FIZYKA II A - zadania domowe seria IV Zadanie 1. Znaleźć

FIZYKA II A - zadania domowe seria IV
Zadanie 1.
Znaleźć pojemność bardzo długiego kondensatora walcowego o promieniu wewnętrznym R1 i
zewnętrznym R2 naładowanego ładunkiem Q. Długość walców wynosi L. Jaki wkład do
pojemności ma jednostka długości kondensatora.
Zadanie 2.
Wyznaczyć pojemność zastępczą (CAB) układu kondensatorów znajdujących się na krawędziach
sześcianu (por. rysunek).
B
A
Zadanie 3.
Wyznaczyć pojemność zastępczą (CAB) nieskończonego układu kondensatorów. Pokazanego na
rysunku.
A
B
Termin oddania: do 26 marca 2004r.
Zadanie 1.
Znaleźć pojemność bardzo długiego kondensatora walcowego o promieniu wewnętrznym R1 i
zewnętrznym R2 naładowanego ładunkiem Q. Długość walców wynosi L. Jaki wkład do
pojemności ma jednostka długości kondensatora.
R2
Założenia:
1) L jest bardzo duże w porównaniu z R2, więc efekty brzegowe
pomijamy.
2) Układ ma symetrię cylindryczną (współosiowe walce)
R1
Czyli:
L>>R2
E (r ) = E ( ρ ) ρ
Korzystając z prawa Gaussa dostajemy:
Q 1
E(ρ ) =
2πε 0 L ρ
Wyliczając różnicę potencjałów:
R2
∆V =
E( ρ ) =
R1
Q
2πε 0 L
ln
czyli :
C=
2πε 0 L
R
ln 2
R1
;
na jednostke dlugosci :
C 2πε 0
=
L
R
ln 2
R1
R2
;
R1
Zadanie 2.
Wyznaczyć pojemność zastępczą (CAB) układu kondensatorów znajdujących się na krawędziach
sześcianu (por. rysunek).
β
B
α
β
α
β
α
A
Rozwiązanie:
W punktach α i β potencjał jest taki sam można, więc połączyć te punkty i przerysować układ
następująco:
α
A
β
B
1
1
1
1
=
+
+
C AB 3C 6C 3C
C AB =
6
C
5
Zadanie 3.
Wyznaczyć pojemność zastępczą (CAB) nieskończonego układu kondensatorów. Pokazanego na
rysunku.
A
B
Rozwiązanie:
Podobnie jak na ćwiczeniach rozpatrujemy pojemność łańcucha n+1 oczek:
C AB = C n +1
A
C n +1 = C +
Cn
B
1
;
1 1
1
+ +
C C Cn
Dla n → ∞ C n +1 ≈ C n czyli :
Cn = C +
CnC
1
=C+
;
1 1
1
2C n + C
+ +
C C Cn
C n (C + 2C n ) = C (C + 2C n ) + CC n ;
2C n2 − 2CC n − C 2 = 0;
(
)
2C ± 4C 2 + 8C 2
C 1± 3
=
;
4
2
Dla C > 0 wybieramy rozwiazanie
C=
C=
(
)
C 1+ 3
;
2