Jakich użyć zaklęć ? czyli do czego możemy się przydać tym

Jakich użyć zaklęć ?
czyli
do czego możemy się przydać
tym najzdolniejszym
moim zdaniem
zdolności nie ma
a to, co nazywamy tym słowem, to
umiejętność skupienia się na jakiejś czynności przez dłuższy czas,
o ile my tę czynność uważamy za chwalebną
(pominę przykłady tych innych czynności).
podobnie uważam, że
to, jacy jesteśmy,
dziedziczymy co najwyżej w połowie
genetycznie po rodzicach
– drugą połowę nas
dziedziczymy intelektualnie po nauczycielach.
Gdy więc chcemy wzmocnić intelektualnymi genami, int-genami,
naszych uczniów
– zwłaszcza tych bardziej wyposażonych –
wypada rozważyć, jak zrobić to skutecznie
i o jakie int-geny chodzi.
Podsunięcie atrakcyjnego tematu badań
Pewnie,
ale tu się nie spracujemy, bo propozycja tematu jest atrakcyjna
jedynie wtedy, gdy sami się tym tematem pasjonujemy.
W wykonaniu Waldka Pompego temat będzie naprawdę atrakcyjny, gdy będzie
geometryczny, w wykonaniu Edmunda Puczyłowskiego – gdy będzie
algebraiczny, w wykonaniu Wojtka Guzickiego – gdy będzie kombinatoryczny,
w wykonaniu Łukasza Rajkowskiego – gdy będzie probabilistyczny, itd.
Może Michał Wojciechowski jest tutaj realnym omnibusem.
Nie proponujmy więc rzeczy, które specjalnie w tym celu
wyszukaliśmy, a już zwłaszcza nie namawiajmy do przerabiania
pierwszych czy dalszych lat studiów.
Sztuczna inseminacja int-genami jest nieskuteczna.
Dobre rady podczas badań
W żadnym razie!
Toż przecież główną siłą młodego twórcy jest brak rutyny
– a od nas może się nią zarazić!
On nie wie, jak się to robi, więc może zrobić więcej od nas,
którzy wiemy.
Może więc pomoc w zredagowaniu wyników?
Zdecydowanie tak!
Bo większość pracy matematyka polega na poszukiwaniu
lepszego zredagowania, a tym samym lepszego zrozumienia
tego, co osiągnęli poprzednicy.
Zobaczmy liczby zespolone Cardana
i liczby zespolone Hamiltona,
albo rachunek różniczkowy Newtona i Weierstrassa,
albo zdarzenie losowe Bernoulliego i Kołmogorowa.
Chcę przedstawić przykłady szkolne, jak daleko leży
dojrzała postać wyniku, od jego pierwszego dostrzeżenia
na przykładzie wziętym ze Steinhausa
i na przykładzie moich uczniów z liceum (1969).
100 zadań Steinhausa
Dla dorosłych 44 zadanie to polecenie policzenia, ile jest
nieprzystających cykli Hamiltona na wielościanie foremnym.
Po ludzku: wędrujemy po krawędziach wielościanu tak, by
odwiedzić dokładnie raz każdy wierzchołek
i wrócić do miejsca startu.
Ile różnych łamanych przestrzennych powstanie w ten sposób?
100 zadań Steinhausa
Dla dorosłych 44 zadanie to polecenie policzenia, ile jest
nieprzystających cykli Hamiltona na wielościanie foremnym.
Po ludzku: wędrujemy po krawędziach wielościanu tak, by
odwiedzić dokładnie raz każdy wierzchołek
i wrócić do miejsca startu.
Ile różnych łamanych przestrzennych powstanie w ten sposób?
Na czworościanie jest jedna taka droga – to oczywiste.
Podobnie na sześcianie.
A na ośmiościanie trzy.
100 zadań Steinhausa
Dla dorosłych 44 zadanie to polecenie policzenia, ile jest
nieprzystających cykli Hamiltona na wielościanie foremnym.
Po ludzku: wędrujemy po krawędziach wielościanu tak, by
odwiedzić dokładnie raz każdy wierzchołek
i wrócić do miejsca startu.
Ile różnych łamanych przestrzennych powstanie w ten sposób?
Na czworościanie jest jedna taka droga – to oczywiste.
Podobnie na sześcianie.
A na ośmiościanie trzy. Czy to też oczywiste?
Znaleźć można “na wyczucie”, ale jak wykazać, że więcej nie ma?
I jak poradzić sobie z dwunasto- i dwudziestościanem?
Ile tam jest takich dróg?
100 zadań Steinhausa
Dla dorosłych 44 zadanie to polecenie policzenia, ile jest
nieprzystających cykli Hamiltona na wielościanie foremnym.
Po ludzku: wędrujemy po krawędziach wielościanu tak, by
odwiedzić dokładnie raz każdy wierzchołek
i wrócić do miejsca startu.
Ile różnych łamanych przestrzennych powstanie w ten sposób?
Na czworościanie jest jedna taka droga – to oczywiste.
Podobnie na sześcianie.
A na ośmiościanie trzy. Czy to też oczywiste?
Znaleźć można “na wyczucie”, ale jak wykazać, że więcej nie ma?
I jak poradzić sobie z dwunasto- i dwudziestościanem?
Ile tam jest takich dróg?
Droga wiedzie przez obserwację niedługich cyklicznych ciągów
zbudowanych z dwóch, trzech lub czterech liter.
wynik uczniów
Rok 1969, druga klasa liceum (dziś byłaby pierwsza).
Uczniowie: Jerzy Zabilski, matematyk (dziś nie żyje)
Wiesław Mielniczuk, fizyk (dziś w FermiLabie)
Zadanie w klasie: wykazać, że dowolną izometrię płaszczyzny
można uzyskać ze złożenia symetrii względem prostych należących
do jednego pęku właściwego oraz jednego pęku niewłaściwego.
wynik uczniów
Rok 1969, druga klasa liceum (dziś byłaby pierwsza).
Uczniowie: Jerzy Zabilski, matematyk (dziś nie żyje)
Wiesław Mielniczuk, fizyk (dziś w FermiLabie)
Zadanie w klasie: wykazać, że dowolną izometrię płaszczyzny
można uzyskać ze złożenia symetrii względem prostych należących
do jednego pęku właściwego oraz jednego pęku niewłaściwego.
Zadanie domowe: wykazać, że dowolną izometrię płaszczyzny
można uzyskać ze złożenia symetrii względem prostych należących
do jednego pęku właściwego plus jedna prosta spoza tego pęku.
wynik uczniów
Rok 1969, druga klasa liceum (dziś byłaby pierwsza).
Uczniowie: Jerzy Zabilski, matematyk (dziś nie żyje)
Wiesław Mielniczuk, fizyk (dziś w FermiLabie)
Zadanie w klasie: wykazać, że dowolną izometrię płaszczyzny
można uzyskać ze złożenia symetrii względem prostych należących
do jednego pęku właściwego oraz jednego pęku niewłaściwego.
Zadanie domowe: wykazać, że dowolną izometrię płaszczyzny
można uzyskać ze złożenia symetrii względem prostych należących
do jednego pęku właściwego plus jedna prosta spoza tego pęku.
Czworo uczniów odpowiedziało twierdząco. Wobec tego pytanie
dodatkowe: jaki jest rząd generowania w I i II przypadku?
Wynik: 4 i ∞; publikacja z rekomendacji
profesora Stefana Straszewicza (WM XIII(1971), pp. 37-41)
wynik uczniów
Wystarczą proste z [A] ∪ {a}, gdzie a 6∈ [A]
Ponieważ izometria mająca punkt stały to obrót względem tego
punktu lub symetria względem prostej przechodzącej przez ten
punkt, wystarczy wykazać,
że dowolny punkt P
można nałożyć na A.
Przypadek 1.
|P A| ¬ 4 dist(aA)
wynik uczniów
Wystarczą proste z [A] ∪ {a}, gdzie a 6∈ [A]
Ponieważ izometria mająca punkt stały to obrót względem tego
punktu lub symetria względem prostej przechodzącej przez ten
punkt, wystarczy wykazać,
że dowolny punkt P
można nałożyć na A.
Przypadek 2.
|P A| ­ 4 dist(aA)
sprowadza się
do przypadku 1:
P ′ A = P A′ =
= P A − 2 dist(aA) =
= P A − 2 dist(aA).
wynik uczniów
Rząd generowania dla prostych z [A] ∪ {a}, gdzie a 6∈ [A]
Symetrie względem prostych z [A] nie przybliżają punktów do A,
symetria zaś względem a przybliża punkty
nie więcej niż o 2 dist(aA):
P A − P ′ A = P A − P A′ ≤ AA′ ,
a więc rząd jest nieskończony.
wynik uczniów
Rząd generowania dla prostych z [A] ∪ [a] jest równy 4
Dowód ma charakter raczej algebraiczny.
Potrzebne są dwa lematy:
∀ A, m, n ∃ k, l (Sm Sn = Sl Sk ∧ k ∈ [A]),
który jest oczywisty, i
∀ A, a, l ∃ m, n (Sl = Sm Sn Sm ∧
∧m ∈ [A] ∧ n ∈ [a]).
wynik uczniów
Rząd generowania dla prostych z [A] ∪ [a] jest równy 4
(1) ∀ A, m, n ∃ k, l (Sm Sn = Sl Sk ∧ k ∈ [A])
(2) ∀ A, a, l ∃ m, n (Sl = Sm Sn Sm ∧ m ∈ [A] ∧ n ∈ [a])
Dowolna izometria ϕ jest złożeniem dwóch lub trzech symetrii
osiowych, co rozpatrujemy kolejno.
ϕ = Sv Su = Sl Sk =
(na mocy (1) k ∈ [A])
= Sm Sn Sm Sk
(na mocy (2) m ∈ [A] ∧ n ∈ [a])
wynik uczniów
Rząd generowania dla prostych z [A] ∪ [a] jest równy 4
(1) ∀ A, m, n ∃ k, l (Sm Sn = Sl Sk ∧ k ∈ [A])
(2) ∀ A, a, l ∃ m, n (Sl = Sm Sn Sm ∧ m ∈ [A] ∧ n ∈ [a])
Dowolna izometria ϕ jest złożeniem dwóch lub trzech symetrii
osiowych, co rozpatrujemy kolejno.
ϕ = Sv Su = Sl Sk =
(na mocy (1) k ∈ [A])
= Sm Sn Sm Sk
(na mocy (2) m ∈ [A] ∧ n ∈ [a])
ϕ = Sw Sv Su = Sw Sp Sq =
(na mocy (1) q ∈ [A])
= Sl St Sq =
(na mocy (1) t ∈ [A])
= Sm Sn Sm St Sq =
(na mocy (2) m ∈ [A] ∧ n ∈ [a])
= Sm Sn Sr ,
ostatnia równość bierze się stąd, że q, t, m są współpękowe.
A zatem
Uczeń zainteresuje się naszymi zainteresowaniami
wszelkie inne usiłowania wbryknięcia go w samodzielnie
uprawianą matematykę są bezowocne.
Za żadne skarby nie wtrącajmy się do jego pracy twórczej
możemy jedynie przeszkodzić lub wepchnąć w rutynę.
Pomagajmy za to uzyskane rezultaty
przedstawić w sposób dojrzały.