STATYSTYKA STOSOWANA Lista 4

STATYSTYKA STOSOWANA
Lista 4
1. Punkt startuje z pocza̧tku ukladu wspólrzȩdnych i porusza siȩ po prostej:
przesuwa siȩ o jednostkȩ w lewo z prawdopodobieństwem 0, 5 i o jednostkȩ w
prawo z prawdopodobieństwem 0, 5. Przyjmuja̧c, że poszczególne przesuniȩcia
sa̧ niezależne, wyznaczyć rozklad zmiennej losowej D, gdzie D jest polożeniem
punktu po sześciu przesuniȩciach. Wyznaczyć rozklad zmiennej losowej D2 .
2. Samochód porusza siȩ po trasie, na której znajduja̧ siȩ 4 sygnaly świetlne,
dzialaja̧ce niezależnie od siebie. Każdy z nich zatrzymuje lub przepuszcza
samochód z prawdopodobieństwem p = 21 . Niech X oznacza liczbȩ sygnalów
miniȩtych przez samochód do momentu pierwszego zatrzymania. Znaleźć
rozklad zmiennej losowej X.
3. Zmienna losowa X ma rozklad o dystrybuancie
F (x) =









0
0.1 + x
0.4 + x
1
dla
dla
dla
dla
x ≤ 0,
0 < x ≤ 0.5,
0.5 < x ≤ 0.55,
x > 0.55.
Wyznaczyć P (X = 0.5), P (0 ≤ X < 0.5), P (0 < X < 0.55).
4. Zmienna losowa X przyjmuje wartości 2, 3, 5, 8 z prawdopodobieństwami odpowiednio równymi 2/10, 4/10, 3/10, p. Wyznaczyć p i dystrybuantȩ tej zmiennej oraz
obliczyć
a) P (X ≤ 3),
b) P (X ≥ 2.5),
c) P (2.7 ≤ X < 5.1).
Podać rozklad prawdopodobieństwa zmiennej Y = 3X −2 i obliczyć jej wartość
oczekiwana̧ (EX) i wariancjȩ (VarX).
5. Dystrybuanta zmiennej losowej X ma postać
x
(−∞, −1] (−1, 3] (3, 7] (7, 10] (10, 15] (15, ∞)
F (x)
0
0.15
0.25
0.4
0.85
1
Obliczyć EX i V arX.
6. Zmienna losowa X ma gȩstość określona̧ wzorem
(
f (x) =
x/8 dla x ∈ (3, 5),
0 dla x ∈
/ (3, 5).
Wyznaczyć dystrybuantȩ tej zmiennej i obliczyć:
a) P (X < 4),
b) P (X > 3.5),
c) P (4 < X < 5),
d) P (X < 3.5 lub X > 4.5)
oraz jej wartość oczekiwana̧ i wariancjȩ.
7. Wyznaczyć wartość oczekiwana̧ i wariancjȩ zmiennej losowej U = −2X 2 + 3
jeżeli EX = 2, V arX = 1, EX 4 = 34.
8. Rozklad prawdopodobieństwa zmiennej losowej X dany jest wzorem
P (X = 2k ) = 4 · 5−k , k = 1, 2, ...
Znaleźć EX, V arX. Czy istnieje trzeci moment X ?