że musimy przenieść s

Zagadnienia AI
wykład 2
Możliwość vs prawdopodobieństwo
Za pomocą rachunku prawdopodobieństwa możemy wyznaczyć
np. prawdopodobieństwo tego, że w wyniku rzutu kostką
dostaniemy 4 oczka.
Za pomocą zbiorów rozmytych możemy opisać nieprecyzyjne
stwierdzenie „wyrzucenie dużej liczby oczek”.
Jedyne podobieństwo między teorią zbiorów rozmytych i teorią
rachunku
prawdopodobieństwa
to
fakt,
że
funkcja
przynależności i prawdopodobieństwo przyjmują wartości z
przedziału [0, 1].
Złożenie relacji
Niech X, Y i Z będą zbiorami nierozmytymi.
Rozważmy dwie relacje rozmyte
RX Y z funkcją przynależności
R ( x, y )
SY Z z funkcją przynależności
S ( y, z)
Definicja
Złożeniem typu sup-T relacji rozmytych R i S nazywamy relację
rozmytą RSX Z określoną następującą funkcją przynależności
T
R S ( x, z )  sup{ R ( x, y )  S ( y , z )}
y Y
gdzie T jest operatorem t –normy.
Przykład
Jeżeli T(a, b)=min{a, b} wówczas otrzymujemy
RS ( x, z )  sup{min{R ( x, y ), S ( y , z )}}
y Y
(tzw. złożenie typu sup-min)
Jeżeli zbiór Y ma skończoną liczbę elementów wówczas
RS ( x, z )  max{min{R ( x, y ), S ( y , z)}}
yY
(tzw. złożenie typu max-min)
Przykład
Rozważmy dwie relacje rozmyte
0,3 1 
R

0
,
6
0
,
7


0,4 1 0,4
S

0
,
3
0
,
8
1


gdzie X={x1, x2}, Y={y1, y2}, Z={z1, z2, z3}
Złożenie typu max-min relacji R i S ma postać
0,3 1  0,4 1 0,4
R S  




0,6 0,7 0,3 0,8 1 
a11 a12 a13 


a
a
a
23 
 21 22
Przykład (cd)
Korzystając ze wzoru
RS ( x, z )  max{min{R ( x, y ), S ( y , z)}}
yY
Znajdujemy wartości aij
a11  max{min{0,3;0,4};min{1;0,3}}  0,3
a12  max{min{0,3;1};min{1;0,8}}  0,8
a13  max{min{0,3;0,4};min{1;1}}  1
a21  max{min{0,6;0,4};min{0,7;0,3}}  0,4
a22  max{min{0,6;1};min{0,7;0,8}}  0,7
a23  max{min{0,6;0,4};min{0,7;1}}  0,7
Przykład (cd)
Ostatecznie
0,3 0,8 1 
R S  

0
,
4
0
,
7
0
,
7


Złożenie relacji - własności
2
R I  I R  R
R O  O  R  O
3
R  S   T  R  S  T 
4
R m  R n  R mn
1
5
R 
m n
 R mn
6 R  (S  T )  (R  S)  (R  T )
7 R  (S  T )  (R  S)  (R  T )
8
S  T  R  S  R T
Przykład
Rozważmy relacje rozmyte RX Y , IY Z, OY Z
r11 r12 
R

r
r
 21 22 
 1 0
I

0
1


0 0
O

0
0


gdzie X={x1, x2}, Y={y1, y2}, Z={z1, z2}
Złożenie typu max-min relacji R i I ma postać
r11
R I  
r21
max{min{r11,1},min{r12 ,0}}
max{min{r ,1},min{r ,0}}
21
22

r12  1 0




r22  0 1
max{min{r11,0},min{r12 ,1}} 


max{min{r21,0},min{r22 ,1}} 
Przykład (cd)
czyli
r11 r12  1 0 r11 r12 
R I  


R



r21 r22  0 1 r21 r22 
Złożenie typu max-min relacji R i O ma postać
r11
R O  
r21
max{min{r11,0},min{r12 ,0}}
max{min{r ,0},min{r ,0}}
21
22

r12  0 0




r22  0 0
max{min{r11,0},min{r12 ,0}} 


max{min{r21,0},min{r22 ,0}} 
0 0

O

0 0
Złożenie zbioru rozmytego i relacji rozmytej
Rozważmy
zbiór rozmyty AX z funkcją przynależności  A (x )
relację rozmytą RX Y z funkcją przynależności
R ( x, y )
Definicja
Złożenie zbioru rozmytego A i relacji rozmytej R definiujemy
jako zbiór rozmyty B=ARY określony następująco
T
B ( y )  sup{  A ( x )  R ( x, y )}
xX
gdzie T jest operatorem t –normy.
Złożenie zbioru rozmytego i relacji rozmytej (cd)
Jeżeli T(a, b)=min{a, b} wówczas otrzymujemy
B ( y )  sup{min{ A ( x ), R ( x, y )}}
xX
(tzw. złożenie typu sup-min)
Jeżeli T(a, b)= ab wówczas otrzymujemy
B ( y )  sup{ A ( x )  R ( x, y )}
xX
(tzw. złożenie typu sup-product)
Przykład
Niech X={x1, x2, x3}, Y={y1, y2}.
Rozważmy zbiór rozmyty A
0,2 0,4 0,6
A


x1
x2
x3
oraz relację rozmytą R określoną macierzą
y1 y 2
x1  0,1 0,2


1
0
,
3
x2


x 3 0,7 1 
Przykład
Rozważmy złożenie AR typu sup-min.
Rezultatem takiego złożenia jest zbiór rozmyty B postaci
B
B ( y 1 )
y1

B ( y 2 )
y2
gdzie:
B ( y1 )  max{min{0,2;0,1};min{0,4;1};min{0,6;0,7}}  0,6
B ( y1 )  max{min{0,2;0,2};min{0,4;0,3};min{0,6;1}}  0,6
Zatem
0,6 0,6
B

y1 y 2
Definicja
Rozszerzeniem cylindrycznym zbioru AX w zbiór ce(A)X×Y
nazywamy
ce( A) 

X Y
A ( x )
( x, y )
Definicja
Projekcją zbioru rozmytego AX×Y na przestrzeń Y nazywamy
proj A na Y 

y Y
sup  A ( x, y )
xX
y
Korzystając z powyższych definicji złożenie zbioru rozmytego A i
relacji rozmytej R definiujemy jako zbiór rozmyty B=ARY
określony następująco
B  A  R  proj {ce( A)  R} na Y
Przykład
Niech X={x1, x2, x3}, Y={y1, y2}.
0,2 0,4 0,6
A


x1 x 2 x 3
 0,1 0,2
 1 0,3
R= 

0,7 1 
Wówczas:
0,6 0,6
B  A R 

y1
y2
B  A  R  proj {ce( A)  R} na Y
Policzmy:
0,2 0,4 0,6
A


x1 x 2 x 3
0,2
0,2
0,4
0,4
0,6
0,6
ce( A) 





( x1 , y1 ) ( x1 , y2 ) ( x2 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x3 , y1 ) ( x3 , y2 )
0,1
0,2
1
0,3
0,7
1
R





( x1 , y1 ) ( x1 , y2 ) ( x2 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x3 , y1 ) ( x3 , y2 )
Wówczas:
0,1
0,2
0,4
0,3
0,6
0,6
ce( A)  R 





( x1 , y1 ) ( x1 , y2 ) ( x2 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x3 , y1 ) ( x3 , y2 )
B  A  R  proj {ce( A)  R} na Y
0,1
0,2
0,4
0,3
0,6
0,6
ce( A)  R 





( x1 , y1 ) ( x1 , y2 ) ( x2 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x3 , y1 ) ( x3 , y2 )
Ostatecznie:
0,6 0,6
proj{ce( A)  R} na Y 

y1
y2
Wcześniej otrzymaliśmy:
0,6 0,6
B  A R 

y1
y2
Logika rozmyta
Wnioskowanie
Logika dwuwartościowa
Reguła modus ponens
A
przesłanka
AB
implikacja
B
wniosek
Przykład
A – „Marek jest kierowcą”
B – „Marek ma prawo jazdy ”
AB
0
1
0
1
1
1
0
1
Jeżeli prawdziwe jest zdanie A i prawdziwa jest implikacja AB
wówczas prawdziwe jest zdanie B.
Wnioskowanie
Logika dwuwartościowa
Wykorzystując tautologie:
p  (q  p)
 p  q  r    p  q    p  r 
i regułę modus ponens można wyprowadzić tautologie:
p p
q  r   ( p  q)  ( p  r )
Logika dwuwartościowa
Reguła modus tollens
B
przesłanka
AB
implikacja
A
wniosek
Przykład
A – „Marek jest kierowcą”
A – „Marek nie jest kierowcą”
B – „Marek ma prawo jazdy ”
B – „Marek nie ma prawa jazdy ”
AB
0
1
0
1
1
1
0
1
Jeżeli nie jest prawdziwe jest zdanie B i prawdziwa jest implikacja AB
wówczas nie jest prawdziwe jest zdanie A.
Wnioskowanie przybliżone
Przyjmijmy, że zdania występujące w regułach modus ponens
oraz modus tollens zawierają nieprecyzyjne określenia.
Oznacza to, że zdaniom tym odpowiadają pewne zbiory rozmyte.
Rozmyta reguła modus ponens
x jest A’
JEŻELI x jest A TO y jest B
y jest B’
przesłanka
implikacja
wniosek
gdzie: A, A’  X i B, B’  Y są zbiorami rozmytymi
x, y są zmiennymi lingwistycznymi
Zmienna lingwistyczna
Zmienną lingwistyczną nazywamy zmienną, której wartościami są
słowa lub zdania w języku naturalnym lub sztucznym. Powyższe
słowa lub zdania nazywamy wartościami lingwistycznymi
zmiennej lingwistycznej.
Przykład
Niech x będzie zmienną lingwistyczną oznaczającą wiek. Wartości
zmiennej lingwistycznej x należą do zbioru
T={ stary, bardzo stary, nie tak stary, zupełnie
młody, młody, bardzo młody }
Do każdego z elementów zbioru T można przyporządkować
pewien zbiór rozmyty.
Przykład
Prędkość samochodu jest duża
przesłanka
Jeżeli prędkość samochodu jest bardzo duża
to poziom hałasu jest wysoki
implikacja
Poziom hałasu w samochodzie jest średniowysoki
wniosek
Zmienne lingwistyczne
x – prędkość samochodu
Zbiór wartości: Tx={mała, średnia, duża, bardzo duża}
y – poziom hałasu
Zbiór wartości: Ty={mały, średni, średniowysoki, wysoki}
Przykład (cd)
Zbiory rozmyte:
A = „bardzo duża prędkość samochodu”
A’ = „duża prędkość samochodu”
B = „wysoki poziom hałasu”
B’ = „średniowysoki poziom hałasu”
Jaka jest różnica między nierozmytą i rozmytą regułą modus ponens ?
przesłanka
x jest A’
A
AB
JEŻELI x jest A TO y jest B
y jest B’
B
To samo zdanie
To samo zdanie
implikacja
wniosek
Zbiory inne, „zbliżone”
Zbiory inne, „zbliżone”
Zbiór rozmyty B’ jest złożeniem zbioru rozmytego A’ i rozmytej
implikacji A  B, która jest równoważna pewnej relacji rozmytej
RXY czyli
B  A  ( A  B)
Zatem
T
B ( y )  sup{  A ( x )   AB ( x, y )}
xX
gdzie
 AB ( x, y )
jest funkcją przynależności relacji R.
Jeżeli T(a,b)=min{a,b} wówczas
B ( y )  sup{min{ A ( x ),  AB ( x, y )}}
xX
Zauważmy, że jeżeli A=A’ i B=B’ wówczas rozmyta reguła modus
ponens redukuje się do zwykłej reguły modus ponens.
Intuicyjne relacje między przesłankami i wnioskami rozmytej reguły
modus ponens
Relacja
Przesłanka
x jest A’
Wniosek
y jest B’
1
x jest A
y jest B
2a
x jest „bardzo A”
y jest „bardzo B”
2b
x jest „bardzo A”
y jest B
3a
x jest „mniej więcej A” y jest „mniej więcej B”
3b
x jest „mniej więcej A” y jest B
4a
x jest „nie A”
y jest nieokreślone
4b
x jest „nie A”
y jest „nie B”
Rozmyta reguła modus tollens
y jest B’
JEŻELI x jest A TO y jest B
x jest A’
przesłanka
implikacja
wniosek
gdzie: A, A’  X i B, B’  Y są zbiorami rozmytymi
x, y są zmiennymi lingwistycznymi
Przykład
Poziom hałasu w samochodzie jest średniowysoki
przesłanka
Jeżeli prędkość samochodu jest bardzo duża
to poziom hałasu jest wysoki
implikacja
Prędkość samochodu jest duża
wniosek
Zbiór rozmyty A’ jest złożeniem rozmytej implikacji A  B i zbioru
rozmytego B’ (implikacja jest równoważna pewnej relacji rozmytej
RXY) czyli
A  ( A  B)  B
Zatem
T
 A ( x )  sup{  AB ( x, y )  B ( y )}
y Y
gdzie
 AB ( x, y )
jest funkcją przynależności relacji R.
Jeżeli T(a,b)=min{a,b} wówczas
 A ( x )  sup{min{ AB ( x, y ), B ( y )}}
yY
Zauważmy, że jeżeli A’=A i B’=B wówczas rozmyta reguła modus
tollens redukuje się do zwykłej reguły modus tollens.
Intuicyjne relacje między przesłankami i wnioskami rozmytej reguły
modus tollens
Relacja
Przesłanka
x jest B’
Wniosek
y jest A’
1
y jest „nie B”
x jest „nie A”
2
y jest „nie bardzo B”
x jest „bardzo A”
3
y jest „mniej więcej B” x jest „mniej więcej A”
4a
y jest B
x jest nieokreślone
4b
y jest B
x jest A
Jak modelować implikację?
Model Mamdaniego
 AB ( x, y )  T (  A ( x ), B ( y ))
gdzie T jest dowolną t-normą.
Przykład
Reguła typu minimum
AB ( x, y )  min{ A ( x ), B ( y )}
Reguła typu iloczyn (Larsena)
 AB ( x, y )   A ( x )  B ( y )
Zauważmy, że
A(x)
B(y)
min{A(x), B(y)}
A(x)B(y)
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
Wniosek
Reguły typu Mamdaniego nie są implikacjami w sensie logicznym.
Model logiczny
Definicja
Funkcję I: [0,1]2  [0,1] spełniającą następujące warunki:
1) a1  a3  I a1, a2   I a3 , a2  dla a1, a2 , a3  [0,1]
2) a1  a3  I a1, a2   I a3 , a2  dla a1, a2 , a3  [0,1]
3) I 0, a2   1 dla a2  [0,1]
4) I a1,1  1 dla a1  [0,1]
5) I 1,0  0
nazywamy implikacją rozmytą.
Przykład
I(a,b)=max{1-a,b}
Implikacja binarna
Implikacja Łukasiewicza
Implikacja Reichenbacha
Implikacja Gödela
Funkcja I
implikacji
I(a,b)=min{1,1- a+b}
I(a,b)=min{1,1- a+b}
1 dla a  b
I (a, b)  
b dla a  b
pozwala nam definiować funkcję przynależności dla
 AB ( x, y )  I (  A ( x ), B ( y ))
(implikacja jest relacją rozmytą RXY)
Implikacja binarna
A(x)
B(y)
1-A(x)
max{1- A(x),B(y)}
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
1
Implikacja Gödela
A(x)
B(y)
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
Rozmyte systemy wnioskujące
Rozmyte systemy wnioskujące
Aby móc sterować pewnym procesem technologicznym lub tez
pracą urządzeń konieczne jest zbudowanie modelu, na podstawie
którego można będzie podejmować decyzje związane ze
sterowaniem.
W wielu przypadkach znalezienie odpowiedniego modelu jest
problemem trudnym, niekiedy wymagającym przyjęcia różnego
typu założeń upraszczających.
Zastosowanie systemów rozmytych do sterowania procesami
technologicznymi nie wymaga od nas znajomości tych procesów.
Konstruujemy po prostu rozmyte reguły postępowania w postaci
zdań warunkowych:
IF ... THEN ...
Schemat rozmytego systemu wnioskującego
Baza reguł
x
Blok
rozmywania
A  X
Blok
wnioskowania
B k , k  1,..., N
Blok
wyostrzania
y
Baza reguł
Baza reguł (model lingwistyczny) stanowi reprezentacje wiedzy
eksperta o możliwych wartościach zmiennych stanu, o pożądanym
stanie urządzenia, itp.
Przyjmuje się dla potrzeb sterowania, ze przesłanka jak i wniosek
są koniunkcjami prostych faktów rozmytych.
Na bazę reguł składa się więc zbiór pewnych rozmytych reguł
postaci
JEŻELI (x1 jest A1) I ... I (xn jest An)
TO
(y1 jest B1) I ... I (ym jest Bm),
gdzie Ai,Bj są zbiorami rozmytymi, xi są zmiennymi wejściowymi,
a yj są zmiennymi wyjściowymi modelu lingwistycznego.
Precyzyjniej (dla N reguł):
Rk: JEŻELI (x1 jest A1k) I (x2 jest A2k) I…I (xn jest AnK)
TO
(y1 jest B1k) I (y2 jest B2k) I…I (ym jest BmK)
gdzie: k=1,…,N.
Aik  Xi  R, i=1,…,n, - zbiory rozmyte
Bjk  Yj  R, j=1,…,m, - zbiory rozmyte
[x1,…,xn]=xX1…  Xn
[y1,…,ym]=yY1…  Ym
x1,…,xn - zmienne wejściowe i y1,…,ym – zmienne wyjściowe
Założenia:
(1) poszczególne reguły Rk (k=1,…,N) są powiązane ze sobą za
pomocą operatora „lub”.
(2) wyjścia y1,…,ym są od siebie niezależne. Oznacza to, że
reguły mają skalarne wyjście:
Rk: JEŻELI (x1 jest A1k) I (x2 jest A2k) I…I (xn jest Ank)
TO
y jest Bk
gdzie B k  Y R.
Zmienne x1,…,xn oraz y mogą przyjmować zarówno wartości
nieprecyzyjne określone słownie (np. „małe”, „średnie”, „duże”) jaki i
wartości liczbowe.
Oznaczmy:
X =X1  X2  …  Xn
Ak=A1k A2k  …  Ank
Regułę możemy przedstawić jako rozmytą implikację:
R(k): Ak  Bk, k=1,…,N
Regułę R(k) możemy też interpretować jako relację rozmytą
określoną na zbiorze X  Y, tzn:
R(k)  X  Y jest zbiorem rozmytym o funkcji przynależności
R ( x, y )   A
(k )
k
B k
( x, y )
Schemat rozmytego systemu wnioskującego
Baza reguł
x
Blok
rozmywania
A  X
Blok
wnioskowania
Blok
wyostrzania
Blok rozmywania
Systemy sterowania z logiką rozmytą operują na zbiorach
rozmytych.
Zatem konkretna wartość
x  [ x1, x2 ,..., xn ]  X
sygnału wejściowego sterownika rozmytego podlega operacji
rozmywania (ang. fuzzyfiacation), w wyniku której zostaje
odwzorowana w zbiór rozmyty A’  X = X1  X2  …  Xn.
Często stosuje się rozmywanie typu singleton:
1, x  x
 A' ( x )   ( x  x )  
0, x  x
Zbiór A’ jest wejściem bloku wnioskowania.
Schemat rozmytego systemu wnioskującego
Baza reguł
x
Blok
rozmywania
A  X
Blok
wnioskowania
B k , k  1,..., N
Blok
wyostrzania
y
Blok wnioskowania
Przyjmijmy, że na wejściu bloku wnioskowania mamy zbiór
rozmyty A’  X = X1  X2  …  Xn.
Znajdziemy odpowiedni zbiór rozmyty na wyjściu z bloku
wnioskowania
Przypadek 1
Na wyjściu otrzymujemy N zbiorów rozmytych B k  Y zgodnie z
uogólnioną regułą modus ponens.
Wówczas:
B k  A'( Ak  B k ), k  1,..., N
Funkcja przynależności zbioru B k ma postać
T
B ( y )  sup{  A' ( x )   A
k
xX
k
B k
( x, y )}
Przykład 1
Przyjmijmy n=2, t-norma jest typu min, rozmyte wnioskowanie
definiuje reguła min oraz iloczyn kartezjański zbiorów określony
jest przez min.
Wówczas:
T
B ( y )  sup{  A' ( x )   A
k
xX
k
B k
( x, y )} 
 sup{min{ A' ( x ),  Ak Bk ( x, y )}} 
xX
 sup{min{ A' ( x ),min{ Ak ( x ), Bk ( y )}}}
Ponieważ:
xX
 A' ( x )  A ' A ' ( x1, x2 )  min{A ' ( x1 ),  A ' ( x2 )}
1
A ( x )  A
k
2
k
k

A
2
1
1
2
( x1, x2 )  min{ Ak ( x1 ),  Ak ( x2 )}
1
2
Przykład 1 (cd)
Ostatecznie
 B ( y) 
sup {min{ A1 ' ( x1 ),  A2 ' ( x2 ),  Ak ( x1 ),  Ak ( x2 ),  B k ( y )}}
k
x1 X 1 , x2  X 2
1
2
Przykład 2
Przyjmijmy n=2, t-norma jest typu iloczyn, rozmyte wnioskowanie
definiuje reguła iloczyn oraz iloczyn kartezjański zbiorów określony jest
przez iloczyn.
Wówczas:
 B ( y )  sup{ A' ( x)   A
k
x X
k
Bk
( x, y )} 
 sup{ A' ( x)   Ak ( x)   B k ( y ))} 
x X

sup { A1 ' ( x1 )   A2 ' ( x2 )   Ak ( x1 )   Ak ( x2 )   B k ( y )}
x1 X 1, x2  X 2
1
2
Przypadek 2
Na wyjściu bloku wnioskowania otrzymujemy jeden zbiór rozmyty
B’Y określony np. wzorem:
N
N
B'   B   A'( Ak  B k )
k
k 1
k 1
W ogólności funkcja przynależności zbioru B' ma postać
S
S
S
B ' ( y )  B ( y )  B ( y ) ...  B ( y )
1
2
N
gdzie S jest dowolną s –normą i
T
B ( y )  sup{  A' ( x )   A
k
xX
k
B k
( x, y )}
Blok rozmywania – przykład
Rozważmy rozmyty system wnioskujący z bazą reguł:
R1: JEŻELI x1 jest A11 I x2 jest A21 TO y jest B1
R2: JEŻELI x1 jest A12 I x2 jest A22 TO y jest B2
Na wejście sterownika podano sygnał
x  [ x1 , x2 ]  X
W wyniku rozmywania typu singleton otrzymujemy zbiory
rozmyte o funkcjach przynależności
 A ' ( x1 )   ( x1  x1 )
1
 A ' ( x2 )   ( x2  x2 )
2
Blok rozmywania – przykład
Podstawmy tę funkcję przynależności do przykładu 1 (minimum):
 A ' ( x1 )   ( x1  x1 )
1
 A ' ( x2 )   ( x2  x2 )
2
 B ( y) 
k
sup {min{ A1 ' ( x1 ),  A2 ' ( x2 ),  Ak ( x1 ),  Ak ( x2 ),  B k ( y)}}
x1X 1 , x2 X 2
1
2
Wówczas:
 B ( y)  min{1, 1,  A ( x1 ),  A ( x2 ),  B ( y)}
k
k
1
k
2
k
Ostatecznie (sumujemy dwa zbiory):
 B ' ( y )  max{min{ A ( x1 ),  A ( x2 ),  B ( y )}}
k 1, 2
k
1
k
2
k
Blok rozmywania – przykład
 A ( x1 )
1
1
 A ( x2 )
1
2
1
1
A
B ( y )
B ( y )
1
1
1
2
A
B
1
B1
 A ( x1 )
2
1
2
1
A
 A ( x2 )
2
2
y
y
x2
x1
B ( y )
A22
2
B
2
B ( y )
2
B2
x1
x1
x2
min
B ' ( y )
B' ( y )  max{min{ A ( x1 ),  A ( x2 ), B ( y )}}
k 1,2
k
1
y
y
x2
k
2
B'
k
y
Blok rozmywania – przykład
Pozostańmy przy systemie wnioskującym z przykładu 1 (minimum)
ale przyjmijmy, że implikacja jest modelowana przez iloczyn:
 A B ( x, y)   A ( x)   B ( y)
k
k
k
k
Ponieważ mamy 2 sygnały na wejściu:
 A ( x)   A  A ( x1 , x2 )  min{ A ( x1 ),  A ( x2 )}
k
k
1
k
2
k
1
k
2
Wówczas:
 B ( y) 
k
sup {min{ A1 ' ( x1 ),  A2 ' ( x2 ),  Ak ( x1 ),  Ak ( x2 )}  B k ( y)}
x1 X 1, x2  X 2
1
2
Ostatecznie otrzymujemy:
 B ' ( y)  max{min{ A ( x1 ),  A ( x2 )}  B ( y)}
k 1, 2
k
1
k
2
k
Blok rozmywania – przykład
 A ( x1 )
1
1
 A ( x2 )
1
2
1
1
A
B ( y )
B ( y )
1
1
1
2
A
B
1
B1
 A ( x1 )
2
1
2
1
A
 A ( x2 )
2
2
B ( y )
A22
y
y
x2
x1
2
B
2
B ( y )
2
B2
x1
x1
x2
min
B ' ( y )
 B ' ( y )  max{min{ A ( x1 ),  A ( x2 )}   B ( y )}
k 1, 2
k
1
k
2
y
y
x2
B'
k
y
Sterowanie suwnicą przenosząca kontenery
Za pomocą suwnicy musimy przenieść kontener z ładunkiem z
jednego miejsca na drugie. Jednak w momencie odkładania go na
miejsce mogą wystąpić zbyt duże kołysania. Celem naszym jest
takie pokierowanie suwnica by nie został zniszczony nasz
ładunek.
Sterowanie suwnicą przenosząca kontenery
Naszymi danymi są: odległość wózka z kontenerem od pozycji
docelowej oraz kąt wychylenia.
Jeżeli wózek z kontenerem jest w dużej odległości od położenia
docelowego suwnica może poruszać się z dużą szybkością.
Jednak gdy zbliża się ona do końca drogi musimy zadbać o
tłumienie kołysania kontenera na linie.
W momencie gdy jesteśmy juz bardzo blisko konieczne jest
łagodne (pozbawione kołysań) doprowadzenie kontenera do
miejsca docelowego.
Sterowanie suwnicą przenosząca kontenery
Baza reguł:
JEŻELI (d = duża) TO (P = duża)
JEŻELI (d = mała) I (kąt = ujemny duży) TO (P = dodatnia średnia)
JEŻELI (d = mała) I (kąt = ujemny mały LUB zero LUB dodatni mały)
TO (P = dodatnia średnia)
JEŻELI (d = mała) I (kąt = dodatni duży) TO (P = ujemna średnia)
JEŻELI (d = zero) I (kąt = dodatni duży LUB mały) TO (P = ujemna
średnia)
JEŻELI (d = zero) I (kąt = zero) TO (P = zero)
JEŻELI (d = zero) I (kąt = ujemny mały) TO (P = dodatnia średnia)
JEŻELI (d = zero) I (kąt = ujemny duży) TO (P = dodatnia duża)
Sterowanie suwnicą przenosząca kontenery
Zmienne lingwistyczne:
ODLEGŁOŚĆ
możliwe wartości: zero, mała, duża
KĄT (WYCHYLENIE)
możliwe wartości: ujemny duży, ujemny mały, zero,
dodatni mały, dodatni duży
MOC
możliwe wartości: ujemna duża, ujemna mała, zero,
dodatnia mała, dodatnia duża
Koniec wykładu 2