Przekroje ośmiościanu

44
NAUCZANIE MATEMATYKI
Przekroje ośmiościanu
Kolejną bryłą platońską, którą rozważymy,
jest ośmiościan foremny zbudowany z ośmiu
trójkątów równobocznych. To wielościan dualny względem sześcianu i odwrotnie (środki
ścian sześcianu foremnego są wierzchołkami ośmiościanu foremnego, a środki ścian
ośmiościanu foremnego są wierzchołkami
sześcianu). Oto propozycja kilku zadań.
Zadanie 1
Narysuj taki przekrój ośmiościanu foremnego, który jest:
a) trójkątem równobocznym,
b) kwadratem,
c) rombem,
d) trapezem równoramiennym,
e) deltoidem,
f) sześciokątem foremnym.
Rozwiązanie
a) Trójkąt równoboczny otrzymamy wówczas, gdy płaszczyzna sieczna przejdzie
przez wierzchołki dowolnej ściany.
c) Przekrój będzie miał kształt rombu, gdy
płaszczyzna sieczna przejdzie przez dwa
przeciwległe wierzchołki ośmiościanu, na
przykład E i F .
d) Trapez równoramienny otrzymamy na
przykład wtedy, gdy płaszczyzna sieczna
przejdzie przez wierzchołki C i D oraz przez
dwa punkty leżące na krawędziach BE i AE,
równolegle do krawędzi AB.
b) Jeśli płaszczyznę sieczną poprowadzimy
na przykład przez wierzchołki A, B, C, D lub
równolegle do takiej płaszczyzny, w przekroju otrzymamy kwadrat.
(ms54) str. 44
NAUCZANIE MATEMATYKI
e) Jeśli płaszczyzna sieczna przechodzi
przez punkty K, G, L i H, przy czym
|AG| = |CH| oraz |BK| = |DL|, to przekrojem ośmiościanu jest deltoid.
Zadanie 3
f) Gdy płaszczyznę sieczną poprowadzimy
przez środki krawędzi: AB, AE, DE, DC, CF
Wykaż, że objętość ośmiościanu foremnego, którego wierzchołki znajdują się na
środkach ścian sześcianu, jest sześć razy
mniejsza od objętości tego sześcianu.
i BF , wówczas w przekroju otrzymamy sześciokąt foremny.
Rozwiązanie
Zadanie 2
Wykaż, że obwody wielokątów będących
przekrojami ośmiościanu ABCDEF płaszczyznami równoległymi do płaszczyzn trójkątów BCE i AF D oraz zawierającymi się
między nimi są równe.
Przyjmijmy, że krawędź ośmiościanu ma
długość a. Wtedy:
1
1
1 Vo = a2 · |EF | = a2 · a 2 = a3 2
3
3
3
3
3
3
Vs = |EF | = a 2 = 2a 2
Dzieląc stronami, otrzymamy:
√
1 3
Vo
1
a 2
= 3 3√ =
2a 2
Vs
6
Rozwiązanie
Wielokąty, które są przekrojami opisanymi
Zadanie 4
w zadaniu, to sześciokąty. Po narysowaniu
Równoległościan ABCDA1 B1 C1 D1 o objętości V , którego wszystkie ściany są rombami
o kącie ostrym 60◦ , przecięto płaszczyznami
siecznymi przechodzącymi przez wierzchołki A1 , B, D oraz C, B1 , D1 . Wyznacz objętości
powstałych wielościanów.
ich na siatce ośmiościanu nietrudno zauważyć, że ich boki tworzą odcinki tej samej
długości, równoległe do EE’. Na przykład
KK’ to odcinek powstały z boków sześciokąta KMNHLG.
(ms54) str. 45
45
46
NAUCZANIE MATEMATYKI
Rozwiązanie
Zadanie 6
Ośmiościan foremny ABCDEF o krawędzi
a przecięto płaszczyzną F IGH przechodzącą przez wierzchołek F , środek krawędzi AE i przez odcinek IH równoległy do
przekątnej BD. Oblicz pole otrzymanego
w ten sposób przekroju.
Rozwiązanie
Łatwo zauważyć, że równoległościan został
podzielony na: dwa czworościany foremne
ABDA1 i CB1 C1 D1 oraz ośmiościan foremny o tej samej krawędzi. Podstawa każdego
z dwóch czworościanów jest dwa razy mniejsza od podstawy równoległościanu, a wysokości tych brył są równe. Zatem:
VABDA1 = 1 · 1 PABCD · H = 1 V = VCB1 D1 C1
3
2
6
Objętość powstałego ośmiościanu foremnego wynosi: V − 2 V = 2 V .
6
3
Zadanie 5
Ośmiościan ABCDEF o krawędzi a przecięto płaszczyzną równoległą do płaszczyzn
trójkątów BCE i AF D oraz przechodzącą
przez środki pozostałych krawędzi. Oblicz
pole otrzymanego w ten sposób przekroju.
W przekroju otrzymamy deltoid F IGH, którego pole jest równe: P = 1 |F G| · |IH|. Ła2
two zauważyć, że trójkąt F AG jest prostokątny. Z twierdzenia Pitagorasa mamy:
√
1
a 5
|F G| = a2 + a2 =
4
2
W kwadracie AF CE prowadzimy przez
punkt E odcinek równoległy do GF . Korzystając z twierdzenia Talesa można pokazać1 ,
że odcinek F G dzieli przekątną AC w stosunku 1 : 2. Stąd:
2
|IH|
=
|BD| 3
|IH| =
Rozwiązanie
Przekrojem jest sześciokąt foremny o krawędzi dwa razy mniejszej od krawędzi ośmiościanu. Pole przekroju jest zatem równe:
√
√
1 2
3 3 3 2
P =6
a ·
=
a
2
4
8
2
2 |BD| = a 2
3
3
Pole przekroju jest więc równe:
√
√
a2 10
1a 5 2 · a 2=
P =
2 2
3
6
1
„Matematyka w Szkole” (dla nauczycieli szkół
średnich) 2009, nr 40, s. 30, zadanie 2.
Autorami artykułu są Marzena Filipowicz–Chomko i Edward Zych.
(ms54) str. 46