Wyrażenia wymierne
Transkrypt
Wyrażenia wymierne
Wyrażenia wymierne I. Wyrażenia wymierne to ułamki które mają w liczniku i mianowniku wielomiany. Ponadto w mianowniku musi być wielomian stopnia co najmniej równego 1. Przykłady 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) II. Tutaj mamy w liczniku wielomian 1, a w mianowniku 2. W tym przykładzie w liczniku jest wielomian stopnia 0. మ మ య మ మ Skracanie wyrażeń wymiernych Jeśli wyrażenie wymierne ma w liczniku i mianowniku wielomiany dane w postaci iloczynu nawiasów, to często można dokonać skrócenia tego wyrażenia. Skracanie można wykonać wówczas gdy zarówno w liczniku jak i w mianowniku znajduje się taki sam nawias. Samo skracanie polega wówczas na usunięciu tych samych nawiasów (czynników) z licznika i mianownika. Przykłady 1) ł: 2 0 Uwaga! Tak naprawdę skracanie jest dzieleniem licznika i mianownika przez ten sam czynnik (w tym przykładzie przez 2), a ponieważ nie wolno dzielić przez 0, zatem zawsze po skróceniu musimy napisać odpowiednie założenie (ponieważ skrócona wersja jest poprawna tylko dla x spełniających te założenia). Dlatego warto zawsze na początku określić dziedzinę (o tym dokładniej będzie za chwilę). W pierwszym przykładzie pełne założenia są następujące: 2 0 0 2) ł: 0 3 0 Materiały pochodzą ze strony www.matemaks.pl 3) √ √ ł: 0 34 0 34 0 √5 0 0 34 34 √5 4) మ ł: 0 1 0 W tym przykładzie nie możemy od razu przystąpić do skracania, bo wielomian w liczniku nie jest dany w formie iloczynu czynników. Używając jednak trików takich jak wyciąganie wspólnego czynnika przed nawias, czy też np. wzorów skróconego mnożenia można często przerobić taki wielomian na formę iloczynową (patrz rozdział o wielomianach). Zatem: 1 1 1 ଶ 1 1 1 5) 6) య మ య III. మ మ య 1 మ య ł: 0 1 0 మ మ ł: 3 1 0 9 3 1 0 మ Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych wykonujemy tak samo jak dla zwykłych ułamków. Jeżeli dwa wyrażenia wymierne mają taki sam wielomian w mianowniku to po prostu dodajemy lub odejmujemy liczniki. Jeśli natomiast nie mają wspólnego mianownika, to trzeba je do niego sprowadzić. Przykłady 1) 2) 3) 4) మ మ 1 మ ł: 3 మ మ మ మ Materiały pochodzą ze strony www.matemaks.pl 5) 6) 7) మ మ మ మ మ ఱ య ఱ య మ మ W tym przykładzie nie mamy wspólnego mianownika, więc trzeba go zrobić przez odpowiednie pomnożenie licznika i mianownika. 2·2 5 4 5 9 2 5 2 2 2 2 2 2 8) 9) 10) మ మ మ మ మ మ మ మ √ య మ మ √ య మ య మ మ √ ఱ √ య మ మ మ √ య మ య మ మ √ య మ మ √ య మ √ ఱ √ య మ మ W tym przykładzie na początku zauważyliśmy, że pierwsze dwa ułamki mają wspólny mianownik, a następnie wszystkie trzy wyrażenia sprowadziliśmy do wspólnego mianownika. 11) 12) 2 1 · · మ Materiały pochodzą ze strony www.matemaks.pl IV. Mnożenie wyrażeń wymiernych Mnożenie wyrażeń wymiernych wykonuje się tak samo jak mnożenie zwykłych ułamków, tzn. licznik · licznik i mianownik · mianownik. Przykłady 1) 2) V. · · · మ · · ల ·· · ల Dzielenie wyrażeń wymiernych Dzielenie wyrażeń wymiernych wykonuje się tak samo jak dzielenie zwykłych ułamków, tzn. zamieniamy je na mnożenie biorąc odwrotność dzielnika. Przykłady 1) 2) · · ల VI. · ల · · ల · ల · ల Określanie dziedziny wyrażeń wymiernych Wyznaczanie dziedziny polega na określeniu tych x-ów dla których wyrażenie ma sens. W przypadku wyrażeń wymiernych najczęściej polega to na wykluczeniu tych x-ów dla których zeruje się mianownik. Zabronione jest bowiem dzielenie przez 0. Przykłady 1) ł: 3 0 0 Odp.: Dziedziną tego wyrażenia wymiernego jest zbiór /0, czyli zbór wszystkich liczb rzeczywistych bez zera. మ 2) ł: 3 0 2 0 3 2 Materiały pochodzą ze strony www.matemaks.pl 3) య ł: 0 1 0 0 4) 1 3 5 0 య మ √ మ మ ł: 0 √3 0 0 √3 0 √3 6 0 1 0 6 1 1 0 1 1 W tym przypadku nic nie wypada z dziedziny, bo nie istnieje taki x, że 6 Odp.: Dziedziną tego wyrażenia wymiernego jest zbiór /1, 0, 1, √3. VII. Rozwiązywanie równań wymiernych Równaniem wymiernym nazywamy wyrażenie wymierne przyrównane do zera. Aby wyznaczyć rozwiązanie równania wymiernego, należy wyznaczyć wszystkie x należące do dziedziny, które spełniają dane równanie. Przykłady 1) 0 Krok 1 – wyznaczamy dziedzinę: ł: 0 1 Krok 2 – znajdujemy rozwiązanie przyrównując licznik do zera. 7 0 7 rozwiązanie należy do dziedziny, więc jest ok. Odp.: Rozwiązaniem równania jest 7. 2) మ 0 ł: 0 1 7 1 0 7 1 1 0 7 1 1 Pierwsze dwa rozwiązania należą do dziedziny, więc są ok., natomiast 1 nie należy do dziedziny, więc nie jest rozwiązaniem naszego równania. Odp.: Rozwiązaniem równania jest 7 1. Krok 1: Krok 2: Materiały pochodzą ze strony www.matemaks.pl 3) 0 Aby poradzić sobie z tym równaniem wymiernym musimy zamienić lewą jego stronę na jedno wyrażenie wymierne, tzn. wykonać odejmowanie. Przykład ten liczyliśmy wcześniej i wyszło tak: 2 3 4 3 7 8 3 2 3 2 Zatem nasze równanie wymierne jest postaci: 3 7 8 0 3 2 Krok 1: Krok 2: ł: 3 2 3 7 8 0 Dostaliśmy do rozwiązania równanie kwadratowe. ∆ 7 4 · 3 · 8 49 96 145 √ √ Oba te rozwiązania należą do dziedziny. Odp.: Rozwiązaniem równania jest √ √ Uwaga Rozwiązanie tego przykładu wymagało umiejętności rozwiązania równania kwadratowego nierozkładalnego w prosty sposób na iloczyn czynników. Jeśli tego jeszcze nie umiesz nie przejmuj się. 4) Gdy równanie jest dane w takiej formie to przenosimy wszystko na jedną stronę 2 3 4 0 3 2 i robimy tak jak poprzednio. [Można też to rozwiązać mnożąc na krzyż: 2 2 33 4 nie zapominając oczywiście o dziedzinie.] 5) Wszystko na jedną stronę: 1 0 2 2 1 0 2 2 1 2 0 2 Materiały pochodzą ze strony www.matemaks.pl 1 0 2 Określamy dziedzinę: ł: 2 Rozwiązujemy: 1 0 10 1 rozwiązanie należy do dziedziny Odp.: Rozwiązaniem równania jest 1. 6) మ 0 To równanie nie ma rozwiązania, bo nigdy licznik nie będzie równy 0. Zadanie1 Określ dziedzinę wyrażenia wymiernego: a) b) c) ఱ ర √ య ర య మ d) మ e) మ Zadanie2 Rozwiąż poniższe równania: a) b) c) మ మ మ 0 Materiały pochodzą ze strony www.matemaks.pl