Matematyka stosowana i metody numeryczne

Ewa Pabisek
Adam Wosatko
Piotr Pluciński
Matematyka stosowana i metody numeryczne
Konspekt z wykładu
16
Pole skalarne i wektorowe
Jeśli każdemu punktowi pewnej przestrzeni przyporządkujemy:
• pewną wartość liczbową A, to ten obszar nazywamy polem skalarnym, np.:
– pole temperatury - opisuje rozkład temperatury w obszarze,
– pole gęstości - podaje gęstość substancji w każdym punkcie rozpatrywanej objętości
• pewien wektor A to obszar ten nazywamy polem wektorowym, np.:
– pole prędkości - podaje prędkość poszczególnych punktów ciała,
– pole elektryczne - określa natężenie pola elektrycznego.
Funkcja realizująca takie przyporządkowanie to funkcja pola.
Pole niezależne od czasu to pole stacjonarne.
16.1
Pole skalarne
Miejsce geometryczne stałych wartości pola skalarnego nazywamy
1. powierzchnią ekwiskalarną lub izopowierzchnią - dla pól trójwymiarowych
2. liniami ekwiskalarnymi lub izoliniami - dla pól dwuwymiarowych
Równanie izolinii (izopowierzchni) pola skalarnego:
f (x, y) = const,
f (x, y, z) = const
Pole skalarne
Rozkład temperatury
1
16.2
Pole wektorowe
Tradycyjnym obrazem wektora jest strzałka.
Pole wektorowe można więc obrazować za pomocą strzałek narysowanych w wybranych punktach.
Można też rysować linie styczne do wektorów - linie pola.
Pole wektorowe
Kierunki naprężeń głównych
16.3
Różniczkowy opis pól
Pola zdefiniowane jako funkcje matematyczne bada dział fizyki zwany teorią pola. Do analizy funkcji
stosuje się rachunek różniczkowy, w którym wymaga się, aby funkcja f była ciągła i różniczkowalna
(jedno- lub wielokrotnie). Różniczki funkcji przedstawia się jako operatory różniczkowe.
Takimi operatorami różniczkowymi są:
1. gradient
2. dywergencja
3. rotacja
16.3.1
Gradient
Gradientem pola skalarnego f (x, y, z) w punkcie P nazywamy:
grad f = i
∂f
∂f
∂f
+j
+k
∂x
∂y
∂z
Funkcję pola grad f zapisujemy za pomocą symbolu ∇:
grad f = ∇ f =
h ∂f ∂f ∂f i
,
,
∂x ∂y ∂z
Wektor grad f w danym punkcie pola f wskazuje kierunek, w którym zmiana pola skalarnego f jest
największa.
Jeśli przyjmiemy, że pole skalarne h(x) opisuje wysokość terenu nad poziomem morza, to grad h
wskazuje kierunek, w którym zmiana wysokości jest maksymalna (w tym kierunku droga jest najbardziej stroma).
Gradient pola skalarnego f to operator różniczkowy, który przypisuje każdemu punktowi tego
pola ściśle określony wektor, wyznacza więc pole wektorowe, przyporządkowane danemu polu skalarnemu.
2
• Wektor gradf jest prostopadły do powierzchni/linii ekwiskalarnej.
• Gradient ma zwrot skierowany od izopowierzchni o mniejszej wartości do powierzchni o większej
wartości.
• Gradient jest niezmiennikiem względem transformacji ortogonalnej.
f (x, y) = (cos2 (x) + cos2 (y))2 + 6
2
f (x, y) = x e−(x
+y 2 )
+0.6
Funkcja f (x, y) rośnie najszybciej w kierunku swojego gradientu.
16.3.2
Dywergencja
Ponieważ operator ∇ jest wektorem, można utworzyć iloczyn skalarny
i wektorowy wektora ∇ z dowolnym innym wektorem.
Jeśli
V(x, y, z) = iVx + jVy + kVz
jest pewną funkcją pola wektorowego, to iloczyn skalarny ∇ · V ma postać:
∇·V = i
∂
∂ ∂
∂Vx ∂Vy ∂Vz
+j
+k
+
+
= div V.
· (iVx + jVy + kVz ) =
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
ywergencja (rozbieżność, źródłowość) pola wektorowego V to operator różniczkowy, który przekształca dane pole wektorowe w pewne pole skalarne.
16.3.3
Rotacja
Rotacja (wirowość) pola wektorowego V nazywamy iloczyn wektorowy operatora różniczkowego ∇ i
wektora pola V:
rot V = ∇ × V.
W notacji macierzowej, rotację wektora można zapisać w postaci wyznacznika:
i
j
k
∂ ∂ ∂
∇ × V = ∂x ∂y ∂z Vx Vy Vz 3
16.3.4
Laplasjan
Laplasjanem pola skalarnego f (funkcji f ) klasy C2 nazywa się operator różniczkowy drugiego rzędu:
4f = div grad f
4 = ∇2 =
16.4
∂2
∂2
∂2
+
+
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
Klasyfikacja pól wektorowych
• Jeżeli dla danego pola wektorowego V istnieje pole skalarne f , takie że: V = gradf to pole V
nazywamy polem potencjalnym.
• Jeśli rotacja rot V = 0 to takie pole nazywamy bezwirowym.
Wynika z tego, że np. praca siły V po obwodzie zamkniętym jest równa zero.
Takie pole nazywamy zachowawczym.
• Pole V, dla którego div V = 0 jest polem bezźródłowym.
Wniosek:
• Ponieważ rot(gradf ) = 0, to każde pole potencjalne jest polem bezwirowym
16.5
Zależności pomiędzy operatorami
1. rot(grad f ) = ∇ × ∇f = 0
2. div(rot V) = ∇ · (∇ × V) = 0
3. div(U × V) = U · rot V − V · rot U
↔ ∇ · (U × V) = U · (∇ × V) − V · (∇ × U)
4. rot(f V) = f rot V + grad f × V
↔ ∇ × (f V) = f ∇ × V + ∇f × V
5. grad(U · V) = (U · grad)V + (V · grad)U + U × (rot V) + V × (rot U)
↔ ∇(U · V) = (U · ∇) · V + (V · ∇) · U + U × (∇ × V) + V × (∇ × U)
6. rot(rot V) = grad(div V) − div grad V
∇ × (∇ × V) = ∇(∇ · V) − 4V
16.6
Zestawienie operatorów
Nazwa
Skrót
gradient
grad
dywergencja
div
rotacja
rot
laplasjan
Oznaczenie
∇
∇·
∇×
∇2 = 4
Dany jest:
Wynikiem jest:
skalar
wektor
wektor (tensor) skalar (wektor)
wektor
wektor
skalar
skalar
4