n E a

I. Wst p
A. Polaryzacja wiatła. Prawo Malusa
wiatło, tak jak ka da fala elektromagnetyczna, jest fal poprzeczn . Drgania wektorów
nat enia pola elektrycznego E i indukcji pola magnetycznego B odbywaj si w kierunkach
prostopadłych do kierunku rozchodzenia si
elektromagnetycznej
drgania
obu
wektorów
fali. W przypadku pojedynczej fali
zachodz
w
okre lonych,
wzajemnie
prostopadłych płaszczyznach. Fal tak nazywa si spolaryzowan liniowo. Za płaszczyzn
polaryzacji przyjmuje si umownie płaszczyzn prostopadł do wektora elektrycznego E, w
której odbywaj si drgania wektora magnetycznego B.
W wi kszo ci ródeł wiatła atomy lub cz steczki emituj fale wietlne niezale nie od siebie.
wiatło rozchodz ce si w danym kierunku składa si z ci gów fal, których płaszczyzny
drga
zorientowane s w sposób przypadkowy wokół kierunku rozchodzenia. W wi zce
wiatła wyst puj wówczas wszystkie mo liwe kierunki drga wektora E, prostopadłe do
kierunku wi zki (rys. 1a). Takie wiatło jest niespolaryzowane. W celu otrzymania wiatła
spolaryzowanego liniowo nale y wydzieli z niespolaryzowanego wiatła ci gi falowe o
okre lonej płaszczy nie drga wektora E (rys. 1b).
Rys.1 Polaryzacja wiatła
Mo liwe s bardziej zło one postacie wiatła spolaryzowanego. Je eli koniec wektora
nat enia pola elektrycznego E obraca si wokół kierunku promienia bez zmiany długo ci to
wiatło nazywa si spolaryzowanym kołowo (rys.1c,d). Gdy dla obserwatora patrz cego na
ródło wiatła wektor obraca si zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara, wiatło jest
spolaryzowane prawoskr tnie, w przeciwnym przypadku - lewoskr tnie. Ogólniejszym
przypadkiem jest polaryzacja eliptyczna wiatła, gdy koniec obracaj cego si wektora E
zakre la elips [1],[2].
Poka emy teraz, e wi zk
wiatła spolaryzowanego kołowo mo na uwa a za zło enie
dwóch wi zek wiatła spolaryzowanego liniowo o wzajemnie prostopadłych płaszczyznach
polaryzacji i okre lonej ró nicy faz drga .
Niech wektor E
o długo ci E0 obraca si z pr dko ci k tow
w kierunku
przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (rys. 2). Je eli w chwili pocz tkowej, t = 0, wektor
ma kierunek osi x, jego składowe wyra aj si wzorami
E x = E 0 cos(ωt )
(1)
(
E y = E 0 sin(ωt ) = E 0 cos ωt − π
2
)
(2)
Wektor E mo na wi c przedstawi jako sum dwóch wektorów Ex i Ey
Rys.2.
odpowiadaj cym drganiom wzdłu osi x i y,
E = Ex + Ey
przy czym ró nica faz drga wynosi π
2
. Analogiczne zale no ci maj miejsce, gdy wektor
E obraca si w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. Jego składowe s wtedy
równe
E x = E 0 cos(ωt )
(3)
(
E y = − E 0 sin(ωt ) = E 0 cos ωt − 3π
2
)
(4)
i ró nica faz drga wektorów Ex i Ey wynosi 3π . W podobny sposób mo na te wykaza
2
słuszno
odwrotnego stwierdzenia: wi zka
wiatła liniowo spolaryzowanego jest
równowa na dwu wi zkom wiatła spolaryzowanego kołowo, lewo- i prawoskr tnie.
Przyrz dy słu ce do przekształcania wiatła naturalnego w wiatło spolaryzowane liniowo
nazywamy polaryzatorami. Polaryzator przepuszcza tylko te fale wietlne, których wektory
elektryczne E maj okre lony kierunek, zwany kierunkiem polaryzacji (rys. 3). Je eli wiatło
przejdzie nast pnie przez drugi polaryzator, zwany analizatorem, to jego nat enie I b dzie
zwykle mniejsze od nat enia wiatła I0 padaj cego na analizator i b dzie si zmienia ze
zmian k ta
mi dzy kierunkami polaryzacji obu przyrz dów.
Rys.3.
Dla znalezienia warto ci nat enia I zapiszemy wektor E fali wietlnej, padaj cej na
analizator, jako sum jego wektorów składowych w kierunku osi x i y układu współrz dnych
(rys. 4),
E = Ex + Ey
Rys.4
(5)
Je eli kierunek osi x jest zgodny z kierunkiem polaryzacji analizatora, to przejdzie przeze
tylko składowa fala wietlna o wektorze Ex. Zachodz przy tym zwi zki (rys. 4)
E x = E cos α
(6)
E 0 x = E 0 cos α
(7)
gdzie E0 i E0x oznaczaj amplitudy obu fal. Bior c pod uwag , e nat enie wiatła jest
proporcjonalne do kwadratu amplitudy jego wektora elektrycznego,
I 0 ~ E 02 , I ~ E 02x , z ostatniego wzoru otrzymujemy zale no
I = I 0 cos 2 α
(8)
Jest to najprostsza posta
równania
cierskiego, zwana prawem Malusa, odkrytego
do wiadczalnie w 1812 r. Zgodnie z nim nat enie przechodz cego
proporcjonalne do kwadratu cosinusa k ta
wiatła jest
mi dzy kierunkami polaryzacji polaryzatora i
analizatora. Je eli oba kierunki s do siebie równoległe,
= 0, nat enie wiatła nie ulega
zmianie, I = I0. W rzeczywisto ci nat enie wiatła przechodz cego przez analizator mo e
by mniejsze od nat enia wiatła padaj cego na skutek pochłaniania wiatła w analizatorze.
We wzorze (8) przez I0 wówczas nale y rozumie nat enie wiatła przechodz cego przez
analizator dla kata
= 0. Je eli kierunki polaryzacji s
prostopadłe (skrzy owane
polaryzatory), α = π , wiatło nie przechodzi przez analizator, I = 0. Na podstawie prawa
2
Malusa mo na, wi c wyznaczy płaszczyzn drga spolaryzowanego liniowo wiatła.
II. Zjawisko dwójłomno ci
W wielu przezroczystych kryształach wyst puje zjawisko tzw. podwójnego załamania
wiatła - dwójłomno ci. Zostało ono po raz pierwszy zauwa one przez E. Bartholina w 1669
roku w krysztale szpatu islandzkiego (kalcytu, CaCO3) i polega na rozdzieleniu promienia
wchodz cego do kryształu na dwa promienie.
Przezroczyste kryształy s na ogół o rodkami optycznie anizotropowymi. Oznacza to, e ich
własno ci optyczne, m.in. pr dko
rozchodzenia si
wiatła, zale y od kierunku w krysztale.
Wyj tek stanowi kryształy nale ce do układu regularnego, b d ce o rodkami izotropowymi
(o własno ciach niezale nych od kierunku).
Zjawisko dwójłomno ci mo e mie
anizotropow
budow
spontaniczn , lub te
charakter naturalny, który zwi zany jest z
o rodka i taka dwójłomno
mo e by
nazywana jest dwójłomno ci
wywołane przez czynniki zewn trzne i nazywana jest
dwójłomno ci wymuszon . Dwójłomno
mo e by wymuszona min. przez:
•
napr enia mechaniczne- zjawisko elastooptyczne
•
pole magnetyczne, prostopadłe do biegu wi zki wiatła –
- magnetooptyczny efekt Cottona – Moutona
- zjawisko Faradaya – pole magnetyczne równoległe do kierunku wi zki wiatła
•
pole elektryczne – efekt elektrooptyczny
•
gradient temperatury
A. Efekt elektrooptyczny
Pod wpływem zewn trznego pola elektrycznego współczynnik załamania o rodka
ulega zmianie. W ogólno ci (to znaczy w o rodku anizotropowym) mo na, pod nieobecno
pola elektrycznego, wyró ni dwa współczynniki załamania i dla fali rozchodz cej si w n’
n” danym kierunku. O wyborze odpowiedniego współczynnika decyduje kierunek wektora
indukcji pola elektrycznego D fali wietlnej wzgl dem osi symetrii kryształu. Je eli do
o rodka przyło y zewn trzne, dodatkowe pole elektryczne E, to współczynniki załamania
b d zale e od nat enia tego pola:
n' = n 0 + a ' + b'
2
n' ' = n 0 + a ' ' + b' '
+ c'
2
3
+ c' '
+ ...
3
(2. 1)
+ ...
gdzie n0 – współczynnik załamania dla E=0, a, b, c – stałe dla odpowiedniej długo ci fali [3].
W kryształach, które nie posiadaj
zale
rodka symetrii zmiany współczynnika załamania
od nat enia pola elektrycznego w pot dze pierwszej i w wy szych. Dla tych
kryształów w równaniach (2.1) mo na zaniedba wyrazy E w pot dze wy szej ni 1. W
pozostałych kryształach oraz o rodkach izotropowych zmiany współczynnika załamania
zale
od nat enia pola elektrycznego w pot gach parzystych.
Zale no
zmiany współczynnika załamania od nat enia pola elektrycznego E w pot dze
pierwszej nazywa si efektem Pockelsa, natomiast od nat enia pola w pot dze drugiej i
wy szej nosi nazw efektu Kerra. Nale y zauwa y , e pod wpływem pola elektrycznego
mo e nast pi
odkształcenie o rodka, czyli tzw. odwrotny efekt piezoelektryczny lub
elektrostrykcja, które ma równie wpływ na zmian współczynnika załamania, poprzez efekt
elastooptyczny. Je eli odkształcenie o rodka nie wyst puje, wówczas efekt elektrooptyczny
nazywany jest prawdziwym (pierwotnym). W przeciwnym wypadku, gdy wyst puj
równocze nie oba efekty, tzn. efekt elektrooptyczny i efekt elastooptyczny, wówczas
mówimy o efekcie elektrooptycznym pierwotnym i wtórnym (pozornym) [3].
B. Uproszczony model zjawiska elektrooptycznego
Rozwijaj c współczynnik załamania n(E) w szereg Taylora w otoczeniu zerowego
pola E (E = 0), otrzymujemy
1
n( E ) = n + a1 E + a 2 E 2 + ...
2
;
(2. 2)
gdzie
n = n(0) , a1 =
∂
∂2
n E =0 , a 2 =
n E =0 .
∂E
∂E 2
Wprowad my współczynniki elektrooptyczne takie, e:
r=−
a
2a1
i R = − 32 .
3
n
n
(2.3)
Wówczas rozwiniecie w szereg dane zale no ci (2.2) przyjmuje posta :
1
1
n( E ) = n − rn 3 E − Rn 3 E 2 + ... .
2
2
(2. 4)
Współczynniki elektrooptyczne r i R zostały tak dobrane, aby:
1
1
= + rE + RE 2 .
n( E ) n
(2.5)
Korzystaj c z szeregu (2.4) mo emy rozpatrzy dwa graniczne przypadki, tzn.
•
R << r
•
r = 0.
I.
Gdy R << r wówczas szereg (2.4) mo emy zapisa :
1
n( E ) = n − rn 3 E .
2
(2. 6)
W sytuacji opisanej wzorem (2.6) mówimy o zjawisku Pockelsa, a współczynnik r nazywany
jest współczynnikiem Pockelsa lub liniowym współczynnikiem elektrooptycznym. Warto
współczynnika r dal kryształów wynosi r ≈ 10 −12 − 10 −10
m /V .
n(E)
E
Rys.2 1 Zale no
II.
współczynnika załamania od nat enia pola elektrycznego E dla efektu Pockelsa
Gdy r = 0 wówczas szereg (2.7) ma posta
n( E ) = n −
1 3 2
Rn E .
2
(2. 7)
n(E)
E
Rys.2 2 Zale no
współczynnika załamania od nat enia pola elektrycznego E dla efektu Kerra
Z powy szego wzoru wynika, e zmiana współczynnika załamania nie zale y od znaku E. W
takim przypadku mówimy o efekcie Kerra. Współczynnik R nazywany jest natomiast
współczynnikiem
Kerra
lub
kwadratowym
współczynnikiem
elektrooptycznym.
Współczynnik R przyjmuje nast puj ce warto ci:
R ≈ 10 −18 − 10 −14
m 2 / V 2 - w kryształach
R ≈ 10 −22 − 10 −19
m 2 / V 2 - w cieczach.
Efekt Kerra wyst puje zarówno w kryształach ze rodkiem symetrii jak i bez rodka
symetrii, jednak w kryształach, które nie posiadaj
rodka symetrii wyst puje równie efekt
Pockelsa, który jest znacznie silniejszy od efektu kwadratowego (Kerra). Dlatego te w tych
kryształach ( nie posiadaj cych rodka symetrii) jest on pomijany.
Efekt Pockelsa
Efekt Pockelsa dotyczy zale no ci zmian współczynnika złamania od pola
elektrycznego w pierwszej pot dze. Tensor optyczny
Bij jest zwi zany z tensorem
elektrooptycznym rijm nast puj c zale no ci :
∆Bij = rijm E m ;
gdzie i, j, m =x, y, z. Zale no
(2. 8)
powy sz
w zapisie macierzowym mo na zapisa
nast puj co:
∆Bi = rim Em ;
(2. 9)
gdzie i = 1, …,6; m = 1, 2, 3.
Własno ci anizotropowe wykazuj kryształy nale ce do 20 klas krystalograficznych jak
równie spolaryzowane ceramiki, folie oraz niektóre ciekłe kryształy. Ze wzgl du na symetri
kryształów wiele współczynników rij zeruje si . Wszystkie współczynniki zeruj
si
w
o rodkach izotropowych i kryształach posiadaj cych rodek symetrii [3].
Urz dzenie do wytwarzania lub zmiany dwójłomno ci za pomoc pola elektrycznego
E w pierwszej pot dze nazywa si komórk Pockelsa. Materiały nadaj ce si na komórk
Pockelsa to min. GaAs, NH4H2PO4 (ADP), KH2PO4 (KDP), CdTe, Li2NbO3 (niobian litu) i
wiele innych.
Efekt Kerra
Efekt Kerra wyst puje we wszystkich kryształach i ciałach izotropowych, równie w
cieczach [3]. W efekcie Kerra pot gi wy sze od drugiej graj tak mał rol , e s pomijane w
równaniu (2.3). Zmiany współczynników załamania w ogólnym przypadku efektu Kerra
przedstawia wzór:
∆Bi = rikl E k E l
lub
(2. 3)
∆Bi = rij E k El ;
gdzie i = 1…6; j = 1…6; k = z, y, z; l = x, y, z.
Dla efektu Kerra rozró nia si trzy przypadki.
I.
Na stałe pole polaryzuj ce E k nakładane jest zmienne pole E l (t ) , które nie
pokrywa si z polem E k . Pod wpływem pola elektrycznego polaryzuj cego E k zmieniaj si
współczynniki elektrooptyczne kryształu, co pozwala na nast puj cy zapis:
∆Bi = rikl E k El (t ) = bil E l (t ) .
W rezultacie otrzymuje si liniowy efekt, jednak kryształ zmienia swoje współczynniki
elektrooptyczne [3]. Inaczej mówi c: stałe pole elektryczne E k zmienia własno ci optyczne
kryształu, jego elipsoid współczynników, które z kolei s w liniowy sposób modulowane
polem E l (t ) .
II.
Na stałe pole polaryzuj ce E k nakładane jest słabe pole E k (t ) , które przeciwnie
jak w przypadku I pokrywa si z polem E k oraz z jedn z osi x, y, z, wówczas mo na
zapisa :
[
]
∆Bi = rik [E k + E k (t )] ≈ rkl E k2 + 2 E k E k (t ) ,
2
czyli
∆Bi ≈ rik E k2 + bik E k (t ) ,
gdzie bik = 2rik E k .
W rezultacie wyst puje liniowy efekt elektrooptyczny.
III.
Obie składowe E k i E l s to samo ciowo równe, wtedy mo na zapisa :
∆Bi = rik E k2
C. Dwójłomno
spontaniczna
W kryształach anizotropowych obserwowana jest zmiana dwójłomno ci δ( n) wywołana
zmianami temperatury nazywana dwójłomno ci spontaniczn . Szczególnie interesuj ce s
zmiany dwójłomno ci w otoczeniu ferroelektrycznych i ferroelastycznych przemian
fazowych.
Spolaryzowana wi zka wiatła padaj c na kryształ ulega rozdzieleniu na wzajemnie
prostopadle spolaryzowane wi zki poruszaj ce si z ró nymi pr dko ciami. Po przej ciu
przez kryształ o długo ci L ró nica faz mi dzy tymi promieniami
Γ=
gdzie
0
2πL∆n(T )
(1)
λ0
jest długo ci fali w pró ni.
Po wyj ciu z kryształu nast puje interferencja obu promieni a jej wynikiem w
zale no ci od ró nicy faz jest wi zka spolaryzowana liniowo, kołowo lub eliptycznie.
Analizator przepuszcza rzut wektora elektrycznego na kierunek jego transmisji.
Dla równoległego ustawienia płaszczyzn przepuszczania polaryzatora i analizatora
nat enie wi zki wychodz cej okre lone jest równaniem:
I = I 0 sin 2 (2ϕ ) sin 2
Γ
2
(2)
gdzie: I0- nat enie wi zki padaj cej
ϕ - kat mi dzy płaszczyzn polaryzacji wiatła i du
półosi przekroju elipsoidy
współczynników załamania prostopadłego do kierunku propagacji wi zki.
Z wyra enia (2) wynika, e najwi ksze zmiany nat enia wiatła s obserwowane dla ϕ=45°.
Dla kryształu TGS, który jest centrosymetryczny w fazie paraelektrycznej anomalna
cz
dwójłomno ci spontanicznej δ , obserwowanej w fazie ferroelektrycznej, ma charakter
spontanicznego efektu Kerra
δΓ = rPs2
(3)
gdzie: r - współczynnik elektrooptyczny
PS – polaryzacja spontaniczna.
Zale no
polaryzacji spontanicznej kryształu TGS w otoczeniu przej cia fazowego mo na
opisa równaniem
PS = ± −
gdzie:
i
α
(T − T0 )
β
współczynniki rozwini cia energii swobodnej
Tc- temperatura Curie-Weissa.
(4)
[1]. Krajewski T. „Zagadnienia fizyki dielektryków”, Wydawnictwa Komunikacji i
Ł czno ci, Warszawa 1970
[2]. Antoniewicz J. „Własno ci dielektryków”, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne,
Warszawa 1971
[3]. Ratajczyk F. „Optyka o rodków anizotropowych”, Pa stwowe Wydawnictwo Naukowe
PWN, Warszawa 1994