x - Kolos

Matematyka dyskretna cz. I
Logika, teoria mnogo ci, relacje, moc zbiorów, typy porz dkowe,
kongruencje
Zadania dla studentów informatyki
Katarzyna Lubnauer
Maria Wolska
Logika
1. Niech p, q, r nast puj ce zdania logiczne:
p- pada deszcz
q- s chmury na niebie
r – wieci sło ce
Zapisz przy pomocy symboli logicznych nast puj ce zdania:
a) Pada deszcz i wieci sło ce.
b) Je li pada deszcz to s chmury na niebie.
c) Deszcz pada wtedy i tylko wtedy gdy s chmury na niebie.
Które z tych zda s zawsze prawdziwe?
2. Zbadaj warto
logiczn zda :
a) Je eli 2+2=4 to 2+3=4.
b) Je eli 2+3=4 to 2+2=4.
c) Je eli 2+2=4 i 2+3=6 to 2x = 5.
d) 2+2=5 wtedy i tylko wtedy gdy 2+3 =4.
e) 2+2=4 lub 2+3=5.
3. Zbadaj czy zdanie: Je li Ania nie umie liczy , to je li Ania umie liczy to 2+2=5 jest
prawdziwe.
4. Zbadaj warto
logiczn zda :
a) p ⇔ ¬p ,
b) ¬( p ∧ q ) ,
c) ¬(q ∨ p ) ,
d)
e)
[( p ∨ q ) ∧ r ] ( p ∧ ¬q ) ,
( p q ) [( p ∨ ¬q ) ( p ∧ q )] .
5. Sprawd które z poni szych zda s tautologiami:
a)
(q
p) ⇔ ( p ∧ q) ,
b)
( p ∧ ¬q )
c)
( p ∧ q)
(p
q) ,
( p ∨ q) ,
d) [( p ⊕ q ) ⊕ r ] ⇔ [ p ⊕ (q ⊕ r )] ,
e)
((( p
q)
p)
p) .
2
6. Okre l koniunkcje za pomoc
a) negacji i alternatywy
b) negacji i implikacji.
7. Okre l równowa no
za pomoc koniunkcji, alternatywy i negacji.
8. Zakładaj c i zdanie p
9. Zakładaj c i zdanie ( p
q ∧ r ⇔ ¬p ∨ (q
q jest fałszywe podaj warto
logiczn zdania q
q ) ∨ r jest fałszywe podaj warto
p.
logiczn zdania
r).
10. Niech trójk t jest prostok tny ,wówczas suma kwadratów długo ci dwóch krótszych
boków równa jest kwadratowi długo ci najdłu szego boku. Zapisz twierdzenie w postaci
implikacji. Sformułuj twierdzenie odwrotne, zbadaj jego prawdziwo .
11. Znajd twierdzenie przeciwne, odwrotne i przeciwstawne do danego. Zbadaj warto
logiczn ka dego z tych twierdze :
a)
Je eli x > 0 i y > 0 to xy > 0.
b)
Je eli n jest liczb naturaln i parzyst to n 2 jest liczb naturaln parzyst .
c)
Niech n liczba naturalna. Je eli n jest liczb parzyst to n 2 jest liczb parzyst .
d)
Je eli x=0 lub y=0 to xy = 0 .
12. Udowodnij i iloczyn dwóch liczb parzystych jest wielokrotno ci 4.
13. Udowodnij i liczba n 2 − n gdzie n ∈ N jest liczb parzyst . Podaj jaki typ dowodu
zastosowałe .
14. Udowodnij i liczba n 3 − n gdzie n ∈ N jest liczb podzieln przez 6. Podaj jaki typ
dowodu zastosowałe .
15. Udowodnij i liczba n 3 + n gdzie n ∈ N jest liczb parzyst . Podaj jaki typ dowodu
zastosowałe .
16. Udowodnij i liczba n 4 − n 2 gdzie n ∈ N jest liczb podzieln przez 3. Podaj jaki typ
dowodu zastosowałe .
17. Udowodnij wynikania:
x+ y
> 1 to x > 1 lub y > 1 .
2
a)
Je eli
b)
Je eli xy < 0 to x < 0 lub y < 0 .
c)
Je eli rednia arytmetyczna n liczb jest wi ksza od a to przynajmniej jedna z tych
liczb jest wi ksza od a.
18. Udowodnij i
2 jest liczb niewymiern . Podaj jaki typ dowodu zastosowałe .
3
19. Udowodnij i
3 jest liczb niewymiern . Podaj jaki typ dowodu zastosowałe .
20. Udowodnij i log 2 3 jest liczb niewymiern . Podaj jaki typ dowodu zastosowałe .
21. Udowodnij i log3 5 jest liczb niewymiern . Podaj jaki typ dowodu zastosowałe .
22. Udowodnij nast puj ce nierówno ci dla dowolnych x, y ∈ R :
a)
x ≥ x,
b) x
0∧ y ≥ 0
x + y ≤ max { x , y } ,
c)
x+ y ≤ x + y ,
d)
x− y ≥ x − y ,
e)
x− y ≤ x + y ,
f)
x+ y ≥ x − y ,
g)
xy = x y ,
h)
x
x
= .
y
y
Podaj jaki typ dowodu zastosowałe .
23. Zapisz nast puj ce zdania w notacji polskiej (beznawiasowej):
a)
b)
c)
(( p ∨ q ) ∨ r ) ∨ s ,
( p ∨ q ) (¬r ∧ s ) ,
(¬( p ∨ q )) ⇔ (¬p ∧ ¬q ) .
24. Przekształ zdania z notacji beznawiasowej w notacje nawiasow :
a)
p¬q¬ ∧ pq ∨ ¬ ⇔ ,
b)
pq ∧ r ∧ pqr ∧ ∧ ⇔ .
4
Zbiory.
1. Niech
U = { 0,1,2,3,....,17 }, A = { 2,4,6,8,10 }, B = {1,3,5,17 }, C = {1,5,6,8,17 }, D = { 6,12,13 }.
Wyznacz zbiory:
a) A ∪ B
b) A ∩ B
c) A − C
d)
(A ∩ C ) ∪ B c
e) C − D
f)
B⊕C
g) ile podzbiorów ma zbiór C
2. Niech A = { 2,4,5 } , B = { n ∈ N : n jest parzyste},
B = { p ∈ Z : p jest nieparzyste ∨ p < 0} .
a) Wyznacz A ∩ B, A ∩ C , B ∩ C , B ⊕ C
b) Wypisz wszystkie podzbiory zbioru A
c) Nie wyznaczaj c ich zgadnij, które ze zbiorów s niesko czone:
A ∪ B, A ⊕ B, A − B, B − A .
3. Wypisz kilka elementów poni szych zbiorów oraz zapisz te zbiory w inny sposób:
a) A = { n ∈ N : n podziel. przez 3 }
b) B = { x ∈ R : x 2 = 1}
c) C = { x ∈ R : 2 x ≤ 2}
d) D = x ∈ R − {0} : x +
1
≥2 .
x
e) ∅
4. W przestrzeni R znajd nast puj ce zbiory:
a) [1,5) ∩ [− 2,3] ,
b) [− 1,3] ∪ (2, ∞ ) ,
c) [0,5] − [2,7 ) ,
d) [0,5] ⊕ [2,7 )
5
e) [0, ∞ ]
c
f) [0,4] ∩ ∅
5. Dla podanych zbiorów A,B wyznaczy zbiory A ∪ B, A ∩ B, A \ B . Wynik zaznacz na osi
liczbowej:
3x 2
4 x + 16
−
= 0 , B = {x ∈ R : x − 1 + x − 5 > 8}
2
x +1
x −1
a)
A = x∈R :
b)
A = x ∈ R : 3 log x + 2 log
c)
A = x ∈ R : x +1 + 2 = 2 , B = x ∈ R : x +1 − x −1 = 1
d)
1
A = {x ∈ R : x − 3 + x + 4 = 9}, B = x ∈ R :
2
e)
A = x∈R : x <
f)
A = x∈R :
x2 +1
x2
>
, B = {x ∈ R : x + 2 > 3}
x
x +1
g)
A = x∈R :
(x + 3)2 (x 2 + x + 1) > 0
(4 − x )x
h)
A = {x ∈ R : log x − 2 ( x − 1) > 1}, B = {x ∈ R : 2 x − 1 < x + 3 }
{
{
}
1
= 2 , B = x ∈ R : log 2 ( x − 1) − 2 log( x − 1) > 0
x
{
}
}
1− x
x
≤1
1
1+ x
, B = x∈R :
>1
x
1− x
, B = {x ∈ R : x − 1 ≤ 5}
6. Niech
= {x, y}, A = {x, y, xx, yy, xxx, yyy}, B = {w ∈ * : dlug .(w) ≥ 2} i C = {w ∈
a) Wyznacz zbiory A ∩ C , A \ C , C \ A, A ⊕ C .
*
: dlug (w) ≤ 2}
b) Wyznacz zbiory A ∩ B, B ∩ C , B ∪ C , B \ A .
c) Wyznacz zbiory
*
− B,
*
−A.
d) Wypisz wszystkie podzbiory
.
e) Ile zbiorów nale y do 2 .
7. Wykaza , e dla dowolnych zbiorów A,B,C zachodzi równo
a) A \ B = A \ ( A ∩ B )
b) A = ( A ∩ B ) ∪ ( A \ B )
c) A \ ( A \ B ) = A ∩ B
d)
( A − C) ∩( B − C ) = ( A ∩ B) − C
6
e) A \ (B \ C ) = ( A \ B ) ∪ ( A ∩ C )
( A \ B ) \ C = A \ (B ∪ C )
f)
(
)
8. Udowodnij uogólnione prawo De Morgana: ( A ∩ B ∩ C ) = A c ∪ B c ∪ C c .
c
9. Udowodnij prawdziwo
nast puj cych zda nie u ywaj c diagramów Venna:
a) A ∩ B ⊆ A i A ⊆ A ∪ B dla dowolnych zbiorów A,B.
b) Je li A ⊆ B i A ⊆ C , to A ⊆ B ∩ C .
c) Je li A ⊆ C i B ⊆ C to A ∪ B ⊆ C .
d) A ⊆ B wtedy i tylko wtedy gdy B c ⊆ A c .
10. Dla dowolnego A okre lonego w przestrzeni X okre l zbiór A ⊕ A , A ⊕ ∅ , A ⊕ X .
11. Wykaza , e dla dowolnego A,B,C zachodz równo ci:
a) A ⊕ B = B ⊕ A
b)
( A ⊕ B ) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C )
12. Podaj c odpowiednie przykłady wykaza , e równo ci
a)
b)
( A \ B) ∪ B = A
(A ∪ B) \ B = A
NIE zachodz dla dowolnych zbiorów A,B. Zilustruj rozwi zanie diagramami Venna.
13. Narysuj diagram Venna dla czterech dowolnych zbiorów A,B,C,D i zaznacz na nim zbiór
A c ∪ B c ∩ (C ∩ D c ).
14. Zbadaj czy poni sze zdania s prawdziwe czy fałszywe. Prawdziwe zdania udowodnij a
dla fałszywych znajd kontrprzykład.
a) A ∩ B = A ∩ C implikuje B=C
b) A ∪ B = A ∪ C implikuje B=C
c) A ∩ B = A ∩ C i A ∪ B = A ∪ C implikuje B=C
d) A ∪ B ⊆ A ∩ B implikuje A=B
e) A ⊕ B = A ⊕ C implikuje B=C
f)
A ⊂ B ⇔ Ac ∩ B c = B
g) A ≠ B
C\A≠C\B
15. Poka , e A ∪ B jest najmniejszym zbiorem zawieraj cym jednocze nie zbiory A oraz B.
16. Rozwi
[0,1] ⊕ X
równanie :
= − 1,
1
2
7
17. Niech A = {1,3,5}, B = {2,4} i C = {1,5}. Rozwi
równanie ( A ⊕ X ) ⊕ B = C .
18. Niech A = {a, b, c} i B = {a, b, d } .
a) Wypisz lub narysuj wszystkie pary uporz dkowane zbiorów A× A i A× B .
b) Wypisz lub narysuj wszystkie pary uporz dkowane zbioru
19. Niech
{(x, y ) ∈ A × B : x = y} .
S = {0,1,2,3} i niech T = {1,3}.
a) Wypisz lub narysuj elementy zbioru S × T i T × S .
b) Wypisz lub narysuj elementy zbioru {(m, n ) ∈ S × T : m ≤ n} .
c) Wypisz lub narysuj elementy zbioru {(m, n ) ∈ T × S : m ≥ n} .
d) Wypisz lub narysuj elementy zbioru {(m, n ) ∈ S × T : m + n ≥ 3}.
e) Wypisz lub narysuj elementy zbioru {(m, n ) ∈ S × T : mn > 5}.
f) .Wypisz lub narysuj elementy zbioru {(m, n ) ∈ S × S : m = n} .
20. Narysuj zbiory A × B, B × A dla:
a) A = [0,1], B = [2,3]
b) A = [− 2,1], B = [0,3]
c) A = [0,1], B = {− 2}
d) A = (− ∞,1), B = (2, ∞ ) .
21. Wypisz wszystkie elementy tych spo ród zbiorów które maj nie wi cej ni 6 elementów
oraz wypisz 6 elementów z tych zbiorów które maj wi cej elementów.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
{(m, n) ∈ N
{(m, n) ∈ N
{(m, n ) ∈ Z
{(x, y ) ∈ R
{(m, n ) ∈ N
{(m, n) ∈ N
2
2
2
2
2
2
: n > m}
: n + m = 2}
: nm ≤ 4}
: x 2 > x}
: max{m, n} > 5}
: max{m, n} ≤ 1}.
22. W prostok tnym układzie współrz dnych zaznaczy zbiory A,B, A ∪ B, A ∩ B :
a) A = {( x, y ) ∈ R 2 : sin ( x − y ) = 0}, B = {( x, y ) ∈ R 2 : tgy = 0}
b) A = {( x, y ) ∈ R 2 : sin ( x + y ) = 0}, B = {( x, y ) ∈ R 2 : cos( x − y ) = 0}
c) A = {( x, y ) ∈ R 2 : tg ( x + y ) = 0}, B = {(x, y ) ∈ R 2 : cos(x + y ) = 0}
8
d) A = {(x, y ) ∈ R 2 : tg (x + y ) = 0}, B = {( x, y ) ∈ R 2 : tgx = 0}
e) A = {( x, y ) ∈ R 2 : log x y = log y x}, B =
( x, y ) ∈ R 2 : x = 1
y
23. Zaznacz zbiory A × B, B × A w układzie
współrz dnych: A = {x ∈ R : x ≤ 2}, B = {y ∈ R : y − 1 < 2}
a) A = {x ∈ R : x + 2 ≥ 1}, B = {y ∈ R : y − 2 < 1}
b) A = x ∈ R :
x 2 − 2x + 1
≥ 0 , B = {y ∈ R : 0 < y < 3}
4x − x 2
c) A = {y ∈ R :1 < y < 5}, B = x ∈ R :
16 − x 2
≥0
x 3 + 27
d) A = {x ∈ Z : log 2 (x 2 − 1) < 3}, B = y ∈ R :
e) A = t ∈ R :
2y −1
<1
y +1
− 2t 2 + 3t − 5
≥ 0 , B = x ∈ R : log 0,5 x 2 + 5 x + 6 < −1
3 − t −1
{
(
)
}
24. Wyka równo ci:
a) A × (B ∪ C ) = ( A × B ) ∪ ( A × C )
b) A × (B ∩ C ) = ( A × B ) ∩ ( A × C )
9
Kwantyfikatory
1. Oce warto
a)
logiczn zda i zapisz negacje ka dego zdania:
∀ x = 2x
x∈R
b)
x2
x+2
≥
x∈N x + 1
x +1
c)
1
1
≥
x∈N x + 1
x+2
d)
3x + 1
≥0
x∈N 2 x + 1
e)
− 2x 2 + x − 4
≤0
x∈R
− 3x 2 − 2
f)
2x 2 − 4x + 2
≤0
x∈R
− 2x 2 − 3
g)
h)
i)
j)
k)
∀
∃
∀
∃
∃
∀ y = 3x
x , y∈R
x = 3y
∀ x+ y ≠3
x , y∈ A
y + x = 3, gdzie A = {1,2,3}
∃ ∃ m 2 + n 2 = 10
m∈N n∈N
∀ ∃ x≤ y
x∈Z − y∈N
∀ ∃ y = x2 − 4
x∈R y∈R +
2. Okre l warto
logiczn zda , dla n, m ∈ N :
a)
∀ ∃[ 2n = m]
b)
∃ ∀ [ 2n = m]
c)
∀ ∃[ 2m = n]
d)
∃ ∀ [ 2m = n]
e)
∀ ∀ [¬{2n = m}]
m n
n m
m n
n m
n m
3. Okre l warto
logiczn zda , dla x, y ∈ R :
a)
∀ ∃[ xy = 0]
b)
∃ ∀ [ xy = 0]
y x
x y
10
c)
∀ ∃[ xy = 1]
d)
∃ ∀ [ xy = 1]
y x
x y
4. Niech p(x,y) , p(y) funkcje zdaniowe, znajd kontrprzykłady do nast puj cych implikacji:
a)
∃ p( y )
∀ p( y )
b)
∀ ∃ p ( x, y )
c)
∀ ¬p ( y ) ⇐ ¬ ∀ p( y )
y
y
∃ ∀ p ( x, y )
y x
x y
y
y
5. Wska zmienne wolne i zwi zane w nast puj cych wyra eniach:
a) ∀ ∃( x < y )
x
((
b) ∀ ∀ φ (x )
y
(x + z ≤ y )
y
x
)
ψ (x )
)
ψ (y)
c) ∀( x = x ) ∨ x = 0
x
d) ∀ x ∈ A
x
e)
f ≤ g ⇔ ∀ ( f (x ) ≤ g ( x ))
x∈ X
6. Zapisz posługuj c si symbolik logiczn nast puj ce zdania:
a) Liczby 2 i 3 nie maj wspólnych dzielników ró nych od 1.
b) Istnieje liczba naturalna od której nie jest mniejsza adna inna liczba naturalna.
c) Układ równa : a + b = 3 i 3a + 3b = 5 nie ma rozwi za .
7. Podaj przykład takich funkcji zdaniowych φ ( x ),ψ ( x ), x ∈ X , dla których implikacje s
fałszywe:
a)
b)
∀ (φ ( x ) ∨ ψ ( x ))
x∈ X
∃ φ (x ) ∧ ∃ ψ (x )
x∈ X
x∈ X
∀ φ (x ) ∨ ∀ ψ (x )
x∈ X
x∈ X
∃ (φ ( x ) ∧ ψ ( x ))
x∈ X
8. Niech formuła r(x,y) oznacza, e x jest rodzicem y, niech m(x) oznacza, i x jest
m czyzn . Zdefiniuj za pomoc formuł r oraz m nast puj ce zdania:
a)
„x jest bratem y”
b)
„x jest siostr cioteczn y”
c)
„x jest pradziadkiem y”
11
Uogólnione sumy i iloczyny zbiorów
1. Policz iloczyn i sum uogólnion ci gu zbiorów:
a) An = −2n , 2n
1 1
b) Bn = − ,
n n
c) Cn =
( −1)
n
,2
n
d) Dn = {1, 2,..., 3n }
e) E n = [n, n + 1]
f)
Ft = {x ∈ R : x = sin t }, t ∈ R
g) Gt = {x ∈ R : xt ≤ 1}, t ∈ R − {0}
h) H t = {x ∈ R : x + 1 ≤ t}, t ∈ R +
i)
I t = {x ∈ R : x < t}, t ∈ R +
2. Policz granice doln i górn ci gu zbiorów
a) An = [ − n, n ]
1 1
b) Bn = − ,
n n
c) Cn =
( −1)
n
n
,2
d) Dn = {1, 2,..., 3n }
Zbiór wszystkich liczb naturalnych dodatnich przedstaw jako sume niesko czon ci gu
zbiorów niesko czonych i parami rozł cznych.
Wskazówka: Z n = {2n ⋅1, 2n ⋅ 3, 2 n ⋅ 5, 2n ⋅ 7,..., 2n ⋅ k ,...} , n ∈ N , k liczba nieparzysta.
3. Udowodnij korzystaj c z rachunku funkcyjnego nast puj ce twierdzenia algebry zbiorów:
a) A \ B = ∅ ⇔ A ⊂ B ,
b)
t∈T
c)
t∈T
At −
t∈T
Bt ⊂
( At − Bt ) ⊂
t∈T
t∈T
( At − Bt ) ,
At −
t∈T
Bt ,
12
d)
t∈T
( At ∩ Bt ) ⊂
t∈T
At ∩
t∈T
Bt .
13
Relacje
1. Niech S = {1,2,3,4} oraz T = { 5,6,7,8}, oraz niech R relacja w zbiorze S × T . Wypisz
wszystkie pary nale ce do relacji R:
(x, y ) ∈ R ⇔ x + y ≤ 10
(x, y ) ∈ R ⇔ x + y = 10
(x, y ) ∈ R ⇔ x + y jest
a)
b)
c)
parzyste
2. Dla relacji R1 , R2 , R3 , R4 w zbiorze S = { 0,1,2,3,4} okre l jakie własno ci z po ród
poni szych spełniaj :
(Z) zwrotno
(PZ) przeciwzwrotno
(S) symetryczno
(AS) antysymetryczno
(P) przechodnio
a)
(x, y ) ∈ R1 ⇔ x + y
b)
( x, y ) ∈ R2
c)
(x, y ) ∈ R3 ⇔ x − y = 0
d)
( x, y ) ∈ R4 ⇔
jest parzyste
⇔x≤ y
x − y jest parzyste .
3. Zbadaj jakie własno ci spo ród wymienionych powy ej ma w zbiorze S = {α , β , χ , ε }
relacja okre lona tabel :
\
α
β
χ
ε
α
β
χ
ε
+
+
+
+
−
+
+
−
−
+
+
+
+
−
+
+
gdzie ‘+’ oznacza, e dana para jest w relacji a’ –‘ , e nie jest.
4. W zbiorze N okre lone s nast puj ce relacje dwuargumentowe:
a)
(x, y ) ∈ R1 ⇔
x − y parzyste
b)
( x, y ) ∈ R2 ⇔
x − y podziel. przez 3
c)
(x, y ) ∈ R3 ⇔
x− y ≤5
d)
(x, y ) ∈ R4 ⇔ min{x, y} = 2
14
e)
(x, y ) ∈ R5 ⇔ y
f)
( x , y ) ∈ R6 ⇔ x + y
x gdzie y x oznacza i y jest podzielne przez x
2
Zbadaj ich własno ci i dla relacji równowa no ci znajd klasy abstrakcji.
5. W zbiorze X okre lone s nast puj ce relacje dwuargumentowe:
a) X zbiór prostych na płaszczy nie. Dwie proste l,k s w relacji
gdy s do siebie
równoległe (ozn. l k )
b) X zbiór prostych na płaszczy nie. Dwie proste l,k s w relacji gdy s do siebie
prostopadłe (ozn. l k)
c) X zbiór ludzi na ziemi . Dwaj ludzie s w relacji ze sob gdy maj wspólnego
rodzica (matk lub ojca)
d) X zbiór ludzi na ziemi . Dwaj ludzie s w relacji ze sob gdy maj wspóln matk .
Zbadaj ich własno ci i dla relacji równowa no ci znajd klasy abstrakcji.
6. Dla relacji z zadania drugiego narysuj rysunki przedstawiaj cy relacje mi dzy
elementami zbioru S. Je li element (x,y) nale y do relacji to ł czymy je strzałk o pocz tku w
x i ko cu w y. Je li mi dzy jakimi punktami wyst puj strzałki w obu kierunkach to
zast pujemy je lini . Czym wyró niaj si rysunki ilustruj ce relacje równowa no ci? Jakie
własno ci relacji mo esz odczyta z rysunku.
7. Zbiór liczb całkowitych podzielili my na zbiory rozł czne
Z n = {4k + n : k = 1,2,3,....}, dla n = 0,1,2,3 . Znajd relacj dla której s to klasy abstrakcji.
8. Niech X = {a, b, c, d } oraz niech S = 2 X zbiór wszystkich podzbiorów zbioru X. Niech R
relacja w zbiorze S okre lona nast puj co: ( A, B ) ∈ R ⇔ A = B . Wyka , e jest to relacja
równowa no ci i znajd klase abstrakcji do której nale y element A = {a, b}.
9. Niech X pewien zbiór niepusty oraz niech S = 2 X zbiór wszystkich podzbiorów zbioru X.
Niech ponadto a ∈ X oraz R relacja w zbiorze S okre lona nast puj co:
( A, B ) ∈ R ⇔ A = B ∨ a ∉ A ∪ B . Wyka ,
e jest to relacja równowa no ci i znajd jej klasy
abstrakcji.
10. W zbiorze par uporz dkowanych ( x, y ) gdzie x równe 0 lub 1 i y jest równe 0 lub 1
okre lono relacje R w nast puj cy sposób (x, y )R (x 0 , y 0 ) ⇔ x = x 0 ⊕ y = y 0 . Zbadaj czy jest
to relacja równowa no ci i je li odpowied jest twierdz ca znajd jej klasy abstrakcji.
11. W zbiorze trójek uporz dkowanych (x, y, z ) gdzie x,y,z równe 0 lub 1 ,okre lono relacje R
w nast puj cy sposób (x1 , x 2 , x3 )R( y1 , y 2 , y 3 ) ⇔ x n = y n dla nieparzystej liczby wska ników
15
n=1,2,3. Zbadaj czy jest to relacja równowa no ci i je li odpowied jest twierdz ca znajd jej
klasy abstrakcji.
12. Niech w zbiorze liczb naturalnych okre lona b dzie relacja mod m w nast puj cy sposób:
def
(a, b ) ∈ mod m ⇔ a = b(mod m ) gdzie a = b(mod m ) ⇔ k∈Z
∃ a = b + km .
Dla m=3 zbadaj czy jest to relacja równowa no ci i je li odpowied jest twierdz ca znajd jej
klasy abstrakcji.
13. W teorii liczb okre la si relacj zwan kongruencj . Wyka , e je eli
a = b(mod m ) i c = d (mod m ) to
a) a + c = (b + d )(mod m ) ,
b) a − c = (b − d )(mod m ) ,
c) a ⋅ c = (b ⋅ d )(mod m ) .
16
Funkcje
1. Definiujemy funkcj
f : R → R okre lon wzorem :
x 3 , dla x ≥ 1
f ( x ) = x , dla 0 < x < 1 .
− x 2 , dla x ≤ 0
a) Oblicz f(0), f(1), f(-1), f(2).
b) Naszkicuj wykres funkcji f i na jego podstawie okre l Im(f).
c) Narysuj funkcje f , − f , f − 1 .
2. Które z poni szych rysunków przedstawiaj
a) wykres funkcji
b) wykres funkcji ró nowarto ciowej
c) wykres funkcji „na” przedział [0,1]
17
3. Niech S = {1,2,3,4,5} oraz zdefiniujmy nast puj ce funkcje:
a)
f (n ) = 6 − n
b)
f (n ) = max{n,3}
c)
f (n ) = min{n,2}
d)
f (n ) = min{5, n} .
Zbadaj które z nich s wzajemnie jednoznaczne z S w S.
4. Wyznacz dziedzin funkcji:
x2
x +1
a)
f (x ) =
b)
f (x ) =
c)
f ( x ) = log(sin x )
d)
f ( x ) = ln (e x − e )
e)
f (x ) = x + 3
1+ x
1− x
f)
f ( x ) = arcsin
2x
1+ x
1
x − 4x
2
5. Czy funkcje f i g okre lone nast puj co:
a)
f (x ) = x 2 + 2 i g (z ) = 2 + z 2
b)
f ( x ) = x i g (z ) = z 2
c)
f (x ) = x i g (z ) = z 2
d)
f (x ) =
e)
f ( x ) = 1 i g ( z ) = sin 2 z + cos 2 z
f)
f ( x ) = 1 i g ( z ) = tgz ⋅ ctgz
x
i g (z ) = 1
x
s równe?
6. Okre li dziedzin i zbiory warto ci funkcji:
a)
f (x ) = 3 x
b)
f (x ) = − x 2
18
7.
c)
f ( x ) = sin
1
x
d)
f (x ) = x +
1
x
e)
f ( x ) = sin x + cos x
f)
f (x ) =
g)
f ( x ) = log(sin x )
2x
2x − 4
Dane s funkcje f ( x ) = x 3 − 3 x , g (x ) =
a)
f
b)
f h h
c)
f k
2
, h(x ) = x 4 , k ( x ) = 2 x . Znajd funkcje:
x +2
2
g h
d) g g
e) h g .
8. Udowodnij i nast puj ce funkcje s ró nowarto ciowe na wskazanych zbiorach:
a)
f ( x ) = x 2 , (− ∞,0]
b)
f (x ) = x 3 , R
c)
f ( x ) = x 5 − 1, R
d)
f (x ) =
e)
f (x ) = x , x ≥ 0
f)
f (x ) =
1
, x >1
x −1
1
, x ∈ R \ {0}
x
9. Zbadaj ró nowarto ciowo
oraz własno „na” funkcji g : Z × Z → Z × Z okre lonej
wzorem:
a) g (n, m ) = (− n,−m )
b) g (n, m ) = (2n,3m )
c) g (n, m ) = (m + n,−m )
d) g (n, m ) = (n,−4 )
Dla funkcji odwracalnych znajd funkcj odwrotn .
19
poni szych funkcji działaj cych z R w R oraz znajd funkcje
10. Zbadaj odwracalno
odwrotn :
a)
f (x ) = 2 x + 3
b)
f (x ) = x 3 − 2
c)
f (x ) = (x − 2)
d)
f (x ) = 3 x + 3
3
11. Definiujemy funkcje f : N → N oraz g : N → N w nast puj cy sposób: f (n ) = 2n ,
n
dla n parzyst.
2
g (n ) =
.
n −1
dla n nieparzyst.
2
Pokaza , e g
f = Ι N oraz f
g ≠ ΙN .
12. Niech f ( x ) = x 2 . Znajd obraz zbioru A oraz przeciwobraz zbioru B wzgl dem f:
a) A = [− 2,3], B = (1,4 ) ,
b) A = (0,2 ), B = {9}
c) A = {− 3}, B = (− ∞,3] .
13. Niech f ( x ) =
a)
1
. Znajd obraz zbioru A oraz przeciwobraz zbioru B wzgl dem f:
x
A = [1,3], B =
1
,4 ,
2
b) A = (0,2 ), B = {9} .
14. Niech f ( x ) = cos 2 x . Znajd obraz zbioru A oraz przeciwobraz zbioru B wzgl dem f:
a) A = {x ∈ R : x ≥ 0} ,
b) A =
x∈R :
Π
3
+ nΠ ≤ x ≤ Π + nΠ ,
4
4
c) B = {y ∈ R : 0 ≤ y ≤ 1}.
15. Niech f ( x ) = x + 2 . Znajd obraz zbioru A oraz przeciwobraz zbioru B wzgl dem f:
a) A = [0,1]
b) B = [0,2]
c) B = (− 2,0]
d) B = [2,6]
20
16. Niech f ( x ) = x 2 − 2 . Znajd obraz zbioru A oraz przeciwobraz zbioru B wzgl dem f:
[
]
a) A = 0, 2 ,
b) A = [0,2] ,
c) B = [0,2]
d) B = (− 2,0]
e) B = [2,6]
17. Niech f ( x ) = x + 2 oraz niech A = [2,3] . Znajd f(A) oraz f
−1
( f ( A)) .
21
Równoliczno
zbiorów
1. Wyka , e przedziały:
a)
b)
c)
d)
[0,2] i [0,1]
[a, b] i [c, d ]
[0,1] i [0,1)
[0,1] i (0,1)
s równoliczne.
2. Wyka , e zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb parzystych s równoliczne.
3. Wyka równoliczno
zbioru liczb naturalnych ze zbiorem liczb całkowitych.
4. Wyka równoliczno
zbioru liczb naturalnych podzielnych przez 6 ze zbiorem liczb
naturalnych podzielnych przez 3.
5. *Wyka równoliczno
zbioru liczb naturalnych ze zbiorem liczb pierwszych.
6. Wyka , e funkcja
f : N × N → N,
f (n, m ) = (2m − 1)2 n −1 , odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie zbiór
N × N na N . (Zbiór liczb naturalnych bez zera)
7. Udowodni równoliczno
zbioru liczb rzeczywistych z przedziałem (0,1).
8. Wyka , e zbiór wszystkich trójk tów równobocznych na płaszczy nie o rodku ci ko ci w
pocz tku układu współrz dnych i jednym z wierzchołków o współrz dnych całkowitych jest
zbiorem przeliczalnym.
9. Zbadaj moc zbioru wszystkich kół na płaszczy nie, maj cych:
a)
rodek o współrz dnych wymiernych i r = 1
b)
rodek o współrz dnych wymiernych i r = k 2 , k ∈ Z .
10. Wyka , e zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny.
11. Wyka , e zbiór A wszystkich ci gów o wyrazach równych 0 lub 1 jest nieprzeliczalny.
12. *Wyka , e zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny.
13. Wyka , e zbiór liczb niewymiernych jest nieprzeliczalny.
14. Wyka , e zbiór liczb postaci n + k gdzie n, k ∈ N jest przeliczalny.
22
Typy porz dkowe
1. Niech R ⊂ N × N , i R jest relacj podzielno ci:
(n, m ) ∈ R ⇔ n / m.
a)
Wykaza , e R jest relacj porz dkuj c .
b)
Czy w zbiorze (N, R ) jest element maksymalny.
2. R R rodzina funkcji przekształcaj cych zbiór R w R. Okre lmy relacje ≤ w R R :
f ≤ g ⇔ ∀ f (x ) ≤ g (x ) .
x∈R
3.
a)
Podaj przykłady takich funkcji, które s w relacji ≤ .
b)
Czy jest to relacja porz dkuj ca.
[0,1][0,1] rodzina funkcji przekształcaj
cych zbiór [0,1] w [0,1]. Okre lmy relacje ≤ w
[0,1][0,1] :
f ≤ g ⇔ ∀ f (x ) ≤ g (x ) .
x∈R
a)
Podaj przykłady takich funkcji, które s w relacji ≤ .
b)
Czy jest to relacja porz dkuj ca.
c)
Czy zbiór [0,1]
(
[0 ,1]
)
, ≤ posiada element maksymalny?
4. Niech N 1 = N \ {1}; xRy ⇔ y / x ,
a)
Czy relacja R porz dkuj ca w N 1 ?
b)
Wska element maksymalny.
c)
Wska element minimalny (o ile istnieje).
5. Niech A = {1,2,3}, B = {0,1}, oraz niech A B rodzina funkcji okre lonych na A o
warto ciach w warto ciach za R relacja okre lona:
fRg ⇔ f (i )g (i ) = f (i ) . Udowodnij i relacja R porz dkuj ca. Wska element maksymalny i
minimalny.
6. Niech X = {1,2,...,7} oraz xRy ⇔ 2 / x − y . Udowodnij i relacja R porz dkuj ca. Wska
element maksymalny i minimalny.
23