Test numer xXx EGZAMIN PISEMNY Z MATEMATYKI DLA

Test numer xXx
EGZAMIN PISEMNY Z MATEMATYKI
DLA KANDYDATÓW NA KIERUNKI
MATEMATYKA I INFORMATYKA
2 LIPCA 2003 ROKU
Czas trwania egzaminu: 180 min.
Liczba zadań: 30
Każde zadanie sklada sie, z trzech cześci.
Odpowiedź do każdego zadania sklada
,
sie, z trzech odpowiedzi czastkowych
do
poszczególnych
cześci
tego zadania. Wśród
,
,
odpowiedzi czastkowych
odpowiedź
TAK
(i
podobnie
odpowiedź
NIE) może wystapić
,
,
0, 1, 2 lub 3 razy. Za trzy poprawne odpowiedzi czastkowe
do jednego zadania
,
otrzymuje sie, 1 punkt. Za każda, poprawna, odpowiedź czastkow
a, otrzymuje sie, 1/10
,
punktu.
Odpowiedzi podajemy na dolaczonej
do testu kartce z tabelka.
,
, Jest tam
wyjaśniony sposób ich wpisywania.
(1) Dane sa, cztery liczby rzeczywiste a, b, c, d spelniajace
warunek a < b < c <
,
d < 0. Niech u = (a + b)(c + d), v = (a + c)(b + d), w = (a + d)(c + b). Miedzy
,
liczbami u, v, w zachodzi relacja
(a) u < w < v.
(b) w < v < u.
(c) u < v < w.
(2) Niech Zk oznacza zbiór wszystkich liczb calkowitych podzielnych przez k.
Wówczas
(a) Z2 ∪ Z3 = Z1 .
(b) Z2 ∩ Z3 = Z6 .
(c) Z2 ∩ Z4 = Z8 .
(3) W referendum glosowalo 65% uprawnionych. Odpowiedź NIE wybralo 25%
glosujacych,
a 10% glosów bylo nieważnych. Odpowiedzi TAK udzielil naste,
,
pujacy
odsetek
ogó
lu
wyborców
,
(a) mniej niż 43%.
(b) 65%.
(c) ponad 40%.
(4) Na jeden dzban wchodza, dwie szklanki i trzy kufle. Gasior
to cztery dzbany
,
bez jednego kufla albo trzy dzbany i trzy kufle. Wynika stad,
że
,
(a) dzban ma pojemność czterech kufli.
(b) gasior
ma pojemność szesnastu kufli.
,
(c) kufel ma pojemność trzech szklanek.
(5) Funkcja kwadratowa f (x) = x2 +bx+c o dodatnim wyróżniku ma oba miejsca
zerowe mniejsze od 1 wtedy i tylko wtedy, gdy
(a) b > −2 i c < 1.
(b) b > −2 i c + b > −1.
(c) − 2b < 1 i f (1) > 0.
(6) Równanie x4 + 4px + q = 0 może mieć w zależności od prametrów p, q ∈ R
(a) 3 różne rozwiazania.
,
(b) 4 różne rozwiazania.
,
1
2
(c) 5 różnych rozwiazań.
,
(7) Reszta z dzielenia wielomianu x20 + x19 + . . . + x11 przez wielomian x2 − 1
wynosi
(a) 5x + 5.
(b) 10.
(c) −10.
2x
x
(8) Zbiorem wszystkich rozwiazań
nierówności 21
< 12 + 2 jest przedzial
,
(a) (−1, 2).
(b) (−∞, −1).
(c) (−1, +∞).
(9) Uklad równań
(
y = ax2 + b
x2 + y 2 = r2
może mieć w zależności od parametrów a, b, r ∈ R
(a) dokladnie jedno rozwiazanie.
,
(b) dokladnie cztery rozwiazania.
,
(c) nieskończenie wiele rozwiazań.
,
√
√
√
4
5
3
(10) Prawid
lowe
uporz
adkowanie
liczb
3,
4,
5 to
,
√
√
√
5
3
4
(a) √
5<√
3<√
4.
5
4
3
(b) √
5<√
4<√
3.
4
5
3
(c) 3 < 4 < 5.
(11) Liczby log1 10 , log1 10 ,
2
4
(a) rosnacy.
,
(b) arytmetyczny.
(c) geometryczny.
1
log8 10
tworza, w podanej kolejności ciag
,
(12) Ilość różnych rozwiazań
równania log2 sin x = −1 w przedziale [0, 2003π] wy,
nosi
(a) 4006.
(b) 2004.
(c) 2003.
(13) Wyrażenie sin 4α jest dla każdego α ∈ R równe
(a) 4 cos3 α sin α − 4 cos α sin3 α.
(b) 8 cos3 α sin α − 4 cos α sin α.
(c) 4 cos α sin α − 8 cos α sin3 α.
(14) Funkcja różniczkowalna f : R → R osiaga
maksimum lokalne w punkcie x = 1.
,
Funkcja h : R → R dana wzorem h(x) = f (x3 ) spelnia warunek
(a) h0 (0) = 0.
(b) h0 (1) = 0.
(c) h osiaga
maksimum lokalne w punkcie x = 0.
,
(15) Skladanie dwóch funkcji liniowych f (x) = ax + b, g(x) = cx + d, x ∈ R, jest
przemienne
(a) tylko wtedy, gdy a = c.
(b) przy ustalonych a, b tylko dla skończonej liczby par (c, d).
(c) dla dowolnych a, b, c, d.
3
(16) Wykres funkcji f (x) = sin(−2x + π) + 3, x ∈ R, można uzyskać z wykresu
funkcji g(x) = sin(−2x), x ∈ R, przesuwajac
, ten ostatni o wektor
(a) [−π, 3].
(b) [ π2 , 3].
(c) [− π2 , 3].
(17) Prawdziwa jest równość
(a) limn→∞ sinn n = 1.
(b) limn→∞ nn!n = 0.
n
(c) limn→∞ π3 = 0.
π
π
(18) Dany jest ciag
, an = tg
4 − n 2 , n ∈ N. Wtedy
(a) (an ) jest ciagiem
ograniczonym.
,
an 2
(b) limn→∞ 3 + n2 = 9.
(c) −a1 + 2 a2 − 3 a3 + . . . + 2002 a2002 − 2003 a2003 = 1002 · 2003.
(19) Ciag
aco:
a1 = 1, a2 = 2, an+1 =
, (an ) jest dany nastepuj
,
,
Wówczas a2003 wynosi
(a) 22002 .
(b) 22001 .
(c) 12 .
an
an−1
dla n ≥ 2.
(20) Sześcian o krawedzi
dlugości a podzielono na n3 jednakowych sześcianów.
,
Niech sn oznacza sume, powierzchni wszystkich ścian tych sześcianów, a vn
ich laczn
a, objetość.
Wówczas
,
,
(a) ciag
i ograniczony.
, (sn ) jest rosnacy
,
(b) ciagi
(s
)
i
(v
)
s
a
ci
agami
stalymi.
n
n
,
,
,
(c) ciag
(s
)
jest
rozbieżny
do
nieskończoności.
n
,
(21) O kwadracie wiemy, że jego dwa wierzcholki leża, na prostej o równaniu y =
1
(7, −3). Czwarty wierzcholek może mieć
,
6 x + 2, a trzeci ma wspólrzedne
wspólrzedne
,
(a) (13, −2).
(b) (2, −4).
(c) (1, −4).
(22) Iloczyn skalarny wektorów v i w wynosi 5. Różnica kwadratów dlugości wektorów v + w i v − w jest równa
(a) 20.
(b) 5.
(c) 0.
(23) Ostroslup prawidlowy trójkatny
wpisany w kule, o promieniu R ma najwieksz
a,
,
,
możliwa, objetość,
gdy
,
(a) ma wysokość R.
(b) ma wysokość 34 R.
(c) jest czworościanem foremnym.
(24) Na okregu
o środku O i promieniu r dane sa, punkty A i B takie, że kat
, AOB
,
ma miare, 120◦ . Wówczas
(a) obwód wypuklego wycinka AOB jest wiekszy
niż 4r.
,
(b) pole wypuklego wycinka AOB jest wieksze
niż
potrojone pole trójkata
,
,
AOB.
4
(c) styczne do okregu
przechodzace
przez punkty A i B przecinaja, sie, w
,
,
odleglości 2r od punktu O.
(25) W trapezie równoramiennym opisanym na okregu
o promieniu 1 przekatne
,
,
dziela, sie, w stosunku 3 : 1. Wynika stad,
że
,
(a) na tym trapezie można
opisać okrag.
,
√
8 3
(b) trapez ma pole 3 .
(c) ramie, trapezu ma dlugość
√
4 3
3 .
(26) Romb o boku dlugości 1 ma wlasność:
(a) jego pole nie przekracza 1.
√
(b) suma dlugości jego przekatnych
nie przekracza 2 2.
,
(c) suma kwadratów dlugości jego przekatnych
wynosi 4.
,
√
(27) Dlugość jednego boku trójkata
wynosi 3 3, a promień okregu
opisanego na
,
,
tym trójkacie
ma
d
lugość
3.
D
lugości
dwóch
pozosta
lych
boków
maja, sie, do
,
siebie jak 1 : 2. Wynika stad,
że
,
√
(a) cosinus kata
leż
acego
naprzeciw
boku o dlugości 3 3 wynosi 12 .
,
,
(b) dlugość krótszego z niewiadomych boków może wynosić 3.q
(c) dlugość dluższego z niewiadomych boków może wynosić 6
3
7.
(28) Grupe, sześciu osób dzielimy na trzy dwuosobowe drużyny. Można to zrobić
na
(a) 62 42 22 sposobów.
(b) 51 31 sposobów.
(c) 12 62 42 sposobów.
(29) Rzucamy jednocześnie piecioma
kośćmi do gry. Pokerem nazywamy wyrzu,
cenie jednakowej ilości oczek na wszystkich kościach, a kareta, — jednakowej
ilości oczek na czterech kościach i innej na pozostalej. Prawdopodobieństwo
uzyskania
(a) pokera wynosi 615 .
(b) karety jest 5 razy wieksze
niż prawdopodobieństwo uzyskania pokera.
,
1
(c) różnej ilości oczek na każdej kości jest wieksze
od 10
.
,
(30) Jedna trzecia procesorów trafiajacych
do sklepów pochodzi z firmy Alfa, zaś
,
pozostale z firmy Beta. Co dwudziesty procesor z firmy Alfa oraz 2, 5% procesorów z firmy Beta jest wadliwych. Zatem
1
(a) prawdopodobieństwo zakupu wadliwego procesora wynosi 30
.
(b) prawdopodobieństwo tego, że wśród dziesieciu
zakupionych procesorów
,
1 29 28
dokladnie dwa bed
a
wadliwe
wynosi
.
, ,
20 30
(c) na rynku jest wiecej
wadliwych
procesorów
pochodzacych
z firmy Beta.
,
,