ANALIZA PROBABILISTYCZNA Zadanie 1.

ANALIZA PROBABILISTYCZNA
Zadanie 1. [Cormen, Zadanie 5.1-3.] Procedura BADRANDOM () zwraca 0
z prawdopodobieństwem p ∈ (0, 1), a 1 z prawdopodobieństwem p −
1, przy czym p jest nieznane ale takie samo dla dowolnego wywołania
BADRANDOM (). Każda liczba zwrócona w wyniku wywołania procedury
BADRANDOM () jest niezależna od liczby zwróconych we wcześniejszych
wywołaniach. Z kolei procedura RANDOM () zwraca 0 z prawdopodobieństwem 1/2, oraz 1 z prawdopodobieństwem 1/2. Opisz implementacj˛e
procedury RANDOM (), w której korzysta
si˛e wyłacznie
˛
z wywołań BADRAN DOM (). Jaka jest średnia liczba E X p wywołań BADRANDOM () w skonstruowanej procedurze w zależności od p.
Zadanie 2. [Cormen, Zadanie 5.2-2.]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
procedure HIREASSISTANT(n)
begin
best : = 0 ;
f o r i : = 1 to n do
begin
przesłuchaj kandydatk˛e i ;
i f ( kandydatka i jest lepsza niż kandydatka best ) then
begin
best : = i ;
zatrudnij kandydatk˛e i
end
end
end ;
Przy założeniu, że kandydatki przybywaja˛ w kolejności losowej, jakie jest
prawdopodobieństwo, że w procedurze HIREASSISTANT zatrudnimy dokładnie dwie osoby?
Zadanie 3. [Cormen, Zadanie 5.2-4.] Zastosuj zmienne losowe wskaźnikowe do rozwiazania
˛
nast˛epujacego
˛
problemu, znanego jako problem roztargnionego szatniarza. Każda z n osób podaje swój kapelusz szatniarzowi w
restauracji. Szatniarz zwraca kapelusze klientom w kolejności losowej. Jaka
jest oczekiwana liczba osób, które dostana˛ z powrotem własny kapelusz?
Zadanie 4. [Cormen, Zadanie 5.2-5.] Niech A[1 . . . n] b˛edzie tablica˛ zawierajac
˛ a˛ n różnych liczb. Jeśli i < j oraz A[i] > A[j], to para (i, j) jest nazywana inwersja˛ w A. Przypuśćmy, że każdy element tablicy A jest wybierany
niezależnie i losowo zgodnie z rozkładem jednostajnym z zakresu od 1 do
n. Zastosuj zmienne losowe wskaźnikowe do obliczenia oczekiwanej liczby
inwersji.
1
2
ANALIZA PROBABILISTYCZNA
Zadanie 5. [Cormen, Zadanie 5.3-3.] Przypuśćmy, że zamiast zamieniać
element A[i] z losowym elementem z fragmentu tablicy A[i . . . n], b˛edziemy zamieniać go z losowym elementem z dowolnego miejsca w tablicy:
1
2
3
4
5
6
procedure PERMUTEWITHALL(A)
begin
n : = LENGTH(A) ;
f o r i : = 1 to n do
zamień A[i] z A[ RANDOM (1, n)] ;
return A ;
Czy ten kod generuje permutacj˛e losowa˛ zgodnie z rozkładem jednostajnym? Dlaczego tak albo dlaczego nie?
Zadanie 6. [Cormen, Zadanie 5.3-5.]
1
2
3
4
5
6
7
procedure PERMUTEBYSORTING (A)
begin
n : = LENGTH(A) ;
f o r i : = 1 to n do
P[i] : = RANDOM(1, n3 )
posortuj A, używajac
˛ P jako kluczy sortowania ;
return A ;
Udowodnij, że w procedurze PERMUTEBYSORTING prawdopodobieństwo
tego, że wszystkie elementy w tablicy P sa˛ różne, wynosi przynajmniej
1 − 1/n.
Zadanie 7. [Cormen, Zadanie 5.4-2.] Przypuśćmy, że kule sa˛ wrzucane do
b urn. Rzuty sa˛ niezależne i każda kula może trafić do każdej z urn z jednakowym prawdopodobieństwem. Jaka jest oczekiwana liczba rzutów, zanim co najmniej jedna z urn b˛edzie zawierać dwie kule?
Zadanie 8. [Cormen, Zadanie 5.4-3.] Czy przy analizie paradoksu dnia urodzin ważne jest, aby urodziny były wzajemnie niezależne, czy też wystarczy, aby były parami niezależne? Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 9. [Cormen, Zadanie 5.4-4.] Ile osób powinno zostać zaproszonych na przyj˛ecie, aby oczekiwana liczba trójek osób urodzonych jednego
dnia wyniosła co najmniej 1?
Zadanie 10. [Cormen, Zadanie 5.4-7.] Pokaż, że w n rzutach symetryczna˛ moneta˛ prawdopodobieństwo tego, iż nie wystapi
˛ ciag
˛ kolejnych orłów
dłuższy niż log2 n − 2 log2 log2 n, jest mniejsze niż 1/n.
L ITERATURA
[Cormen] Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein, Wprowadzenie do algorytmów, 6 zmienione i rozszerzone, Wydawnictwo NaukowoTechniczne, Warszawa, 2004, ISBN 83-204-2879-3.