y2 , HomA (R, Z) 6= 0, oraz moduły
oznaczone różnymi literami są nieporównywalne;
(e) istnieją nierozkładalne A-moduły X1 , X2 , X3 , X4 , Y1 , Y2 , Z1 , Z2
takie, że Xi ≺ Xj , dla i < j, Y1 ≺ Y2 , Z1 ≺ Z2 , oraz moduły oznaczone
różnymi literami są nieporównywalne, z wyjątkiem Z1 ≺ Y2 .
26
1.8. Rozszerzenia tubularne algebr
Użyteczny będzie także następujący fakt [Ri1].
Stwierdzenie 1.7.2. Jeśli A jest algebrą oraz R jest A-modułem takim,
że EndA (X) = K i dimK HomA (R, X) > 1 dla pewnego nierozkładalnego
A-modułu X, to algebra A[R] jest nieskończonego typu reprezentacyjnego.
Ponadto, gdy dimK HomA (R, X) > 2, to A[R] jest dzikiego typu reprezentacyjnego.
Uważny Czytelnik z łatwością przeformułuje powyższe definicje i wyniki
na przypadek jednopunktowego korozszerzenia [R]A algebry A przez moduł
R, które zdefiniowane jest wzorem
K D(R)
[R]A :=
.
0
A
1.8.
Rozszerzenia tubularne algebr
Aby móc zdefiniować pojęcie rozszerzenia tubularnego musimy wprowadzić
pojęcie rur, które nie muszą być stabilne. Niech Γ = (Γ0 , Γ1 , τ ) będzie kołczanem z translacją. Wierzchołek x0 ∈ Γ0 nazwiemy promieniowym, jeśli istnieje
nieskończona droga sekcyjna
x0 −→ x1 −→ x2 −→ · · ·
taka, że jedyne strzałki o początku w zbiorze {xi | i ∈ N}, różne od xi →
xi+1 , i ≥ 0, mogą być postaci xi → τ − xi−1 , i ≥ 1. Moduł nierozkładalny, którego klasa izomorfizmu jest wierzchołkiem promieniowym w kołczanie
Auslandera–Reiten, będziemy nazywać modułem promieniowym.
Niech x ∈ Γ0 będzie wierzchołkiem promieniowym w Γ. Powiemy, że
kołczan Γ0 = (Γ00 , Γ01 , τ 0 ) powstaje z Γ przez wstawienie n promieni za wierzchołkiem x, jeśli
Γ00 := Γ0 ∪ {zi,j | i ∈ N, j ∈ {1, . . . , n}}
∪{yi,j | i, j = 1, . . . , n − 1, i + j ≤ n},
0
Γ1 := Γ1 \ {xi → τ − xi−1 | i ∈ N+ } ∪ {xi → zi,1 | i ∈ N}
∪{zi,j → zi,j+1 | i ∈ N, j ∈ {1, . . . , n − 1}}
∪{zi,n → τ − xi−1 | i ∈ N+ }
∪{zi,j → zi+1,j | i ∈ N, j ∈ {1, . . . , n}}
∪{yn−j,j → z0,j | j ∈ {1, . . . , n − 1}}
∪{yi,j → yi+1,j | i, j ∈ {1, . . . , n − 1}, i + j ≤ n − 1}
∪{yi,j−1 → yi−1,j | i, j ∈ {2, . . . , n}, i + j ≤ n + 1},
27
p p p y1,n−1 r
ry1,1
ry1,2
z0,n r
τ − x0 r
@
@
@
@
@
@p
p
R
@
Rr
@
Rr
@
R ry2,1
@
p
p
z1,n
z0,n−1
τ − x1 r
p
p
@
@
@
@p
@p
p @@
@
R ryn−2,2
@
Rr
@
Rr
p
p
p
z2,n
z1,n−1
p
p
p
@
@
@
@
p
p
@
R ryn−1,1 @
@
Rr
@
R rz0,2
p
p
z2,n−1
p
p
@
@
@
@
p
p
R rz1,2
@
R rz0,1
@
p
p
p
p
@
@
R rz2,2
@
R rz1,1
@
rx
0
@
@
@
@p
R rz2,1
@
R rx
@
p
1
p
@
@
@p
R rx
@
p
2
p
@
@p
p
p
Rysunek 1: Wstawienie promieni do kołczanu
zaś translacja τ 0 zdefiniowana jest wzorami
τ 0x
τ 0 (τ − xi )
τ 0 (zi,1 )
τ 0 (z0,j )
τ 0 (zi,j )
τ 0 (yi,j+1 )
:=
:=
:=
:=
:=
:=
τ x dla x ∈ Γ0 \ {τ − xi | i ∈ N+ },
zi,n dla i ∈ N,
xi−1 dla i ∈ N+ ,
yn−j+1,j−1 dla j ∈ {2, . . . , n},
zi−1,j−1 dla i ∈ N+ , j ∈ {2, . . . , n},
yi,j dla i, j ∈ {1, . . . , n − 2}, i + j ≤ n − 1.
W powyższych wzorach dla x ∈ Γ0 symbolem τ − x oznaczamy taki wierzchołek kołczanu Γ, że τ (τ − x) = x. Jeśli wierzchołek taki nie istnieje, to nie
istnieją też odpowiednie strzałki, a odpowiednie wierzchołki są injektywne.
Aby lepiej zrozumieć powyższe wzory dobrze jest zilustrować graficznie dodaną część kołczanu Γ0 , która ma postać jak na rysunku 1.
Określamy rury promieniowe zgodnie z następującą indukcyjną regułą:
(1) każda stabilna rura jest rurą promieniową;
(2) jeśli kołczan Γ powstaje z rury promieniowej przez wstawienie promieni, to Γ jest rurą promieniową.
Dualnie definiujemy wierzchołki kopromieniowe, moduły kopromieniowe, operację wstawienia kopromieni i rury kopromieniowe.
Niech A będzie algebrą, R A-modułem oraz Qn pełnym podkołczanem
kołczanu A∞ o zbiorze wierzchołków {1, . . . , n}, n ∈ N (jeśli n = 0, to Qn jest
28
kołczanem pustym). Definiujemy An := KQn oraz Rn := P1 = In (A0 = 0
i R0 = 0). Algebrę A[R, n] := (A × An )[R ⊕ Rn ] nazywamy powiększeniem
algebry A o linię długości n w R. Kołczan algebry A[R, n] powstaje z kołczanu algebry A[R] przez połączenie strzałką wierzchołka ω (rad Pω = R) z
wierzchołkiem 1 w Qn . Zauważmy, że A[R, 0] = A[R]. Powiększenie o linię
można zrealizować jako iterowane korozszerzenie
[In−1 ](· · · ([I1 ]([I0 ](A[R]))) · · · )
algebry A[R], gdzie I0 := Iω . Ponownie dualnie możemy zdefiniować operację
kopowiększenia o linię [R, n]A.
Rozszerzenie tubularne algebry A określamy przy pomocy definicji indukcyjnej, analogicznej do tej definiującej rury promieniowe:
(1) A jest trywialnym rozszerzeniem tubularnym algebry A;
(2) jeśli B jest rozszerzeniem tubularnym algebry A, R nierozkładalnym
B-modułem promieniowym leżącym w ΓB w rurze promieniowej, to B[R, n]
jest rozszerzeniem tubularnym algebry A.
Znów mamy dualne pojęcie korozszerzenia tubularnego algebry.
29
Rozdział 2
Algebry odwrócone
Rozdział ten jest poświęcony omówieniu podstawowych własności ważnej klasy algebr, zwanych algebrami odwróconymi. Dobrą prezentację poruszanych
tu zagadnień z podstaw teorii algebr odwróconych można znaleźć w [AsSiSk].
Zwieńczeniem tego rozdziału będzie twierdzenie opisujące strukturę algebr
oswojonego typu reprezentacyjnego posiadających wierny moduł kierujący.
2.1.
Moduły odwracające
Niech A będzie algebrą. Parę (T , F) pełnych podkategorii kategorii mod A
nazwiemy parą torsyjną, jeśli spełnione są warunki:
(1) HomA (M, N ) = 0 dla wszystkich A-modułów takich, że M ∈ T ,
N ∈ F;
(2) jeśli HomA (M, N ) = 0 dla wszystkich N ∈ F, to M ∈ T ;
(3) jeśli HomA (M, N ) = 0 dla wszystkich M ∈ T , to N ∈ F.
Parę torsyjną (T , F) nazwiemy rozszczepiającą, jeśli każdy nierozkładalny
A-moduł należy do T bądź do F.
Moduł T ∈ mod A nazywamy modułem odwracającym, jeśli
(1) Ext1A (T, T ) = 0;
(2) pdA T ≤ 1;
(3) T jest sumą prostą n parami nieizomorficznych modułów nierozkładalnych, gdzie n jest rangą grupy K0 (A).
Jeśli T jest modułem odwracającym, to T wyznacza w kategorii mod A parę
30
2.1. Moduły odwracające
torsyjną (T (T ), F(T )) daną wzorami
T (T ) := {M ∈ mod A | Ext1A (T, M ) = 0},
F(T ) := {N ∈ mod A | HomA (T, N ) = 0}.
Ponadto T wyznacza parę torsyjną (X (T ), Y(T )) w kategorii mod B, gdzie
B := (EndA (T ))op . Jest ona określona wzorami
X (T ) := {X ∈ mod B | T ⊗B X = 0},
Y(T ) := {Y ∈ mod B | TorB
1 (T, Y ) = 0}.
Zauważmy, że w powyższych wzorach wykorzystujemy fakt, iż T jest w naturalny sposób prawym B-modułem. Związek pomiędzy powyższymi parami
torsyjnymi opisuje następujące twierdzenie [BrBu].
Twierdzenie 2.1.1 (Brenner–Butler). Niech A będzie algebrą, T Amodułem odwracającym i niech B := (EndA (T ))op . Jeśli (T (T ), F(T )) i
(X (T ), Y(T )) są indukowanymi parami torsyjnymi w mod A i mod B odpowiednio, to wtedy
(a) D(T ) jest modułem odwracającym w mod B oraz kanoniczny homomorfizm algebr A → (EndB (D(T )))op dany wzorem
a 7→ (ϕ 7→ (t 7→ ϕ(at)))
jest izomorfizmem;
(b) funktory HomA (T, −) oraz T ⊗B − indukują równoważność kategorii
T (T ) i Y(T );
(c) funktory Ext1A (T, −) oraz TorB
1 (T, −) indukują równoważność kategorii F(T ) i X (T ).
Wykorzystując powyższe twierdzenie dowodzi się następujące związki pomiędzy wymiarami homologicznymi w mod A i mod B.
Stwierdzenie 2.1.2. Niech A będzie algebrą, zaś T modułem odwracającym w mod A. Jeśli B := (EndA (T ))op , zaś (T (T ), F(T )) jest indukowaną
parą torsyjną w mod A, to wtedy
(a) dla N ∈ F(T ) mamy
pdB Ext1A (T, N ) ≤ 1 + max(1, pdA N ),
31
idB Ext1A (T, N ) ≤ idA N ;
2.2. Algebry odwrócone
(b) dla M ∈ T (T ) mamy
pdB HomA (T, M ) ≤ pdA M,
idB HomA (T, M ) ≤ 1 + idA M ;
(c) gl. dim B ≤ gl. dim A + 1.
Na zakończenie tego paragrafu podamy pochodzące od Hoshino [Ho] kryterium, które jest przydatne przy badaniu czy pary torsyjne indukowane
przez moduł odwracający są rozszczepiające.
Twierdzenie 2.1.3 (Hoshino). Niech A będzie algebrą, T modułem odwracającym w mod A i niech B := (EndA (T ))op . Jeśli (T (T ), F(T )) oraz
(X (T ), Y(T )) są indukowanymi parami torsyjnymi w mod A i mod B odpowiednio, to wtedy
(a) para (T (T ), F(T )) jest rozszczepiająca wtedy i tylko wtedy, gdy
pdB X = 1 dla wszystkich X ∈ X (T );
(b) para (X (T ), Y(T )) jest rozszczepiająca wtedy i tylko wtedy, gdy
idA N = 1 dla wszystkich N ∈ F(T ).
2.2.
Algebry odwrócone
Jeśli Λ jest spójną (tzn. kołczan tej algebry jest spójny) algebrą dziedziczną,
zaś T Λ-modułem odwracającym, to algebrę A := (EndΛ (T ))op będziemy
nazywać algebrą odwróconą. Jeśli ∆ jest kołczanem algebry Λ, to mówimy,
że A jest algebrą odwróconą typu ∆. Korzystając z twierdzenia 2.1.3 wiemy,
że indukowana para torsyjna (X (T ), Y(T )) w mod A jest rozszczepiająca.
Stąd oraz z twierdzenia 2.1.1 i stwierdzenia 2.1.2 wynika, że gl. dim A ≤ 2 i
pdA X ≤ 1 lub idA X ≤ 1 dla każdego nierozkładalnego A-modułu X. Wiadomo ponadto, że algebra A jest bazowa, spójna i trójkątna, zaś algebra Aop
jest algebrą odwróconą typu ∆op . Jeśli B jest spójną podalgebrą wypukłą algebry odwróconej, to także B jest algebrą odwróconą (wynika to z [HaReSm,
(II.1.15), (II.2.3)] i [HaSl, (3.13)]).
Przedstawimy teraz użyteczne kryterium służące do rozpoznawania algebr odwróconych, które zostało udowodnione niezależnie przez Liu [Li] oraz
Skowrońskiego [Sk2]. Niech Λ = K∆, ∆ = (∆0 , ∆1 ). Jeśli T jest modułem
odwracającym w mod Λ, to moduły HomΛ (T, Ix ), x ∈ ∆0 , tworzą przekrój w
pewnej składowej CA kołczanu ΓA , A := (EndΛ (T ))op . Składową tą będziemy odtąd nazywać składową łączącą wyznaczoną przez T . Ponadto moduł
32
2.2. Algebry odwrócone
L
M := x∈∆0 HomA (T, Ix ) jest dokładnym A-modułem, tzn. z faktu am = 0
dla wszystkich m ∈ M wynika, że a = 0.
Twierdzenie 2.2.1 (Liu, Skowroński). Algebra A jest odwrócona wtedy
i tylko wtedy, gdy kołczan ΓA zawiera składową C, która ma przekrój Σ o
następujących własnościach:
(a) suma prosta T wszystkich modułów leżących na przekroju Σ jest
modułem dokładnym;
(b) HomA (X, τA Y ) = 0 dla wszystkich A-modułów X i Y leżących na
przekroju Σ.
W powyższej sytuacji A jest algebrą odwróconą typu Σop , T jest modułem
odwracjącym w mod A takim, że Λ := (EndA (T ))op jest algebrą dziedziczną,
zaś C jest składową łączącą wyznaczoną przez odwracający Λ-moduł D(T ).
Powyższe kryterium znajduje zastosowanie w przypadku modułów kierujących. Nierozkładalny A-moduł X jest kierujący, jeśli nie leży on na cyklu
X = X0 −→ X1 −→ · · · −→ Xm−1 −→ Xm = X
niezerowych nieizomorfizmów pomiędzy nierozkładalnymi A-modułami. Przykładami modułów kierujących są nierozkładalne moduły preprojektywne i
preinjektywne, a także wszystkie moduły znajdujące się w składowych łączących algebr odwróconych. Wiadomo, że jeśli moduł kierujący jest wierny,
to jest on dokładny. Ponadto, jeśli X jest wiernym modułem kierującym
znajdującym się składowej C kołczanu ΓA , to kołczany X → i X ← są przekrojami w C. Oczywiście przekroje te spełniają pierwszy warunek powyższego
twierdzenia. Spełniony jest także warunek drugi, a zatem, jeśli algebra A
posiada wierny moduł kierujący, to jest ona odwrócona. Warto jeszcze powiedzieć, że jeśli X jest wiernym A-modułem kierującym, to pdA X ≤ 1 i
idA X ≤ 1. Ponadto, gdy X jest dowolnym modułem kierującym, to jego
nośnik jest wypukły w QA (patrz [Bon2]). Ze wzorów Auslandera–Reiten i
definicji otrzymujemy, że EndA (X) = K oraz ExtnA (X, X) = 0, n ≥ 1, a co
za tym idzie χA (dim X) = 1 dla dowolnego A-modułu kierującego X. Na
koniec zaznaczmy, że jeśli X jest modułem kierującym, zaś Y jest modułem
nierozkładalnym o takim samym wektorze wymiaru, to moduły X i Y są
izomorficzne. Dowód tego faktu będzie można znaleźć w paragrafie 2.5.
33
2.3. Algebry odwrócone typu Euklidesa
2.3.
Algebry odwrócone typu Euklidesa
Opis kategorii modułów dla oswojonych algebr odwróconych zaczniemy od
najłatwiejszego przypadku algebr odwróconych typu Euklidesa i Dynkina
(tzn. algebr odwróconych typu ∆, gdzie ∆ jest kołczanem Dynkina bądź
Euklidesa). Dokładne omówienie własności tej klasy algebr można znaleźć
w książkach [AsSiSk] i [Ri2]. W przypadku, gdy ∆ jest kołczanem Dynkina
sytuacja jest wyjątkowo prosta do opisania. W tym przypadku kołczan ΓA ma
bowiem tylko jedną skończoną składową, która, podobnie jak to ma miejsce
dla algebr dziedzicznych typu Dynkina, jest skierowana i standardowa, a więc
jest jednocześnie preprojektywna i preinjektywna.
Załóżmy zatem, że ∆ jest kołczanem Euklidesa. Podstawowym przykładem algebr odwróconych typu Euklidesa są oswojone algebry ukryte. Jeśli
Λ jest spójną algebrą dziedziczną nieskończonego typu reprezentacyjnego, zaś
T preprojektywnym Λ-modułem, to algebrę odwróconą (EndΛ (T ))op nazwiemy algebrą ukrytą. Algebra ukryta jest oswojonego typu reprezentacyjnego
wtedy i tylko wtedy, gdy jest typu Euklidesa, stąd też algebry ukryte typu
Euklidesa będziemy określać mianem oswojonych. Jeśli C jest oswojoną algebrą ukrytą, to opis jej kołczanu Auslandera–Reiten nie różni się wiele od
opisu kołczanu Auslandera–Reiten dla algebr dziedzicznych typu Euklidesa
przedstawionego w paragrafie 1.6. Jedyną różnicą jest to, że składowe P i Q
nie muszą być postaci N∆ i (−N)∆ odpowiednio, a są jedynie pełnymi i spójnymi podkołczanami tych kołczanów z translacją. Jeśli h jest 0-pierwiastkiem
formy χC , to możemy go wykorzystać do rozróżnienia modułów preprojektywnych i preinjektywnych. Mianowicie, nierozkładalny C-moduł jest preprojektywny, gdy hdim X, hiC > 0 lub, równoważnie, hh, dim XiC < 0. Odwracając znaki nierówności otrzymujemy charakteryzację modułów preinjektywnych. Wynika stąd, że moduły pochodzące z rur są opisane przez warunki
hdim X, hiC = 0 i hh, dim XiC = 0. Dodajmy jeszcze, że oswojone algebry
ukryte są minimalnymi oswojonymi algebrami odwróconymi nieskończonego
typu reprezentacyjnego, tzn. jeśli C jest oswojoną algebrą ukrytą nieskończonego typu reprezentacyjnego taką, że każda wypukła podalgebra algebry C
jest skończonego typu reprezentacyjnego, to C jest oswojoną algebrą ukrytą.
Pełnej klasyfikacji oswojonych algebr ukrytych dokonali niezależnie Bongartz
[Bon3] i Happel–Vossieck [HaVo].
Dowolna algebra odwrócona typu Euklidesa jest rozszerzeniem bądź korozszerzeniem tubularnym oswojonej algebry ukrytej. Dokładniej, jeśli A
jest algebrą odwróconą typu Euklidesa, która jest rozszerzeniem tubularnym
oswojonej algebry ukrytej C, to kołczan ΓA składa się ze składowej preprojektywnej P, rodziny rur promieniowych T = (Tλ )λ∈P∞ (K) oraz składowej
34
2.3. Algebry odwrócone typu Euklidesa
preinjektywnej Q. Składowe P i Q są skierowane i standardowe, podczas gdy
prawie wszystkie rury Tλ , λ ∈ P1 (K), są stabilnymi rurami jednorodnymi.
Wszystkie nierozkładalne moduły projektywne leżą w składowej preprojektywnej bądź w rurach promieniowych, zaś wszystkie nierozkładalne moduły
injektywne znajdują sie w składowej Q. Rodzina rur T separuje składowe P
i Q. Prawdziwa jest także uwaga o tym, że własność separowania implikuje, iż niezerowe odwzorowanie f : X → Y dla X ∈ P i Y ∈ Q, oznacza,
że HomA (X, H) 6= 0 i HomA (H, Y ) 6= 0 dla dowolnego nierozkładalnego
A-modułu H o własności χA (dim H) = 0. Oczywiście wszystkie nierozkładalne A-moduły H o własności χA (dim H) = 0 znajdują się w rodzinie T .
Podobnie jak dla algebr dziedzicznych typu Euklidesa i ukrytych algebr odwróconych mamy równości
HomA (H, X) = 0,
HomA (Y, X) = 0,
HomA (Y, H) = 0,
dla wszystkich X ∈ P, H ∈ T , Y ∈ Q, oraz HomA (H1 , H2 ) = 0 dla H1 ∈ Tλ ,
H2 ∈ Tµ , λ 6= µ. Ponadto algebra C jest wypukłą podalgebrą algebry A.
Dualna sytuacja ma miejsce dla algebr odwróconych typu Euklidesa, które
są rozszerzeniami kotubularnymi oswojonych algebr ukrytych.
Z powyższego opisu wynika, że duże znaczenie ma operacja rozszerzenia (odpowiednio korozszerzenia) tubularnego oswojonych algebr ukrytych.
Oczywiście ze względu na indukcyjny charakter definicji rozszerzenia tubularnego wystarczy ograniczyć się do dokładniejszego przestudiowania operacji
powiększenia o linię algebry typu Euklidesa będącej rozszerzeniem tubularnym oswojonej algebry ukrytej. Niech więc A[R, n] będzie powiększeniem
o linię algebry odwróconej typu Euklidesa A, która jest rozszerzeniem tubularnym oswojonej algebry ukrytej. A[R, n] jest algebrą odwróconą typu
Euklidesa wtedy i tylko wtedy, gdy jest algebrą domową. Stąd algebry odwrócone typu Euklidesa, będące rozszerzeniami tubularnymi oswojonych algebr
ukrytych będziemy nazywać domowymi rozszerzeniami tubularnymi oswojonych algebr ukrytych. Dualnie będziemy też mówić o domowych korozszerzeniach tubularnych. Niech P, Tλ , λ ∈ P1 (K), Q, będą składowymi kołczanu Auslandera–Reiten algebry A opisanymi jak wyżej. Załóżmy ponadto, że
R ∈ Tλ0 , λ0 ∈ P1 (K). Jeśli A[R, n] jest algebrą odwróconą typu Euklidesa, to
kołczan Auslandera–Reiten tej algebry zbudowany jest ze składowej preprojektywnej P 0 , rodziny rur T 0 = (Tλ0 )λ∈P∞ (K) oraz składowej preinjektywnej
Q0 , przy czym P 0 = P, Tλ0 = Tλ dla λ 6= λ0 (równości te można wywnioskować z przedstawionej w paragrafie 1.7 postaci ciągów podniesionych oraz
analogicznego faktu dla korozszerzeń jednopunktowych) oraz Tλ00 powstaje z
Tλ0 przez wstawienie n + 1 promieni za modułem R.
Warto jeszcze zaznaczyć, że jeśli A jest algebrą odwróconą typu Dynkina,
35
2.4. Oswojone algebry odwrócone typu dzikiego
to forma χA jest dodatnio określona, zaś w przypadku algebr typu Euklidesa jest dodatnio półokreślona. W obu przypadkach forma Eulera kontroluje
kategorię mod A.
2.4.
Oswojone algebry odwrócone typu dzikiego
Pozostaje nam do opisania kategoria mod A w przypadku, gdy A jest algebrą
odwróconą typu dzikiego (tzn. A jest algebrą odwróconą typu ∆, gdzie ∆
jest dzikim kołczanem). Naturalnym wydaje się ograniczenie do przypadku
algebr oswojonego typu reprezentacyjnego. Algebry te możemy rozpoznawać
badając formę χA . Mamy bowiem następujące twierdzenie.
Twierdzenie 2.4.1 (Kerner). Algebra odwrócona A jest oswojonego typu
reprezentacyjnego wtedy i tylko wtedy, gdy forma χA jest słabo nieujemna.
Warto dodać, że algebra odwrócona A jest skończonego typu reprezentacyjnego wtedy i tylko wtedy, gdy forma χA jest słabo dodatnia.
Opiszemy teraz ogólną postać algebr odwróconych oswojonego typu reprezentacyjnego oraz ich kołczanów Auslandera–Reiten. Opis ten, podobnie
jak powyższe twierdzenie, pochodzi z pracy [Ke1]. Załóżmy zatem, że A jest
algebrą odwróconą oswojonego typu reprezentacyjnego. Wtedy istnieją algebry ∞ A i A∞ o następujących własnościach:
(a) ∞ A = B1 × · · · × Br , gdzie B1 , . . . , Br są algebrami odwróconymi
typu Dynkina lub Euklidesa; algebrę ∞ A nazywamy algebrą lewego końca
algebry A;
(b) A∞ = Br+1 × · · · × Br+s , gdzie Br+1 , . . . , Br+s są algebrami odwróconymi typu Dynkina lub Euklidesa; algebrę A∞ nazywamy algebrą prawego
końca algebry A;
(c) A jest iterowanym rozszerzeniem jednopunktowym algebry
∞ A;
(d) A jest iterowanym korozszerzeniem jednopunktowym algebry A∞ ;
(e) dla każdego i = 1, . . . , r, jeśli Bi jest nieskończonego typu reprezentacyjnego, to Bi jest rozszerzeniem tubularnym oswojonej algebry ukrytej
Ci ;
(f) dla każdego i = r + 1, . . . , r + s, jeśli Bi jest nieskończonego typu
reprezentacyjnego, to Bi jest korozszerzeniem tubularnym oswojonej algebry
ukrytej Ci ;
36
2.4. Oswojone algebry odwrócone typu dzikiego
(g) kołczan Auslandera–Reiten algebry A ma postać
A
A
```
P (∞)
T (∞)
A
A
P (∇)
```
T (∇)
A
A
A
A
HH `` ``
CA `
`
A
HH
A
A
A
A
A
AA
A
A
```
Q(∇+∞)
T (∇+∞)
A
A
```
T (∇+∫ )
Q(∇+∫ )
A
A
Rodziny rur T (∞) , . . . , T (∇+∫ ) mogą być puste. Jeśli jednak rodzina T (i) jest
niepusta, to supp T (i) = supp Bi oraz supp P (i) = supp Ci , gdy i = 1, . . . , r,
lub supp Q(i) = supp Ci , gdy i = r + 1, . . . , r + s. Niech p będzie ilością niepustych rodzin T (i) , i = 1, . . . , r, zaś q ilością niepustych rodzin wśród T (i) ,
i = r + 1, . . . , r + s. Wtedy algebra A jest (p + q)-parametryczna. CA jest
skierowaną i standardową składową łącząca. Jeśli i ∈ {1, . . . , r} i nierozkładalny moduł X nie jest Bi -modułem, to X|Bi jest modułem zerowym bądź
preinjektywnym w mod Bi (niekoniecznie nierozkładalnym). Podobnie, gdy
i ∈ {r + 1, . . . , r + s} oraz X ∈ ind A nie jest Bi -modułem, to moduł X|Bi
jest równy zero lub jest preprojektywny w mod Bi .
Z powyższego opisu i tego, iż nośnik modułu kierującego jest algebrą
odwróconą wynikają następujące własności.
Stwierdzenie 2.4.2. Jeśli A jest algebrą oswojonego typu reprezentacyjnego posiadającą wierny moduł kierujący, to
(a) A jest algebrą domową;
(b) jeśli A jest algebrą 1-parametryczną, to istnieje algebra odwrócona
typu Euklidesa B taka, że ind B jest koskończona w ind A;
(c) jeśli A jest algebrą co najmniej 2-parametryczną, to istnieje skończenie wiele wiernych nierozkładalnych A-modułów i wszystkie one są kierujące.
Punkt (c) jest konsekwencją tego, że gdy A jest algebrą co najmniej 2parametryczną, to w składowej CA jest skończenie wiele przekrojów. Wystarczy zatem tylko przypomnieć sobie, że gdy X jest wiernym modułem
kierującym, to X ∈ CA i kołczan X → jest przekrojem. Naszym celem w tym
rozdziale będzie pokazanie, że w sytuacji opisanej w powyższym stwierdzeniu, A jest algebrą co najwyżej 2-parametryczną, przy czym w powyższych
37
2.5. Forma Eulera oswojonej algebry odwróconej
oznaczeniach p ≤ 1 i q ≤ 1. W przypadku, gdy p = 1 i q = 1 będziemy
mówić, że A jest sklejeniem dwóch algebr 1-parametrycznych.
2.5.
Forma Eulera oswojonej algebry odwróconej
W poprzednim paragrafie sformułowaliśmy twierdzenie Kernera, które mówi,
że algebra odwrócona jest oswojonego typu reprezentacyjnego wtedy i tylko
wtedy, gdy jej forma Eulera jest słabo nieujemna. W tym paragrafie pokażemy, że w opisanej sytuacji forma ta kontroluje kategorię modułów. Dowód
ten, podobnie jak fakty przedstawione w następnych paragrafach tego rozdziału, wykorzystuje idee z pracy [Pe1]. Ustalmy oswojoną algebrę odwróconą
A i wprowadźmy notację zgodną z tą z poprzedniego paragrafu. Przypomnijmy także, że wiemy już, iż forma Eulera kontroluje kategorie modułów dla
algebr odwróconych typu Dynkina i Euklidesa.
Zaczniemy od uzasadnienia, że na wektorach wymiaru modułów nierozkładalnych forma χA przyjmuje tylko wartości 0 i 1.
Stwierdzenie 2.5.1. Jeśli X jest nierozkładalnym A-modułem, to
χA (dim X) ∈ {0, 1}.
Dowód. Jeśli moduł X leży w składowej łączącej CA , to jest on kierujący, a więc χA (dim X) = 1, jak to wynika z rozważań o modułach kierujących z paragrafu 2.2. Gdy zaś nie ma miejsca powyższa sytuacja, to istnieje
i ∈ {1, . . . , r + s} takie, że X jest Bi -modułem, a więc teza wynika z odpowiednich faktów dla algebr odwróconych typu Euklidesa i Dynkina oraz
równości χA (dim X) = χBi (dim X), która jest konsekwencją faktu, że Bi
jest wypukłą podalgebrą algebry A. Aby móc prowadzić dalsze rozważania potrzebujemy pewnego technicznego i często stosowanego lematu.
Lemat 2.5.2. Jeśli
f
g
0 −→ N −→ L −→ M −→ 0
jest nierozszczepialnym ciągiem dokładnym, to
dimK EndA (L) < dimK EndA (M ⊕ N ).
38
Dowód. Zdefiniujmy
R1 := {α ∈ EndA (L) | istnieje β ∈ EndA (N ) takie, że αf = f β},
R2 := {α ∈ EndA (L) | αf = 0, gα = 0}.
Ponieważ f jest monomorfizmem i g jest epimorfizmem, więc przekształcenie
liniowe ϕ2 : HomA (M, N ) → R2 dane wzorem
ϕ2 (h) := f hg
dla h ∈ HomA (M, N ) jest monomorfizmem. Pokażemy teraz, że ϕ2 jest także
epimorfizmem. Zauważmy, że gdy α ∈ R2 , to warunek αf = 0 implikuje, że
istnieje homomorfizm β : M → L taki, że α = βg. Mamy przy tym równość
gβg = gα = 0, a co za tym idzie gβ = 0. To oznacza jednak, że istnieje
h ∈ HomA (M, N ) takie, że β = f h, a więc α = f hg.
Zauważmy, że moduł R1 jest jądrem przekształcenia ϕ0 : EndA (L) →
HomA (N, M ) określonego wzorem
ϕ0 (α) := gαf
dla α ∈ EndA (L). Podobnie R2 jest jądrem odwzorowania ϕ1 : R1 →
EndA (M ) × EndA (N ) zdefiniowanego przez warunek
ϕ1 (α) := (β, γ),
gdzie
αf = f γ i gα = βg,
dla α ∈ R1 . Odwzorowanie ϕ1 jest dobrze określone, gdyż jeśli α ∈ R1 ,
to z definicji istnieje γ ∈ EndA (N ) takie, że αf = f γ i wtedy (gα)f =
gf γ = 0, co pociąga istnienie β ∈ EndA (M ) takiego, że gα = βg. Jedyność
stosownych homomorfizmów β i γ jest konsekwencją monomorficzności f
i epimorficzności g. Ponadto ϕ1 nie jest surjekcją. Istotnie, gdyby ϕ1 było
epimorfizmem, to istniałby endomorfizm α ∈ EndA (L) o własności αf = f
i gα = 0. Ostatni warunek implikuje jednak, że istniałby homomorfizm h ∈
HomA (L, N ) taki, że f h = α. Wtedy jednak hf = IdN , gdyż f hf = f =
f IdN , a więc rozważany ciąg dokładny rozszczepiałby się.
Otrzymujemy stąd, że
dimK R1 /R2 < dimK EndA (M ) + dimK EndA (N ).
Łącząc to z własnościami
dimK R2 = dimK HomA (M, N )
i
dimK EndA (L)/R1 ≤ dimK HomA (N, M )
39
kończymy dowód. Konsekwencją powyższego lematu i interpretacji pierwszej grupy rozszerzeń, oraz faktu, że gl. dim A ≤ 2, jest następujący wniosek.
Wniosek 2.5.3. Jeśli d ∈ K0 (A) jest wektorem dodatnim oraz M jest Amodułem o najmniejszym możliwym wymiarze pierścienia EndA (N ) spośród
wszystkich modułów NL
o wektorze wymiaru dim N = d, to Ext1A (Mi , Mj ) = 0
dla i 6= j, gdzie M = ti=1 Mi jest dowolnym rozkładem na sumę prostą Amodułów. W szczególności mamy nierówności hdim Mi , dim Mj iA ≥ 0 dla
i 6= j.
Zauważmy, że powyższy wniosek w połączeniu ze stwierdzeniem 2.5.1 pozwala uzasadnić, że forma χA jest słabo nieujemna. Zanim przejdziemy do
rozważań bezpośrednio związanych z głównym zagadnieniem tego paragrafu
sformułujemy jeszcze kilka przydatnych własności modułów pochodzących z
rur.
Lemat 2.5.4. Ustalmy i ∈ {1, . . . , r} oraz j ∈ {r + 1, . . . , r + s} takie, że
rodziny T (i) i T (|) są niepuste. Jeśli H1 i H2 są nierozkładalnymi A-modułami
o własnościach H1 ∈ T (i) , H2 ∈ T (|) , χA (dim H1 ) = 0 i χA (dim H2 ) = 0, to
HomA (H1 , H2 ) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy supp H1 ∩ supp H2 = ∅.
Dowód. Oczywiste jest, że jeśli supp H1 ∩ supp H2 = ∅, to mamy równość
HomA (H1 , H2 ) = 0. Przypuśćmy zatem, że istnieje wierzchołek x kołczanu
QA taki, że x ∈ supp H1 ∩supp H2 . Wtedy moduł Ix znajduje się w składowej
Q(|) oraz HomA (H1 , Ix ) 6= 0. Ponieważ rodzina T (|) ma własność separowania,
więc HomA (H1 , H2 ) 6= 0. Lemat 2.5.5. Niech i ∈ {1, . . . , r + s} będzie indeksem takim, że rodzina
T (i) jest niepusta, h 0-pierwiastkiem o własności supp h ⊆ supp T (i) , zaś
X nierozkładalnym A-modułem spełniającym warunek supp X ∩ supp h 6= ∅.
Jeśli hh, dim XiA = 0 i hdim X, hiA = 0, to X ∈ T (i) .
Dowód. Ustalmy nierozkładalny A-moduł H o wektorze wymiaru h. Bez
straty ogólności możemy założyć, że i ≤ r. Niech x ∈ supp X ∩ supp H.
Przypuśćmy najpierw, że X ∈ P (i) . Wiemy, że HomA (X, Ix ) 6= 0. Z własności separowania posiadanej przez rodzinę T (i) wynika, że HomA (X, H) 6=
0. Zarazem Ext1A (X, H) = 0 na mocy wzorów Auslandera–Reiten, gdyż
HomA (H, τA X) = 0. Ostatecznie
hdim X, dim HiA = dimK HomA (X, H) + dimK Ext2A (X, H) > 0,
40
co jest sprzeczne z założeniem.
Założmy zatem, że X 6∈ P (i) ∪ T (i) . Ponieważ z założenia supp X ∩
supp Ci = supp X ∩ supp h 6= ∅, więc X 6∈ P (|) ∪ T (|) dla j = 1, . . . , s. Z drugiej strony Px ∈ P (i) i HomA (Px , X) 6= 0. Korzystając ponownie z własności
separowania otrzymujemy, że HomA (H, X) 6= 0. Ponadto Ext1A (H, X) = 0,
gdyż HomA (τA− X, H) = 0, a więc hdim H, dim XiA > 0. Lemat 2.5.6. Jeśli χA (dim H) = 0 dla pewnego nierozkładalnego A-modułu
H, to (ex , dim H)A ≥ 0 dla każdego wierzchołka x kołczanu QA .
Dowód. Gdyby (ex , dim H)A < 0 dla pewnego wierzchołka x, to wektor
ex + 2 dim H byłby dodatnim wektorem takim, że
χA (ex + 2 dim H) = χA (ex ) + 2(ex , dim H)A + 4χA (dim H)
≤ 1 − 2 + 0 = −1 < 0,
co jest sprzeczne z twierdzeniem Kernera 2.4.1. Lemat 2.5.7. Jeśli χA (dim H) = 0 dla nierozkładalnego A-modułu H, to
(ex , dim H)A = 0 oraz wektor dim H −ex jest spójny dla każdego wierzchołka
x ∈ supp H.
Dowód. Dla dowodu pierwszej części wniosku poza poprzednim lematem
trzeba jeszcze wykorzystać równość
X
0 = (dim H, dim H)A =
dim H(x)(ex , dim H)A .
x∈supp H
Aby udowodnić drugą część zauważmy, że gdy dim H(x) > 1, to teza jest
oczywista. Jeśli natomiast dim H(x) = 1 i d1 , . . . , dt są obcięciami wektora
dim H − ex do składowych spójności jego nośnika, to
hdi , dj iA ≥ 0
dla i, j = 1, . . . , t, dzięki kombinatorycznemu opisowi formy h−, −iA . Ponadto nośniki wektorów di , i = 1, . . . , t, są ściśle zawarte w nośniku wektora
dim H, więc z opisu kategorii modułów dla oswojonych algebr ukrytych wynika, że χA (di ) ≥ 1 dla i = 1, . . . , t. Ostatecznie
1 ≤ t≤
t
X
hdi , dj iA = χA (dim H − ex )
i,j=1
= χA (dim H) − (dim H, ex )A + χA (ex ) = 0 − 0 + 1 = 1,
a więc t = 1. 41
Lemat 2.5.8. Niech H i X będą dwoma nierozkładalnymi A-modułami takimi, że
(d, h)A = 0,
χA (h) = 0,
gdzie h := dim H i d := dim X. Przypuśćmy ponadto, że supp d ∩ supp h =
∅, ai → bi , i = 1, . . . , l, są wszystkimi strzałkami z supp d do supp h oraz
nie istnieją drogi o początku w supp h i końcu w supp d. Wtedy (ex , h)A = 0
dla wszystkich x ∈ supp d. W szczególności mamy równość r(x, t) = 0 dla
wszystkich wierzchołków x ∈ supp d, x 6= a1 , . . . , al oraz t ∈ supp h.
Dowód. Z lematu 2.5.6 wynika, że (ex , h)A ≥ 0 dla x ∈ supp d. Z drugiej
strony
X
0 = (d, h)A =
d(x)(ex , h)A ,
x∈supp d
co prowadzi do konkluzji, że (ex , h)A = 0 dla x ∈ supp d. Zauważmy, że gdy
x ∈ supp d \ {a1 , . . . , al }, to
X
0 = (ex , h)A =
r(x, t)h(t),
t∈supp h
skąd wynika, że r(x, t) = 0 dla wszystkich t ∈ supp h. Możemy teraz przystąpić do drugiej części dowodu zapowiadanego faktu.
Lemat 2.5.9. Jeśli H1 i H2 są dwoma nierozkładalnymi A-modułami o własnościach
χA (h1 ) = 0,
χA (h2 ) = 0,
hh1 , h2 iA = 0,
hh2 , h1 iA = 0,
gdzie h1 := dim H1 , h2 := dim H2 , to supp h1 = supp h2 lub wektor h1 + h2
nie jest spójny.
Dowód. Jeśli supp h1 ∩supp h2 6= ∅, to supp h1 = supp h2 na mocy lematu
2.5.5. Przypuśćmy zatem, że wektor h1 + h2 jest spójny i supp h1 6= supp h2 .
Wtedy supp h1 ∩ supp h2 = ∅. Ponieważ wektor h1 + h2 jest spójny, więc bez
straty ogólności możemy założyć, że istnieją strzałki z supp h2 do supp h1 .
Niech αk : ak → bk , k = 1, . . . , l, będą wszystkimi takimi strzałkami. Wtedy
H1 ∈ T (i) dla pewnego i ∈ {1, . . . , r} i H2 ∈ T (|) dla pewnego j ∈ {r +
1, . . . , r + s}. W szczególności nie istnieje droga w QA o początku w supp h1
i końcu w supp h2 .
Z lematu 2.5.8 wynika, że r(x, t) = 0 dla x ∈ supp h2 \ {a1 , . . . , al } i
t ∈ supp h1 . Ponieważ algebra A jest trójkątna, więc możemy założyć, że a1
42
jest źródłem w pełnym podkołczanie kołczanu QA o zbiorze wierzchołków
{a1 , . . . , al }. Niech D := [Ia1 ]Cj . Zauważmy, że D jest ilorazem najmniejszej
wypukłej podalgebry algebry A zawierającej supp h2 i b1 przez ideał generowany przez wszystkich drogi z supp h2 do b1 różne od α1 , a więc jest oswojona.
Z drugiej strony, w składowej preinjektywnej kołczanu ΓCj istnieje moduł X
taki, że dimK HomCj (X, ICj ) > 2. Ponieważ EndC1 (X) ' K, algebra D jest
dzikiego typu reprezentacyjnego na mocy dualnej wersji stwierdzenia 1.7.2.
Otrzymana sprzeczność kończy dowód. Stwierdzenie 2.5.10. Jeśli h jest 0-pierwiastkiem formy χA , to istnieje
nieskończenie wiele nierozkładalnych A-modułów Xλ , λ ∈ K, o własności
dim Xλ = h.
Dowód. Wykorzystując posiadaną wiedzę o algebrach odwróconych typu Euklidesa wystarczy pokazać, że istnieje indeks i ∈ {1, . . . , r + s} taki,
że supp h ⊆ supp T (i) . Niech H będzie A-modułem o wektorze wymiaru h
i najmniejszej
możliwej wartości wymiaru pierścienia endomorfizmów. JeLt
śli j=1 Hj jest rozkładem modułu H na sumę prostą nierozkładalnych Amodułów, to hdim Hj , dim Hk iA ≥ 0 dla j 6= k na mocy wniosku 2.5.3.
Oczywiście χA (dim Hj ) ≥ 0 dla j ∈ {1, . . . , t} dzięki twierdzeniu Kernera
2.4.1. Łącząc to z równością
0 = χA (h) =
t
X
hdim Hj , dim Hk iA
j,k=1
otrzymujemy, że hdim Hj , dim Hk iA = 0 dla j, k ∈ {1, . . . , t}.
Dowód przeprowadzimy indukcyjnie ze względu na t. Teza indukcyjna
brzmi: jeśli H jest sumą prostą t modułów nierozkładalnych H1 , . . . , Ht , przy
czym hdim Hj , dim Hk iA = 0 dla j, k = 1, . . . , t oraz dim H jest spójny, to
supp Hj = supp Hk dla j, k = 1, . . . , t. Jeśli t = 1 to teza jest oczywista.
Gdy t > 1, to bez straty ogólności możemy przyjąć, że wektor dim Ht−1 +
dim Ht jest spójny. Dzięki lematowi 2.5.9 wiemy, że supp Ht−1 = supp Ht , a
więc istnieje i ∈ {1, . . . , r + s} takie, że supp Ht−1 ⊆ supp T (i) i supp Ht ⊆
supp T (i) . Ponieważ χA (dim Ht−1 + dim Ht ) = 0, więc odwołując się po raz
kolejny do informacji o algebrach odwróconych typu Euklidesa wiemy, że
istnieje nierozkładalny A-moduł
Lt−2H0 taki, że dim H0 = dim Ht−1 + dim Ht .
0
Zauważmy, że moduł H := j=0 Hj ma t − 1 nierozkładalnych składników
prostych oraz spełnia założenia tezy indukcyjnej. Korzystając z założenia
indukcyjnego otrzymujemy, że supp Hj ⊆ supp T (i) dla j = 1, . . . , t. Zajmiemy się teraz zbadaniem pierwiastków formy χA . Rozpoczniemy od
rozważenia kwestii jednoznaczności.
43
Lemat 2.5.11. Jeśli d jest pierwiastkiem formy χA , zaś X i Y są dwoma
nierozkładalnymi A-modułami takimi, że dim X = d i dim Y = d, to X '
Y.
Dowód. Jeśli istnieje i ∈ {1, . . . , r + s} takie, że supp d ⊆ supp Bi , to teza
lematu wynika z odpowiedniego faktu dla algebr odwróconych typu Euklidesa. Przypuśćmy zatem, że stosowne i nie istnieje. Wtedy moduły X i Y
znajdują sie w składowej CA , a więc są kierujące. Wszystko zatem sprowadza
się do udowodnienia zapowiedzianego w paragrafie 2.2 faktu, że moduł kierujący X jest wyznaczony jednoznacznie przez swój wektor wymiaru. Ponieważ
nośnik modułu kierującego jest wypukły w A możemy założyć, że moduł X
jest wierny. Wtedy pdA X ≤ 1 i idA X ≤ 1. Zatem
1 = χA (d) = hd, diA = hdim X, dim Y iA
= dimK HomA (X, Y ) − dimA Ext1A (X, Y ),
a więc HomA (X, Y ) 6= 0. Podobnie dowodzimy, że HomA (Y, X) 6= 0. Ponieważ moduł X jest kierujący oznacza to, że X ' Y . Zajmiemy się teraz problemem istnienia, którego rozwiązanie, jak się okazuje, rozpada się na kilka przypadków.
Lemat 2.5.12. Przypuśćmy, że H1 i H2 są dwoma nierozkładalnymi Amodułami o własnościach
χA (h1 ) = 0,
χA (h2 ) = 0,
hh1 , h2 iA = 1,
hh2 , h1 iA = 0,
gdzie h1 := dim H1 i h2 := dim H2 . Jeśli dodatkowo założymy, że wektor
h1 + h2 jest spójny, oraz dla dowolnego pierwiastka x formy χA mniejszego
od h1 + h2 istnieje nierozkładalny A-moduł o wektorze wymiaru x, to istnieje
nierozkładalny A-moduł o wektorze wymiaru h1 + h2 .
Dowód. Ponieważ hh1 , h2 iA 6= 0, więc istnieją i ∈ {1, . . . , r} i j ∈ {r +
1, . . . , r + s} takie, że H1 ∈ T (i) i H2 ∈ T (|) , lub na odwrót, tzn. H1 ∈ T (|) i
H2 ∈ T (i) . Możemy założyć, że ma miejsce pierwsza możliwość, gdyż druga
sytuacja ma dualny charakter. Z równości
X
1 = (h1 , h2 )A =
h1 (x)(ex , h2 )A
x∈supp h1
wynika, wobec lematu 2.5.6, że istnieje x ∈ supp h1 taki, że (ex , h2 )A = 1
i h1 (x) = 1. Na mocy lematu 2.5.7 wiemy, że wtedy x 6∈ supp h2 . Położenie modułów H1 i H2 w kołczanie ΓA gwarantuje nam, że nie ma dróg z
44
wierzchołka x do supp h2 , a więc hex , h2 iA = 0. Ostatecznie hh2 , ex iA = 1.
Ponadto z lematu 2.5.7 wynika, że wektor h1 − ex jest spójny. Łącząc to z
równością
hh2 , h1 − ex iA = hh2 , h1 iA − hh2 , ex iA = 0 − 1 = −1
otrzymujemy, że wektor x := h1 + h2 − ex jest spójny. Łatwo policzyć, wykorzystując lemat 2.5.7, że χA (x) = 1. Z założenia, które przyjęliśmy, wynika, że istnieje nierozkładalny A-moduł Y taki, że dim Y = x. Ponieważ
supp x 6⊆ supp h1 , (h1 , x)A = 1, supp h2 ⊆ supp x oraz hh2 , xiA = −1, więc
moduł Y musi znajdować się w składowej łączącej, czyli jest kierujący. W
szczególności EndA (Y ) = K. Ponieważ
(x, ex )A = (h1 , ex )A + (h2 , ex )A − (ex , ex )A = 0 + 1 − 2 = −1,
więc Ext1A (Y, Sx ) 6= 0 lub Ext1A (Sx , Y ) 6= 0. Jeśli X jest środkiem nierozszczepialnego ciągu dokładnego o końcach Sx i Y , to dim X = h1 + h2 oraz
dimK EndA (X) < dimK EndA (Sx ⊕ Y ) na mocy lematu 2.5.2. Zauważmy jednak, że równości h1 (x) = 1 i h2 (x) = 0 implikują, iż supp Sx ∩ supp Y = ∅,
skąd
dimK EndA (Sx ⊕ Y ) = dimK EndA (Sx ) + dimK EndA (Y ) = 1 + 1 = 2.
To dowodzi, że EndA (X) = K, a więc moduł ten jest nierozkładalny. Wniosek 2.5.13. Niech d będzie pierwiastkiem formy χA i przypuśćmy,
że istnieją nierozkładalne A-moduły X1 , . . . , Xt takie, że d = dim X1 +
· · · + dim Xt , χA (dim Xi ) = 0 dla i = 1, . . . , t. Załóżmy dodatkowo, że
hdim X1 , dim X2 iA = 1, hdim Xi , dim Xj iA = 0 dla (i, j) 6= (1, 2), oraz
dla dowolnego pierwiastka x formy χA mniejszego od d istnieje nierozkładalny A-moduł o wektorze wymiaru x. Wtedy istnieje nierozkładalny A-moduł
o wektorze wymiaru d.
Dowód. Dowód będzie indukcyjny ze względu na t. Jeśli t = 1, to teza
jest oczywista. Jeśli t = 2, to korzystamy z poprzedniego lematu. Gdy t > 2,
to istnieje indeks i ∈ {1, . . . , t − 1} taki, że wektor dim Xi + dim Xt jest
spójny, w związku z czym równość χA (dim Xi + dim Xt ) = 0 implikuje,
na mocy stwierdzenia 2.5.10, że istnieje nierozkładalny A-moduł X0 o wektorze wymiaru dim Xi + dim Xt . Jeśli i = 1, to hdim X0 , dim X2 iA = 1,
hdim X0 , dim Xj iA = 0, j = 0, 3, . . . , t − 1 i hdim Xj , dim X0 iA = 0, j =
0, 2, . . . , t−1. Gdy i = 2, to hdim X1 , dim X0 iA = 1, hdim Xj , dim X0 iA = 0,
45
j = 0, 3, . . . , t − 1, hdim X0 , dim Xj iA = 0, j = 0, 1, 3, . . . , t − 1. Ostatecznie, gdy i > 2, to hdim Xj , dim X0 iA = 0 i hdim X0 , dim Xj iA = 0 dla
j = 0, . . . , t − 1, j 6= i. Powyższe równości oznaczają, że w każdym z tych
przypadków można zastosować założenie indukcyjne. Lemat 2.5.14. Przypuśćmy, że X i H są dwoma nierozkładalnymi A-modułami o własnościach
χA (d) = 1,
hd, hiA = 0,
χA (h) = 0,
hh, diA = 0,
gdzie d := dim X i h := dim H. Jeśli dodatkowo założymy, że wektor d + h
jest spójny oraz dla dowolnego pierwiastka x formy χA mniejszego od d + h
istnieje nierozkładalny A-moduł o wektorze wymiaru x, to istnieje nierozkładalny A-moduł o wektorze wymiaru d + h.
Dowód. Jeśli supp X ∩ supp H 6= ∅, to korzystając z lematu 2.5.5 wiemy,
że X należy do tej samej rodziny tubularnej co H i teza lematu wynika z
odpowiedniego faktu dla algebr oswojonych typu Euklidesa.
Możemy zatem założyć, że supp X ∩ supp H = ∅. Ponieważ wektor d + h
jest spójny, więc istnieją strzałki z supp d do supp h lub z supp h do supp d.
Ze względu na dualność obu sytuacji możemy przyjąć, że ma miejsce pierwsza
możliwość. Niech więc αi : ai → bi i = 1, . . . , l, będą wszystkimi strzałkami
z supp d do supp h. Z lematu 2.5.8 wiemy, że r(x, t) = 0 dla wszystkich
x ∈ supp d \ {a1 , . . . , al }, t ∈ supp h. Wiemy także, że nie istnieją drogi w
QA z supp h do supp d.
Przypuśćmy najpierw, że d = ea1 . Niech B będzie ilorazem najmniejszej
wypukłej podalgebry algebry A zawierającej a1 i supp h przez ideał generowany przez wszystkie drogi o początku a1 i końcu w supp h różne od strzałek
αi , i = 1, . . . , l, zaś C podalgebrą wypukłą o nośniku supp h. Wtedy dzięki
kombinatorycznej interpretacji formy h−, −iA wiemy, że
hea1 , hiB ≤ hea1 , hiA = 0.
Ponadto istnieje C-moduł R taki, że B = C[R]. Ponieważ B jest algebrą
oswojoną, więc składniki proste modułu R muszą pochodzić z rur bądź składowej preinjektywnej, gdyż w przeciwnym wypadku w składowej preprojektywnej istniałby nierozkładalny moduł X o własności dimK HomA (R, X) >
2, co byłoby sprzeczne ze stwierdzeniem 1.7.2. Ostatecznie hdim R, hiC ≤ 0.
Niech Pa1 będzie odpowiednim B-modułem projektywnym. Wtedy
hdim Pa1 , hiB = dimK HomB (Pa1 , H) = h(a1 ) = 0.
46
Z drugiej strony dim Pa1 = ea1 + dim R, a więc
0 ≥ hea1 , hiB = −hdim R, hiB ≥ 0,
skąd hea1 , hiB = 0 i hdim R, hiB = 0. Oznacza to także, że liczby r(a1 , t),
t ∈ supp h, nie zależą od tego czy rozważamy algebrę B, czy algebrę A, co
w konsekwencji prowadzi do wniosku, że R jest składnikiem prostym radykału A-modułu projektywnego związanego z wierzchołkiem a1 . Ponadto R
jest sumą prostą modułów z rur, więc dzięki informacjom o strukturze kołczanu Auslandera–Reiten oswojonych algebr odwróconych wiemy, że B jest
rozszerzeniem tubularnym algebry C. Jest to oczywiście algebra domowa, a
więc B jest algebrą odwróconą typu Euklidesa, zatem istnieje nierozkładalny
B-moduł, zatem i nierozkładalny A-moduł, o wektorze wymiaru h + ea1 .
Załóżmy zatem, że d 6= ea1 . Ponieważ w QA nie ma dróg o początku w
supp h i końcu ai oraz ai 6∈ supp h, zatem hh, eai iA = 0 dla i = 1, . . . , l, skąd
na mocy lematu 2.5.8 mamy, że heai , hiA = (eai , h)A = 0 dla i = 1, . . . , l.
Ostatecznie χA (eai + h) = 1, i = 1, . . . , l, więc z założenia wynika, że istnieją nierozkładalne A-moduły o wektorach wymiaru eai + h, i = 1, . . . , l.
Ponadto hh, eai + hiA = 0 i heai + h, hiA = 0, więc z lematu 2.5.5 wynika, że
moduły te pochodzą z tej samej rodziny rur, co moduł H. Z opisu algebr będących domowymi rozszerzeniami tubularnymi oswojonych algebr ukrytych
wynika zatem, że nie ma dróg dodatniej długość pomiędzy wierzchołkami ai
i aj , i, j = 1, . . . , l. Dodatkowo wynika z niego też, że nie ma dróg długości
większej od 1 o początku w zbiorze {a1 , . . . , al } i końcu w supp h.
Ponieważ A jest algebrą trójkątną, więc bez straty ogólności możemy założyć, że b1 jest źródłem w najmniejszym wypukłym podkołczanie kołczanu
QA zawierającym wierzchołki b1 , . . . , bl . Wtedy r(x, b1 ) = 0 dla każdego
x ∈ supp d. Jeśli x 6∈ {a1 , . . . , al }, to wynika to z lematu 2.5.8, gdy zaś
x ∈ {a1 , . . . , al }, to jest to konsekwencją faktu, że wszystkie drogi o początku w zbiorze {a1 , . . . , al } i końcu w supp h są postaci αi , i = 1, . . . , l.
Zauważmy, że to implikuje, iż d(a1 ) = 1. Istotnie, powyższe równości oznaczają, że hd, eb1 iA ≤ −d(a1 ). Z drugiej strony, ponieważ nie ma dróg o początku b1 i końcu w supp d, więc heb1 , diA = 0. Gdyby zatem d(a1 ) > 1, to
qA (d+h+eb1 ) ≤ 0 na mocy lematu 2.5.7, co byłoby sprzeczne z twierdzeniem
Kernera 2.4.1 bądź stwierdzeniem 2.5.10 i strukturą ΓA .
Niech Y będzie nierozkładalnym A-modułem o wektorze wymiaru ea1 +
h. Z powyższych rozważań wynika, że utożsamiając w module X ⊕ Y (na
który patrzymy jak na reprezentację kołczanu QA ) podprzestrzenie (a1 |a1 )X
i (a1 |a1 )Y otrzymamy szukany moduł. Wykorzystując powyższy lemat i posługując się analogiczną techniką jak
47
w dowodach stwierdzenia 2.5.10 i wniosku 2.5.13 otrzymujemy następujący
wniosek.
Wniosek 2.5.15. Niech d będzie pierwiastkiem formy χA i przypuśćmy,
że istnieją nierozkładalne A-moduły X1 , . . . , Xt takie, że d = dim X1 +
· · · + dim Xt , χA (dim X1 ) = 1, χA (dim Xi ) = 0 dla i = 2, . . . , t, oraz
hdim Xi , dim Xj iA = 0 dla i 6= j. Jeśli założmy dodatkowo, że dla dowolnego
pierwiastka x formy χA mniejszego od d istnieje nierozkładalny A-moduł o
wektorze wymiaru x, to istnieje nierozkładalny A-moduł o wektorze wymiaru
d.
Ostatnie dwa wnioski pozwalają nam udowodnić poniższe stwierdzenie.
Stwierdzenie 2.5.16. Jeśli d jest pierwiastkiem formy χA , to istnieje dokładnie jeden (z dokładnością do izomorfizmu) nierozkładalny A-moduł o
wektorze wymiaru d.
Dowód. Jedyność została udowodniona w lemacie
P 2.5.11. Istnienie dowodzić będziemy indukcyjnie ze względu na |d| := x∈supp d d(x). Gdy |d| = 1,
to teza jest oczywista. Przypuśćmy, że |d| > 1 i znajdźmy A-moduły X1 , . . . ,
Xt takie, że
d = dim X1 + · · · + dim Xt
Lt
oraz moduł i=1 Xi ma najmniejszy możliwy wymiar pierścienia endomorfizmów. Dzięki wnioskowi 2.5.3 i stwierdzeniu 2.5.1 wiemy, że wtedy
hdim Xi , dim Xj iA ≥ 0
dla i, j = 1, . . . , t. Łącząc to z równością
1=
t
X
hdim Xi , dim Xj iA
i,j=1
otrzymujemy, że możliwe są dwa przypadki opisane we wnioskach 2.5.13 i
2.5.15, co kończy krok indukcyjny. Rozważania tego paragrafu podsumowuje następujące twierdzenie.
Twierdzenie 2.5.17 (de la Peña). Jeśli A jest oswojoną algebrą odwróconą, to forma χA kontroluje kategorię mod A.
48
2.6. Wierne pierwiastki formy Eulera
2.6.
Wierne pierwiastki formy Eulera
Dowód zapowiedzianego w paragrafie 2.4 twierdzenia poprzedzimy rozważaniami dotyczącymi wiernych pierwiastków formy Eulera oswojonej algebry
odwróconej A. Załóżmy przy tym, że A jest co najmniej 2-parametryczna.
Wiemy wtedy w szczególności, że wszystkie wierne A-moduły znajdują się
w składowej CA , a więc są kierujące. Będziemy także odtąd stosować notację wprowadzoną w paragrafie 2.4. Ponadto przez Q = (Q0 , Q1 ) oznaczać
będziemy kołczan algebry A.
Lemat 2.6.1. Jeśli X jest wiernym A-modułem kierującym, zaś h 0-pierwiastkiem formy χA , to wtedy
hh, dim XiA > 0
lub
hdim X, hiA > 0.
Dowód. Z twierdzenia 2.5.17 wynika, że istnieje moduł pochodzący z
rury jednorodnej taki, że dim H = h. Ponadto z lematu 2.5.5 wiemy, że
hh, dim XiA 6= 0 lub hdim X, hiA 6= 0. Przypuśćmy, że ma miejsce pierwsza
możliwość i załóżmy, że hh, dim XiA < 0. Wtedy Ext1A (H, X) 6= 0. Ponieważ τA H = H, więc na mocy wzorów Auslandera–Reiten otrzymujemy, że
HomA (X, H) 6= 0. Ponieważ moduł X jest kierujący, więc ExtiA (X, H) = 0
dla i ≥ 1, skąd hdim X, hiA > 0, co kończy dowód. Lemat 2.6.2. Mamy nierówność
|(dim X, ex )A | ≤ 1
dla wszystkich wiernych A-modułów kierujących X i x ∈ Q0 .
Dowód. Przypuśćmy, że (dim X, ex )A < −1 dla pewnego wierzchołka x
kołczanu Q. Wtedy
χA (dim X + ex ) = χA (dim X) + (dim X, ex )A + χA (ex ) ≤ 1 − 2 + 1 = 0.
Z drugiej strony χA (dim X + ex ) ≥ 0 na mocy twierdzenia Kernera 2.4.1.
Reasumując χA (dim X + ex ) = 0, co stoi w sprzeczności z opisem kołczanu
Auslandera–Reiten algebry A przedstawionym w paragrafie 2.4, gdyż wynika z niego oraz twierdzenia 2.5.17, że χA nie ma wiernych 0-pierwiastków.
Ostatecznie (dim X, ex )A ≥ −1.
Przypuśćmy teraz, że (dim X, ex )A > 1 dla pewnego wierzchołka x kołczanu Q. Gdyby (dim X, ex )A > 2, to
χA (dim X − ex ) = χA (dim X) − (dim X, ex )A + χA (ex ) < 1 − 2 + 1 = 0,
49
co jest niemożliwe na mocy twierdzenia Kernera 2.4.1, gdyż z wierności wektora dim X wynika , że wektor dim X −ex jest nieujemny. Zatem otrzymujemy, że (dim X, ex )A = 2, a więc χA (dim X −ex ) = 0. Ponieważ forma χA nie
ma wiernych zero piewiastków, więc wynika z tego, że (dim X − ex )(x) = 0.
Jeśli Q(1) , . . . , Q(t) są składowymi supp(dim X − ex ) oraz hi jest obcięciem
wektora dim X − ex do Q(i) , dla i = 1, . . . , t, to wektory hi , i = 1, . . . , t, są
spójnymi wektorami spełniającymi równości
hhi , hj iA = 0,
dla i, j = 1, . . . , t.
Istotnie, fakt, że nośniki wektorów hi , i = 1, . . . , t, są składowymi nośnika wektora dim X − ex , a więc nie są połączone strzałkami, implikuje, że
hhi , hj iA ≥ 0 dla i 6= j. Na mocy twierdzenia Kernera 2.4.1 wiemy, że
hhi , hi iA = χA (hi ) ≥ 0 dla i = 1, . . . , t. Łącząc to z warunkiem
0 = χA (dim X − ex ) =
t
X
hhi , hj iA ,
i,j=1
wnioskujemy powyższe równości.
W szczególności wynika stąd, że hhi , dim X − ex iA = 0 i hdim X −
ex , hi iA = 0, i = 1, . . . , t. Ustalmy i ∈ {1, . . . , t}. Z poprzedniego lematu
wiemy, że hhi , dim XiA > 0 lub hdim X, hi iA > 0. Załóżmy, że ma miejsce pierwsza możliwość. Wtedy także hhi , ex iA > 0. Stąd, ponieważ nośnik
supp hi jest wypukły w QA i x 6∈ supp hi , otrzymujemy, że hex , hi iA = 0,
skąd (hi , ex )A > 0. Podobnie ma się rzecz w drugim przypadku. Ostatecznie
(hi , ex )A > 0 dla każdego i = 1, . . . , t. Zatem
0≤t ≤
t
X
(hi , ex )A = (dim X − ex , ex )A
i=1
= (dim X, ex )A − (ex , ex )A = 2 − 2 = 0,
tzn. t = 0. Ale wtedy dim X = ex , co jest niemożliwe dla algebr odwróconych
nieskończonego typu reprezentacyjnego, bo X jest wiernym modułem. Korzystając ze stwierdzenia 2.4.2 wiemy, że A posiada skończenie wiele
wiernych modułów kierujących. Dzięki twierdzeniu 2.5.17 wiemy, że wierne
moduły kierujące odpowiadają wiernym pierwiastkom formy χA , więc forma
χA ma skończenie wiele wiernych pierwiastków i możemy mówić o maksymalnym pierwiastku wiernym. Jeśli d jest maksymalnym pierwiastkiem wiernym
formy χA , to wierzchołek x kołczanu QA nazwiemy wyjątkowym dla d, gdy
(d, ex )A > 0.
50
Wniosek 2.6.3. Niech d będzie maksymalnym pierwiastkiem wiernym formy χA . Wtedy
(a) (d, ex )A ≥ 0 dla wszystkich wierzchołków x ∈ Q0 ;
(b) istnieją co najwyżej dwa wierzchołki wyjątkowe dla d; jeśli a jest
jedynym wierzchołkiem wyjątkowym, to d(a) = 2; w przeciwnym wypadku,
gdy a i b są dwoma różnymi wierzchołkami wyjątkowymi, to d(a) = d(b) = 1.
Dowód. Ustalmy x ∈ Q0 . Z poprzedniego lematu wiemy, że (d, ex )A ≥ −1.
Wystarczy zatem pokazać, że niemożliwe jest aby (d, ex )A = −1. Gdyby tak
było, to d + ex byłby wiernym wektorem, dla którego
χA (d + ex ) = χA (d) + (d, ex )A + χA (ex ) = 1 − 1 + 1 = 1,
co przeczyłoby maksymalności wektora d, jako wiernego pierwiastka formy
χA .
Druga część wniosku wynika z części pierwszej, poprzedniego lematu oraz
równości
X
2 = (d, d)A =
d(x)(d, ex )A .
x∈Q0
Przyjrzymy się teraz dokładniej sytuacji, gdy dla maksymalnego pierwiastka wiernego formy χA istnieją dwa wierzchołki wyjątkowe. Wykorzystując opis A-modułów w postaci reprezentacji kołczanu QA możemy udowodnić
następujący lemat.
Lemat 2.6.4. Jeśli a ∈ Q0 jest wierzchołkiem wyjątkowym dla maksymalnego pierwiastka wiernego d formy χA o własności d(a) = 1, to jest on źródłem
lub ujściem w Q.
Dowód. Niech X będzie nierozkładalnym A-modułem o wektorze wymiaru d, zaś (Xx , Xα ) odpowiadającą mu reprezentacją kołczanu Q. Jeśli a nie
jest źródłem, to istnieje strzałka α w Q1 taka, że e(α) = a. Ponieważ każdy
wierny moduł kierujący jest dokładny, więc Xα 6= 0, co w połączeniu z założeniem, że d(a) = 1, oznacza, że Xα jest epimorfizmem. Dzięki interpretacji
homomorfizmów pomiędzy A-modułami w terminach morfizmów reprezentacji wynika stąd, że HomA (X, Sa ) = 0. Podobnie w przypadku, gdy a nie jest
ujściem, wnioskujemy, że HomA (Sa , X) = 0. Ponieważ dla wiernego modułu
kierującego mamy nierówności pdA X ≤ 1 i idA X ≤ 1, więc jeśli a nie jest
ani źródłem ani ujściem, to
hd, ea iA = hdim X, dim Sa iA = − dimK Ext1A (X, Sa ) ≤ 0
51
2.7. Twierdzenie de la Peña
i
hea , diA = hdim Sa , dim XiA = − dimK Ext1A (Sa , X) ≤ 0,
co prowadzi do konkluzji, iż (d, ea )A ≤ 0. Z wyjątkowości wierzchołka a
wiemy jednak, że (d, ea ) > 0, a więc otrzymaliśmy sprzeczność kończącą
dowód. Paragraf ten zakończymy jeszcze jednym lematem o podobnym charakterze jak lemat 2.6.1.
Lemat 2.6.5. Jeśli d jest maksymalnym pierwiastkiem wiernym formy χA ,
zaś h jest jednym z 0-pierwiastków tej formy, to
(d, h)A > 0.
Dowód. Gdyby (d, h)A = 0, to wektor d+h byłby wiernym pierwiastkiem
większym od d. Jeśli (d, h)A = −1, to d+h jest wiernym 0-pierwiastkiem, co
też jest niemożliwe. Ostatecznie, gdy (d, h)A < −1, to d + h jest dodatnim
wektorem o własności χA (d + h) < 0, co jest sprzeczne ze twierdzeniem
Kernera 2.4.1. 2.7.
Twierdzenie de la Peña
Możemy teraz udowodnić twierdzenie zapowiedziane w paragrafie 2.4.
Twierdzenie 2.7.1 (de la Peña). Niech A będzie algebrą oswojoną posiadającą wierny moduł kierujący. Wtedy A jest algebrą co najwyżej 2-parametryczną. W przypadku, gdy A jest algebrą 2-parametryczną, to A jest
sklejeniem dwóch algebr 1-parametrycznych.
Ponieważ A posiada wierny moduł kierujący, więc jest algebrą odwróconą
i obowiązuje w związku z tym opis przedstawiony w paragrafie 2.4. Jeśli A
jest algebrą co najwyżej 1-parametryczną, to teza twierdzenia jest oczywista.
Możemy zatem założyć, że A jest algebrą co najmniej 2-parametryczną. Dowód tego przypadku przedstawimy w dwóch lematach będących konsekwencją przypadków pojawiających się w punkcie (b) wniosku 2.6.3. Oznaczmy
przez Q = (Q0 , Q1 ) kołczan algebry A. Będziemy także używać notacji wprowadzonej w paragrafie 2.4.
Lemat 2.7.2. Jeśli dla maksymalnego pierwiastka wiernego d formy χA istnieje dokładnie jeden wierzchołek wyjątkowy a, to algebra A jest sklejeniem
dwóch algebr 1-parametrycznych.
52
Dowód. Niech i ∈ {1, . . . , r + s} będzie indeksem dla którego rodzina T (i)
jest niepusta, zaś h 0-pierwiastkiem formy χA takim, że supp h ⊆ supp T (i) .
Na mocy lematu 2.6.5 (d, h)A > 0. Korzystając z założeń o wierzchołku a
oraz wniosku 2.6.3 mamy wtedy, że
X
h(a) = h(a)(d, ea )A =
h(x)(d, ex )A = (d, h)A > 0,
x∈Q0
a więc a należy do supp T (i) . Ponieważ dla i 6= j, i, j = 1, . . . r, nośniki
supp T (i) i supp T (|) są rozłączne, więc wśród rodzin T (i) , i = 1, . . . , r, tylko
jedna może być niepusta, co oznacza, że p ≤ 1. Podobnie pokazujemy, że
q ≤ 1. Ponieważ A jest algebrą co najmniej 2-parametryczną, więc wynika
stąd, że p = q = 1. Lemat 2.7.3. Jeśli dla maksymalnego pierwiastka wiernego d formy χA istnieją dwa różne wierzchołki wyjątkowe a i b, to algebra A jest sklejeniem
dwóch algebr 1-parametrycznych.
Dowód. Na mocy wniosku 2.6.3 oraz lematu 2.6.4 wiemy, że a jest źródłem
bądź ujściem w Q. Podobnie ma się rzecz z wierzchołkiem b. Przypuśćmy,
(i√+q )
że rodziny T (i∞ ) , . . . , T
, i1 < · · · < ip+q , są wszystkimi niepustymi rodzinami rur i ustalmy 0-pierwiastki hi1 , . . . , hip+q formy χA takie, że
supp hi ⊆ supp T (i) dla i = i1 , . . . , ip+q . Korzystając ponownie z wniosku
2.6.3, własności wierzchołków a i b oraz lematu 2.6.5 wnioskujemy, że
X
hi (a) + hi (b) =
hi (x)(d, ex )A = (d, hi )A > 0.
x∈Q0
Ponieważ nośniki supp hi i supp hj są rozłączne dla i 6= j, i, j = 1, . . . , r,
więc wynika stąd, że p ≤ 2. Podobnie q ≤ 2.
Przypuśćmy zatem, że p = 2 i q = 2. Wtedy bez straty ogólności możemy
założyć, że
hi1 (a) 6= 0 = hi1 (b),
hi3 (a) 6= 0 = hi3 (b),
hi2 (a) = 0 6= hi2 (b),
hi4 (a) = 0 6= hi4 (b).
Niech B będzie wypukłą podalgebrą algebry A o nośniku Q0 \ {a}. Wtedy
B jest 2-parametryczną algebrą odwróconą oraz A = B[rad Pa ], gdy a jest
źródłem w Q lub A = [Ia / soc Ia ]B, gdy a jest ujściem w Q. Możemy przyjąć,
że ma miejsce pierwsza możliwość. Ponieważ hi1 (a) 6= 0, więc wynika z tego,
że Pa ∈ P (i∞ ) oraz a 6∈ supp Bi2 . Podobnie wnioskujemy, że a 6∈ supp Bi4 .
53
Wynika z tego, że zgodnie z opisem kołczanu Auslandera–Reiten ΓB algebry
B przedstawionym w paragrafie 2.4 otrzymujemy, że zbudowany jest on ze
składowej preprojektywnej P = P (i∈ ) , rodziny rur T = T (i∈ ) , składowej łączącej CB , rodziny rur T 0 = T (i4 ) oraz składowej preinjektywnej Q = Q(i4 ) .
Z powyższych równości wnioskujemy, że nierozkładalne składniki proste modułu rad Pa muszą należeć do CB . Wykorzystując jeszcze informację o podniesionych ciągach Auslandera–Reiten otrzymujemy, że wtedy Pa należy do
składowej łączącej CA kołczanu ΓA , co prowadzi do sprzeczności z uzyskanym
wcześniej wnioskiem, że Pa ∈ P (i∞ ) .
Rozważmy teraz sytuację, gdy p = 2 i q = 1. Możemy założyć, że hi1 (a) 6=
0 i hi3 (a) 6= 0. Wtedy hi2 (a) = 0 6= hi2 (b), a więc algebra B o nośniku
Q0 \ {a} jest 1-parametryczną algebrą odwróconą. Gdyby a było ujściem
w Q, to A = [Ia / soc Ia ]B, przy czym moduł Ia / soc Ia byłby sumą prostą
modułów znajdujących się składowej preinjektywnej kołczanu ΓB . Podobnie
jak w dowodzie lematu 2.5.9 implikowałoby to jednak, że algebra A jest
dzikiego typu reprezentacyjnego. Zatem a jest źródłem w Q, ale wtedy także
dochodzimy do sprzeczności pokazując, że Pa musi znajdować się jednocześnie
w składowych P (i∞ ) oraz CA .
Pozostaje nam do rozpatrzenia przypadek p = 2 i q = 0. Ponieważ algebra
A powstaje jako iterowane jednopunktowe rozszerzenie algebry ∞ A, niech B
będzie pierwszą algebrą w tym procesie, która jest spójna. Oznaczmy przez
ω dodawany na tym etapie wierzchołek. Ponieważ algebra A posiada wierny moduł kierujący, więc kołczan Pω→ jest przekrojem w składowej łączącej
CB kołczanu ΓB . Stąd wynika, że istnieją składniki proste R1 i R2 modułu
rad Pω takie, że R1→ zawiera podkołczan Σ1 i R2→ zawiera podkołczan Σ2 ,
gdzie Σ1 i Σ2 są typami algebr Bi1 i Bi2 odpowiednio. Jeśli D jest algebrą o
nośniku supp B \ {ω}, to ind D jest koskończona w ind B. Z drugiej strony,
ponieważ Σ1 i Σ2 są kołczanami Euklidesa, znajdują się na nich tylko Dmoduły oraz składowa CB jest standardowa, więc istnieje X ∈ ind D taki, że
dimK HomD (rad Pω , X) ≥ 2 lub nie jest spełniony warunek (a) twierdzenia
Kleinera 1.7.1.
Ze względu na symetrię omawianych przypadków, jedyną możliwością jest
p = q = 1, co kończy dowód lematu, a także twierdzenia 2.7.1. 54
Rozdział 3
Algebry 2-parametryczne
Ostatnie twierdzenie poprzedniego rozdziału pokazuje, że algebry odwrócone
będące sklejeniem dwóch algebr 1-parametrycznych zajmują szczególne miejsce wśród algebr odwróconych. W tym rozdziale podamy pełna listę 2-parametrycznych algebr odwróconych, których składowa łącząca jest możliwie
„najprostsza”. Z informacji o kołczanie Auslandera–Reiten tych algebr, a
także z twierdzenia przedstawionego w dodatku, wynika, że składowa ta nie
może być stabilna. Okazuje się, że może być prawie stabilna. W związku z
tym w rozdziale tym opiszemy wszystkie 2-parametryczne algebry odwrócone
posiadające prawie stabilną składową łączącą.
3.1.
Przygotowanie
Kołczan z translacją Γ = (Γ0 , Γ1 , τ ) jest prawie stabilny, jeśli nie jest stabilny
i istnieje taki wierzchołek x ∈ Γ0 , że pełny podkołczan z translacją o zbiorze
wierzchołków Γ0 \ {x} jest stabilny. Inaczej można powiedzieć, że poza jedną
τ -orbitą wszystkie τ -orbity są stabilne, zaś jedyna niestabilna τ -orbita jest
jednoelementowa i składa się z wierzchołka, który jest jednocześnie projektywny i injektywny. W związku z powyższą definicją przypomnijmy, że jeśli
X jest nierozkładalnym nieprostym modułem projektywno-injektywnym, to
rad X oraz X/ soc X są również nierozkładalne i mamy ciąg Auslandera–
Reiten postaci
0 −→ rad X −→ X ⊕ rad X/ soc X −→ X/ soc X −→ 0
(patrz [AuReSm], [Ga3]). Inną przydatną własność nierozkładalnych modułów projektywno-injektywnych przedstawia poniższe stwierdzenie.
55
3.1. Przygotowanie
Stwierdzenie 3.1.1. Niech A będzie odwróconą algebrą 2-parametryczną o
prawie stabilnej składowej łączącej CA . Jeśli Pa = Ib jest jedynym modułem
projektywno-injektywnym znajdującym się w CA , to a jest źródłem w QA , zaś
b jest ujściem w QA .
Dowód. Przypuśćmy, że istnieje wierzchołek x w QA taki, że x ∈ a− .
Z definicji modułu Px , opisu algebr bazowych (w szczególności ideałów dopuszczalnych) oraz definicji wektora wymiaru wynika, że dim Px (a) 6= 0.
Oznacza to, że HomA (Pa , Px ) 6= 0. Z drugiej jednak strony z opisu kołczanu
Auslandera–Reiten algebry A przedstawionego w paragrafie 2.4 oraz tego, że
Pa jest jedynym modułem projektywnym w CA , wynika, że HomA (Pa , Py ) = 0
dla każdego wierzchołka y 6= a w QA . Oznaczałoby to, że a = x, ale jest to
sprzeczne z założeniem trójkątności algebry A. Analogicznie dowodzimy, że
b jest ujściem w QA . Możemy teraz przystąpić do wprowadzenia kombinatoryki, którą będziemy się posługiwać w tym rozdziale. Niech A będzie algebrą 2-parametryczną,
której składowa łącząca CA jest prawie stabilna. Niech X := Pa = Ib będzie
jedynym modułem projektywno-injektywnym w CA . Z ostatniego stwierdzenia wynika, że a jest źródłem w QA . Jeśli więc B1 jest wypukłą podalgebrą
algebry A, której kołczan powstaje z QA przez usunięcie wierzchołka a i
wszystkich wychodzących z niego strzałek, to A = B1 [rad X]. Ponadto z paragrafu 2.4 wynika, że B1 jest domowym rozszerzeniem tubularnym oswojonej
algebry ukrytej. Z drugiej strony z faktu, że CA jest prawie stabilny oraz postaci podniesionych ciągów Auslandera–Reiten wiemy, że Σ(1) := (rad X)→
jest przekrojem w składowej preinjektywnej kołczanu ΓB1 (przypomnijmy,
że moduł rad X jest nierozkładalny). Jeśli przez B oznaczymy wypukłą podalgebrę algebry B1 powstała przez usunięcie wierzchołka b, to B1 = [R]B,
gdzie R := rad X/ soc X. Ponadto informacje o ciągach podniesionych pozwalają nam znów powiedzieć, że składowe kołczanu ∆(1) := Σ(1) \ {rad X}
są przekrojami w odpowiednich składowych kołczanu ΓB . Ponieważ Σ(1) jest
kołczanem Euklidesa, więc ∆(1) jest rozłączną sumą kołczanów Dynkina, skąd
wynika, że B jest produktem algebr odwróconych typu Dynkina.
Zauważmy, że powyższe rozumowanie można przeprowadzić w odwrotnym porządku, tzn. najpierw usuwając wierzchołek b, a potem a. Otrzymamy
wtedy algebrę B2 , która jest algebrą odwróconą typu Σ(2) := (X/ soc X)←
będącą tym razem domowym korozszerzeniem tubularnym oswojonej algebry ukrytej, o własnościach A = [X/ soc X]B2 oraz B2 = B[R]. Mamy także
drugą rodzinę przekrojów w składowych kołczanu ΓB powstałą ze składowych kołczanu ∆(2) := Σ(2) \ {X/ soc X}. Z powyższych rozważań wynika,
że algebrę A możemy znaleźć opisując algebry B1 i B2 , będące odpowied56
3.1. Przygotowanie
nio korozszerzeniem i rozszerzeniem jednopunktowym algebry B o ten sam
moduł.
Aby móc to uczynić zdefiniujmy funkcję i(B,R) : ΓB → Z∆(1) . Jeśli Y ∈
ΓB , to i(B,R) (Y ) := (n, Z) wtedy i tylko wtedy, gdy τBn Y = Z. Na zbiorze
wierzchołków kołczanu Z∆(1) określamy ponadto funkcje częściowe f(B,R) i
g(B,R) wzorami
f(B,R) (iR (Y )) := dimK HomB (R, Y )
i
g(B,R) (iR (Y )) := dimK HomB (Y, R)
dla Y ∈ ΓB . Oczywiście dziedziną funkcji f(B,R) i g(B,R) jest obraz funkcji
i(B,R) .
Przydatna będzie możliwość porównywania funkcji f(B,R) i g(B,R) z innymi
funkcjami określonymi na podzbiorach zbioru wierzchołków kołczanu Z∆(1) .
Niech Γ = (Γ0 , Γ1 ) będzie kołczanem. Jeśli f1 i f2 są dwoma funkcjami częściowymi określonymi na zbiorze Γ0 o dziedzinach D1 i D2 odpowiednio, to
piszemy f1 ≤ f2 , jeśli D1 ⊆ D2 oraz f1 (x) ≤ f2 (x) dla wszystkich x ∈ D1 .
Wprowadzonymi powyżej oznaczeniami będziemy posługiwać się odtąd
do końca tego rozdziału.
Ten przygotowawczy paragraf zakończymy przytoczeniem serii faktów,
które zagwarantują nam, że wszystkie pojawiające się algebry spełniają warunki, których zażądliśmy na początku tego rozdziału. Fakty te są konsekwencją kryterium Liu, Skowroński 2.2.1.
Stwierdzenie 3.1.2. Jeśli A jest algebrą, której kołczan Auslandera–Reiten ΓA posiada tylko jedną skierowaną i skończoną składową, w której istnieje
przekrój, to A jest algebrą odwróconą.
Stwierdzenie 3.1.3. Niech A1 , . . . , Ak będą algebrami odwróconymi, R1 ,
. . . , Rk nierozkładalnymi Ai -modułami, i = 1, . . . , k, odpowiednio, takimi, że
Ri← jest przekrojem w składowej łączącej CAi kołczanu ΓAi , i = 1, . . . , k. Jeśli
A := A1 × · · · × Ak i R := R1 ⊕ · · · ⊕ Rk , to A[R] jest algebrą odwróconą.
W przypadku, gdy A[R] jest algebrą odwróconą typu Euklidesa nieskończonego typu reprezentacyjnego, to A[R] jest domowym rozszerzeniem tubularnym
oswojonej algebry ukrytej.
Analogiczny fakt ma miejsce dla korozszerzeń jednopunktowych.
57
e6
3.2. Przypadek E
3.2.
e6
Przypadek E
e 6.
W paragrafie tym rozpatrzymy sytuację, gdy Σ(1) jest kołczanem typu E
e
Przypomnijmy, że kołczany typu E6 powstają przez zorientowanie krawędzi
w następującym grafie
r
r
r
r
x
y
r
z
r
r .
Zauważmy, że z dokładnością do symetrii musimy rozpatrzeć trzy przypadki możliwego położenia modułu rad X. Może się on bowiem znajdować w
jednym z wierzchołków x, y lub z.
3.2.1.
Podprzypadek x
W przypadku, gdy rad X znajduje się w wierzchołku x, to algebra A lub
algebra Aop jest izomorficzna z algebrą postaci KQ/I, gdzie Q jest jednym
z kołczanów znajdujących się na poniższej liście. Obok każdego z kołczanów
wypisane są elementy generujące ideał I.
Lista 0
δ r
r
η
I
@
@ ι
ζ
r
r r
(1)
κ
I
@
β@
r r θ
ε
α
γ
r
ε r
r
β Q
kζ
δ QQ
ι
+
α
θ r
r
(2) r r r κ
k
Q
Q
γQ η
+
αδη + γζ + βεθ, ζι − ζκ, ηι, θκ
βζ + αδθ + γη, βε, θι − θκ, ζι, ηκ
r
r
r
β Q
kε
θ I
κ
δ QQ
@
@
η r
+
α
r
r
r
r
(3)
ι
k
Q
Q
γQ r +ζ
βε + αδη + γζ, ηι − ηθκ, εθ, ζι
58
e6
3.2. Przypadek E
γ
(4) r
α
r r
ε
@
I
@
Q
k
Q
δ
+
βQ r
r θ
(5) r
α
η
η
ε
@
I
@
ζ
r r
r
θ
Q
k
Q
δ
+
βQ r
γ
(6) r
(7) r
α
r r
αγεζ − βδζ, δζι − δθ, εθ, ηι
@
I
@ ι
r ζ r
γ
r r
r
ε η
I
@
@ r
r
ι
@
I
@
θ
I
@
β@
r r ζ
δ
γ
r r
r
ζ η
ι
α
I
@
I
@ @
@
r
Q
k
Q
ε
+
βQ r
r
θ
ι
@
I
@
r
αγεζ − βδζ, εζηι − εθ, δθ
r
αγεη − βδζη, εηι − εθ, ζθ
r
αγζη − βεη, βδ, ζηι − ζθ, εθ
r
αγεζ − βδζ, δη, εζθ − εηι
r
αβδε − γε, γζ, δεθ − δζι, ηι
δ
γ
(8) r
α
r r
ε ζ
I
@
@ r
r
θ
@
I
@
Q
k
Q
δ
+
βQ r
I
η@
@ ι
r
β
r
α
r r
(9) r γ
δ ε
I
@
@ r
θ
@
I
@
@
I
@ ι
r ζ r
η
r
α @
δ
@
β I
ε
(10) r r I
γ@
@ ζ
r
η
θ
r
r
κ
@
I
@
ι
r
αδ + βε + γζ, γη, δθ, εθκ − ει, ζι
r
αδ + βε + γζ, δη, εηι − εθκ, ζθ
r
r
α @
δ
@
β rI
ε
r
(11)
I
γ@
@ ζ
r
η
r
r
ι
@
I
@
@
I
θ@
κ
r
59
e6
3.2. Przypadek E
(12) r
α
@
@
βI
r
ε r
r
γ ζ
θ
I
@
I
@ @
@
r
r
δ
ι
I
η@
@ r
r
αγζ − βδζ, δη, γζθ − γηι, εθ
δ r
r
α I
ε ι
@
β @
ζ
(13) r r r κ
I
γ@
@ η
r r
θ
ζ
r
r
γ
η
α @
I
@ r
(14) r
I
@ δ
β@
r r
ε
γ
r r
α @
δ η
I
@ r
(15) r
I
@ ε
β@
r r
ζ
r
r
αε + βζ + γη, αδ, γθ, ει, ηκ, ζι − ζκ
ι
@
I
@
θ
r
ι
@
I
@
θ
r
αγη − βδη, βε, γηι − γθ, δθ, ζι
r
αγ, αδη − βεη, βζ, δηι − δθ, εθ
Aby udowodnić powyższą tezę rozważmy jakie są możliwe postacie funkcji
f(B,R) w rozważanym przypadku. Ponieważ f(B,R) (n, x) ≥ 0 dla wszystkich
wierzchołków (n, x) kołczanu Z∆(1) należących do dziedziny funkcji f(B,R)
oraz dla każdego x ∈ ∆(1) zbiór liczb całkowitych n dla których wierzchołek
(n, x) należy do dziedziny funkcji f(B,R) jest przedziałem, więc funkcja nie
może być większa niż funkcja, którą graficznie można przedstawić następująco
0
p p p
@
R
@
1k
0
0
@
R
@
1k
@
R
@
0
1
1
@
R
@
1
0
@
R
@
1
0
@
R
@
0
0
@
R
@
0
@
R @
@
R @
@
R @
@
R @
@
R @
@
R @
@
R @
p p p - 0 - 1k- 1k- 0 - 1 - 1 - 2 - 1 - 1 - 0 - 1 - 1 - 0
@
R @
@
R @
@
R @
@
R @
@
R @
@
R @
@
R
@
p p p
0
1k
1
1
1
0
0
@
R
@
0
@
R
@
0
@
R
@
1k
@
R
@
0
@
R
@
1
@
R
@
0
@
R
@
0
.
@
R
@
0
Kółka symbolizują wierzchołki tworzące kołczan ∆(1) . Tym oznaczeniem będziemy się także posługiwali w dalszych rozważaniach. Zauważmy, że z twierdzenia Kleinera 1.7.1 i stwierdzenia 1.7.2 wynika, że aby otrzymana algebra
była algebrą 1-parametryczną, a więc algebrą nieskończonego typu reprezen60
e6
3.2. Przypadek E
tacyjnego, do dziedziny funkcji f(B,R) musi należeć wierzchołek w kwadracie
i wartość funkcji f(B,R) musi być dla niego równa 2. W konsekwencji otrzymujemy, że funkcja f(B,R) nie może być mniejsza niż następująca funkcja
1k
1k
@
R
@
1
@
R @
@
R
@
1k- 1k- 0 - 1 - 1 - 2 .
@
R @
@
R @
1k
1
@
R
@
1k
Symetryczne rozważania możemy przeprowadzić dla funkcji g(B,R) . Łącząc
uzyskane w ten sposób informację oraz wykorzystując zachodząca dla wszystkich nierozkładalnych B-modułów X i Y nierówność dimK HomB (X, Y ) ≥ 0
otrzymujemy lepsze oszacowanie górne na funkcję f(B,R)
0
0k
0
@
R
@
0
@
R
@
0
@
@
R
0
0k
1k
0
@
R
@
0
@
R
@
1k
@
R
@
0
1
1
@
R
@
1
@
R @
@
R @
@
R @
@
R @
@
R @
.
0 - 0 - 0 - 0 - 0k- 1k- 1k- 0 - 1 - 1 - 2 - 1
@
R @
@
R @
@
R @
@
R @
@
R @
@
R
@
0
0
0k
0
1k
1
1
@
R @
@
R @
@
R @
@
R @
@
R @
@
R @
@
R
@
0
1
0
0k
0
0
1k
0
@
R
@
Na powyższym rysunku w kółkach umieściliśmy także wierzchołki należące
do kołczanu ∆(2) . Ponadto w drugim kwadracie znajduje się wierzchołek,
którego przynależność do obrazu funkcji i(B,R) jest niezbędna, aby algebra
B1 była algebrą 1-parametryczną, i który w związku z tym wymusza powyższe ograniczenie na postać funkcji f(B,R) . Zauważmy, że w powyższych
rozumowaniach wykorzystywaliśmy fakt, iż kołczan ΓB jest standardowy.
Poniżej wypiszemy wszystkie, z dokładnością do symetrii, możliwe postacie funkcji f(B,R) wraz z informacją, którym algebrom na liście 0 one odpowiadają. Wypisując te kształty będziemy dla uproszczenia rysunków ograniczać
się do wierzchołków znajdujących się „na prawo” od kołczanu ∆(1) , gdyż te
informacje w jednoznaczny sposób identyfikują algebrę B i moduł R, a zatem
także szukaną algebrę.
61
e6
3.2. Przypadek E
1k
1k
@
R
@
1
@
R @
@
R
@
1k- 1k- 0 - 1 - 1 - 2
@
R @
@
R @
1k
1
@
R
@
1k
1k
1k
algebra (1)
@
R
@
0
1
@
R @
@
R
@
1k- 1k- 0 - 1 - 1 - 2
@
R @
@
R @
1k
1
@
R
@
1k
algebra (2)
1k
1k
@
R
@
1
1
@
R @
@
R @
algebra (3)
1k- 1k- 0 - 1 - 1 - 2
@
R @
@
R @
1k
1
@
R
@
1k
1k
1k
@
R
@
0
1
@
R
@
1
@
R @
@
R @
algebra (4)
1k- 1k- 0 - 1 - 1 - 2
@
R @
@
R @
1
1k
@
R
@
1k
1k
1k
@
R
@
0
1
1
@
R
@
1
@
R @
@
R @
algebra (5)
1k- 1k- 0 - 1 - 1 - 2
@
R @
@
R @
1k
1
@
R
@
1k
62
e6
3.2. Przypadek E
1k
1k
@
R
@
1
@
R @
@
R
@
1k- 1k- 0 - 1 - 1 - 2 - 1
@
R @
@
R @
1k
1
@
R
@
1k
1k
1k
algebra (6)
@
R
@
0
1
@
R @
@
R
@
1k- 1k- 0 - 1 - 1 - 2 - 1
@
R @
@
R @
1k
1
@
R
@
1k
algebra (7)
1k
1k
@
R
@
1
1
@
R @
@
R @
1k- 1k- 0 - 1 - 1 - 2 - 1
@
R @
@
R @
1k
1
@
R
@
1k
1k
1k
algebra (8)
@
R
@
0
1
@
R
@
1
@
R @
@
R @
1k- 1k- 0 - 1 - 1 - 2 - 1
@
R @
@
R @
1
1k
@
R
@
1k
1k
1k
@
R
@
0
1
1
@
R
@
1
@
R @
@
R @
1k- 1k- 0 - 1 - 1 - 2 - 1
@
R @
@
R @
1k
1
@
R
@
algebra (9)
algebra przeciwna do algebry (5)
1k
63
e6
3.2. Przypadek E
1k
1k
@
R
@
0
1
@
R @
@
R
@
algebra (10)
1k- 1k- 0 - 1 - 1 - 2
@
@
@
R
@
R
@
R
@
1k
1
1
@
R
@
1k
1k
1k
@
R
@
1
1
@
R @
@
R @
algebra (11)
1k- 1k- 0 - 1 - 1 - 2
@
@
@
R
@
R
@
R
@
1
1k
1
@
R
@
1k
1k
1k
@
R
@
0
1
@
R
@
1
@
R @
@
R @
algebra (12)
1k- 1k- 0 - 1 - 1 - 2
@
R @
@
R @
@
R
@
1k
1
1
@
R
@
1k
1k
1k
@
R
@
0
1
1
@
R
@
1
@
R @
@
R @
1k- 1k- 0 - 1 - 1 - 2
@
R @
@
R @
@
R
@
1
1k
1
@
R
@
1k
1k
1k
@
R
@
0
1
@
R @
@
R
@
1k- 1k- 0 - 1 - 1 - 2 - 1
@
R @
@
R @
@
R
@
1k
1
1
@
R
@
1k
64
e6
3.2. Przypadek E
1k
1k
@
R
@
1
1
@
R @
@
R @
1k- 1k- 0 - 1 - 1 - 2 - 1
@
R @
@
R @
@
R
@
1k
1
1
@
R
@
1k
1k
1k
@
R
@
0
1
@
R
@
1
@
R @
@
R @
1k- 1k- 0 - 1 - 1 - 2 - 1
@
R @
@
R @
@
R
@
1k
1
1
@
R
@
1k
1k
1k
@
R
@
0
1
1
@
R
@
1
@
R @
@
R @
1k- 1k- 0 - 1 - 1 - 2 - 1
@
R @
@
R @
@
R
@
1k
1
1
@
R
@
1k
1k
1k
1k
@
R
@
0
1
@
R @
@
R
@
1k- 1k- 0 - 1 - 1 - 2
@
R @
@
R @
1
1k
@
R
@
1k
1k
@
R
@
@
R
@
1
algebra (13)
0
0
@
R
@
1
@
R @
@
R @
algebra (14)
1k- 1k- 0 - 1 - 1 - 2
@
R @
@
R @
1k
1
@
R
@
1k
@
R
@
0
65
e6
3.2. Przypadek E
1k
1k
@
R
@
1
0
1
@
R
@
1
@
R @
@
R @
1k- 1k- 0 - 1 - 1 - 2
@
@
R
@
R
@
1k
1
@
R
@
1k
1k
1k
@
R
@
@
R
@
1
0
0
@
R @
@
@
R
1k- 1k- 0 - 1 - 1 - 2 - 1
@
R
@
1k
@
R
@
@
R
@
1k
1
@
R
@
1k
1k
@
R
@
1
algebra (15)
0
0
@
R
@
1
@
R @
@
R @
1k- 1k- 0 - 1 - 1 - 2 - 1
@
R @
@
R @
1k
1
@
R
@
1k
1k
1k
@
R
@
@
R
@
1
0
0
1
@
R
@
1
@
R @
@
R @
1k- 1k- 0 - 1 - 1 - 2 - 1
@
R @
@
R @
1
1k
@
R
@
1k
1k
1k
@
R
@
@
R
@
1
0
0
@
R
@
1
@
R @
@
R @
1k- 1k- 0 - 1 - 1 - 2
@
R @
@
R @
@
R
@
1k
1
1
@
R
@
1k
@
R
@
0
66
e6
3.2. Przypadek E
1k
1k
@
R
@
1
0
1
@
R
@
1
@
R @
@
R @
1k- 1k- 0 - 1 - 1 - 2
@
@
@
R
@
R
@
R
@
1
1k
1
@
R
@
1k
1k
1k
@
R
@
@
R
@
1
0
0
@
R
@
1
@
R @
@
R @
1k- 1k- 0 - 1 - 1 - 2 - 1
@
R @
@
R @
@
R
@
1k
1
1
@
R
@
1k
1k
1k
@
R
@
@
R
@
1
0
0
1
@
R
@
1
@
R @
@
R @
1k- 1k- 0 - 1 - 1 - 2 - 1
@
R @
@
R @
@
R
@
1k
1
1
@
R
@
1k
1k
1k
@
R
@
@
R
@
1
0
0
1
@
R
@
1
@
R @
@
R @
1k- 1k- 0 - 1 - 1 - 2
@
R @
@
R @
@
R
@
1
1
1k
@
R
@
1k
1k
1k
@
R
@
@
R
@
1
0
0
@
R
@
@
R
@
1
1
1
@
R @
@
@ R
1k- 1k- 0 - 1 - 1 - 2 - 1 algebra przeciwna do algebry (1)
@
R
@
1k
@
R
@
@
R
@
1k
1
@
R
@
@
R
@
0
1
@
R
@
1
Zauważmy, że wszystkie algebry z listy 0 możemy przedstawić w zwartej formie jako algebry należącej do rodzin E 0 (3, 3) i E 00 (3, 3), gdzie rodzina
67
e6
3.2. Przypadek E
E 0 (u, v) := KQ0 (u, v)/I 0 (u, v) zdefiniowana jest jako rodzina algebr o kołczanie
α
α
| 2
|k
@
I
@αp
@
α1
αp+q+1
r
I
@
@
I
@βr
@
β1
αp+q+2
r
βr−1
p p p |k
β2
p p p p−1 |
r
I
@
@
αp+1
@
@
αp+q βr+1
p p p −
αp+q−1 −
αp+2
r ,
βr+s
@
p p p −k
−k
βr+s−1
βr+2
gdzie p, q ≥ 2, r, s ≥ 1, zaś każdy z kwadratów może być zastąpiony przez
pewien skończony, spójny i wypukły podkołczan następującego kołczanu
p
p
p
r
p
p
p
p
p
p
r
p
p
p
p
p
p
r
I
@ φ
ψ@
r
p
p
p
p
p
p
r
p
p
p
I
@ φ
ψ@
r
@
I
@
ψ@
φ
r
@
γ?
r
t
zawierający wierzchołek t, przy czym wierzchołek t zajmuje miejsce zastępowanego kwadratu. Podobnie okręgi mogą zostać zastąpione przez skończone,
spójne i wypukłe podkołczany kołczanu
p
p
p
r
p
p
p
p
p
p
r
p
p
p
p
p
I
@ φ
ψ@
r
p
r
p
p
p
p
p
p
r
p
p
p
I
@ φ
ψ@
r
@
I
@
ψ@
φ
@
r
δ6
r
s
zawierające wierzchołek s, który zajmuje miejsce zastępowanego okręgu. Parametr u równa jest sumie liczb p, r i ilości strzałek w kołczanach symbolizowanych przez kwadraty i okręgi z pionowymi kreskami pomniejszonej o 1.
Analogicznie, wykorzystując liczby q, s oraz kwadraty i okręgi z poziomymi
68
e6
3.2. Przypadek E
kreskami, definiujemy liczbę v. Ideał I 0 (u, v) generowany jest przez elementy α1 · · · αp + αp+1 · · · αp+q + αp+q+1 αp+q+2 , αp β1 , αp+q βr+1 , αp+q+2 β1 · · · βr −
αp+q+2 βr+1 · · · βr+s , oraz wszystkie możliwe elementy postaci αi γ, δβi , ψφ.
Podobnie E 00 (u, v) := KQ00 (u, v)/I 00 (u, v), gdzie Q00 (u, v) jest następującym kołczanem
α
| 2
α
α1
r
αp+1
r
βr−1
p p p |k
I
@
@βr
@
β2
p p p p−1 |
|k
@
I
@αp
@
αp+2
β1
r
I
@
r ,
βr+s
@
βr+1
@
−k
βr+2
p p p −k
βr+s−1
p, r ≥ 1, s ≥ 1, liczba u jest zdefiniowana jak poprzednio, zaś liczba v
jest powstaje z sumy liczby s i ilości strzałek w kołczanach oznaczonych
okręgami z kreską pionową przez odjęcie 1. Generatorami ideału I 00 (u, v) są
αp β1 , αp+2 β1 · · · βr − αp+2 βr+1 · · · βr+s , α1 · · · αp βr+1 − αp+1 αp+2 βr+1 , a także
wszystkie możliwe drogi postaci αi γ, δβi , ψφ.
3.2.2.
Podprzypadek y
W sytuacji, gdy rad X znajduje się we wierzchołku y, to f(B,R) nie przekracza
następującej funkcji
1k
p p p
@
R
@
1k
@
R
@
@
R
@
1k
@
R
@
@
R
@
@
R
@
@
R
@
@
R
@
p p p
p p p
1k
0
0
0
0
0
0
@
R
@
@
R
@
1k
@
R
@
@
R
@
@
R
@
1k
@
R
@
1
69
1
1
1
0
0
.
0
@
R
@
0
e6
3.2. Przypadek E
Aby powstałe algebry były nieskończonego typu reprezentacyjnego funkcja
f(B,R) nie może być mniejsza niż
1k
1k
1k
1k
@
R
@
@
R
@
1 .
1k
@
R
@
1k
Ostateczne ograniczenie funkcji f(B,R) ma postać
1k
0k
0
0
@
R
@
@
@
R
0
@
R
@
@
@
R
0k
1k
0
0k
@
R
@
@
R
@
1k
0k
@
R
@
@
R
@
0
1k
@
R
@
@
R
@
1
1k
@
R
@
@
R
@
1k
1
,
1
co oznacza, że jej możliwe postacie, to
1k
1k
1k
1k
1k
1k
1k
1k
@
R
@
@
R
@
1 ,
1k
@
R
@
@
R
@
1k
@
R
@
@
R
@
1
1k
1k
1k
1
,
1k
@
R
@
@
R
@
1k
1k
@
R
@
@
R
@
1k
1
@
R
@
@
R
@
1k
1
,
1
które, z dokładnością do algebr przeciwnych, dają nam algebry z poniższej
listy.
70
e6
3.2. Przypadek E
Lista 1
r
A
δ r Aθ
α r Aι
β
ε I
I
@
@ @
@
κA r
r
(1) r
I
γ@
@ ζ λ
r r
βε − γζ, δι − εκ, ηλ − ζκ, γηλ − αθ
η
r
A
r Aθ
α r ε
Aι
β
I
η @
@A
r
r
(2) r
δ
I
γ@
κ
@ r
r
βε − γδη, δηι − ζκ, αθ − γζκ
ζ
3.2.3.
Podprzypadek z
Ostatni podprzypadek obejmujący sytuacje, gdy rad X znajduje się we wierzchołku z, prowadzi do następującego ograniczenia górnego na funkcję f(B,R)
1k
0
p p p
0
@
R
@
1k 1k
p p p
0
@
R
@
1k 1k
p p p
@
R
@
1k
i następującego ograniczenia dolnego na tę funkcję
1k
1k 1k
,
k
k
1 1
1k
71
e7
3.3. Przypadek E
więc w efekcie funkcja f(B,R) może mieć jedyną możliwą postać
0k
1k
R
@
0k 1k 1k
,
@
R @
0k 1k 1k
@
@
R
@
1k
która daje nam poniższą algebrę.
Lista 2
δ r
r
η
α
I
@
@
β
ε
θ
(1) r r r r
I
γ@
ι
@
r r
ζ
3.3.
αδη − βεθ, βεθ − γζι
e7
Przypadek E
e 7,
Zajmiemy się teraz przypadkiem, gdy kołczan Σ(1) jest kołczanem typu E
a więc powstaje przez zorientowanie krawędzi w następującym grafie
y
r
r
r
r
r
x
r
z1
r
z2
r .
z3
Ponownie możemy ograniczyć się do przypadków, gdy rad X znajduje się we
wierzchołkach x, y, z1 , z2 i z3 . Posługując się metodami podobnymi jak w
poprzednim paragrafie otrzymujemy w powyższych przypadkach następujące
listy algebr, odpowiednio.
Lista 3
ζ
δ r r
r
α
ι
I
@
@
γ
r θ
r
(1) r I
κ
@
β@
r r r
ε η
αδζι − γθ, βεηκ − γθ
72
e7
3.3. Przypadek E
δ
r
ε
Y
H
α ζH
β
(1) r r Y
H
H
η
I
γ@
@ r
θ
Y
H
ιH
γ
δ
=
α r
(2) r Y
H
εH
I
@ β@
r
ζ
Y
H
ηH
γ
r
δ
Y
H
H
α
(3) r
I
@ β@
ε
r
Y
H
H
ζ
Lista 4
r
}Z
Z
κ
rX
yXZ
λZ
X
X r
9 µ r
ν
=
r
r
θ r
Y
H
H
ι
µ
r
I
@
@
r
9
κ
r
λ
=
r
r
}Z
Z
ι
r ηZ
Z
Y
H
λ r
H r
r θ κ
=
r
αε − βζ, βη − γθ, δκ − ελ, ζλ − ηµ, θµ − ιν
γθ − αδι, αε − βζ, διµ − εκ, ζκ − ηλ
αδη − βεθ, γι − δηλ, ζκ − εθλ
Lista 5
η
r
r
α
κ
I
@
β δ r ι @
r
(1) r r I
γ@
@ ε
r r r λ
ζ
θ
Lista 6
r
YH ι
β H
δ
H
α
κ r
ε H
r
(1) r r r ζ
I
@
I
@
@ λ
@
r γ@
µ
@ η r r
r
βδ − γε, ει − ζθλ, αηκ − γζθλ
αδζ − γη, εκ − ζλ, ηλ − θµ, βι − γθµ
θ
o
Sr ι
γ S
S
δ
/α ε
κS r
(2) r r r ζ
I
@
@ λ
r µ
βAKA
A η r r
θ
αδ, αζ − βη, εκ − ζλ, ηλ − θµ, γι − βθµ
73
e8
3.4. Przypadek E
r
HH κ
γ Y
δ
µ r
α
θ H
H
r
(3) r r r ε
I
@
K
A
@ ι
A
r
βA
λ
A ζ r r
η
αε − βζ, δθ − ει, ζιµ − ηλ, γκ − βηλ
r
β
I
@
r @ι
ζ@
I
@
@
@
η
λ r
r r
γ
(4) r r
A
K
A
αA
θ
γη − αδθ, δθλ − εκ, ζλ, βι − αεκ
κ
δ
A r r
ε
r
YH
γ H
HιH
ζ r
β
θ
H
λ r
r
r
r
(5)
K
A
η
A
r
κ
αA
δ
A r
βζ − αδη, δηθλ − εκ, γι − αεκ
r
ε
W przypadku z3 okazuje się, że otrzymujemy algebry tworzące rodziny
E (3, 4), E 00 (3, 4) oraz E 00 (4, 3).
0
3.4.
e8
Przypadek E
e p , który został do rozpatrzenia, są kołOstatnim rodzajem kołczanów typu E
e 8 . Powstają one przez zorientowanie krawędzi w następującym
czany typu E
grafie
y
r
r
z2
r
z1
r
x
r
r
t1
t2
r
t3
r
t4
r .
t5
Ze względu na brak symetrii w tym przypadku, musimy rozpatrzyć kolejno
możliwości, gdy rad X znajduje się we wierzchołku x, y, z1 , z2 , t1 , t2 , t3 , t4 i
t5 . Pierwsze osiem daje nam odpowiednio następujące listy algebr.
74
e8
3.4. Przypadek E
Lista 7
α
ζ
r
r
κ
I
@
γ
θ @
r
r
(1) r I
@
β@
r r r r r λ
ε
η
ι
δ
αζκ − γθ, γθ − βδεηιλ
Lista 8
ζ r
r
η Q
k
α Qλ
β r
µ r
+
Q
δ
ι
r
r
r
(1)
I
γ@
ν
@ θ
r
r r
ε κ
αζ − βη, βδι − γθ, ηλ − διµ, θµ − εκν
δ r
ι r
r
ζ
λ
α
I
@
@
µ
β η
r r
(2) r r θ
I
γ@
@ r r ν
r
αδι − βζ, βη − γθ, ζλ − ηµ, θµ − εκν
ε
κ
r ε
r
HH λ
ζ Y
α
η
β
µ r
H
δ
κ H
r r r
r
(3) r YH
H
θ ν
γHH r
r
αε − βζ, βδηκ − γθ, ζλ − δηκµ, θµ − ιν
ι
Lista 9
r
PP
i
γ
Pι
α r
δ r
ε r κPPP r
)
(1) r YH
H
ζ
µ
βHH r r r r
η θ λ
ε
δ r
r
ζ
Y
H
H
α
η
β
r
r
(1) H
H
Y
YH
θH
γHH ι
r
Y
H
κH
r
}Z
Z
λ
rX
µZ
yXZ
X
X r
9
ν
r
ξ
=
r
γι − αδεκ, αδε − βζ, ζκ − ηθλµ
Lista 10
αδζ − βη, βθ − γι, ελ − ζµ, ηµ − θν, ιν − κξ
75
e8
3.4. Przypadek E
δ
α
β
(2) r I
γ@
@
ε
r
ζ
Y
H
H
η
r
Y
H
θH
ι
r Y
H
κH
δ
r
Y
H
α ζHε
β (3) r r Y
H
ηH
I
γ@
@ r
θ
Y
H
ιH
γ
δ
=
α r (4) r Y
H
εH
I
@ β@
r ζ
Y
H
ηH
γ
δ
=
α r (5) r Y
H
εH
I
@ β@
r ζ
Y
H
ηH
γ
r
α
r
(6) H
YH
βHH
γ
(7) r
α
δ
r
Y
H
εH
I
@ ζ
β@
r
Y
H
ηH
γ
(8) r
α
r
δ
H
Y
H
I
@ ε
β@
r
Y
H
ζH
r
rZ
}Z
λ
rX
yXZ
X
X
µZ
9 ν
r
ξ
=
r
r
κ r
Y
H
H
ξ
r λ @
I
@
9
µ
r
ν
=
r
r
Y
ιHθ r
rH
κ @
r ν
I
@
9
r
λ
µ
=
r
r
θ r
Y
H
H
κ
ι
r
r
αε, αζ − βη, βθ − γι, δλ − ζµ, ηµ − θν, ιν − κξ
r
αε − βζ, βη − γθ, δκ − ελ, ζλξ − ηµ, θµ − ιν
r
γθ − αδκ, αε − βζ, δκµ − ελ, ζλ − ηµ, ιν
r
ν
@
I
@
r γθ − αδι, αε − βζ, δικν − ελ, ζλ − ηµ
((
9(((
r(
λ
µ
r
δ r
r
}Z
Z
κ
Y
H
εH r
Z
θ
µ r
Z
Y
H
H r
αγεθ − βζι, δκ − εθµ, ζιµ − ηλ
ι
r
ζ
r
λ
=
Y
H
H
η r
r
rZ
}Z
κ
Z
r
θ
µ r
Z
Y
H
H r
αεθ − βζι, αδ, γκ − εθµ, ζιµ − ηλ
ι
r
λ
=
r
r η
Y
H
H r
θ
µ
r @
I
@
ι r
Y
H
ν r αδι − βεκ, γη − δθ, εκν − ζλ, θµ − ιν
H
κ r
λ
=
r
76
e8
3.4. Przypadek E
r ζ
ηH
Y
H r
β r θ
µ
γ r H
I
@
ι
@
=
Y
ν
H
9
r r βζ − γθ, γι − αδκ, δκν − ελ, ηµ, θµ − ιν
(9) r κ
r
I
α@
δ
@ r
λ
=
Y
H
εH r r ζ
Y
H
κ r
H r
β η
ν
γ r H
I
@
θ r µ@
=
Y
H
9
r
r βζ − γη, γθ − αδι, διµ − ελ, ηκν − θµ
(10)
ι
r
I
α@
δ
@ r
λ
Y
H
H
ε r
Lista 11
r ε
r
YH ζ
β H
Q
k
Qκ
γ r ηHH r +
λQ r
r
(1)
I
α@
µ
@
r r r r
ι
δ
θ
βζ − γη, γηλ − αδθιµ, εκ − ζλ
Lista 12
η
r
r
δ
κ
α @
I
@
@
@
β rI
ε
θ
λ
r
r
r
r
(1)
I
γ@
µ
@
r r r
ι
ζ
αδ − βε, βεθλ − γζιµ, ηκ − δθλ
Lista 13
r
ε
r
α
λ
I
@
@
β r
ζ r
µ r
δ
ι
r
r
r
αελ − βδζιµ, βδθ − γη, ζιµ − θκ
(1)
k
Q
Q
k
Q
Qθ
γQ
κ
+
Q r
r
η
η
r
r
α
λ
I
@
θ rr @
β r
µ r
δ
r
r
(2)
αηλ − βδιµ, βε − γζ, δθ, διµ − εκ
ι I
I
@
γ@
ε
κ
@ @ r r
ζ
η
r
r
α
λ
I
@
@
β r
µ r
δ
θ
r
r
r
(3)
αηλ − βδθµ, βε − γζ, δι − εκ, θµ − ιν
I
I
@
I
@
γ@
ε
ι
ν
@ @ @ r r r
κ
ζ
77
e8
3.4. Przypadek E
Lista 14
r
δ
ζ
η
β
r
(1) r I
α@
@
r r r θ
γ
ι
ε
I
@
r @κ
YH@
H
λ@
µHH
r
r
ν
r
δκ − βζλ, βη − αγεθ, ζλ − ηµ, θµ − ιν
r
@
I
@κ
γ r
δ
θ @@
I
@
@
ζ
µ r
ι r
r r r r
9
γκ − δθµ, δθ − αβεζι, ζιµ − ηλ
(2) r α β ε
I
@
η@ r λ
r
I
@λ
γ r @
Y
H
µ
H@
ε
β
H@
ζ
+
ι
H r
r r r
(3) r γλ − βεµ, βζ − αδη, εµ − ζιν, ηι − θκ
I
α@
@
η κ
r r r
δ
θ
ν
r
I
@λ
β r @
γ
η@
I
@
@
@
µ
+
ε
θ
)
r r r r r
(4) r α δ
I
I
ι@ ν
@ @
ζ@
r r
r
βλ − γηµ, γη − αδεθ, ει − ζκ, θµ − ιν
κ
I
@κ
γ r @
H
Y
H@
ε
λ
β
ζ
µH@
+
H r
r r
(5) r η
I
α@
ν
@
r r r
δ @
I
ιθ
γκ − βελ, βζ − αδη, δι, ελ − ζµ, ηµ − θν
@
@κ
β r I
γ
θ @@
I
@
@
µ
+
ι
)
r r r
(6) r
ε
I
α@
@
λ
r r r
δ η@
ζ
I
βκ − γθµ, γθ − αδει, δη, ειµ − ζλ
@
@
r
r
r
78
e8
3.4. Przypadek E
r
γ
I
@
r @λ
YH@
H
µ
δ
H@
ε
α
H r
(7) r r r
ζ
θ
I
I
@ @
@ ν
β@
r r r
η
ι
r
r
β
γ δ
r
(8) r α
I
@
ε@
γλ − αδµ, αε − βζ, δµ − εθν, ζθ − ηι, κν
κ
I
@
r @λ
ζ@
I
@
@
@
µ
η
r r r
θ
@
I
@ ν
r r
βλ − γζµ, γζ − αδη, δθ − ει, ηµ − θν, κν
ι
r
κ
r
I
@κ
γ r @
HH@
Y
ζ
λ
η r µH@
+β
H r
r
r
(9)
I
α@
ν
θ @
r r r
ι
δ
I
@
ε@
r
r
β
γ
ζ
+
δ r
)r (10) r α
I
@
I
ε@ η@
@
r
r
γ
δ
α r
ε
(11) r ζ
I
@ η
β@
r
θ
γκ − βζλ, βη − αδθ, αε, ζλ − ηµ, θµ − ιν
I
@
r @κ
θ @@
I
@
@
µ
ι
r r r
λ
r
I
@
r @κ
YH@
H
λ
µH@
H r
r
ν
r
βκ − γθµ, γθ − αδζι, αε, ζιµ − ηλ
γκ − αδλ, αε − βζ, βθ, δλ − εµ, ζµ − ην
I
@
@
ι r
r
r
@
I
β
r @κ
γ θ @
I
@
@
@
µ r
ι r
r
(12) r
δ
I
α@
@ λ
ε
r r
ζ
I
@
@
η
r r
βκ − γθµ, γθ − αδι, αζ, διµ − ελ
79
em
3.5. Przypadek D
r
β
I
@
r @κ
YH@
H
δ
λ@
H
α
ε
H r
r
r
r
(13) H
YH
η
I
γHH @
@
θ r µ
r
ζ
r r
r
βκ − αδλ, αεη − γθ, δλ − εηµ, ιµ
ι
r @λ
α
β ζ @
I
@
@
η @
µ
γ
r r r
(14) r YH
H
θ
I
@
δHH r @
ι r ν
I
@
ε r
r
αλ − βζµ, βζ − γη, γθ − δι, κν, ηµ − θν
κ
Przypadek t5 daje nam rodziny E 0 (3, 5), E 00 (3, 5) oraz E 00 (5, 3).
3.5.
em
Przypadek D
Przejdziemy teraz do rozważenia przypadku, gdy Σ(1) jest kołczanem typu
e m , m ≥ 4, a więc powstaje przez zorientowanie krawędzi w następującym
D
kołczanie
r
xr
@
@
@
y0
r
y1
r
` ` `
ym−3
r
rym−4
.
@
@
r
@
r
Możliwe położenia modułu rad X, które należy rozpatrzyć to wierzchołek x,
bądź jeden z wierzchołków yi , i = 0, . . . , m − 4. Technika, którą będziemy
się posługiwać, będzie analogiczna do tej, którą stosowaliśmy dla kołczanów
e k , k = 6, 7, 8.
typu E
Jeśli moduł rad X znajduje się we wierzchołku x, to funkcja f(B,R) nie
80
em
3.5. Przypadek D
jest większa niż następująca funkcja
p p p
1k
p p p
p p p
0
@
R
@
1k
@
R
@
@
R
@
1k
@
R
@
0
p
p
@
Rp
@
@
Rp
@
@
Rp
@
1
p
@
Rp
@
pp
pp
pp
p
p
0
p
@
R
@
@
R
@
0
p
1
@
R
@
pp
@
R
@
@
R
@
@
R
@
@
R
@
1
p
pp
1
0
1
@
R
@
1
p
pp
1
0
0
@
Rp
@
,
pp
@
@
@
R
@
Rp
@
R @
R @
@
R @
@
p p - 0 - 1k- 1k- 2 - 1 - 1 - 0 - p p p
pp - 0 - 0
p p p
@
@
R
@
R @
@
R @
R @
@
R @
@
R @
@
k
0
0
0
1
1
0
a więc nie może być mniejsza od
1k
1k
@
R
@
@
R
@
1k
1
@
Rp
@
@
Rp
@
pp
pp
@
R
@
@
R
@
.
1
@
R
@
1k- 1k- 2
@
R
@
1k
Ostatecznie ograniczeniem górnym dla funkcji f(B,R) jest
0
0
@
R
@
0
@
Rp
@
@
Rp
@
pp
pp
p
@
R
@
@
R
@
0
p
0
p
p
pp
@
@
R
p
pp
@
R
@
0k
0
0
1k
@
R
@
1k
@
R
@
@
R
@
0k
@
R
@
1k
p
pp
@
R
@
0
0
0
1
@
Rp
@
@
Rp
@
pp
@
Rp
@
pp
pp
p
@
R
@
@
R
@
1
p
p
0
@
R
@
0
p
pp
1
@
R
@
1
p
pp
1
@
@
R @
Rp
@
R @
@
R @
@
R @
p @
0 - 0 - 0k- 0k- 0 - p p p p p p p - 0 - 1k- 1k- 2 - 1
@
@
R
@
@
R R @
@
R @
@
R @
@
0
0k
0
0
1k
1
Dokładna analiza możliwych postaci funkcji f(B,R) prowadzi do wniosku, że
szukane algebry tworzą rodziny D0 (m − 2), D00 (m − 2), D000 (m − 2), gdzie
D0 (u) := E 0 (u, 2), D00 (u) := E 00 (u, 2) oraz D000 (u) := E 00 (2, u) dla u ≥ 2.
Analogiczne rozważania prowadzone w sytuacji, gdy rad X znajduje się
we wierzchołku yi , i = 0, . . . , m − 4, dają nam wszystkie algebry z rodziny
81
.
en
3.6. Przypadek A
D(m − 2), gdzie D(m − 2) := KQ(m − 2)/I(m − 2). Kołczan Q(u) ma postać
r
α
| 2
α
p p p p
|
α1
r
η1 H
Y
1
HζH
H
Y
H
η
2H
ζ
2
r
β1
|k
p p p β2
|k
@
I
@βr
@
r
I
@
@
αp+1
3
H
Y
3
HζH
H
Y
H
η
4H
ζ
4
η
@
−
αp+2
p p p αp+q
−
r
r ,
βr+s
−k
βr+1
p p p βr+2
−k
p, q, r, s ≥ 0, zaś ideał I(u) generowany jest przez elementy η1 ζ1 − η2 ζ2 ,
η3 ζ3 − η4 ζ4 , α1 · · · αp η1 ζ1 β1 · · · βr − αp+1 · · · αp+q η4 ζ4 βr+1 · · · βr+s oraz wszystkie elementy postaci αi γ, δβi i ψφ. Przypomnijmy, że znaczenie kwadratów i
okręgów zdefiniowane zostało w podparagrafie 3.2.1. Liczba u równa jest sumie liczb p, q, r, s oraz ilości strzałek w kołczanach oznaczonych kwadratami
i okręgami powiększonej o 2.
3.6.
en
Przypadek A
e n dla n ≥ 1, to wszystkie uzyskane
W sytuacji, gdy Σ(1) jest kołczanem typu A
algebry tworzą jedną rodzinę A(u, v) := KQ(u, v)/I(u, v), u, v ≥ 1, u + v =
n − 1, gdzie kołczan Q(u, v) jest postaci
α
| 2
α
|k
@
I
@αp
@
α1
r
β2
p p p p−1 |
I
@
βr−1
p p p |k
β1
r
@
I
@βr
@
I
@
@
αp+1
@
p p p −
−
αp+2
αp+q−1
@
αp+q βr+1
r ,
βr+s
@
−k
β
r+2
p p p −k
βr+s−1
p, q, r, s ≥ 1, zaś ideał I(u, v) jest generowany elementy αp β1 , αp+q βr+1 ,
α1 · · · αp βr+1 · · · βr+s − αp+1 · · · αp+q β1 · · · βr oraz wszystkie elementy postaci
αi γ, δβi i ψφ. Liczbę u definiujemy jako sumę liczb p, r i ilości strzałek w kołczanach oznaczonych kwadratami i okręgami zawierającymi pionową kreskę
pomniejszoną o 1. Analogicznie definiujemy liczbę v.
82
3.7. Główne twierdzenie
3.7.
Główne twierdzenie
Rozważania tego rozdziału podsumowuje następujące twierdzenie.
Twierdzenie 3.7.1. Jeśli A jest 2-parametryczną algebrą odwróconą z prawie stabilną składową łączącą, to A lub Aop jest jedną z algebr z list 1–14,
lub należy do jednej z rodzin E 0 (3, 3), E 0 (3, 4), E 0 (3, 5), E 00 (3, 3), E 00 (3, 4),
E 00 (4, 3), E 00 (3, 5), E 00 (5, 3), D(u), D0 (u), D00 (u), D000 (u), u ≥ 2, A(u, v),
u, v ≥ 1.
83
Rozdział 4
Algebry samoinjektywne
Wykorzystamy teraz informacje uzyskane w rozdziale 3 do sklasyfikowania
domowych standardowych algebr samoinjektywnych posiadających prawie
stabilną składową skierowaną. Opiszemy też wszystkie oswojone algebry samoinjektywne posiadające prawie stabilne i uogólnione standardowe składowe skierowane.
4.1.
Algebry powtórzone
Algebra A jest nazywana samoinjektywną, jeśli każdy A-moduł projektywny
jest injektywny, lub równoważnie idA A = 0. Ważną klasę algebr samoinb
b jest algebrą powtórzoną
jektywnych tworzą algebry postaci B/G,
gdzie B
algebry B, zaś G jest dopuszczalną grupą K-liniowych automorfizmów algeb Algebry takie po raz pierwszy rozważane były w [HuWa]. Jeśli B jest
bry B.
b jest nieskończenie wymiarową
skończenie wymiarową algebrą z jedynką, to B
algebrą bez jedynki postaci


. . . . . .
0


Q
B

i−1
i−1
b=
Qi
Bi
B


Qi+1 Bi+1


... ...

0





,




gdzie Bi = B i Qi = D(B) dla i ∈ Z, przy czym algebry Bi są umieszczone
b mają skończenie wiele niezerowych
na głównej przekątnej, zaś macierze w B
84
4.1. Algebry powtórzone
b jest zwykłym dodawaniem macierzy,
elementów. Dodawanie w algebrze B
zaś mnożenie indukowane jest poprzez naturalną strukturę B-bimodułu posiadaną przez D(B) oraz odwzorowanie zerowe D(B) ⊗B D(B) → D(B). Alb jest nazywana algebrą powtórzoną algebry B. Grupę G K-liniowych
gebra B
b nazywamy dopuszczalną, jeśli jej indukowane dziaautomorfizmów algebry B
b
łanie na klasach izomorfizmów nierozkładalnych B-modułów
projektywnych
jest wolne i ma skończenie wiele orbit. Jeśli G jest dopuszczalną grupą Kb to w przestrzeni G-orbit istnieje natuliniowych automorfizmów algebry B,
ralna struktura skończenie wymiarowej algebry z jedynką, którą będziemy
b
oznaczać przez B/G
(patrz [Ga4]). Przez νBb oznaczać będziemy automorb przesuwający Bi na Bi+1 i Qi na Qi+1 dla i ∈ Z.
fizm Nakayamy algebry B
Nieskończona grupa cykliczna (νBb ) generowana przez νBb jest dopuszczalna,
b
zaś algebra B/(ν
b ) jest nazywana trywialnym rozszerzeniem algebry B i
B
oznaczana B n D(B). Aby przybliżyć omawiane wyżej pojęcia przedstawimy bezpośrednio stukturę algebry B n D(B). Jest to algebra określona na
przestrzeni liniowej B ⊕ D(B) wraz z mnożeniem zadanym przez wzór
(b1 , ξ1 )(b2 , ξ2 ) = (b1 b2 , ξ1 b2 + b1 ξ2 )
dla b1 , b2 ∈ B i ξ1 , ξ2 ∈ D(B) (przypomnijmy raz jeszcze, że D(B) posiada
naturalną stukturę B-bimodułu).
We wstępie do tego rozdziału napisaliśmy, że naszym celem jest sklasyfikowanie standardowych algebr samoinjektywnych domowego typu reprezentacyjnego. Algebra nazywa się standardowa, jeśli posiada jednospójne (w sensie
[AsSk]) nakrycie Galois. Nie będziemy tutaj dokładnie omawiać pojęć zaangażowanych w sformułowanie tej definicji. Dla naszych celów ważna będzie
poniższa charakteryzacja standardowych algebr samoinjektywnych domowego typu reprezentacyjnego udowodniona przez Skowrońskiego [Sk1].
Twierdzenie 4.1.1 (Skowroński). Spójna i standardowa algebra samoinjektywna jest domowego typu reprezentacyjnego wtedy i tylko wtedy, gdy jest
b
izomorficzna z algebrą postaci B/G,
gdzie B jest algebrą odwróconą typu Euklidesa, zaś G jest dopuszczalną (nieskończoną, cykliczną) grupą K-liniowych
b
automorfizmów algebry B.
b
Algebry postaci B/G,
gdzie B jest algebrą odwróconą typu Euklidesa,
b bęzaś G jest dopuszczalną grupą K-liniowych automorfizmów algebry B,
dziemy nazywać algebrami samoinjektywnymi typu Euklidesa. W związku z
powyższym twierdzeniem rozpoczniemy nasze rozważania od bliższego przedstawienia struktury kołczanu Auslandera–Reiten algebr powtórzonych algebr
odwróconych typu Euklidesa.
85
Zanim to jednak uczynimy wprowadzimy jeszcze jedno pomocnicze pojęcie. Niech A będzie algebrą samoinjektywną oraz C składową kołczanu
Auslandera–Reiten ΓA algebry A. Przez C ∫ oznaczać będziemy pełny podkołczan z translacją kołczanu C powstały przez usunięcie z C wszystkich
τA -orbit, które nie są stabilne. Zauważmy, że ponieważ algebra A jest samoinjektywna, więc w kołczanie ΓA jest tylko skończona ilość niestabilnych
τA -orbit i wszystkie one są jednopunktowe. Kołczan C ∫ będziemy nazywać
stabilną częścią kołczanu C. Zauważmy, że kołczan C jest stabilny wtedy i
tylko wtedy, gdy C = C ∫ . Kołczan C będziemy nazywać kwazirurą, jeśli C ∫
jest stabilną rurą.
Niech B będzie algebrą odwróconą typu Euklidesa ∆. Wtedy na mocy
[AsNeSk] i [Sk1] kołczan Auslandera–Reiten ΓBb jest postaci
_
ΓBb =
(X√ ∨ R√ ),
p∈Z
gdzie, dla każdego p ∈ Z, X√ jest składową, której stabilna część jest postaci
Z∆, zaś R√ jest P1 (K)-rodziną składowych, które są kwazirurami, przy czym
νBb (X√ ) = X√+∈ i νBb (R√ ) = R√+∈ , p ∈ Z. Ponadto mamy wzory
HomBb (X, Y ) = 0,
dla X ∈ X√ , Y ∈ Xt , t < p,
HomBb (R, S) = 0,
dla R ∈ R√ , S ∈ Rt , t < p,
HomBb (X, R) = 0,
dla X ∈ X√ , R ∈ Rt , t < p,
HomBb (R, X) = 0,
dla R ∈ R√ , X ∈ Xt , t ≤ p.
b Jeśli istnieje liczba
Niech ψ będzie K-liniowym automorfizmem algebry B.
całkowita m taka, że ψ(X√ ) = X√+m i ψ(R√ ) = R√+m dla dowolnego p ∈ Z,
to m nazywamy stopniem automorfizmu ψ. Automorfizm ψ nazywamy dodatnim (odpowiednio ścisle dodatnim), jeśli jego stopień jest liczbą nieujemną
(odpowiednio dodatnią). Jeśli G jest dopuszczalną grupą K-liniowych autob to G jest nieskończoną grupą cykliczną i jest generomorfizmów algebry B,
wana przez pewien ściśle dodatni automorfizm ψ. Naturalny homomorfizm
b → B/G
b
b → mod B/G,
b
algebr F B : B
indukuje funktor FλB : mod B
który na
mocy wyników prac [DowSk] i [Ga4] jest gęsty i zachowuje ciągi Auslandera–
Reiten, skąd ΓB/G
jest otrzymywany z ΓBb przez identyfikację X√ z X√+m i
b
R√ z R√+m (poprzez FλB ), tzn.
= FλB (X0 ) ∨ FλB (R0 ) ∨ · · · ∨ FλB (Xm−∞ ) ∨ FλB (Rm−∞ ),
ΓB/G
b
86
gdzie m jest stopniem automorfizmu ψ. Zatem, aby opisać standardowe algebry samoinjektywne domowego typu posiadające prawie stabilne składowe skierowane, dobrze jest najpierw opisać algebry powtórzone algebr odwróconych typu Euklidesa posiadające prawie stabilne składowe skierowane.
Możemy ograniczyć się tylko do badania algebr powtórzonych algebr będących domowymi rozszerzeniami tubularnymi oswojonych algebr ukrytych,
gdyż wiadomo, że jeśli B jest algebrą odwróconą typu Euklidesa, to istnieje
algebra D będąca domowym rozszerzeniem tubularnym oswojonej algebry
b = D.
b
ukrytej taka, że B
Jeśli B jest algebrą trójkątną, zaś x jest wierzchołkiem w QB , to przez
oznaczać będziemy algebrę B[I(x)]. Gdy dodatkowo x jest ujściem w
QB , to definiujemy Sx+ B jako wypukłą podalgebrę algebry Tx+ B o nośniku
QB \{x}, którą będziemy nazywać odbiciem algebry B w x (w sensie [HuWa]).
Kołczan tej algebry będziemy oznaczać przez σx+ QB . Ciąg wierzchołków x1 ,
. . . , xt kołczanu QB nazywać będziemy odbijającym ciągiem ujść, jeśli xs jest
ujściem w σx+s−1 · · · σx+1 QB dla s = 1, . . . , t.
Tx+ B
Niech B będzie algebrą odwróconą typu ∆, która jest domowym
rozszeW
rzeniem tubularnym oswojonej algebry ukrytej C, oraz ΓBb = p∈Z (X√ ∨R√ ),
będzie opisanym powyżej przedstawieniem kołczanu ΓBb . Wtedy na mocy
[AsNeSk] istnieje odbijający ciąg ujść x1 , . . . , xn w kołczanie QB , gdzie n
jest rangą grupy Grothendiecka K0 (B), oraz liczby 1 ≤ r ≤ s < t ≤ n takie,
że
(1) B1 = Si+r · · · Si+1 B jest domowym korozszerzeniem tubularnym pewnej
oswojonej algebry ukrytej C1 ,
(2) B2 = Si+s · · · Si+r+1 B1 jest domowym rozszerzeniem tubularnym algebry
C1 , przy czym B2 = B1 = C1 , gdy r = s,
(3) B3 = Si+t · · · Si+s+1 B2 jest domowym korozszerzeniem tubularnym pewnej oswojonej algebry ukrytej C2 ,
(4) B4 = Si+n · · · Si+t+1 B3 jest domowym rozszerzeniem tubularnym algebry
C2 , przy czym B4 = B3 = C2 , gdy t = n,
(5) C2 ' νBb (C) i B4 ' νBb (B),
(6) składowa X0 składa się z Ti+r · · · Ti+1 B-modułów,
(7) P1 (K)-rodzina kwazirur R0 składa się z Ti+s · · · Ti+r+1 B1 -modułów,
(8) składowa X∞ składa się z Ti+t · · · Ti+s+1 B2 -modułów,
(9) P1 (K)-rodzina kwazirur R∞ składa się z Tisn · · · Tist+1 B3 -modułów,
b'B
b1 ' B
b2 ' B
b3 ' B
b4 .
(10) B
Wykorzystując powyższe informacje i oznaczenia możemy udowodnić następujący fakt.
87
Stwierdzenie 4.1.2. W kołczanie ΓBb istnieje prawie stabilna skierowana
składowa wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z algebr B lub B2 jest izomorficzna
z algebrą lewego końca ∞ A algebry A, gdzie A lub Aop jest jedną z algebr z
list 1–14, lub należy do jednej z rodzin E 0 (3, 3), E 0 (3, 4), E 0 (3, 5), E 00 (3, 3),
E 00 (3, 4), E 00 (4, 3), E 00 (3, 5), E 00 (5, 3), D(u), D0 (u), D00 (u), D000 (u), u ≥ 2,
A(u, v), u, v ≥ 1.
Dowód. Ponieważ X√+∈ = νBb(X√ ) dla p ∈ Z, więc w kołczanie ΓBb istnieje
prawie stabilna składowa skierowana wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej
jedna ze składowych X0 i X∞ jest prawie stabilna. Ponadto ze względu na
b'B
b2 wystarczy znaleźć odpowiedź na pytanie, kiedy składowa
izomorfizm B
X0 jest prawie stabilna. Zauważmy jednak, że X0 jest prawie stabilna, gdy
r = 1, i wtedy A := Tx+1 B jest 2-parametryczną algebrą odwróconą, zaś X0
jest jej składową łączącą. Zatem składowa X0 jest prawie stabilna wtedy i
tylko wtedy, gdy A jest jedną z algebr, o których mowa twierdzeniu 3.7.1,
zaś B jej algebrą lewego końca, co kończy dowód. Dodajmy jeszcze w jaki sposób znajdować algebry prawego końca dla
algebr, o których mowa w powyższym stwierdzeniu. Jeśli A jest jedną z
tych algebr, to bez trudu można znaleźć jedyny nierozkładalny A-moduł
projektywno-injektywy Pa = Ib . Wtedy algebra ∞ A jest wypukłą podalgebrą
algebry A o nośniku QA \{a}. Podobnie algebra A∞ jest wypukłą podalgebrą
algebry A o nośniku QA \ {b}.
Naturalną wydaje się również próba odpowiedzi na pytanie, kiedy wszystkie składowe X√ , p ∈ Z, są prawie stabilne. Zauważmy, że sprowadza się to
do problemu, kiedy składowe X0 i X∞ są prawie stabilne. Z dowodu poprzedniego stwierdzenia wiemy dla jakich algebr składowa X0 jest prawie stabilna.
W związku z tym musimy tylko umieć sprawdzić, dla których spośród nich
także składowa X∞ jest prawie stabilna. Zauważmy, że moduły projektywnob
injektywne w X∞ są to B-moduły
injektywne odpowiadające wierzchołkom
xs+1 , . . . , xt . Z drugiej strony z dokładnej analizy opisu przedstawionego
w [AsNeSk] wynika, że wierzchołki te tworzą zbiór wspólnych wierzchołków
kołczanów supp C i supp B2 . Dzięki temu otrzymujemy następujący lemat.
Lemat 4.1.3. Ilość modułów projektywnych w składowej X∞ jest równa ilości wierzchołków w zbiorze supp C ∩ supp B2 .
Aby móc zastosować powyższy lemat w naszej sytuacji udowodnimy dwa
następujące fakty.
88
Lemat 4.1.4. Jeśli A jest jedną z algebr z rodzin E 0 (3, 3), E 0 (3, 4), E 0 (3, 5),
E 00 (3, 3), E 00 (3, 4), E 00 (4, 3), E 00 (3, 5), E 00 (5, 3), D0 (u), D00 (u), D000 (u), u ≥
2, A(u, v), u, v ≥ 1, C1 i C2 są dwiema różnymi wypukłymi oswojonymi
podalgebrami ukrytymi algebry A, to | supp C1 ∩ supp C2 | = 1.
Dowód. Niech X := Pa = Ib będzie jedynym nierozkładalnym A-modułem
projektywno-injektywnym, zaś ∞ A wypukłą podalgebrą algebry A o nośniku QA \ {a}. Z rozważań prowadzonych w poprzednim rozdziale wynika, że istnieje wierzchołek c kołczanu QA \ {a, b} taki, że mamy równość
dimK Hom∞ A (Ic |∞ A , X|∞ A ) = 2. Ze stwierdzenia 1.7.2 otrzymujemy, że najmniejsza wypukła podalgebra C0 algebry A, której kołczan zawiera wierzchołki b i c jest nieskończonego typu reprezentacyjnego. Kolejne zastosowanie rozważań z poprzedniego rozdziału oraz stwierdzenia 1.7.2 prowadzi do
wniosku, że żadna wypukła podalgebra algebry C0 nie jest nieskończonego
typu, skąd C0 = C1 , z dokładnością do przenumerowania indeksów. Podobnie dowodzimy, że C2 jest najmniejszą podalgebrą wypukłą algebry A, której kołczan zawiera wierzchołki a i c. Z trójkątności algebry A wynika, że
supp C1 ∩ supp C2 = {c}, co kończy dowód. Lemat 4.1.5. Jeśli A jest jedną z algebr z list 1–14, C1 i C2 są dwiema różnymi wypukłymi oswojonymi podalgebrami ukrytymi algebry A, to
| supp C1 ∩ supp C2 | > 1.
Dowód. Przypuśćmy, że algebra A jest algebrą z listy 1. Powtarzając rozumowanie z dowodu poprzedniego lematu bez trudu dochodzimy do wniosku,
że istnieją wierzchołki a, b, c1 , c2 , c3 , c4 takie, że C1 jest najmniejszą podalgebrą wypukłą algebry A, której kołczan zawiera wierzchołki b, c1 , c2 , c3 ,
c4 , zaś C2 najmniejszą podalgebrą wypukłą algebry A, której kołczan zawiera wierzchołki a, c1 , c2 , c3 , c4 , a więc supp C1 ∩ supp C2 ⊇ {c1 , c2 , c3 , c4 }.
Podobnie postępujemy dla algebr z innych list. Ostatnie trzy lematy prowadzą do następującego stwierdzenia.
Stwierdzenie 4.1.6. Niech B będzie domowym rozszerzeniem tubularnym
oswojonej algebry ukrytej. W kołczanie ΓBb wszystkie skierowane składowe są
prawie stabilne wtedy i tylko wtedy, gdy algebra B jest izomorficzna z algebrą lewego końca ∞ A algebry A, gdzie A lub Aop należy do jednej z rodzin
E 0 (3, 3), E 0 (3, 4), E 0 (3, 5), E 00 (3, 3), E 00 (3, 4), E 00 (4, 3), E 00 (3, 5), E 00 (5, 3),
D0 (u), D00 (u), D000 (u), u ≥ 2, A(u, v), u, v ≥ 1.
Dowód. Trzeba tylko uzasadnić, że jeśli B jest algebrą lewego końca jednej
z algebr z powyższych rodzin, to | supp C ∩ supp B2 | = 1, gdzie C i B2 są
89
4.2. Algebry samoinjektywne
takie, jak zdefiniowane powyżej. Z lematu 4.1.4 wiemy, że ma miejsce równość
| supp C ∩ supp C1 | = 1. Zauważmy jednak, że opisana tam postać algebr C
i C1 implikuje, że supp C ∩ supp C1 = supp C ∩ supp B2 . Dokładniej, jest to
konsekwencją faktu, że wspólny punkt nośników algebr C i C1 jest jedynym
ujściem w algebrze C1 . 4.2.
Algebry samoinjektywne
Wykorzystując wyniki poprzedniego paragrafu możemy przedstawić zapowiedzianą klasyfikację standardowych domowych algebr samoinjektywnych,
które posiadają prawie stabilne składowe skierowane. Przypomnijmy, że każb
da spójna standardowa domowa algebra samoinjektywna jest postaci B/(ψ),
gdzie B jest domowym rozszerzeniem tubularnym oswojonej algebry ukryb Ponadto z opisu kołczanu
tej, zaś ψ jest dodatnim automorfizmem algebry B.
b
algebry B/(ψ),
a dokładniej jego związku z kołczaAuslandera–Reiten ΓB/(ψ)
b
b wynika, że w kołczanie Γ b
nem Auslandera–Reiten ΓBb algebry B,
B/(ψ) istnieje
prawie stabilna składowa skierowana wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje prawie
stabilna składowa skierowana w kołczanie ΓBb . Podobnie wszystkie składowe
skierowane w kołczanie ΓB/(ψ)
są prawie stabilne wtedy i tylko wtedy, gdy
b
wszystkie składowe skierowane w kołczanie ΓBb są prawie stabilne. Korzystając ze stwierdzeń 4.1.2 i 4.1.6 mamy następujące twierdzenia.
Twierdzenie 4.2.1. Niech A będzie standardową domową i spójną algebrą
samoinjektywną. Kołczan Auslandera–Reiten ΓA algebry A posiada prawie
stabilną składową skierowaną wtedy i tylko wtedy, gdy algebra A jest izomorb
ficzna z algebrą postaci B/(ψ),
gdzie ψ jest ściśle dodatnim automorfizmem
b
algebry B, zaś B algebrą lewego końca ∞ D algebry D, przy czym D lub Dop
jest jedną z algebr z list 1–14, lub należy do jednej z rodzin E 0 (3, 3), E 0 (3, 4),
E 0 (3, 5), E 00 (3, 3), E 00 (3, 4), E 00 (4, 3), E 00 (3, 5), E 00 (5, 3), D(u), D0 (u), D00 (u),
D000 (u), u ≥ 2, A(u, v), u, v ≥ 1, zaś .
Twierdzenie 4.2.2. Niech A będzie standardową domową i spójną algebrą samoinjektywną. W kołczanie Auslandera–Reiten ΓA algebry A wszystkie
składowe skierowane są prawie stabilne wtedy i tylko wtedy, gdy A jest izob
morficzna z algebrą postaci B/(ψ),
gdzie ψ jest ściśle dodatnim automorfib
zmem algebry B, zaś B algebrą lewego końca ∞ D algebry D, przy czym D lub
Dop należy do jednej z rodzin E 0 (3, 3), E 0 (3, 4), E 0 (3, 5), E 00 (3, 3), E 00 (3, 4),
E 00 (4, 3), E 00 (3, 5), E 00 (5, 3), D0 (u), D00 (u), D000 (u), u ≥ 2, A(u, v), u, v ≥ 1.
90
Dodajmy jeszcze, że algebry B, o których mowa w twierdzeniu, są to dokładnie wszystkie domowe rozszerzenia tubularne kanonicznych algebr ukrytych (w sensie [Ri2]).
W zapowiedzi tego rozdziału napisaliśmy, że opiszemy w nim także wszystkie oswojone algebry samoinjektywne posiadające uogólnione standardowe
prawie stabilne składowe skierowane. Jeśli A jest algebrą, to pełny podkołczan z translacją C kołczanu ΓA będziemy nazywać uogólnionym standardowym (w sensie [Sk3]), jeśli rad∞ (X, Y ) = 0 dla dowolnych modułów X i Y
z C. Kołczan C nazywa się lewostabilny, jeśli nie zawiera modułów projektywnych. Podobnie o kołczanie C powiemy, że jest prawostabilny, jeśli nie
zawiera modułów injektywnych. Mamy następujące konsekwencje głównych
wyników prac [SkYa1] i [SkYa2].
Twierdzenie 4.2.3 (Skowroński–Yamagata). Niech A będzie oswojoną i spójną algebrą samoinjektywną. Następujące warunki są równoważne:
(a) ΓA posiada skierowany i uogólniony standardowy lewostabilny kołczan z translacją, który jest zamknięty ze względu na poprzedniki w ΓA ;
(b) ΓA posiada skierowany i uogólniony standardowy prawostabilny kołczan z translacją, który jest zamknięty ze względu na następniki w ΓA ;
b
(c) A jest izomorficzna z algebrą postaci B/(ϕν
b ), gdzie B jest algebrą
B
b
odwróconą typu Euklidesa, zaś ϕ dodatnim automorfizmem algebry B.
Twierdzenie 4.2.4 (Skowroński–Yamagata). Jeśli A jest oswojoną i
spójną algebrą samoinjektywną, to ΓA posiada uogólnioną standardową składową skierowaną wtedy i tylko wtedy, gdy A jest izomorficzna z algebrą postab
ci B/(ϕν
b ), gdzie B jest algebrą odwróconą typu Euklidesa, zaś ϕ jest ściśle
B
b
dodatnim automorfizmem algebry B.
Dodajmy jeszcze, że w sytuacji opisanej w powyższym twierdzeniu wszystkie składowe skierowane kołczanu ΓA są uogólnione standardowe. Powyższe
dwa fakty wraz z twierdzeniami 4.2.1 i 4.2.2 pozwalają nam sformułować
następującą serię wniosków.
Wniosek 4.2.5. Niech A będzie oswojoną i spójną algebrą samoinjektywną.
Następujące warunki są równoważne:
(a) ΓA posiada skierowany i uogólniony standardowy lewostabilny kołczan z translacją, który jest zamknięty ze względu na poprzedniki w ΓA , oraz
ΓA posiada prawie stabilną składową skierowaną;
91
(b) ΓA posiada skierowany i uogólniony standardowy prawostabilny kołczan z translacją, który jest zamknięty ze względu na następniki w ΓA , oraz
ΓA posiada prawie stabilną składową skierowaną;
b
b ), gdzie ϕ jest dodatnim
B
b zaś B algebrą lewego końca ∞ D algebry D, przy
automorfizmem algebry B,
op
czym D lub D jest jedną z algebr z list 1–14, lub należy do jednej z rodzin
E 0 (3, 3), E 0 (3, 4), E 0 (3, 5), E 00 (3, 3), E 00 (3, 4), E 00 (4, 3), E 00 (3, 5), E 00 (5, 3),
D(u), D0 (u), D00 (u), D000 (u), u ≥ 2, A(u, v), u, v ≥ 1.
Następujące warunki są równoważne:
(a) ΓA posiada skierowany i uogólniony standardowy lewostabilny kołczan z translacją, który jest zamknięty ze względu na poprzedniki w ΓA , oraz
wszystkie składowe skierowane w ΓA są prawie stabilne;
(b) ΓA posiada skierowany i uogólniony standardowy prawostabilny kołczan z translacją, który jest zamknięty ze względu na następniki w ΓA , oraz
wszystkie składowe skierowane w ΓA są prawie stabilne;
b
b ), gdzie ϕ jest dodatnim
B
b
automorfizmem algebry B, zaś B algebrą lewego końca ∞ D algebry D, przy
czym D lub Dop należy do jednej z rodzin E 0 (3, 3), E 0 (3, 4), E 0 (3, 5), E 00 (3, 3),
E 00 (3, 4), E 00 (4, 3), E 00 (3, 5), E 00 (5, 3), D0 (u), D00 (u), D000 (u), u ≥ 2, A(u, v),
u, v ≥ 1.
Kołczan ΓA posiada uogólnioną standardową prawie stabilną składową skierob
waną wtedy i tylko wtedy, gdy A jest izomorficzna z algebrą postaci B/(ϕν
b ),
B
b zaś B algebrą lewego
gdzie ϕ jest ściśle dodatnim automorfizmem algebry B,
op
końca ∞ D algebry D, przy czym D lub D jest jedną z algebr z list 1–14,
lub należy do jednej z rodzin E 0 (3, 3), E 0 (3, 4), E 0 (3, 5), E 00 (3, 3), E 00 (3, 4),
E 00 (4, 3), E 00 (3, 5), E 00 (5, 3), D(u), D0 (u), D00 (u), D000 (u), u ≥ 2, A(u, v),
u, v ≥ 1.
Kołczan ΓA posiada uogólnioną standardową składową skierowaną i wszystkie
składowe skierowane w ΓA są prawie stabilne wtedy i tylko wtedy, gdy A
b
jest izomorficzna z algebrą postaci B/(ϕν
b ), gdzie ϕ jest ściśle dodatnim
B
b
automorfizmem algebry B, zaś B algebrą lewego końca ∞ D algebry D, przy
czym D lub Dop należy do jednej z rodzin E 0 (3, 3), E 0 (3, 4), E 0 (3, 5), E 00 (3, 3),
92
E 00 (3, 4), E 00 (4, 3), E 00 (3, 5), E 00 (5, 3), D0 (u), D00 (u), D000 (u), u ≥ 2, A(u, v),
u, v ≥ 1.
93
Dodatek A
Funkcje addytywne na
stabilnych kołczanach
z translacją
A.1.
Główne twierdzenie
Celem tego dodatku jest opisanie funkcji addytywnych na kołczanach postaci
ZQ, gdzie Q jest skończonym i spójnym kołczanem bez zorientowanych cykli.
Dodatek ten został opracowany w oparciu o pracę [Bob1]. Przypomnijmy, że
jeśli Γ = (Γ0 , Γ1 , τ ) jest kołczanem z translacją, to funkcja f : Γ0 → Z jest
addytywna na Γ, jeśli
X
f (x) + f (τ x) =
f (s(α))
α∈Γ1 ,e(α)=x
lub równoważnie
X
f (x) + f (τ x) =
f (e(α))
α∈Γ1 ,s(α)=τ x
dla każdego nieprojektywnego wierzchołka x ∈ Γ0 . Funkcję f nazwiemy dodatnią, jeśli f (x) ≥ 0 dla wszystkich x ∈ Γ0 oraz istnieje x ∈ Γ0 taki, że
f (x) > 0. Dodatnie funkcje addytywne na kołczanach postaci ZQ są opisane
przez następujące twierdzenie.
Twierdzenie A.1.1. Niech Q = (Q0 , Q1 ) będzie skończonym spójnym i
skierowanym kołczanem, zaś f : Z × Q0 → Z funkcją addytywaną. Funkcja f jest dodatnia wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje A-moduł regularny M
T
taki, że f (n)T = Φ−n
A d dla każdego n ∈ Z, gdzie A := KQ i d := dim M .
94
A.2. Funkcje addytywne na ZQ
W sformułowaniu tego twierdzenia, a także w dalszej części tego rozdziału,
posługiwać się będziemy konwencją, że jeśli mamy daną funkcję f : Z×Q0 →
Z, to dla każdej liczby całkowitej n przez f (n) oznaczać będziemy wektor
f (n, −) ∈ ZQ0 .
Jeśli A-jest algebrą dziedziczną, to nierozkładalny A-moduł X nazywamy regularnym, jeśli nie jest ani preprojektywny ani preinjektywny, tzn.
nie istnieje liczba naturalna n taka, że τAn X jest projektywny lub τA−n X
jest injektywny. Ogólnie, każdy moduł będący sumą prostą nierozkładalnych modułów regularnych jest nazywany regularnym. Ponadto, gdy macierz
Cartana CA jest odwracalna, to definiujemy macierz Coxetera ΦA wzorem
ΦA := −CAT CA−1 . W przypadku algebr dziedzicznych mamy wzór
(dim τA X)T = ΦA (dim X)T
dla dowolnego nierozkładalnego nieprojektywnego A-modułu X. Z powyższego wzoru oraz opisu kołczanów Auslandera–Reiten algebr typu Dynkina i
Euklidesa przedstawionego w paragrafie 1.6 otrzymujemy następujący wniosek.
Wniosek A.1.2. (a) Jeśli Q jest kołczanem Dynkina, to nie istnieje dodatnia funkcja addytywna na kołczanie ZQ.
(b) Jeśli Q jest kołczanem Euklidesa, to każda dodatnia funkcja addytywna na kołczanie ZQ jest okresowa, a więc ograniczona.
Zauważmy, że z części (a) powyższego wniosku wynika, że kołczan Auslandera–Reiten algebry A nie może zawierać lewostabilnego (odpowiednio
prawostabilnego) podkołczanu zamkniętego na poprzedniki (odpowiednio następniki) w ΓA typu (−N)Q (odpowiednio NQ), gdzie Q jest kołczanem Dynkina. Korzystając z twierdzenia [Au], które mówi, że jeśli istnieje wspólne
ograniczenie na wymiary modułów znajdujących się w jednej składowej kołczanu Auslandera–Reiten spójnej algebry, to algebra jest skończonego typu
reprezentacyjnego, otrzymujemy, że nie może istnieć składowa kołczanu Auslandera–Reiten algebry A postaci ZQ dla kołczanu Euklidesa Q.
A.2.
Funkcje addytywne na ZQ
W paragrafie tym Q = (Q0 , Q1 ) będzie ustalonym skończonym spójnym i
skierowanym kołczanem, zaś A := KQ. Dla dowolnych wierzchołków x i y
95
kołczanu Q przez dx,y będziemy oznaczać ilość strzałek z x do y. Naszym celem będzie udowodnienie pewnych faktów o strukturze funkcji addytywnych
na ZQ. Zaczniemy od zdefiniowania macierzy Ψ = (ψx,y )x,y∈Q0 przy pomocy
następującego wzoru
X
ψx,y :=
dz,x ψz,y + dx,y − δx,y
z∈x−
dla x, y ∈ Q0 . Wzór ten jest oczywiście indukcyjny ze względu na ilość poprzedników wierzchołka x i jest poprawny dzięki założeniu o braku zorientowanych cykli w kołczanie Q. Role macierzy Ψ wyjaśnia poniższy lemat.
Lemat A.2.1. Jeśli f jest funkcją addytywną na ZQ, to
f (n + 1)T = Ψf (n)T
dla wszystkich n ∈ Z.
Dowód. Wykorzystując indukcję ze względu na ilość poprzedników danego
wierzchołka kołczanu Q otrzymujemy, że
X
X
dx,y f (n, y) − f (n, x)
dz,x f (n + 1, z) +
f (n + 1, x) =
z∈x−
=
X
y∈x+
dz,x
z∈x−
=
X
X
ψz,y f (n, y) +
dx,y f (n, y) − f (n, x)
y∈Q0
X X
y∈Q0
dz,x ψz,y + dx,y − δx,y f (n, y)
y∈Q0 z∈x−
=
X
ψx,y f (n, y)
y∈Q0
dla dowolnego x ∈ Q0 , co kończy dowód. Dzięki powyższemu lematowi nie jest zaskakującą kolejna własność macierzy Ψ.
Lemat A.2.2. Macierz Ψ jest odwracalna.
Dowód. Prostym ćwiczeniem na indukcję ze względu na ilość poprzedników danego wierzchołka kołczanu Q jest sprawdzenie, że macierz Ψ−1 jest
określona wzorem
X
(Ψ−1 )x,y :=
dx,z (Ψ−1 )z,y + dy,x − δx,y
z∈x+
96
dla x, y ∈ Q0 . Wzór ten jest oczywiście indukcyjny ze względu na ilość poprzedników wierzchołka x. .
Udowodnimy jeszcze jeden pomocniczy lemat.
Lemat A.2.3. Jeśli d ∈ ZQ0 , to funkcja f : Z × Q0 → Z dana wzorem
f (n)T := Ψn dT
dla n ∈ Z jest addytywna na ZQ.
Dowód. Korzystając z indukcji ze względu na ilość poprzedników można
udowodnić, że
X
X
f (n, x) + f (n − 1, x) =
dy,x f (n, y) +
dx,y f (n − 1, y)
y∈x−
y∈x+
dla dowolnego x ∈ Q0 . Aby móc uzasadnić główny rezulat tego paragrafu potrzebujemy jeszcze
jednej obserwacji dotyczącej wektorów px oraz qx dla x ∈ Q0 . Łatwo bowiem
policzyć, że w przypadku algebr dziedzicznych mają one wyjątkowy prosty
opis, a mianowicie
px (y) = |{drogi z x do y}|
i
qx (y) = |{drogi z y do x}|
dla x, y ∈ Q0 . Istotną rolę w dowodzie odegra także następująca równość
T
Φ A pT
x = −qx
dla dowolnego x ∈ Q0 , będąca bezpośrednią konsekwencją definicji macierzy
Cartana i Coxetera. Możemy teraz zidentyfikować macierz Ψ.
Stwierdzenie A.2.4. Mamy wzór
Ψ = Φ−1
A .
Dowód. Ustalmy wierzchołek x ∈ Q0 . Zdefiniujmy funkcję f : Z×Q0 → Z
kładąc
f (n)T := Ψn pT
x
dla n ∈ Z. Dzięki ostatniemu lematowi jest to funkcja addytywna na ZQ.
Z drugiej strony korzystając z indukcji ze względu na ilość poprzedników
97
A.3. Dowód głównego twierdzenia
danego wierzchołka kołczanu Q wnioskujemy, że f (−1) = −qx . Istotnie, dla
y ∈ Q0 otrzymujemy
X
X
f (−1, y) =
dy,z f (−1, z) +
dz,y f (0, z) − f (0, y)
z∈y −
z∈y +
= −
X
dy,z qx (z) +
= −
dz,y px (z) − px (y)
z∈y −
z∈y +
X
X
dy,z |{drogi z z do x}|
z∈y +
+
X
dz,y |{drogi z x to z}| − |{drogi z x do y}|
z∈y −
= −|{drogi z y do x}| = −qx (y).
Z powyższych rozważań wynika, że
T
T
Ψ−1 pT
x = −qx = ΦA px
dla dowolnego x ∈ Q0 . Ponieważ z odwracalności macierzy Cartana CA wynika, że wektory px , x ∈ Q0 , tworzą bazę przestrzeni liniowej QQ0 , więc
wnioskujemy stąd, że Ψ−1 = ΦA . A.3.
Dowód głównego twierdzenia
Podobnie jak w poprzednim paragrafie ustalmy skończony spójny i skierowany kołaczan Q = (Q0 , Q1 ) oraz niech A := KQ. Jeśli d = dim M dla
pewnego regularnego A-modułu M , to z lematu A.2.3 i stwierdzenia A.2.4
oraz własności macierzy Coxetera wynika, że wzór
−n
T
T
f (n)T := Φ−n
A d = (dim τA M )
dla n ∈ Z, określa dodatnią funkcję
L addytywną na ZQ. W powyższym
Lwzorze
stosujemy umowę, że τA−n M := ki=1 τA−n Mi dla n ∈ Z, jeśli M = ki=1 Mi
jest rozkładem modułu M na sumę prostą nierozkładalnych A-modułów.
Załóżmy teraz, że f : Z × Q0 → Z jest dowolną dodatnią funkcją addytywną na ZQ. Ponieważ f jest funkcją dodatnią, więc z lematów A.2.1 oraz
A.2.2 wynika, że f (0) jest dodatnim wektorem. Wybierzmy A-moduł M taki,
że dim M = f (0) oraz dimK EndA (M ) ma najmniejszą możliwą wartość.
Przypuśćmy, że moduł M ma nierozkładalny preprojektywny składnik
prosty. Wybierzmy taki składnik M0 z najmniejszą możliwą liczbą m taką, że τAm M0 jest modułem projektywnym. Jeśli przedstawimy moduł M w
98
A.3. Dowód głównego twierdzenia
postaci sumy prostej M0 ⊕ · · · ⊕ Ml nierozkładalnych A-modułów, to nasz
wybór gwarantuje nam, że moduły τAm Mi istnieją dla i = 0, . . . , l. Ponadto,
wykorzystując wzory Auslandera–Reiten oraz wniosek 2.5.3 otrzymujemy, że
Ext1A (τAm Mi , τAm M0 ) = 0 dla i = 1, . . . , l. Wykorzystując jeszcze raz te same wzory otrzymujemy, że Hom(τAm M0 , τAm+1 Mi ) = 0 dla i = k + 1, . . . , l,
przy czym zakładamy, że moduły M1 , . . . , Ml są uporządkowane w ten
sposób, że τAm M1 , . . . , τAm Mk są modułami projektywnymi, zaś τAm Mk+1 ,
. . . , τAm Ml nie. (W powyższych zastosowaniach wzorów Auslandera–Reiten
wykorzystaliśmy fakt, iż A jest algebrą dziedziczną.) Ponieważ τAm M0 = Px
dla pewnego x ∈ Q0 , więc ostatnia równość oznacza, że dim τAm+1 Mi (x) = 0
dla i = k + 1, . . . , l. Istnieją wierzchołki x1 , . . . , xk kołczanu Q takie, że
τAm Mi = Pxi dla i = 1, . . . , k. Wykorzystując stwierdzenie A.2.4, lemat A.2.1
oraz własności macierzy Coxetera otrzymujemy, że
T
f (−m − 1)
=
Φm+1
(dim M )T
A
=
l
X
Φm+1
(dim Mi )T
A
i=0
k
X
= ΦA (dim τAm M0 )T +
ΦA (dim τAm Mi )T
i=1
l
X
+
ΦA (dim τAm Mi )T
i=k+1
=
Φ A pT
x
+
k
X
Φ A pT
xi
+
i=1
= −qT
x −
k
X
dim(τAm+1 Mi )T
i=k+1
qT
xi +
i=1
l
X
l
X
dim(τAm+1 Mi )T .
i=k+1
W szczególności
f (−m − 1)(x) = −qx (x) −
k
X
qxi (x) +
i=1
= −1 −
k
X
l
X
dim(τAm+1 Mi )(x)
i=k+1
qxi (x) < 0,
i=1
co przeczy dodatniości funkcji f . W przypadku, gdy M ma nierozkładalny
preinjektywny składnik prosty rozumowanie jest dualne. Zatem M jest modułem regularnym. Zastosowanie lematu A.2.1 i stwierdzenia A.2.4 implikuje,
iż f ma żądaną postać, co kończy dowód twierdzenia.
99
Bibliografia
[AnFu]
F. W. Anderson i K. R. Fuller, Rings and Categories of
Modules, Graduate Texts in Math. 13, Springer, 1992.
[AsNeSk]
I. Assem, J. Nehring i A. Skowroński, Domestic trivial
extensions of simply connected algebras, Tsukuba J. Math. 13
(1989), 31–72.
[AsSk]
I. Assem i A. Skowroński, On some classes of simply connected algebras, Proc. London Math. Soc. 56 (1988), 417–450.
[AsSiSk]
I. Assem, D. Simson i A. Skowroński, Elements of Representation Theory of Associative Algebras, preprint, Toruń,
1999.
[Au]
M. Auslander, Applications of morphisms determined by
modules, w Proc. Conf. on Representation Theory, Philadelphia, Lecture Notes in Pure and Applied Math. 37, Marcel
Dekker, 1978, 245–327.
[AuRe]
M. Auslander i I. Reiten, Representation theory of artin
algebras III, Comm. Algebra 5 (1975), 239–294.
[AuReSm]
M. Auslander, I. Reiten i S. Smalø, Representation Theory of Artin Algebras, Cambridge Studies in Adv. Math. 36,
Cambridge University Press, 1995.
[Ba]
S. Balcerzyk, Wstęp do algebry homologicznej, Biblioteka
Mat. 34, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1970.
[BeGePo]
I. N. Bernstein, I. M. Gelfand i V. A. Ponomarjew,
Coxeter functors and Gabriel’s theorem, Usp. Mat. Nauk 28
(1973), 19-33. Przekład angielski: Russ. Math. Surv. 28 (1973),
17-32.
100
BIBLIOGRAFIA
[Bob1]
G. Bobiński, On additive functions for stable translation quivers, Coll. Math. 79 (1999), 203–210.
[Bob2]
G. Bobiński, Tame tilted algebras with almost regular connecting components, w przygotowaniu.
[BobSk]
G. Bobiński i A. Skowroński, Selfinjective algebras of Euclidean type with almost regular nonperiodic Auslander–Reiten
components, preprint, Toruń, 1999.
[Bon1]
K. Bongartz, Tilted algebras, w Representations of Algebras,
Lecture Notes in Math. 903, Springer, 1981, 26–38.
[Bon2]
K. Bongartz, Algebras and quadratic forms, J. London
Math. Soc. 28 (1983), 461–469.
[Bon3]
K. Bongartz, Critical simply connected algebras, Manuscr.
Math. 46 (1984), 117–136.
[BrBu]
B. Brenner i M. C. R. Butler, Generalization of the
Bernstein–Gelfand–Ponomarev reflection functors, w Representation Theory II, Lecture Notes in Math. 832, Springer,
1980, 103–169.
[DonFr]
P. Donovan i M. R. Freislich, The representation theory of finite graphs and associated algebras, Carleton Math.
Lecture Notes 5, Ottawa, 1973.
[DowSk]
P. Dowbor i A. Skowroński, Galois coverings of representation-infinite algebras, Comment. Math. Helv. 62 (1987),
311-337.
[Dr]
J. A. Drozd, Tame and wild martix problems, w Representation Theory II, Lecture Notes in Math. 832, Springer, 1980,
242–258.
[Ga1]
P. Gabriel, Unzerlegbare Darstellungen I, Manuscripta
Math. 6 (1972), 71–103.
[Ga2]
P. Gabriel, Indecomposable representations II, Symposia
Math. Ist. Naz. Alta Mat. 11 (1973), 81–104.
[Ga3]
P. Gabriel, Auslander–Reiten sequences and representationfinite algebras, w Representation Theory II, Lecture Notes in
Math. 831, Springer, 1980, 1–71.
101
BIBLIOGRAFIA
[Ga4]
P. Gabriel, The universal cover of a representation-finite
algebra, w Representation of Algebras, Lecture Notes in Math.
903, Springer, 1981, 68–105.
[HaReSm]
D. Happel, I. Reiten i S. O. Smalø, Tilting in Abelian Categories and Quasitilted Algebras, Memoirs Amer. Math. Soc.
575, AMS, 1996.
[HaRi]
D. Happel i C. M. Ringel, Tilted algebras, Trans. Amer.
Math. Soc. 274 (1982), 399–443.
[HaSl]
D. Happel i I. H. Slungård, Quasitilted one-point extensions of hereditary algebras, Coll. Math., w druku.
[HaVo]
D. Happel i D. Vossieck, Minimal algebras of infinite
representation type with preprojective component, Manuscr.
Math. 42 (1983), 221–243.
[Ho]
M. Hoshino, Splitting torsion theories induced by tilting modules, Comm. Algebra 11 (4) (1983), 427–441.
[HuWa]
D. Hughes i J. Waschbüsch, Trivial extensions of tilted
algebras, Proc. London Math. Soc. 46 (1983), 347–364.
[Ke1]
O. Kerner, Tilting wild algebras, J. London Math. Soc. 39
(1989), 29–47.
[Ke2]
O. Kerner, Stable components of wild tilted algebras, J. Algebra 142 (1991), 37–57.
[Kl]
M. M. Kleiner, Partially ordered sets of finite type, w Investigations on Representation Theory, Zap. Naucn. Sem. LOMI
28, 1972, 32–41. Przekład angielski: J. Soviet Math. 23 (1975),
607–615.
[Li]
S. Liu, Tilted algebras and generalized standard AuslanderReiten components, Archiv. Math. 61 (1993), 12–19.
[Na]
L. A. Nazarowa, Representations of quivers of infinite type,
Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 37 (1973), 752–791.
[Pe1]
J. A. de la Peña, Tame algebras with sincere directing modules, J. Algebra 161 (1993), 171–185.
102
BIBLIOGRAFIA
[Pe2]
J. A. de la Peña, The families of two-parametric tame algebras with sincere directing modules, Canad. Math. Soc. Conf.
Proc. 14 (1993), 361–392.
[Ri1]
C. M. Ringel, Tame algebras, w Representation Theory II,
Lecture Notes in Math. 831, Springer, 1980, 137–287.
[Ri2]
C. M. Ringel, Tame Algebras and Integral Quadratic Forms,
Lecture Notes in Math. 1099, Springer, 1984.
[Si]
D. Simson, Linear Representations of Partially Ordered Sets
and Vector Space Categories, Algebra, Logic and Applications
4, Gordon and Breach Science Publishers, 1992.
[Sk1]
A. Skowroński, Selfinjective algebras of polynomial growth,
Math. Ann. 285 (1989), 177–199.
[Sk2]
A. Skowroński, Generalized standard Auslander-Reiten
components without oriented cycles, Osaka J. Math. 30 (1993),
515–527.
[Sk3]
A. Skowroński, Generalized standard Auslander–Reiten
components, J. Math. Soc. Japan 46 (1994), 517–543.
[SkYa1]
A. Skowroński i K. Yamagata, Socle deformations of selfinjective algebras, Proc. London Math. Soc. 72 (1996), 545–
566.
[SkYa2]
A. Skowroński i K. Yamagata, Galois coverings of selfinjective algebras by repetitive algebras, Trans. Amer. Math.
Soc. 351 (1999), 715–734.
[St]
H. Strauss, On the perpendicular category of a partial tilting
module, J. Algebra 144 (1991), 43–66.
103
Skorowidz
h−, −iA , 19
(−, −)A , 19
αl · · · α1 , 11
∞ A, 35
A∞ , 35
An , 22
A∞ , 15
e n , 22
A
Aop , 11
A[R], 24
A[R, n], 28
A(u, v), 81
B n D(B), 84
b 83
B,
b
B/G,
84
CA , 19
C ∫ , 85
D, 8
dΓ , 16
dim M , 18
Dm , 22
e m , 22
D
D(u), 81
D0 (u), 80
D00 (u), 80
D000 (u), 80
E6 , 22
E7 , 22
E8 , 22
e 6 , 22
E
e 7 , 23
E
e 8 , 23
E
e(α), 10
ex , 19
ExtnA (M, N ), 9
E 0 (u, v), 67
E 00 (u, v), 68
ΦA , 94
F(T ), 30
ΓA , 18
gl. dim A, 9
χA , 19
HomA (M, N ), 17
HomA (M, N ), 17
idA M , 10
ind A, 8
IQ, 14
Ix , 12
K, 8
K0 (A), 18
KQ, 11
M |B , 14
mod A, 8
µA (d), 21
νBb , 84
pdA M , 9
P1 (K), 23
Px , 12
px , 19
QA , 11
Qop , 12
qx , 19
[R]A, 26
[R, n]A, 28
rad M , 9
r(x, y), 20
104
SKOROWIDZ
s(α), 10
soc M , 9
supp C, 19
supp M , 19
supp x, 19
Sx , 12
Sx+ B, 86
σx+ QB , 86
τA− X, 17
τA Z, 16
TorA
n (L, M ), 9
T (T ), 30
TxB , 86
x← , 15
x→ , 15
X (T ), 30
(y|αl , . . . , α1 |x), 11
Y(T ), 30
z − , 13
z + , 13
ZQ, 14
ZQ/(τ k ), 15
105
Skorowidz
algebra, 8
bazowa, 11
domowa, 21
dróg, 11
dziedziczna, 21
dzika, 21
lewego końca, 35
odwrócona, 31
oswojona, 21
m-parametryczna, 21
powtórzona, 84
prawego końca, 35
przeciwna, 11
trójkątna, 19
samoinjektywna, 83
typu Euklidesa, 84
spójna, 31
standardowa, 84
ukryta, 33
oswojona, 33
automorfizm
dodatni, 85
ściśle, 85
Nakayamy, 84
ciąg Auslandera–Reiten, 17
podniesiony, 24
cokół, 9
część stabilna kołczanu, 85
droga, 11
długość drogi, 11
sekcyjna, 15
dualność, 8
faktoryzacja, 17
forma Eulera, 19
dodatnio określona, 20
dodatnio półokreślona, 20
słabo dodatnia, 20
słabo nieujemna, 20
funkcja addytywna, 15
dodatnia, 93
grupa
dopuszczalna, 84
Grothendiecka, 18
rozszerzeń, 9
torsyjna, 9
ideał dopuszczalny, 11
kołczan, 10
algebry, 11
Auslandera–Reiten, 18
Dynkina, 22
dziki, 23
Euklidesa, 22
lokalnie skończony, 13
ograniczony, 11
przeciwny, 12
skierowany, 11
skończony, 10
spójny, 13
z translacją, 14
prawie stabilny, 54
preinjektywny, 14
preprojektywny, 14
stabilny, 14
właściwy, 14
kontrolowanie kategorii
modułów, 20
106
SKOROWIDZ
kopowiększenie algebry o linię, 28
korozszerzenie algebry
jednopunktowe, 26
tubularne, 28
domowe oswojonej algebry ukrytej, 34
kwazirura, 85
macierz
Coxetera, 94
Cartana, 19
minimalne prawie rozszczepialne odwzorowanie
lewe, 16
prawe, 16
moduł, 8
dokładny, 32
injektywny, 10
kierujący, 32
kopromieniowy, 27
nierozkładalny, 8
odwracający, 29
preinjektywny, 18
preprojektywny, 18
projektywny, 9
promieniowy, 26
prosty, 9
regularny, 94
wierny, 19
morfizm reprezentacji, 12
nakrycie projektywne, 9
następnik, 13
bezpośredni, 13
nośnik
modułu, 19
składowej, 19
wektora, 19
obcięcie, 14
odbicie algebry, 86
odbijający ciąg ujść, 86
para torsyjna, 29
rozszczepiająca, 29
pętla, 11
pierwiastek formy Eulera, 20
0-pierwiastek formy Eulera, 20
podalgebra wypukła, 13
podkategoria koskończona, 25
podkołczan, 13
lewostabilny, 90
pełny, 13
z translacją, 14
prawostabilny, 90
uogólniony standardowy, 90
wypukły, 13
poprzednik, 13
bezpośredni, 13
powiększenie algebry o linię, 28
powłoka injektywna, 10
poziom, 15
przekrój, 15
radykał, 9
ranga rury, 15
reprezentacja kołczanu, 12
rezolwenta
injektywna, 10
minimalna, 10
projektywna, 9
minimalna, 9
rozszerzenie algebry
jednopunktowe, 24
tubularne, 28
domowe oswojonej algebry ukrytej, 34
rura
kopromieniowa, 27
promieniowa, 27
stabilna, 15
jednorodna, 15
sąsiad, 13
separowanie, 23
sklejenie dwóch algebr
1-parametrycznych, 37
składowa, 13
107
SKOROWIDZ
łącząca, 31
standardowa, 18
stopień automorfizmu, 85
strzałka, 10
koniec strzałki, 10
początek strzałki, 10
τ -orbita, 14
stabilna, 14
translacja, 14
translacje Auslandera–Reiten,
17
trywialne rozszerzenie, 84
twierdzenie
Brenner–Butler, 30
Donovan–Freislich, Nazarowa, 21
Gabriel, 11, 21
Hoshino, 31
Kerner, 35
Kleiner, 25
Liu, Skowroński, 32
de la Peña, 47, 51
Skowroński, 84
Skowroński–Yamagata, 90,
90
typ algebry odwróconej, 31
typ reprezentacyjny
domowy, 21
dziki, 21
nieskończony, 20
oswojony, 20
skończony, 20
ujście, 13
wektor, 18
dodatni, 18
spójny, 19
wierny, 19
wymiaru, 18
wierzchołek, 10
injektywny, 14
kopromieniowy, 27
preinjektywny, 14
preprojektywny, 14
projektywny, 14
promieniowy, 26
wyjątkowy, 49
wstawienie
kopromieni, 27
promieni, 26
wymiar globalny algebry, 9
wymiar modułu
injektywny, 10
projektywny, 9
wzory Auslandera–Reiten, 17
złożenie dróg, 11
zorientowany cykl, 11
źródło, 13
108
Spis tabel
Lista 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Lista 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Lista 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Lista 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Lista 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Lista 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Lista 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Lista 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Lista 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Lista 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Lista 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Lista 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Lista 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
109

Algebry odwrócone oswojonego typu reprezentacyjnego

Transkrypt

Podobne dokumenty

Wspomag. komp. modelow. matemat.

1. Wykład 1: preliminaria algebraiczne. 1.1. Relacje i funkcje. Niech

Logika dla informatykÃ³w - Kolegium Nauczycielskiego w Bielsku

Program kursu

ALGEBRY HALLA I ALGEBRY LIEGO Przez cały referat Q = (Q 0,Q1

plik w pdf