O pewnej konstrukcji uzupełniającej stożkowe pasma i pęku

O pewnej konstrukcji uzupełniającej stożkowe pasma i pęku

Marian PALEJ
ośrodekGeometrii i Grafiki Inzynierskiej
Politechnika Slą5ka
o PEWIYEJ KONSTRUKCJI IJZIJPEŁNIAJĄCEJ SToZKowE
PASMA I PĘKU
Rozwazm1. bazę pasma stozkowych przyjętąna ty|e szczegolnie,ie co najmniej dwie
spoŚrod danych czterech stycznvchsą zjednoczone,tj. a: b, c, d (.ys. 1). Prryjmijmy ponadto
dowolny pęk prostych (Ę o środkulezącymna podwojnieliczonej prostej tj. Me a . Sprobujmy ustalic miejsce geometryczne p punktow stycznoścido stozkowych pasma. poszcze.
golnych promieni pęku M
Najprostszy sposob Wznaczenia zbioru p wydaje się polegac
na zastosorvaniu twierdzenia Brianchona, ktore wobec szczegolnie prryjętej bazy pasma i
środkapęku (M) oferujepewne Uproszczeniakonstrukcyjne.
W
szczegolności
(rys 1) zauwaŻmv,Że
dla Wznaczerua punktow Brianchona w
P
kolejnych sześciobo.
\.../
kach
utworzonych
r\_-'
przez bae'ęi promienie
t\
pęku stycznych korzy.
stac będziemy ze
Er=t7
wspolnej jednej pary
punktow. z pary przeciwlegĘch wierzchołkow: I:cnd
i
? o =4
A
M=
Id*Ó
/
II:fn c.}doina stąd
B6
C
wnioskowac natychpurkty
miast,
ze
rys.l.
Brianchona jako |eŻące na prostej I II . dla wszystkich stozkowych pasma określonychbazą i kolejnymi promie.
niami (stycznymi pęku (M)) będą wspołliniowe.Z konstrukcji Brianchona wynika, ze punkty
stycznościprostych pęku M) sąpunktamiprzecięciatych prostych z odpowiednimi promie.
niami 51 rzutującymi punkty Brianchona ze stałegopunktu .s _ b n c , cry|i E- sinf;
(rys |). Zauwłźnnyjednak'ze:
d(1,2,3,...)
::
n A(rr, rz, f3,...) n S(s,r,s2,s3,.,.)
(1)
oraz
Stąd:
d(1, 2, 3, ...) n M(ft, fr, ft, ...)
(2)
M(f,, fr, ft, i;
(3)
S(rr, sztsst...)
-24-
Rozpatrywany zbior punktow styczności Ę jako zbior punktow wspolnych dwoch
rzutowych pękow (3) jest więc krzywą stopniadrugiego.Pęki M
i (s/ posiadająjednak
wspolny, zjednoczony promien MS = f o =fo . oznacza to, ze Są one nie tylko rzutowe ale i
perspektywiczne,& W rezultacie,Że punkty przecięciaodpowiadającychsobie promieni tych
pękow |eŻąnaprostej.Pozwala to na sformułowanie
następującej
relacji:
,,PAsmo stoźlłowychokreślonetakimi czterema stycznymi bazy, z ktÓrych co najmniej jedna
para jest ąjednoczona np. a: b , c, d posiada tę własność,
żepęk prostych o wierzchołku M
Ież,ącymna prostej a : b (rÓżnym od punktu sĘczności : a : b) sĘka się ze stoi!łowymi
pflsma w punktach wspÓłliniowych; prosta łqczqcatakie punkty stycznościprzechodzi przez
punkt przecięcia się pozostałejpary prosĘch bazy: C: c n d.,'.........
(4)
Własnośctę dla bardzo szczegolnegopasma stozkowych,pasma o wspolnym wierzchołkui
ognisku ujawniłProf S. Szersze za pomocąperspektografude la Fresnaye'ai opublikowałw
pracy(1).
Sformufujmyjeszcze wersję dwoistą.TfumaczącdualnieomÓwione konstrukcje otrzy.
mujemynastępującąwłasnośc
pęku stozkowych:
,,Pęk stożkowychokreśIonytaką cnpÓrką punkthv A, B, C, D, w ktÓrej co najmniej jedna
par& jest 4jednoc1ona np. A : B posiada tę własność,
ze dowolna prosta pr7,echod1ąca
przez A_ B (rÓż,naodstycznej łvpunkcie A: B) jestpodstawątakiegoszeregupunktÓtu,
w ktÓrych styczne do stozkowych pęku t|yorząpęk prostych; środektego Pęku leży na prostej
wyznaczonejPrzez pozostałqparę punktÓlv bazy:punkty C i D. ,,.........,.
(5)
Jako przy|<ład
wykorzystaniawtasności
5 rozwiązemynastępujące:
Zad. l ' Dany jest pęk stozkowych określony
punktami A, B, C, D oraz dowolna prosta e nle
przechod ząca przez Żadenz punktow podstawowych. ZałoŻeruadobrane są w ten
sposob,Że A: B i Że istniejeokrąg al będącyelementemromvażanego
pęku Nale.
Ży wyznaczyc dwie stozkowe pęku przechodzącestyczniedo prostej e orv odnośne
punkty stycznoŚci.
Rozwiązanie:
1) Skonstruujmy punkt wspÓlny
CDn e:R.Punkt Rzinterpretujmy jako środek pęku
tych stycznych, ktore na prostej przechodzącejprzez A : B
wycinają szereg punktow
styczności(wł 5)
f) Z punktu R poprowadźmy
styczne do okręgu (0. Niech
będąto proste tn styczne do
okręgu w punklach TLz ,
3) Wyznaczmy proste ATt i AT2
Kuida z tych prostych jest
podstawą Szeregu punktow
rys.2
styczności stycznych, ktore
-25
przeclnająsię ri. punkcie R (wł 5),
4) Punt.ty wspolne AT, n e i AT, r) e są punktami
styczności
prostej e do dwÓch stozko.
lvych PQku określone-*o
puŃtami podstawowymi A, B, C, D .
,,
Jest przr' tym widoczn e, Że w przypadku kiedy
prosta p,zecinaodcinek CD nieistniejąroz-
#rffjJfi:ilł?nio''
' punktu
wewnętrznego
okręgu
niesposob
skonstruowac
i,""ry-
Przedstawione roau,iązaniew praktyce zawężone
jest do bardzo szczegolnych położen
złtiązanychz posrulatemistnieniaokręgu
i,'ynaleznego do czworki punktow A: B, C, D'
Znaczrue jednak szerszą grupę zadan *oznu
romvięic za pomocą własności(5) Iub (a)
w
prrypadku gdy nie jedna lecz dwie pary
elementow buy ulegają zjed-noczeniu, w przypadku
d.
p a s m aa = b i c : r / l u b \ \ . p r z y p a d k u p ę k u
A:B i C=D '
Rozwazmy dwa przykładv:
zad' 2' Pasmo stozkow}'chdanejest dwiema
paramizjednoczonychstycznych a: b i c:
d.
Niech prz1'tym a l/
Wyznaczyć punkty, w ktorych .t*,,y*ymi pasma
stykają
".
się promienie pęk-uprostyctr
(M) o środkuM dowolnie obranym na a :
b.
Rozwią.zanie(rys. 3)
ZauwaŻmy,Że AC ( gdzie A _
a
r
)
bi C:cr)
\r
d)jestśrednicą
kazdej stozkowej pasma sprzęioną z
kierunkiem a l/" . IeŻęIi skonstru.
ujemyprostą t l l aC, t a M- moze.
my wskazac jej puŃt stycznoścido
jednejze stozkowych pasma - jest
nim
punkt T=tr)I,gdzie / jestprostą
przechodzącą przez środek odcinka
AC rownolegledo a = b
Łącząc Tz punktem C oftn1mujemy
realizującą własnośc(4) prostą q
M
o
7 Punkty przecięciaprostą CT
prostych pęku (Ę stanowią ronłviąrys.3
zarue zadania.
W p.zypadku ogolniej srych załozerqtj' dla a1ł c konstru\"ju się komplikuje
bardzo rueznaczHie.
Wow czas bowiem prostaAC jest nie średnicąstozkowych pasmu
ul. ,jedynie,,ich biegunowąwzględem punłtu
o=an
c. Wystarczywowczaspoprowadzićpro,ti
l łączącąpunktoześrodkiemodcinka
AC by w dalszym ci u powtorzyć konstruk"ję
popi."dniego zadarua.Prosta ^ ll AC oraz
, .C
/ ustalająpunł.t T, ktory zrantowany
zpunktu
wyznacza prostą wycin ającąnapęku
punkty sĘcznościkolejnychstozkowych
M
pasma.
Konstrukcja zbudowana na rozw ażaruach
nie pasma |ecz pęku jest w tym przypadku
rÓwnow ażnach o c nieco inacze1interpretowana.
a
\4o=,
Zad.3. Niech danr'będzie pęk stozkowych
o bazie zawierającej czterypunkty z zatoŻerriem
A:B
i C: D .Wyznaczyc proste stycznedo
stozkowychpęku w dowolnie obra-
-26 -
nych punktach szeregu(m) ktorego podstawaprzechodziprzez punkt podwojny buy
np. A:8 .
Rozwią.zanie(rys. 4).
Prosta
tącząca punkt
:
AB n CD o ze Środkiem odcin.
ka AC zawiera takie punkty stozkowych pęku, w ktorych styczne do
stozkowych mają kierunek AC.
Skoro więc znajdziemy T = I r) m
mozemy skonstruowac w tym
punkcie prostą t na|eŻącąd9 pęku
/ł
stycznych (własnoŚc 5). Srodek
pęku jest punlłtem Q _ t n CD.
Ąl
\ź
Dla poszczegolnych punktow szeregu (m) styczne są promieniami
pęku o środku O
jeszcze nxrocić
Warto
uwagę na fakt, Że pomimo prostoty konstrukcji jaką w tych szczego|nych warunkach oferuje mvyczajne
rys4
zastosowanie twier dzeruaBri anchona - przedstawionepropozycje wykorzystaniawłasnoŚci(4) pozwalająna jeszcze dalej idące
uproszczenia graftczne.Dla roznych n prostych,jak pokazanona ryS. 5 i 6 istniejemozliwośc
,,zaoszczędzenia',n - 2 linii konstrukcyjnych.Jezeli prostete tworzą pęk o Środku lezącymna
a: b|ub c: d oszczędnośc
ta wzrastado wartości3(n - |. Prostotakonstrukcjiponlta|ana
pominięcie szęzegołowychobjaśnien
materiafuilustracyjnego(rys 5 i 6).
odnośnego
.1r
c-- d
\
/ xt,
\
r(.
-.t'\
DI
-G
c
ft
.3,łł
)
e2
rys.5
- 2 7-
et
I
I
rys.6
LITERATURA:
''Niektorewłasności
ognisk stozko}Vychujawnioneza pomocą perspekto[1] S. Szerszen:
grafu deLa Freshaye'a", Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematyczneso - seria:Prace matematvczneI.2. 1955
A COMPLEMENTARY
CONSTRUCTION OF PENCILS AND STREAKS
OF COMCS
A special case of pencils and streaksof conics is considered.In this case, if the centre
of pencil of lines (or the base of points range)belongsto the double basis element,the points
of tangency of particular rays of the pencil (or the tangentspassingthrough particular points of
range) lie on one straight line (passingthrough one point).
In the paper the examplesof using the above mentionedpropertiesto complementthe
conics of a pencil, or of a streak,are presented.
-28
I
t
'ł