pobierz/otwórz
Transkrypt
pobierz/otwórz
VIII Powiatowa Olimpiada Matematyczna Klasa III Liceum Czas trwania: 90 minut 27 luty 2012r. W zadaniach testowych tylko jedna odpowiedź jest poprawna! Zadanie 1 (1pkt) Okrąg o równaniu x2 + y2 – 4x + 8y + 11 = 0: A. Jest współśrodkowy z okręgiem (x + 2)2 + (y – 4)2 = 1 B. Jest styczny do okręgu (x – 6)2 + (y + 1)2 = 4 C. Ma promień dwa razy dłuższy od promienia okręgu x2 + y2 -2x + 8y – 8 = 0 D. Przecina prostą y = - 2x w punkcie, którego odległość od początku układu współrzędnych równa się √ Zadanie 2 (1pkt) Rozwiązania równania x3 – 2x2 + px + 3 = 0 z niewiadomą x: A. B. C. D. są wymierne dla dowolnej liczby całkowitej p istnieją tylko dla p = 0 są całkowite tylko dla czterech różnych całkowitych wartości p są niewymierne dla p = -3/2 Zadanie 3 (1pkt) Funkcja y = x2 + 4x + √ A. B. C. D. przyporządkowuje każdej liczbie: niewymiernej liczbę wymierną wymiernej liczbę niewymierną wymiernej liczbę wymierną niewymiernej liczbę niewymierną Zadanie 4 (3pkt) Wykaż, że jeżeli x, y, z są długościami boków trójkąta, to: √ √ Zadanie 5 (3pkt) Boki trójkąta A1B1C1 są styczne do okręgu w punktach A, B, C, a kąty trójkąta ABC są odpowiednio równe α, β, γ. Oblicz miary kątów trójka A1B1C1. Zadanie 6 (6pkt) W stożek o wysokości H = 9 i objętości V = 108π wpisano walec, którego wysokość jest równa długości promienia podstawy stożka. a) Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej walca. b) Jaki procent objętości stożka stanowi objętość walca? Zadanie 7 (3pkt) Znajdź wszystkie funkcje, dla których zachodzi równość: xf(x) – f(1 – x) = 2 Zadanie 8 (3pkt) Pokazać, że dla każdej liczby całkowitej n liczba n5 – n jest podzielna przez 5. Zadanie 9 (3pkt) Dla pewnej liczby całkowitej dodatniej n wartość wyrażenia: n 3 – n + 15 jest równa 21. Wyznacz tę liczbę. Zadanie 10 (5pkt) Podaj interpretację geometryczną zbioru A∩B, jeśli: A = {xєR, yєR: |x|=|y|-x} B = {xєR, yєR: |x|+|y|≤2}. Rozwiązania: 1. B 2. C 3. B 4. Założenie np. x ≤ y ≤ z (bez utraty ogólności) Zastosowanie warunku trójkąta (1pkt) Rozwiązanie zadania na podstawie szacowania (2pkt) 5. Wykonanie rysunku pomocniczego i wprowadzenie oznaczeń (1pkt) Zastosowanie twierdzenia o stycznej i siecznej (1pkt) Obliczanie miar kątów trójkąta i podanie odpowiedzi (1pkt) Odp: A1=180∘- α, B1=180∘- β, C1=180∘- γ 6. a) V=24π, Pc=32π (4pkt) b) (2pkt) 7. podstawienie za argument wyrażenia 1-x (1pkt) Zapisanie obu równań: xf(x)-f(1-x)=2 i (1-x)f(1-x)-f(x)=2 oraz odjęcie ich stronami (1pkt) Wyznaczenie wzoru funkcji f (1pkt) 8 Zapisanie podanego wyrażenia np. w postaci: (n - 1)n(n + 1)(n - 2)(n + 2) + 5n(n - 1)(n + 1) (2pkt) Wyciągnięcie wniosków i podanie odpowiedzi (1pkt) 9. Zapisanie odpowiedniego równania (1pkt) Rozwiązanie równania i podanie odpowiedzi (2pkt) n=2 10. Rozwiązanie zbioru A (2pkt) Rozwiązanie zbioru B (2pkt) Podanie odpowiedzi (1pkt)