Projektowanie ukladów regulacji w dziedzinie czestotliwosci
Transkrypt
Projektowanie ukladów regulacji w dziedzinie czestotliwosci
Projektowanie układów regulacji w dziedzinie częstotliwości dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ Wprowadzenie Metody projektowania w dziedzinie częstotliwości mają wiele zalet: stabilność i wymagania jakościowe są prezentowane na tym samym wykresie można używać rzeczywistych pomiarów zamiast modelu w formie transmitancji projektowanie jest niezależne od rzędu układu regulatory dla układów z opóźnieniami mozna projektować bez większych trudności metody graficzne (analiza i synteza z użyciem odpowiednich diagramów) jest relatywnie łatwa Układ pierwszego rzędu Rozważmy system opisany transmitancją G(s) = a s+a Własności: Jeden biegun (s = −a) Pasmo przenoszenia ωBW = |a| Odpowiedź skokowa Y (s) = 1 1 1 a = − ss+a s s+a y(t) = (1 − e−at )1(t) Przykładowa transmitancja G(s) = 2 s+2 Bode Diagram Step Response −4 0.9 ω =2[rad/sec] 0.8 BW −6 0.7 −8 0.6 Amplitude Magnitude (dB) −2 −10 0 TR=0.5 sec 0.5 Phase (deg) 0.4 0.3 −45 0.2 0.1 −90 0 10 Frequency (rad/sec) 1 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Time (sec) 1.2 1.4 1.6 1.8 2 częstotliwość graniczna: przegięcie charakterystyk amplitudowej i fazowej stała czasowa: punkt przecięcia stycznej do odpowiedzi w punkcie zero z linią maksymalnego wzmocnienia Układ drugiego rzędu Rozważmy system opisany transmitancją G(s) = ωn2 s2 + 2ζωn s + ωn2 gdzie ζ - współ. tłumienia względnego ωn - pulsacja drgań własnych (nietłumionych) lokalizacja biegunów q s1,2 = −ζωn ± jωn 1 − ζ 2 dla ζ > 1 oba bieguny są rzeczywiste dla ζ = 1 oba bieguny są identyczne i rzeczywiste dla 0 < ζ < 1 bieguny są zespolone i sprzężone. Charakterystyki częstotliwościowe dla przykładowego systemu G(s) = s2 1 + 0.6s + 1 Bode Diagram 10 Magnitude (dB) 0 ωBW −10 −20 M R −30 0 Phase (deg) −45 −90 −135 −180 −1 10 0 10 Frequency (rad/sec) Własności układu pulsacja rezonansowa (dla ζ ¬ √1 ) 2 q ωR = ωn 1 − 2ζ 2 Moduł rezonansowy (dla ζ ¬ MR = √1 ) 2 1 2ζ 1 − ζ 2 p pasmo przenoszenia r ωBW = ωn (1 − 2ζ 2 ) + q 4ζ 4 − 4ζ 2 + 2 Dla 0 < ζ < 1 to 0.64ωn < ωBW < 1.55ωn . Dla ζ = √12 to ωBW = ωn . Odpowiedź skokowa dla systemu G(s) = 1 s2 + 0.6s + 1 MP - wartość (moduł) przeregulowania P OS = 100[(MP −y(∞))/y(∞)] TP - czas max. przeregulowania TS - czas regulacji TR - czas narastania Odpowiedź skokowa (dziedzina częstotliwości) 1 s + 2ζωn 1 Y (s) = G(s) = − s s (s + ζωn )2 + ωn2 (1 − ζ 2 ) Odpowiedź skokowa (dziedzina czasu) e−t/τ y(t) = 1 − p cos(ωd t − ϕd ), 1 − ζ2 gdzie |σ| = ζωn - tłumienie względne τ = 1/|σ| - stała czasowa p ωd = ωn 1 − ζ 2 - pulsacja tłumiona ϕ = sin−1 ζ t>0 Pasmo przenoszenia Zakres częstotliwości, dla których wzmocnienie układu zamkniętego nie spada poniżej = −3dB. Częstotliwość, dla której wzmocnienie spada o −3 dB nazywamy częstotliwością graniczną Korzystając z metod odpowiedzi częstotliwościowej oczekujemy określenia odpowiedzi układu zamkniętego na podstawie odpowiedzi układu otwartego. Na podstawie odpowiedzi układu 2-go rzędu, możemy przyjąć, iż częstotliwość graniczna odpowiada częstotliwości, dla której wzmocnienie układu otwartego jest pomiędzy −6 i −7.5dB (przyjmując, że przesuniecie fazowe dla tego wzmocnienia jest pomiędzy −135o i −225o ) Przykład Transmitancja układu zamkniętego Gcl = s2 1 + 0.5s + 1 Bode Diagram 20 Magnitude (dB) 0 −20 −40 −60 −80 0 ωBW=1.4[rad/sec] Phase (deg) −45 −90 −135 −180 −2 10 −1 10 0 10 Frequency (rad/sec) 1 10 2 10 Pasmo przenoszenia Przykład – cd dla ω < ωBW 1.5 dla ω > ωBW Wyjscie Wymuszenie 1.5 1 1 0.5 0.5 0 0 −0.5 −0.5 −1 −1 −1.5 50 Wyjscie Wymuszenie −1.5 60 70 80 90 100 90 92 94 96 98 100 Relacje ze współczynikiem tłumienia (ζ) i czasem ustalania(TS ) r ωBW = ωn (1 − 2ζ 2 ) + q 4ζ 4 − 4 ∗ ζ 2 + 2 4 Ts ζ ωn = 140 120 ωBW*TS 100 80 60 40 20 0 0 0.2 0.4 ζ 0.6 0.8 1 Relacje ze współczynikiem tłumienia (ζ) i czasem max. przeregulowania (TP ) r ωBW = ωn (1 − 2ζ 2 ) + ωn = Tp q 4ζ 4 − 4 ∗ ζ 2 + 2 π 1 − ζ2 p 7 6.5 ωBW*TP 6 5.5 5 4.5 4 0 0.2 0.4 ζ 0.6 0.8 1 Wpływ zmian położenia biegunów Dla danej transmitancji G(s) = X ωd2 + σ 2 ωn2 = s2 + 2ζωn s + ωn2 s2 + 2σs + ωd2 + σ 2 +jwd s1,2 = −ζωn ± jωn θ = cos−1 ζ -s ζ = cos θ wn X -jwd p 1 − ζ2 Wpływ zmian σ ωd = 1, σ = {0.5, 1, 1.5} Step Response Singular Values 1.4 2 σ=0.5 σ=1.0 σ=1.5 1.2 1.5 Singular Values (dB) 1 Amplitude σ=0.5 σ=1.0 1 0.8 0.6 σ=1.5 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 0.4 −2 0.2 −2.5 0 0 1 2 3 4 5 Time (sec) 6 7 8 9 10 −1 10 Frequency (rad/sec) 0 10 Wpływ zmian ωd σ = 1, ωd = {0.5, 2.5, 4.5} Step Response Singular Values 1.5 ωd=0.5 ωd=0.5 ωd=2.5 ωd=2.5 ωd=4.5 ωd=4.5 Singular Values (dB) 5 Amplitude 1 0.5 0 −5 −10 −15 0 0 1 2 3 4 5 Time (sec) 6 7 8 9 10 −1 10 0 10 Frequency (rad/sec) 1 10 Wpływ zmian ζ ωn = √ 2, θ = {30, 45, 60} Step Response 1 Singular Values θ=30 θ=30 θ=45 θ=60 2 θ=45 0 θ=60 −2 0.6 Singular Values (dB) Amplitude 0.8 0.4 −4 −6 −8 −10 0.2 −12 −14 0 1 2 3 4 Time (sec) 5 6 7 8 0 10 Frequency (rad/sec) Wpływ zmian ωn ζ= √1 , 2 √ ωn = { 2 2 , √ √ 2, 5 2} Step Response Singular Values 1.4 −5 1.2 −10 0.8 Singular Values (dB) Amplitude 1 ωn=0.707 ωn=1.41 0.6 ωn=7 0.4 ωn=1.41 ωn=7 −15 −20 −25 −30 0.2 0 ωn=0.707 −35 −40 0 1 2 3 4 5 Time (sec) 6 7 8 9 10 −1 10 0 10 Frequency (rad/sec) 1 10 Stabilność w dziedzinie częstotliwości Problem Czy badając transmitancję w otwartej pętli L(s) = K(s)G(s) możemy ustalić stabilność układu zamkniętego? Gcl = K(s)G(s) 1 + K(s)G(s) Uwagi: Łatwo rozwiązać powyższy problem korzystając z linii pierwiastkowych Jak znaleźć warunek w dziedzinie częstotliwości odpowiadający ulokowaniu wszystkich biegunów w lewej półpłaszczyźnie zespolonej? Zapas wzmocnienia i fazy Zapas wzmocnienia Zmiana wzmocnienia w układzie otwartym (K(s)G(s)) powodująca niestabilność układu zamkniętego. Układy z większym zapasem wzmocnienia są bardziej odporne na zmiany parametrów układu mogące spowodować niestabilność układu zamkniętego. Zapas fazy Zmiana fazy w układzie otwartym (K(s)G(s)) powodująca niestabilność układu zamkniętego. Zapas fazy określa tolerancję układu na opóźnienia. Opóźnienia większe niż 180/ωpc (ωpc - częstotliwość przy którym przesunięcie fazowe = 180o ) powodują niestabilność układu zamkniętego. Przykład K(s) = 50, G(s) = s3 + 1 + 30s + 40 9s2 Bode Diagram Gm = 13.3 dB (at 5.48 rad/sec) , Pm = 101 deg (at 1.85 rad/sec) 20 Magnitude (dB) 0 −20 −40 −60 −80 Phase (deg) −100 0 −90 −180 −270 −1 10 0 1 10 10 Frequency (rad/sec) 2 10 Zmieniając wzmocnienie układu (K(s) = 5000(100×)) nie musimy kreślić nowego wykresu Bodego, aby odczytać zapas fazy. Wystarczy na utworzonym już wykresie sprawdzić zapas fazy dla −40dB (40dB odpowiada wzmocnieniu 100 razy). Bode Diagram Gm = −26.7 dB (at 5.48 rad/sec) , Pm = −59.6 deg (at 16.9 rad/sec) Magnitude (dB) 50 0 Phase (deg) −50 0 −90 −180 −270 −1 10 0 1 10 10 Frequency (rad/sec) 2 10 Wskaźniki jakościowe Określanie wskaźników jakościowych układu zamkniętego: musimy zapewnić stabilność układu otwartego jeśli będziemy używać diagramów Bode’go. sprawdzamy czy ωgc < ωpc ) aby stwierdzić czy układ zamknięty będzie stabilny. dla układu 2-ego rzędu , współczynnik tłumienia (układu zamkniętego) jest w przybliżeniu równa PM/100 (jeśli PM= 0 ÷ 60o . dla układu 2-ego rzędu, istnieją zależności pomiędzy współczynikiem tłumienia, pasmem przenoszenia i czasem ustalania . w przybliżeniu możemy przyjąć że pasmo przenoszenia będzie równe częstotliwości drgań własnych. Układ regulacji ze sprzężeniem zwrotnym Definicje sygnałów r - sygnał referencyjny d - zakłócenia n - szum czujników z - regulowane wyjście y - mierzone wyjście Problem: Uzyskanie najmniejszego błędu regulacji (r − z) Wyjście układu Z(s) = K(s)G(s) 1 K(s)G(s) R(s)+ D(s) − N (s) 1+K(s)G(s) 1+K(s)G(s) 1+K(s)G(s) Definiując bład regulacji e = r − z otrzymujemy E(s) = 1 K(s)G(s) 1 R(s)− D(s) + N (s) 1+K(s)G(s) 1+K(s)G(s) 1+K(s)G(s) oraz U (s) = K(s) (R(s) − D(s) − N (s)) 1+K(s)G(s) Ograniczenia sterowania Można pokazać, że e = r − z = S(r − d) + T n gdzie S(s) = (1+G(s)K(s))−1 ; T (s) = 1−S(s) = (1+G(s)K(s))−1 G(s)K(s) Głowne cele sterowania Dobre śledzenie sygnału referencyjnego (dla niskich częstotliwości < ωBW ) |G(jω)K(jω)| 1 ⇔ |S(jω)| 1 or |T (jw)| ' 1 Dobre tłumienie zakłóceń (dla wysokich częstotliwości) |G(jω)K(jω)| 1 ⇔ |T (jω)| 1 Cele i ograniczenia regulacji (sterowania) Cel regulacji Zaprojektować regulator K tak aby błąd regulacji pozostawał mały. Oznacza to, że będziemy dążyć aby S i T były małe w tych zakresach częstotliwości gdzie spektrum sygnałów r i n są małe. Ograniczenia S + T = 1 (błąd e nie może być mały dla wszystkich czestotliwości) R∞ 0 log |S(jω)|dω = 0 - jakość sterowania (ang. performance) vs. odporność (ang. robustness) I Sygnał z musi śledzić r (ang. tracking). II Odporność na zmiany parametrów układu. III Tłumić wpływ zakłóceń (oraz niemodelowanej dynamiki) IV Tłumić wpływ szumu pomiarowego n Ms =kS(jω)k∞ 1 d =1 − Ms 1 P M ζ =2 sin−1 Ms 1 Ms GM = d Ms − 1 Czyli Ms < 2 ⇔ GM > 2 i P M > 30o