Zapisz jako PDF

Zadanie 1.
Cząstka o masie m i energii E znajduje się w polu siły jednowymiarowego oscylatora harmonicznego:
F=−kx. Wyznacz i narysuj potencjał tej siły. Scharakteryzuj punkty przestrzeni dostępne cząstce w
trakcie jej ruchu . Przedyskutuj ruch tej cząstki w zależności od jej energii.
Zadanie 2.
Przedyskutuj ruch cząstki o masie m i energii Ep w polu o energii potencjalnej:
Zadanie 3.
Punkt o masie m porusza się pod wpływem siły centralnej po okręgu o promieniu R, który przechodzi
przez centrum siły, jak zależy zawartość siły od odległości od centrum, wiedząc iż wartość moment
pędu wynosi L.
Zadanie 4.
W filmie „Armagedon” z 1998r. zespół geologów mających wysadzić w powietrze kometę, zostaje
wyposażony w specjalne kombinezony, które za pomocą silniczków rakietowych dociskają astronautę
do powierzchni komety. Tego typu kombinezony miały zabezpieczyć geologa przed jego wejściem na
orbitę wokół komety lub odlotem w przestrzeń kosmiczną np. gdyby wykonał silny skok w górę.
Sprawdź sensowność takiego uzasadnienia. Przyjmij, że masa komety wynosi
komety
, masa Ziemi
, promień Ziemi
, rekord świata w skoku wzwyż
, promień
, stała grawitacji
.
Zadanie 5.
Przyjmując, że kometa z zadania 4 porusza się wokół Słońca po orbicie eliptycznej, a dużej półosi a
10 razy większej od półosi orbity Ziemi, oblicz okres jej obiegu w latach.
Zadanie 6.
Przyjmując, że kometa z zadania 4 obraca się wokół własnej osi w czasie
, oblicz, na jakiej
wysokości, trzeba umieścić satelitę, który ma stale znajdować się nad określonym obszarem tej
komety. (W przypadku Ziemi, orbita, po której poruszający się satelita stale znajduje się nad tym
samym punktem Ziemi, nazywana jest orbitą geostacjonarną).
Materiały uzupełniające do ćwiczeń
Ciała w polu o potencjale:
, gdzie r jest odległością ciała od centrum siły, poruszają się po
krzywych stożkowych. Ogólna postać takiej krzywej we współrzędnych biegunowych jest
następująca:
gdzie:
p jest tzw. parametrem orbity,
e jest mimośrodem orbity,
r i φ to współrzędne, określające położenie ciała.
W przypadku potencjału pola grawitacyjnego:
, związki pomiędzy masą ciała m, które
porusza się w polu ciała o masie M (przy czym
, jego momentem pędu L i energią całkowitą
E, a parametrem orbity oraz jej mimośrodem są następujące:
W przypadku gdy całkowita energia ciała jest ujemna (
), wówczas mimośród
jest elipsą, które we współrzędnych kartezjańskich ma postać:
i tor ruchu
Elipsa we współrzędnych kartezjańskich. O — środek
układu współrzędnych oraz środek elipsy;F, F’ — ogniska
elipsy, w jednym ognisk głównych znajduje się ciało o
masie M, będące źródłem pola grawitacyjnego, na
powyższym rysunku przyjęto, że jest to ognisko — F, a, b —
odpowiednio duża i mała półoś elipsy, c' — odległość ognisk
od środka elipsy, r, φ — współrzędne ciała w układzie
biegunowym.
Na rysunku %i 1 możemy zauważyć proste związki geometryczne:
,
z kolei, półosie elipsy a i b są powiązane z parametrami orbity p:
Całkowita energia kinetyczna ciała w ruchu po orbicie zamkniętej w polu grawitacyjnym jest równa:
Ciekawe zagadnienia
Zagadnienie 1.
Podczas przelotu satelity szpiegowskiego obserwowano go od zenitu do punktu wschodu na
horyzoncie. Przyjmując, że satelita poruszał się po okręgu, na wysokości
, oblicz jak
długo trwał obserwowany przelot. Przyjmij, że promień Ziemi wynosi
, zaś
przyspieszenie ziemskie tuż przy powierzchni Ziemi wynosi
.
Rozwiązanie
Zagadnienie 2.
W dniu 18 marca 1965 roku w statku kosmicznym Woschod 2 zostali wyniesieni na orbitę dwaj
astronauci — Aleksy Leonow oraz Paweł Bielajew. Celem misji było pierwsze w historii wyjście
człowieka w otwartą przestrzeń kosmiczną. Eksperyment się udał, chociaż nie obyło się bez sporych
problemów. Po 12 minutowym pobycie Leonowa w przestrzeni kosmicznej, w trakcie jego
wchodzenia z powrotem do kapsuły, Woschod został wprawiony w ruch obrotowy oraz utracił
orientację względem Słońca i Ziemi. W zaistniałej sytuacji statek nie mógł wejść na orbitę schodzącą
w kierunku Ziemi. Jedynym wyjściem ratującym życie astronautom było samodzielne ustawienie
statku względem punktów orientacyjnych oraz samodzielne obliczenie parametrów schodzenia z
orbity. W ciągu 43 minut, przy pomocy kartki, ołówka i suwaka logarytmicznego, astronauci dokonali
niezbędnych obliczeń. W wyznaczonym przez nich momencie, zostały uruchomione silniki hamujące.
Astronauci szczęśliwie powrócili na Ziemię, chociaż nie obyło się bez dalszych przygód. Drobny błąd
spowodował iż wylądowali 3000 km od zaplanowanego miejsca, a ich kapsuła wpadła idealnie
pomiędzy trzy syberyjskie sosny, z których jedna zasłaniała wyjście. Kiedy w końcu udało im się z
niej wydostać na zewnątrz, musieli zaraz wrócić do środka statku. Na zewnątrz bowiem panował
siarczysty mróz, śnieg sięgał astronautom do pasa, a do tego pojawiły się wilki i niedźwiedzie,
zainteresowane co spadło z kosmosu do jedzenia. Po dwóch dniach, astronauci zostali odnalezieni
przez ekipę ratunkową, która po następnych kliku godzinach spędzonych na wypłaszaniu natrętnych
niedźwiedzi, zabrała astronautów do domu. Poniższe zadanie jest bardzo uproszczoną próbą
odtworzenia lądowania.
Po orbicie kołowej, na wysokości h = 400 km nad Ziemią krąży załogowy statek kosmiczny. W
momencie kiedy statek znajduje się nad miejscowością A, zostają włączone silniki hamujące, celem
sprowadzenia statku na Ziemię.
Pozycja na liście punktowanej
Oblicz parametry orbity, po której statek zbliża się w kierunku Ziemi (krzywa narysowana linią
przerywaną), jeśli astronauci mają wylądować na poligonie (punkt B), oddalonym o d = 3200
km od miejscowości A.
Oblicz prędkość statku tuż przed zetknięciem z Ziemią.
Przyjmij, że promień Ziemi
, jej masa
, wartość przyspieszenia Ziemskiego
Rozwiązanie
, stała grawitacji
.