Wykład 7

Stabilność otwartych i zamkniȩtych
nieliniowych ukÃladów sterowania
z czasem dyskretnym
W teorii stabilności ukÃladów sterowania z czasem dyskretnym badamy
wrażliwość dyskretnej trajektorii stanu na zaburzenia stanu pocza̧tkowego.
(x(k + 1) = f (x(k), u(k), k), k = k0 , k0 + 1, k0 + 2, ... x(k0 ) = x0 ) ⇒
(x(k + 1) = f (x(k), u(k), k), k = k0 , k0 + 1, k0 + 2, ... x(k0 ) = x0 + δx0 ).
Niech x̆(k) bȩdzie wyróżniona̧ dyskretna̧ trajektoria̧ stanu zwia̧zana̧ z wyróżnionym
stanem pocza̧tkowym x̆0 i z wyróżnionym sterowaniem ŭ(k). SpeÃlnia ona
równanie stanu
x̆(k) = f (x̆(k), ŭ(k), k), k = k0 , k0 + 1, k0 + 2, ... x̆(k0 ) = x̆0
Jak zmieni siȩ przebieg wyróżnionej dyskretnej trajektorii stanu, jeśli nasta̧pi
zaburzenie wyróżnionego stanu pocza̧tkowego ?
Analizȩ warunków stabilności ukÃladów sterowania z czasem dyskretnym
można sprowadzić do badania stabilności tzw. zerowego punktu równowagi
zredukowanego ukÃladu sterowania określonego za pomoca̧ przeksztaÃlcenia
(x̃(k) = x(k) − x̆(k)) ⇒ (x(k) = x̃(k) + x̆(k)).
Równanie stanu wzglȩdem nowych wspóÃlrzȩdnych stanu przybierze postać
x̃(k + 1) + x̆(k + 1) = f (x̃(k) + x̆(k), ŭ(k), k),
czyli
x̃(k + 1) = f (x̃(k) + x̆(k), ŭ(k), k) − f (x̆(k), ŭ(k), k).
Definiuja̧c prawa̧ stronȩ przeksztaÃlconego równania stanu jako
f˜(x̃(k), t) = f (x̃(k) + x̆(k), ŭ(k), k) − f (x̆(k), ŭ(k), k)
możemy zapisać to równanie w postaci
x̃(k + 1) = f˜(x̃(k), k).
1
Rozwia̧zanie zerowe x̃(k) = 0 ostatniego równania jest równoważne z wyróżnionym
rozwia̧zaniem x̆(k) równania pierwotnego. Rozwia̧zanie to jest punktem równowagi
ukÃladu przeksztaÃlconego, gdyż
f˜(0, k) = f (0 + x̆(k), ŭ(k), k) − f (x̆(k), ŭ(k), k) = 0.
Tak wiȩc badanie stabilności dowolnej wyróżnionej dyskretnej trajektorii
stanu ukÃladu sterowania można sprowadzić do badania zerowego punktu równowagi
zredukowanego ukÃladu sterowania z czasem dyskretnym.
• Definicja stabilności asymptotycznej dyskretnego ukÃladu sterowania w obszarze: Punkt równowagi xr = 0 zredukowanego ukÃladu sterowania
z czasem dyskretnym nazywa siȩ punktem asymptotycznie stabilnym w obszarze D obejmuja̧cym ten punkt, jeżeli zachodzi implikacja
¡
¢
x(k0 ) ∈ D ⇒ ( lim ||x(k)|| = 0),
k→∞
. P
gdzie ||x|| = ( ni=1 |xi |2 )1/2 .
• Definicja globalnej stabilności asymptotycznej dyskretnego ukÃladu
sterowania: Punkt równowagi xr = 0 zredukowanego ukÃladu sterowania z
czsem dyskretnym nazywa siȩ punktem globalnie asymptotycznie stabilnym,
jeżeli D = Rn .
• Definicja lokalnej stabilności asymptotycznej dyskretnego ukÃladu
sterowania: Punkt równowagi xr = 0 zredukowanego ukÃladu sterowania
nazywa siȩ punktem lokalnie asymptotycznie stabilnym, jeżeli D jest zbiorem
ograniczonym (jeżeli D leży w kuli o promieniu ρ).
• Definicja funkcji Lapunowa dyskretnego ukÃladu sterowania: Skalarna
funkcja V (x, k) wektora stanu x i czasu dyskretnego k, cia̧gÃla wraz z pierwszymi pochodnymi cza̧stkowymi wzglȩdem zmiennych stanu, nazywa siȩ funkcja̧
Lapunowa w obszarze D obejmuja̧cym zerowy punkt równowagi, jeżeli speÃlnia
ona nastȩpuja̧ce warumki:
(1) funkcja ta jest dodatnio określona w obszarze D tj. V (x, k) > 0 dla
x ∈ D, x 6= 0 oraz V (0, k) = 0,
(2) różnica pierwszego rzȩdu tej funkcji wzglȩdem czasu dyskretnego wzdÃluż
dyskretnej trajektorii stanu ukÃladu jest ujemnie określona (ujemnie póÃlokreślona)
w tym obszarze tj. ∆V (x(k), k) = V (x(k+1), k+1)−V (x(k), k) = V (f (x(k), k+
1)) − V (x(k), k) < 0 dla x(k) 6= 0 i ∆V (0, k) = 0,
2
(3) w przypadku nieograniczonego obszaru D = Rn funkcja ta speÃlnia
warunek promieniowej nieograniczoności lim||x||→+∞ V (x, k) = +∞.
• Definicja antyfunkcji Lapunowa dyskretnego ukÃladu sterowania:
Skalarna funkcja V (x, k) wektora stanu x i czasu dyskretnego k, cia̧gÃla wraz z
pierwszymi pochodnymi cza̧stkowymi wzglȩdem zmiennych stanu, nazywa siȩ
funkcja̧ Lapunowa w obszarze D obejmuja̧cym zerowy punkt równowagi, jeżeli
speÃlnia ona nastȩpuja̧ce warumki:
(1) funkcja ta jest dodatnio określona w obszarze D,
(2) różnica pierwszego rzȩdu tej funkcji wzglȩdem czasu dyskretnego wzdÃluż
dyskretnej trajektorii stanu ukÃladu jest również dodatnio określona w tym
obszarze tj. ∆V (x(k), k) = V (x(k + 1), k + 1) − V (x(k), k) = V (f (x(k), k +
1)) − V (x(k), k) > 0 dla x(k) 6= 0 i ∆V (0, k) = 0,
(3) w przypadku nieograniczonego obszaru D = Rn funkcja ta speÃlnia
warunek promieniowej nieograniczoności lim||x||→+∞ V (x, k) = +∞.
Twierdzenie Lapunowa o stabilności nieliniowych ukÃladów sterowania z czasem dyskretnym: Punkt równowagi xr = 0 nieliniowego ukÃladu
sterowania z czasem dyskretnym jest stabilny lokalnie asymptotycznie w obszarze D obejmuja̧cym zerowy punkt równowagi, jeżeli w tym obszarze do
rozważanego ukÃladu sterowania można dobrać funkcjȩ Lapunowa. Jeżeli pierwsza różnica funkcji V (x, k) jest funkcja̧ ujemnie póÃlokreślona̧ w obszarze D, to
ukÃlad dyskretny jest lokalnie stabilny, lecz niekoniecznie asymptotycznie stabilny. Jeżeli natomiast funkcja Lapunowa jest określona w nieograniczonym
obszarze D = Rn , to ukÃlad jest stabilny globalnie asymptotycznie.
PrzykÃlad: Zredukowany dyskretny ukÃlad sterowania jest opisywany za pomoca̧ równań stanu
x1 (k + 1) = 0.5x2 (k), x2 (k + 1) = −0.5x21 (k), k = 0, 1, 2, ....
ZakÃladamy funkcjȩ Lapunowa ukÃladu dyskretnego w postaci formy kwadratowej
.
V (x(k)) = x21 (k) + x22 (k).
Obliczamy różnicȩ pierwszego rzȩdu funkcji V :
3
∆V (x(k)) = V (x(k + 1)) − V (x(k)) = x21 (k + 1) + x22 (k + 1) − x21 (k) − x22 (k)
= 0.25x22 (k) + 0.25x41 (k) − x21 (k) − x22 (k) = −x21 (k)(1 − 0.25x21 (k) − 0.75x22 (k)
.
Tak wiȩc ∆V (x(k)) < 0 dla |x1 (0)| < 2. Oznacza to, że zerowy punkt
równowagi zredukowanego dyskretnego ukÃladu sterowania jest stabilny lokalnie
asymptotycznie.
Twierdzenie Lapunowa o niestabilności nieliniowych ukÃladów sterowania z czasem dyskretnym: Punkt równowagi xr = 0 nieliniowego ukÃladu
sterowania z czasem dyskretnym jest niestabilny w obszarze D obejmuja̧cym
ten punkt, jeżeli w tym obszarze do rozważanego ukÃladu sterowania można
dobrać antyfunkcjȩ Lapunowa. Oznacza to, że zaburzona trajektoria stanu
wykroczy poza obszar D. Jeżeli natomiast antyfunkcja Lapunowa jest określona
w nieograniczonym obszarze D = Rn , to ukÃlad jest niestabilny globalnie tj.
zaburzona trajektoria stanu nieograniczenie oddala siȩ od punktu równowagi.
Zastosowanie metody funkcji Lapunowa do badania
stabilności liniowych stacjonarnych dyskretnych ukÃladów
sterowania
Z liniowym dyskretnym ukÃladem sterowania opisywanym za
pomoca̧ równania stanu x(k + 1) = Ax(k) wia̧żemy funkcjȩ Lapunowa postaci V (x(k)) = xT M x, gdzie M jest macierza̧ dodatnio określona̧. Różnica pierwszego rzȩdu funkcji V przybiera
postać
∆V (x(k)) = −xT (k)N x(k), −N = AT M A − M.
Jeśli istnieja̧ macierze dodatnio określone M i N speÃlniaja̧ce ostatnie równanie, to dyskretny ukÃlad liniowy jest stabilny globalnie
asymptotycznie.
PrzykÃlad: Niech macierz stanu liniowego ukÃladu dyskretnego
4
ma postać
A=
Ã
0
1
!
0 −0.5
i niech N = I. Rozwia̧zujemy równanie AT M A − M = −I tj.
Ã
!Ã
!Ã
! Ã
! Ã
!
0 0
m1 m2
0 1
m1 m2
−1 0
−
=
1 −0.5
m2 m3
0 −0.5
m2 m3
0 −1
Sta̧d uzyskujemy m1 = 1, m2 = 0, m3 = 8/3, a wiȩc macierz
M jest dodatnio określona i badany liniowy ukÃlad dyskretny jest
stabilny globalnie asymptotycznie.
Twierdzenie: Jeżeli punkt równowagi xr = 0 liniowego dyskretnego ukÃladu sterowania jest asymptotycznie stabilny, to do każdej
macierzy N > 0 można dobrać macierz M > 0 speÃlniaja̧ca̧ równanie
−N = AT M A − M .
Dowód: Przewidujemy rozwia̧zanie w postaci
M=
∞
X
(AT )p N Ap .
p=0
Równanie
−N = AT M A − M
jest równoważne z równaniem
M = AT M A + N
. Jest to wiȩc równanie punktu staÃlego M = F (M ), gdzie
.
F (M ) = AT M A + N.
Określimy macierz M iteracyjnie
Mp+1 = AT Mp A + N, p = 0, 1, 2, ...; M0 = 0.
5
Ponieważ z uwagi na asymptotyczna̧ stabilność ukÃladu dyskretnego wartości wÃlasne macierzy A leża̧ wewna̧trz okrȩgu jednostkowego, wiȩc
||Mp+1 − Mp || = ||(AT )p N Ap || < 1
co oznacza, że metoda kolejnych przybliżeń jest zbieżna.
Powyższy wynik stanowi podstawȩ sformuÃlowania pośredniej
(pierwszej) metody Lapunowa dla ukÃladów dyskretnych:
Twierdzenie: Jeżeli aproksymacja liniowa dyskretnego ukÃladu
sterowania jest asymptotycznie stabilna, to dyskretny ukÃlad nieliniowy jest stabilny asymptotycznie lokalnie. Jeżeli aproksymacja
liniowa dyskretnego ukÃladu sterowania jest niestabilna, to dyskretny
ukÃlad nieliniowy jest niestabilny. Jeżeli zaś aproksymacja liniowa
ukÃladu dyskretnego jest stabilna lecz niekoniecznie asymptotycznie, to o stabilności nieliniowego ukÃladu dyskretnego nic nie
można wnioskować na podstawie badania stabilności jego liniowej
aproksymacji.
6