Drzewa Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji

Drzewa
Izolda Gorgol
wyciąg z prezentacji
Drzewa
DEFINICJA Drzewem nazywamy graf spójny bez cykli.
DEFINICJA Lasem nazywamy graf, w którym każda składowa spójności jest drzewem.
DEFINICJA Liść to wierzchołek w drzewie o stopniu 1.
Niektóre własności drzew
TWIERDZENIE W drzewie istnieje dokładnie jedna ścieżka łącząca dwa dowolne wierzchołki.
TWIERDZENIE Każde drzewo, które ma co najmniej dwa wierzchołki, ma co najmniej dwa liście.
TWIERDZENIE Drzewo o n wierzchołkach ma dokładnie n − 1 krawędzi.
Własności drzew - cd.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
TWIERDZENIE
Następujące warunki są równoważne dla grafu T
T jest drzewem;
T nie zawiera cykli i ma n − 1 krawędzi;
T jest spójny i ma n − 1 krawędzi;
T jest minimalnie spójny, tzn. usunięcie dowolnej krawędzi rozspaja graf;
każde dwa wierzchołki T są połączone dokładnie jedną ścieżką;
T jest maksymalnie acykliczny, tzn. dodanie dowolnej krawędzi powoduje powstanie cyklu.
Drzewa ukorzenione
DEFINICJA Drzewem ukorzenionym nazywamy drzewo z wyróżnionym wierzchołkiem (korzeniem).
Konstrukcja drzewa rozpinającego przy użyciu metody DFS
WEJŚCIE: spójny graf G; wierzchołek v - korzeń drzewa
WYJŚCIE: E(T ) - zbiór krawędzi drzewa T
1. E(T ) := ∅;
T DF S(G, v)
2. zaznacz v jako odwiedzony;
3. dla wszystkich sąsiadów u wierzchołka v wykonaj
a) jeśli u nie był jeszcze odwiedzony to
i. dołącz krawędź uv do E(T );
ii. wykonaj T DF S(G, u);
Konstrukcja drzewa rozpinającego przy użyciu metody BFS
WEJŚCIE: graf G; wierzchołek v, od którego zaczynamy przeszukiwanie
WYJŚCIE: E(T ) - zbiór krawędzi drzewa T
Zmienna pomocnicza KOLEJKA
T BF S(G, v)
1. E(T ) := ∅;
2. dołącz v do KOLEJKI;
3. dopóki KOLEJKA 6= ∅ wykonuj
a) usuń p z KOLEJKI; zaznacz p jako odwiedzony;
b) dla wszystkich sąsiadów u wierzchołka p wykonaj
i. jeśli u nie był jeszcze wykorzystany to dołącz u do KOLEJKI; dołącz up do E(T ).
1