rozw wkryt zad 1 SUM Sikoraa

x2
Zadanie 1. (PROGRAMOWANIE WIELOKRYTERIALNE CIĄGŁE):
a) Model, który pomoŜe znaleźć optymalną produkcję chlebów, aby uzyskać maks. przychód:
x1 – wielkość produkcji chleba Mazowieckiego (szt/h)
x2 – wielkość produkcji chleba Podkarpackiego (szt/h)
fc: 1,5x1+3,5x2→max (przychód) istnieje izokwanta przecinająca osie: (0,30) (70,0) –30:70 to takie samo nachylenie jak 1,5:3,5
warunki ograniczające:
1) 0,2x1+0,3x2≤27 (mąka pszenna), punkty przecięcia z osiami (0,90) (135,0)
2) 0,5x1+0,2x2≤40 (mąka Ŝytnia), punkty przecięcia z osiami (0,200) (80,0)
3) 2x1+5x2≥100 (droŜdŜe), punkty przecięcia z osiami (0,20) (50,0)
3
4) x1/x2≥3/7 czyli x1≥ /7x2 (proporcja pomiędzy ilościami obu chlebów), punkty dla wyznaczenia prostej (0,0) (30,70)
5) x1≥15 (minimalna wielkość produkcji chleba Mazowieckiego to 15 bochenków)
6) x1,x2≥0
200
90
x*=(30,70)
70
30
20
15
30
50
70
80
135
Optymalny plan produkcji to wytwarzanie 30 bochenków chleba Mazowieckiego i
70 Podkarpackiego. Współrzędne tego punktu wyznaczymy rozwiązując układ
równań złoŜony z dwóch warunków 1) i 4) , które się przecinają w tym punkcie.
Maksymalny przychód wynosi 290 zł/h
x1
x2
b) Jeśli chcemy znaleźć optymalną produkcję chlebów maksymalizującą łączne zyski, to
zmienia nam się funkcja celu. Pełen model wygląda następująco:
x1 – wielkość produkcji chleba Mazowieckiego (szt/h)
x2 – wielkość produkcji chleba Podkarpackiego (szt/h)
fc: 0,6x1+0,15x2→max (zysk) istnieje izokwanta przecinająca osie: (0,200) (50,0) –200:50 to takie samo nachylenie jak 0,6:0,15
warunki ograniczające:
1) 0,2x1+0,3x2≤27 (mąka pszenna), punkty przecięcia z osiami (0,90) (135,0)
2) 0,5x1+0,2x2≤40 (mąka Ŝytnia), punkty przecięcia z osiami (0,200) (80,0)
3) 2x1+5x2≥100 (droŜdŜe), punkty przecięcia z osiami (0,20) (50,0)
3
4) x1/x2≥3/7 czyli x1≥ /7x2 (proporcja pomiędzy ilościami obu chlebów), punkty dla wyznaczenia prostej (0,0) (30,70)
5) x1≥15 (minimalna wielkość produkcji chleba Mazowieckiego to 15 bochenków)
6) x1,x2≥0
200
90
20
x*=(80,0)
15
30
50
80
135
Optymalny plan produkcji maksymalizujący łączny zysk to wytwarzanie 80
bochenków chleba Mazowieckiego i 0 Podkarpackiego.
Maksymalny osiągalny zysk to 48 zł/h
x1
JeŜeli chcemy naraz uwzględnić oba kryteria oceny – przychód i zysk to otrzymujemy
zadanie programowania wielokryterialnego (dwukryterialnego) - powstaje model:
fc1: 1,5x1+3,5x2→max (przychód)
fc2: 0,6x1+0,15x2→max (zysk)
1) 0,2x1+0,3x2≤27 (mąka pszenna), punkty przecięcia z osiami (0,90) (135,0)
2) 0,5x1+0,2x2≤40 (mąka Ŝytnia), punkty przecięcia z osiami (0,200) (80,0)
3) 2x1+5x2≥100 (droŜdŜe), punkty przecięcia z osiami (0,20) (50,0)
3
4) x1/x2≥3/7 czyli x1≥ /7x2 (proporcja pomiędzy ilościami obu chlebów), punkty dla wyznaczenia prostej (0,0) (30,70)
5) x1≥15 (minimalna wielkość produkcji chleba Mazowieckiego to 15 bochenków)
6) x1,x2≥0
c) W związku z tym, Ŝe kaŜde kryterium (funkcja celu) wskazuje na inne optimum cząstkowe,
istnieje potrzeba znalezienia rozwiązania kompromisowego. Pierwszym sposobem jest
wskazanie rozwiązań Pareto-optymalnych, które są zlokalizowane na krawędzi zbioru
rozwiązań dopuszczalnych (szarego sześciokąta) pomiędzy optimami cząstkowymi od strony
przecięcia się izokwant – fioletowa łamana.
x2
200
90
70
20
15
50
80
135
x1
d) Innym sposobem znalezienia kompromisu jest zastąpienie dwóch funkcji celu przez jedną
funkcję celu zwaną metakryterium. Zwykłe metakryterium tworzymy przez zsumowanie obu
funkcji z wagami. Mamy przyjąć wartości wag 2 dla przychodu i 120 dla zysku. Po
zsumowaniu dwóch funkcji na max, otrzymane metakryterium będziemy maksymalizowali:
m(x)=2P+120Z→max
m(x)=2*(1,5x1+3,5x2)+120*(0,6x1+0,15x2)→max
m(x)=3x1+7x2+72x1+18x2→max
m(x)= 75x1+25x2→max
zatem mamy znaleźć rozwiązanie dla następującego modelu:
fc: 75x1+25x2→max istnieje izokwanta przecinająca osie: (0,75) (25,0) –75:25 to nachylenie tych izokwant
1) 0,2x1+0,3x2≤27 (mąka pszenna), punkty przecięcia z osiami (0,90) (135,0)
2) 0,5x1+0,2x2≤40 (mąka Ŝytnia), punkty przecięcia z osiami (0,200) (80,0)
3) 2x1+5x2≥100 (droŜdŜe), punkty przecięcia z osiami (0,20) (50,0)
3
4) x1/x2≥3/7 czyli x1≥ /7x2 (proporcja pomiędzy ilościami obu chlebów), punkty dla wyznaczenia prostej (0,0) (30,70)
5) x1≥15 (minimalna wielkość produkcji chleba Mazowieckiego to 15 bochenków)
6) x1,x2≥0
x2
200
Przy zastosowaniu takiego metakryterium zamiast tych dwóch
fc, optymalne rozwiązanie kompromisowe to wytwarzanie 80
bochenków chleba Mazowieckiego i 0 Podkarpackiego.
Maksymalny osiągalny zysk to 48 zł/h
90
75
20
x*=(80,0)
15
25
50
80
135
x1
e) Zamiast uŜyć zwykłe metakryterium, moŜna posłuŜyć się metakryterium opartym o stopnie
realizacji obu funkcji celu. Jest to podejście szczególnie prawidłowe, jeśli funkcje celu mają
inne jednostki i skale – po przejściu na stopnie realizacji wartości obu funkcji stają się
porównywalne. Metakryterium to stworzymy przez zsumowanie stopni realizacji obu funkcji
w tym przypadku z równymi wagami, czyli o wartości 1 i będziemy maksymalizowali jego
wartość. Stopień realizacji funkcji celu maksymalizowanej (uproszczony) to podzielnie jej
wartości przez jej maksymalną wartość w zbiorze:
m2(x)=1*(1,5x1+3,5x2)/290+1*(0,6x1+0,15x2)/48→max |*290 *48
m2(x)=48*(1,5x1+3,5x2)+290*(0,6x1+0,15x2)→max
m2(x)=72x1+168x2+174x1+43,5x2→max
m2(x)=246x1+211,5x2→max
zatem mamy znaleźć rozwiązanie dla następującego modelu:
fc: 246x1+211,5x2→max istnieje izokwanta przecinająca osie: (0,123) (105,75,0) –123:105,75 to tak samo jak 246:211,5
1) 0,2x1+0,3x2≤27 (mąka pszenna), punkty przecięcia z osiami (0,90) (135,0)
2) 0,5x1+0,2x2≤40 (mąka Ŝytnia), punkty przecięcia z osiami (0,200) (80,0)
3) 2x1+5x2≥100 (droŜdŜe), punkty przecięcia z osiami (0,20) (50,0)
3
4) x1/x2≥3/7 czyli x1≥ /7x2 (proporcja pomiędzy ilościami obu chlebów), punkty dla wyznaczenia prostej (0,0) (30,70)
5) x1≥15 (minimalna wielkość produkcji chleba Mazowieckiego to 15 bochenków)
6) x1,x2≥0
x2
200
Przy zastosowaniu tego metakryterium zamiast tych dwóch fc,
optymalne rozwiązanie kompromisowe to wytwarzanie 60
bochenków chleba Mazowieckiego i 50 Podkarpackiego.
Maksymalny osiągalny zysk to 48 zł/h
90
x*=(60,50)
20
15
50
80
135
x1
f) Innym podejściem do znalezienia optymalnego rozwiązania kompromisowego jest
wyznaczenie takiego rozwiązania, w którym obie funkcje będę realizowały się w tym samym
stopniu i będzie to stopień największy z moŜliwych. NaleŜy wyznaczyć najpierw linię, na
której obie fc mają ten sam stopień realizacji. 100%-owy stopień realizacji znajduje się na
przecięciu izokwant wyznaczających optima cząstkowe. Punkt ich przecięcia nazywamy
punktem idealnym, leŜy on poza zbiorem rozwiązań dopuszczalnych. 0%-owy stopień
realizacji moŜna przypisać początkowi układu współrzędnych (jest to podejście uproszczone,
w podejściu pełnym naleŜałoby znaleźć punkt antyidealny). Jeśli połączymy początek układu
współrzędnych z punktem idealnym to otrzymamy prostą, na której stopień realizacji obu
funkcji celu jest ten sam. Optymalne rozwiązanie kompromisowe to taki punkt na tej prostej,
który leŜy w zbiorze rozwiązań dopuszczalnych najbliŜej punktu idealnego (stąd inna nazwa
tego podejścia: minimalizacja odległości od punktu idealnego). Optymalne rozwiązanie
kompromisowe naleŜy wskazać tylko graficznie bez wyznaczania współrzędnych.
x2
200
90
70
punkt idealny
optymalne
rozwiązanie
kompromisowe
20
15
50
80
135
x1
g) Ostatnią metodą jest podejście o nazwie „jedno kryterium główne, pozostałe drugorzędne”.
Kryterium głównym (fc) ma pozostać zysk, natomiast drugie kryterium – przychód moŜe
przestać być funkcją celu pod warunkiem, Ŝe zostanie zapewniony pewien minimalny poziom
jego wartości (w tym wypadku co najmniej 210 zł/h). Przychód staje się zatem kolejnym
warunkiem ograniczającym. (co zmienia postać zbioru rozwiązań dopuszczalnych).
Pełen model wygląda następująco:
fc: 0,6x1+0,15x2→max (zysk) istnieje izokwanta przecinająca osie: (0,200) (50,0) –200:50 to tak samo jak 0,6:0,15
warunki ograniczające:
1,5x1+3,5x2≥210 (przychód ma mieć wartość co najmniej 210), punkty przecięcia z osiami (0,60) (140,0)
0,2x1+0,3x2≤27 (mąka pszenna), punkty przecięcia z osiami (0,90) (135,0)
0,5x1+0,2x2≤40 (mąka Ŝytnia), punkty przecięcia z osiami (0,200) (80,0)
2x1+5x2≥100 (droŜdŜe), punkty przecięcia z osiami (0,20) (50,0)
x1/x2≥3/7 czyli x1≥3/7x2 (proporcja pomiędzy ilościami obu chlebów), punkty dla wyznaczenia prostej (0,0) (30,70)
x1≥15 (minimalna wielkość produkcji chleba Mazowieckiego to 15 bochenków)
x1,x2≥0
x2
200
Optymalny plan produkcji maksymalizujący łączny zysk przy
przychodzie nie gorszym niŜ 210 zł/h to wytwarzanie 67,59
bochenków chleba Mazowieckiego i 31,03 Podkarpackiego.
Maksymalny osiągalny zysk to 45,21 zł/h
90
60
x*=(67,58 ; 31,03)
20
15
30
50
80
135
x1