mn - ćw7 - handouts

Aproksymacja średniokwadratowa wielomianami Legendre’a
Metody numeryczne
dr Artur Woike
Ćwiczenia nr 7
Aproksymacja średniokwadratowa wielomianami Legendre’a
dr Artur Woike
Aproksymacja średniokwadratowa wielomianami Legendre’a
Metody numeryczne
Aproksymacja ortogonalna i ortonormalna
Transformacje przedziałów dla wielomianów Legendre’a
Aproksymacja średniokwadratowa w bazach ortogonalnych
Mamy następujące postacie wzorów ogólnych aproksymacji średniokwadratowej w zależności od rodzaju użytej bazy:
1) {ϕi }i=0,m – układ liniowo niezależny:
m
X
(ϕj , ϕk ) cj = (f , ϕk ) ,
k = 0, . . . , m.
j=0
2) {ϕi }i=0,m – układ ortogonalny:
(ϕk , ϕk ) ck = (f , ϕk ) ,
ck =
(f , ϕk )
,
(ϕk , ϕk )
k = 0, . . . , m.
k = 0, . . . , m.
2) {ϕi }i=0,m – układ ortonormalny:
ck = (f , ϕk ) ,
dr Artur Woike
k = 0, . . . , m.
Metody numeryczne
Aproksymacja średniokwadratowa wielomianami Legendre’a
Aproksymacja ortogonalna i ortonormalna
Transformacje przedziałów dla wielomianów Legendre’a
Przykład bazy ortogonalnej
Wielomiany Legendre’a:
Pn (x) =
Pn (x) =
[ n2 ]
X
k=0
n
1 dn
2
x
−
1
,
2n n! dx n
n = 0, 1, . . .
k
(−1) (2n − 2k)!
x n−2k ,
n
2 k! (n − k)! (n − 2k)!
n
2n + 1
xPn (x) −
Pn−1 (x) ,
n+1
n+1
Z 1
(Pm , Pn ) =
Pm (x) Pn (x) dx = 0,
Pn+1 (x) =
n = 0, 1, . . .
n = 1, 2, . . .
m 6= n
−1
ha, bi = h−1, 1i
dr Artur Woike
Aproksymacja średniokwadratowa wielomianami Legendre’a
∀x∈h−1,1i w (x) = 1
Metody numeryczne
Aproksymacja ortogonalna i ortonormalna
Transformacje przedziałów dla wielomianów Legendre’a
Zadanie
Wyznaczyć postać wielomianów P0 , P1 , P2 i P3 .
Wskazówka:
Należy użyć relacji rekurencyjnej i jednego z wzorów podstawowych dla wielomianów Lagrange’a.
dr Artur Woike
Metody numeryczne
Aproksymacja średniokwadratowa wielomianami Legendre’a
Aproksymacja ortogonalna i ortonormalna
Transformacje przedziałów dla wielomianów Legendre’a
Rozwiązanie zadania
Wielomiany Legendre’a P0 , P1 , P2 i P3 :
P0 (x) = 1
P1 (x) = x
1
3
P2 (x) = x 2 −
2
2
5
3
P3 (x) = x 3 − x
2
2
dr Artur Woike
Aproksymacja średniokwadratowa wielomianami Legendre’a
Metody numeryczne
Aproksymacja ortogonalna i ortonormalna
Transformacje przedziałów dla wielomianów Legendre’a
Zadanie
Niech ϕ0 = P0 , ϕ1 = P1 , ϕ2 = P2 . Aproksymować funkcję f (x) =
cos x na przedziale h−1, 1i z funkcją wagową w (x) = 1.
Uwaga.
Ponieważ przedział h−1, 1i z funkcją wagową w (x) = 1 jest przedziałem
ortogonalności wielomianów Legendre’a, więc możemy wykorzystać wzory
aproksymacyjne dla przypadku ortogonalnego.
dr Artur Woike
Metody numeryczne
Aproksymacja średniokwadratowa wielomianami Legendre’a
Aproksymacja ortogonalna i ortonormalna
Transformacje przedziałów dla wielomianów Legendre’a
Rozwiązanie zadania
c0 = sin 1
c1 = 0
c1 = 15 cos 1 − 10 sin 1
f ∗ (x) = 15x 2
3
15
cos 1 − sin 1 + 6 sin 1 −
cos 1
2
2
f ∗ (x) = −0.46526x 2 + 0.9966
dr Artur Woike
Aproksymacja średniokwadratowa wielomianami Legendre’a
Metody numeryczne
Aproksymacja ortogonalna i ortonormalna
Transformacje przedziałów dla wielomianów Legendre’a
Rozwiązanie zadania
Funkcje f (x) = cos x i f ∗ (x) na przedziale h−1, 1i:
dr Artur Woike
Metody numeryczne
Aproksymacja średniokwadratowa wielomianami Legendre’a
Aproksymacja ortogonalna i ortonormalna
Transformacje przedziałów dla wielomianów Legendre’a
Transformacje przedziałów
Niech x ∈ ha, bi i niech t ∈ h−1, 1i. Mamy następującą parę bijekcji
tr : ha, bi −→ h−1, 1i i tr −1 : h−1, 1i −→ ha, bi zdefiniowaną poniższymi
wzorami:
2x − (a + b)
,
∀x∈ha,bi tr (x) =
b−a
∀t∈h−1,1i tr −1 (t) =
(b − a) t + (a + b)
.
2
Zauważmy, że funkcje tr i tr −1 mają następujące własności:
x ∈ ha, bi ⇐⇒ tr (x) ∈ h−1, 1i
t ∈ h−1, 1i ⇐⇒ tr −1 (t) ∈ ha, bi
Wprowadzenie oznaczeń x = tr −1 (t) i t = tr (x) pozwala nam przejść
w zagadnieniu aproksymacji od dowolnego przedziału ha, bi do przedziału
ortogonalności wielomianów Legendre’a.
dr Artur Woike
Aproksymacja średniokwadratowa wielomianami Legendre’a
Metody numeryczne
Aproksymacja ortogonalna i ortonormalna
Transformacje przedziałów dla wielomianów Legendre’a
Aproksymacja wielomianami Legendre’a
Niech będzie dana funkcja f (x) dla x ∈ ha, bi i niech będą dane funkcje
bazowe ϕ0 (t) = P0 (t) , . . . , ϕm (t) = Pm (t) dla t ∈ h−1, 1i. Chcemy
aproksymować funkcję f na przedziale ha, bi wykorzystując własność ortogonalności wielomianów Legendre’a na przedziale h−1, 1i. W tym celu
korzystamy z własności funkcji tr −1 i definiujemy nową funkcję g na przedziale h−1, 1i kładąc:
f (x) = f tr −1 (t) = g (t) .
Zauważmy, że funkcję g możemy już aproksymować ortogonalnymi wielomianami Legendre’a, bo g jest określone na właściwym dla nich przedziale
ortogonalności.
dr Artur Woike
Metody numeryczne
Aproksymacja ortogonalna i ortonormalna
Transformacje przedziałów dla wielomianów Legendre’a
Aproksymacja średniokwadratowa wielomianami Legendre’a
Aproksymacja wielomianami Legendre’a
Mamy teraz standardowe wzory aproksymacji średniokwadratowej dla przypadku ortogonalnego (z uwzględnieniem, że iloczyny skalarne są liczone dla
funkcji wagowej i przedziału ortogonalności właściwych dla wielomianów
Legendre’a):
(g , Pk )
,
k = 0, . . . , m,
ck =
(Pk , Pk )
∗
g (t) =
m
X
cj Pj (t) .
j=0
dr Artur Woike
Metody numeryczne
Aproksymacja ortogonalna i ortonormalna
Transformacje przedziałów dla wielomianów Legendre’a
Aproksymacja średniokwadratowa wielomianami Legendre’a
Aproksymacja wielomianami Legendre’a
Wykorzystujemy teraz własności funkcji tr i otrzymujemy wzór na funkcję
f ∗ określoną na przedziale ha, bi:
∗
g (t) =
m
X
cj Pj (t) =
j=0
m
X
cj Pj (tr (x)) = f ∗ (x) .
j=0
Uzyskana w ten sposób funkcja f ∗ jest szukaną przez nas aproksymacją
funkcji f na przedziale ha, bi i została ona wyznaczona z wykorzystaniem
ortogonalności wielomianów Legendre’a na przedziale h−1, 1i.
dr Artur Woike
Metody numeryczne
Aproksymacja średniokwadratowa wielomianami Legendre’a
Aproksymacja ortogonalna i ortonormalna
Transformacje przedziałów dla wielomianów Legendre’a
Zadanie
Niech będzie dana funkcja f (x) = sin x dla x ∈ h0, πi i niech będą dane
funkcje bazowe ϕ0 (t) = P0 (t), ϕ1 (t) = P1 (t),
ϕ2 (t) = P2 (t) dla t ∈ h−1, 1i. Chcemy aproksymować funkcję f na
przedziale h0, πi wykorzystując własność ortogonalności wielomianów Legendre’a na przedziale h−1, 1i.
Uwaga.
Iloczyny skalarne (P0 , P0 ), (P1 , P1 ) i (P2 , P2 ) zostały obliczone w jednym
z poprzednich zadań i nie ma potrzeby ponownego ich wyznaczania.
dr Artur Woike
Aproksymacja średniokwadratowa wielomianami Legendre’a
Metody numeryczne
Aproksymacja ortogonalna i ortonormalna
Transformacje przedziałów dla wielomianów Legendre’a
Rozwiązanie zadania
4
4
48
, (f , P1 ) = 0, (f , P2 ) = − 3
π
π π
2
10 120
c0 = , c1 = 0, c2 =
− 3
π
π
π
60 720
720 60
12 120
2
−
x
+
−
x
+
− 3
f ∗ (x) =
π3
π5
π4
π2
π
π
(f , P0 ) =
f ∗ (x) = −0.4177x 2 + 1.3122x − 0.0505
dr Artur Woike
Metody numeryczne
Aproksymacja średniokwadratowa wielomianami Legendre’a
Aproksymacja ortogonalna i ortonormalna
Transformacje przedziałów dla wielomianów Legendre’a
Rozwiązanie zadania
Funkcje f (x) = sin x i f ∗ (x) na przedziale h0, πi:
dr Artur Woike
Metody numeryczne