9 Równania różniczkowe zwyczajne o prawych stronach analitycznych

Równania o prawych stronach analitycznych
9
9–1
Równania różniczkowe zwyczajne o
prawych stronach analitycznych
Definicja. Mówimy, że funkcja f : E → R, gdzie E ⊂ Rm jest obszarem, jest
analityczna w punkcie (y1 , . . . , ym) ∈ E, jeżeli istnieją r1 > 0, . . . , rn > 0,
takie, że
• (y1 − r1 , y1 + r1 ) × · · · × (ym − rm , ym + rm ) ⊂ E,
• f obcięta do zbioru (y1 − r1 , y1 + r1 ) × · · · × (ym − rm , ym + rm ) jest
sumą szeregu potęgowego m zmiennych zbieżnego w każdym punkcie
tego zbioru.
Funkcja f : E → R, gdzie E ⊂ Rm jest obszarem, jest analityczna na E,
gdy jest analityczna w każdym punkcie tego obszaru.
Funkcja wektorowa określona na obszarze E ⊂ Rm jest analityczna na E,
gdy każda z jej współrzędnych jest analityczna naE.
Twierdzenie 9.1 (Twierdzenie Cauchy’ego). Niech f : (a, b) × D → Rn ,
gdzie D ⊂ Rn jest obszarem, będzie funkcją analityczną na (a, b) × D.
Wówczas dla każdego t0 ∈ (a, b) i każdego x0 ∈ D istnieje dokładnie jedno
rozwiązanie nieprzedłużalne ϕ : (α, β) → D zagadnienia początkowego

x0
= f(t, x)
x(t0 ) = x0 .
Rozwiązanie to jest funkcją analityczną na (α, β).
9.1
Równania różniczkowe zwyczajne liniowe
jednorodne o współczynnikach analitycznych
Twierdzenie 9.2. Załóżmy, że w równaniu różniczkowym liniowym
jednorodnym
(RLJAn)
x(n) + p1 (t)x(n−1) + · · · + pn−1 (t)x0 + pn (t)x = 0
każda z funkcji p1 , . . . , pn jest sumą szeregu potęgowego zbieżnego na
przedziale (t0 − r0 , t0 + r0 ), gdzie r0 > 0. Wówczas dla każdego
9–2
Skompilował Janusz Mierczyński
(x0 , x1 , . . . , xn−1 ) ∈ Rn rozwiązanie zagadnienia początkowego



x(n) + p1 (t)x(n−1)





x(t0 ) = x0



+ · · · + pn−1 (t)x0 + pn (t)x = h(t)
x0 (t0 ) = x1


..



.



x(n−1) (t
0)
= xn−1 .
jest sumą szeregu potęgowego zbieżnego na przedziale (t0 − r0 , t0 + r0 ).
Współczynniki tego szeregu potęgowego można wyliczyć przez podstawienie
odpowiednich danych do równania.
9.2
Równania różniczkowe Legendre’a
Definicja. Równaniem różniczkowym Legendre’a
różniczkowe zwyczajne liniowe jednorodne
(RLegα )
1
nazywamy równanie
(1 − t2 )x00 − 2tx0 + α(α + 1)x = 0,
gdzie α ∈ R, rozpatrywane na przedziale (−1, 1).
Łatwo zauważyć, że po przekształceniu
x00 −
2t 0 α(α + 1)
x +
x=0
1 − t2
1 − t2
funkcje p1 (t) = −2t/(1 − t2 ) i p2 (t) = α(α + 1)/(1 − t2 ) można wyrazić jako
sumy szeregów potęgowych zbieżnych na (−1, 1). Z Twierdzenia 9.2 wynika,
że każde rozwiązanie równania Legendre’a (RLegα ) jest funkcją będącą
sumą szeregu potęgowego zbieżnego na (−1, 1).
Oznaczmy przez ϕ1 rozwiązanie równania Legendre’a (RLegα ) z warunkami
początkowymi x(0) = 1, x0 (0) = 0, i przez ϕ2 rozwiązanie równania (RLegα )
z warunkami początkowymi x(0) = 0, x0 (0) = 1. Rozwiązania ϕ1 i ϕ2 można
zapisać w postaci sum następujących szeregów potęgowych (o przedziałach
zbieżności zawierających, na podstawie Twierdzenia 9.2, przedział (−1, 1)):
ϕ1 (t) = 1 +
∞
X
(α + 2m − 1)(α + 2m − 3) . . . (α + 1)α(α − 2) . . . (α − 2m + 2) 2m
+
(−1)m
t ,
(2m)!
m=1
1
Adrien-Marie Legendre (1752 – 1833), matematyk francuski
Równania o prawych stronach analitycznych
9–3
ϕ2 (t) = t +
∞
X
(α + 2m)(α + 2m − 2) . . . (α + 2)(α − 1)(α − 3) . . . (α − 2m + 1) 2m+1
+
(−1)m
t
.
(2m)!
m=1
Zakładamy odtąd, że α jest liczbą całkowitą nieujemną n.
Jeśli n jest parzyste, wówczas we wzorze na ϕ1 tylko skończenie wiele
współczynników jest różnych od zera (zatem ϕ1 jest wielomianem), zaś we
wzorze na ϕ2 wszystkie współczynniki są niezerowe (zatem ϕ2 nie jest
wielomianem).
Jeśli n jest nieparzyste, wówczas we wzorze na ϕ1 wszystkie współczynniki
są niezerowe (zatem ϕ1 nie jest wielomianem, zaś we wzorze na ϕ2 tylko
skończenie wiele współczynników jest różnych od zera (zatem ϕ2 jest
wielomianem).
W obu przypadkach, zbiór rozwiązań równania różniczkowego Legendre’a
będących wielomianami tworzy przestrzeń liniową wymiaru jeden.
Definicja. n-tym wielomianem Legendre’a, gdzie n = 0, 1, 2, 3, . . . ,
nazywamy rozwiązanie Pn (·) równania różniczkowego Legendre’a
(RLegn )
(1 − t2 )x00 − 2tx0 + n(n + 1)x = 0
będące wielomianem, znormalizowane tak, że dla t = 1 przyjmuje wartość 1.
Niech
ϕ(t) := ((t2 − 1)n )(n) .
Oznaczmy u(t) := (t2 − 1)n . Różniczkując tę funkcję n + 2 razy,
otrzymujemy
(t2 − 1)u(n+2) (t) + 2t(n + 1)u(n+1) (t) + (n + 1)nu(n) (t)
− 2ntu(n+1) (t) − 2n(n + 1)u(n) (t) = 0.
Ponieważ ϕ(t) = u(n) (t), funkcja ϕ spełnia zatem równanie
Legendre’a (RLegn ).
Dalej, zauważmy że
ϕ(t) = ((t − 1)n (t + 1)n )(n) = ((t − 1)n )(n) (t + 1)n + v(t) = n!(t + 1)n + v(t),
gdzie v(1) = 0. Zatem ϕ(1) = n!2n .
Z powyższych rozumowań wynika, że
Pn (t) =
1
((t2 − 1)n )(n)
n!2n
9–4
Skompilował Janusz Mierczyński
(jest to tzw. wzór Rodriguesa 2 ). W szczególności, n-ty wielomian
Legendre’a to wielomian stopnia n, o współczynniku przy najwyższej
potędze równym (2n)!/(2n (n!)2 ).
2
Benjamin Olinde Rodrigues (1795 – 1851), matematyk francuski