Pierścienie

Logika i Teoria Mnogości
Wykład 9 – Pierścienie
1
Pierścienie
Def. 1. Algebrę (P, +P , ·P ) nazywamy pierścieniem, jeśli spełnione są warunki:
• (P, +P ) jest grupą przemienną,
• działanie ·P jest łączne,
• działanie ·P jest rozdzielne względem +P .
Jeśli działanie ·P jest przemienne, to P nazywamy pierścieniem przemiennym.
Jeżeli ·P posiada element neutralny, to nazywamy go jedynką, a P jest pierścieniem
z jedynką.
Przykłady pierścieni:
• (Z, +, ·), (Q, +, ·), (R, +, ·), (C, +, ·);
• (Zn , +n , ·n ) – pierścień klas reszt modulo n;
• (Mn , +, ·) – pierścień macierzy kwadratowych rzędu n z dodawaniem i mnożeniem
macierzy;
• (P X , +, ·) – pierścień funkcji f : X → P , gdzie X 6= ∅, P – pierścień;
• ({0}, +, ·) – pierścień zerowy (0 = 1).
Def. 2. Niech (P, +P , ·P ), (S, +S , ·S ) – pierścienie, wtedy zbiór P × S z działaniami:
(p1 , s1 ) + (p2 , s2 ) = (p1 +p p2 , s1 +s s2 ) oraz (p1 , s1 ) · (p2 , s2 ) = (p1 ·p p2 , s1 ·s s2 )
jest pierścieniem. Nazywamy go iloczynem prostym (sumą prostą) pierścieni P i S.
Def. 3. Niech (P, +P , ·P ) – pierścień. Element a 6= 0 pierścienia P nazywamy
dzielnikiem zera, jeśli istnieje element b 6= 0 taki, że a · b = 0.
Def. 4. Pierścień przemienny nie posiadający dzielników zera nazywamy pierścieniem
całkowitym lub dziedziną całkowitości.
Własności pierścieni
Stw. 1. Jeśli (P, +, ·) jest pierścieniem, to:
1. a · 0 = 0 · a = 0 ∀a ∈ P ;
2. (−a) · b = a · (−b) = −(a · b) ∀a, b ∈ P ;
3. (−a) · (−b) = a · b ∀a, b ∈ P ;
4. Jeżeli a 6= 0 nie jest dzielnikiem zera, to zachodzi prawo skracania dla a, czyli
∀ b, c ∈ P (a · b = a · c ⇒ b = c) ∧ (b · a = c · a ⇒ b = c);
5. Jeżeli a i b nie są dzielnikami zera w P , to a · b też nie jest dzielnikiem zera.
Logika i Teoria Mnogości
Wykład 9 – Pierścienie
2
Uwaga: Element m ∈ Zn nie jest dzielnikiem zera wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(m, n) = 1.
Wniosek: Jeżeli n jest liczbą pierwszą, to Zn jest pierścieniem całkowitym.
Uwaga: Jeżeli P 6= 0 jest pierścieniem z jedynką, to 1 nie jest dzielnikiem zera.
Def. 5. Niech (P, +, ·) – pierścień z jedynką. Mówimy, że element a 6= 0 pierścienia P
jest odwracalny w P , jeśli istnieje element b 6= 0 taki, że a · b = b · a = 1 i wtedy b
nazywamy odwrotnością a i stosujemy oznaczenie b = a−1 .
Uwaga: Jeżeli a ∈ P jest elementem odwracalnym, to a nie jest dzielnikiem zera.
Twierdzenie odwrotne nie zachodzi na przykład w pierścieniu (Z, +, ·).
Uwaga: Zbiór P ∗ składający się z elementów odwracalnych pierścienia P tworzy grupę
ze względu na mnożenie (P ∗ , ·), którą nazywamy grupą multiplikatywną pierścienia P .
Stw. 2. Jeżeli P jest skończonym pierścieniem przemiennym z jedynką, to element a 6= 0
jest odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest dzielnikiem zera.
Algorytm Euklidesa na znajdowanie NWD(k, n)
Aby wyznaczyć największy wspólny dzielnik liczb n i k, wykonujemy skończoną procedurę dzieleń z resztą.
Zakładamy, że n > k, wykonujemy kolejne kroki:












ri−1 ; 

y
x











αi ri−1 + ri ; 


r1 = n mod k;
r2 = k mod r1 ;
r3 = r1 mod r2 ;
..
.
n = α 1 k + r1 ;
k = α2 r1 + r2 ;
r1 = α3 r2 + r3 ;
..
.
ri = ri−2 mod
ri+1 = 0.
ri−2 =
Algorytm zatrzymuje się, gdy reszta ri+1 = 0 i wtedy NWD(k, n) = ri . Odwracając
algorytm można zapisać NWD(k, n) = αn + βk, czyli jako kombinację liniową n i k.
Przykład: Wyznaczyć odwrotność 13 w pierścieniu Z50 .
50 = 3 · 13 + 11
13 = 11 + 2
11 = 5 · 2 + 1
2=2·1+0
Z powyższych równości dostajemy:
1 = 11 − 5 · 2 = 11 − 5 · (13 − 11) = 6 · 11 − 5 · 13 = 6 · (50 − 3 · 13) − 5 · 13 = 6 · 50 − 23 · 13,
czyli 1 = 6 · 50 − 23 · 13, dalej redukując modulo 50 mamy ostatecznie w Z50
1 ≡ −23 · 13, więc 13−1 ≡ −23 ≡ 27 .
Logika i Teoria Mnogości
Wykład 9 – Pierścienie
3
Pierścienie wielomianów
Niech (P, +, ·) – pierścień przemienny. Wielomianem jednej zmiennej nad pierścieniem P nazywamy dowolny ciąg nieskończony f = (a0 , a1 , a2 , . . .) elementów P , w
którym wszystkie wyrazy od pewnego miejsca są równe zero.
Porównywanie wielomianów:
f = (a0 , a1 , a2 , . . .)
g = (b0 , b1 , b2 , . . .)
)
⇒ f = g ⇔ (ai = bi ∀i ∈ N ∪ {0})
Zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej nad P oznaczamy P [x] i określamy w
tym zbiorze naturalne działania:
f + g = (a0 + b0 , a1 + b1 , a2 + b2 , . . .);
f · g = (c0 , c1 , c2 , . . .),
ck =
k
X
ai · bk−i ,
k ∈ N ∪ {0}
i=0
Algebra (P [x], +, ·) jest pierścieniem przemiennym.
Jeśli P jest pierścieniem z jedynką 1P , to również P [x] ma jedynkę, 1P [x] = (1P , 0, 0, . . .).
Wielomian f = (a0 , a1 , a2 , . . .) często zapisujemy w postaci algebraicznej
a0 + a1 X + a2 X 2 + . . .
Uwaga: Każdemu wielomanowi f ∈ P [x] można przypisać funkcję wielomianową
f¯ : P → P , ale obiekty te nie są równoważne.
Przykład: f, g ∈ Z2 [x], f (X) = 1 + X, g(X) = 1 + X 3 , f 6= g, gdyż
f = (1, 1, 0, 0, . . . ), g = (1, 0, 0, 1, 0, . . .),
ale f¯(0) = ḡ(0), f¯(1) = ḡ(1), to znaczy, że funkcje wielomianowe f¯ i ḡ są równe.
Badanie istnienia całkowitych rozwiązań równań algebraicznych
Niech U oznacza równanie algebraiczne o wspólczynnikach całkowitych, czyli równanie
postaci w(x) = 0, gdzie w ∈ Z[x]. Dla ustalonego naturalnego m ­ 2 oznaczmy przez
Um równanie powstałe z U przez zastąpienie jego wszystkich współczynników przez ich
reszty modulo m.
Tw. 1. Jeżeli równanie U ma rozwiązanie w Z, to równanie Um ma rozwiązanie w Zm ,
gdzie m jest dowolną liczbą naturalną, m ­ 2.
Wniosek: Jeżeli równanie Um nie ma rozwiązań w Zm dla pewnego m ­ 2, to U nie
posiada rozwiązań całkowitych.
Podpierścienie i ideały
Def. 6. Podzbiór P1 ⊆ P nazywamy podpierścieniem pierścienia (P, +, ·), gdy algebra
(P1 , +|P1 , ·|P1 ) jest pierścieniem.
Logika i Teoria Mnogości
Wykład 9 – Pierścienie
4
Stw. 3. Następujące warunki są równoważne:
1. P1 ⊆ P jest podpierścieniem pierścienia (P, +, ·);
2. ∀ a, b ∈ P1
a − b ∈ P1 ∧ a · b ∈ P 1 ;
3. (P1 , +) < (P, +) oraz zbiór P1 jest zamknięty ze względu na mnożenie.
Def. 7. Podpierścień I ⊆ P nazywamy ideałem w pierścieniu (P, +, ·), jeśli
∀x ∈ P ∀z ∈ I
x · z ∈ I ∧ z · x ∈ I.
Def. 8. Niech a - dowolny element pierścienia przemiennego (P, +, ·).
Zbiór aP = {a·p : p ∈ P } nazywamy ideałem glównym generowanym przez element a.
Pierścień, w którym każdy ideał jest ideałem glównym nazywamy dziedziną ideałów
głównych.
Uwaga: Pierścień R[x] jest dziedziną ideałów glównych.
Homomorfizmy pierścieni
Def. 9. Niech (P, +P , ·P ),(S, +S , ·S ) - pierścienie. Odwzorowanie ϕ : P → S nazywamy
homomorfizmem pierścieni jeśli:
∀ a, b ∈ P ϕ(a +P b) = ϕ(a) +S ϕ(b)
∧
ϕ(a ·P b) = ϕ(a) ·S ϕ(b).
Izomorfizmem pierścieni nazywamy homomorfizm, który jest bijekcją.
Stw. 4. Jeśli ϕ : P → S jest homomorfizmem pierścieni, to:
1. ϕ(0P ) = 0S ;
2. ϕ(−a) = −ϕ(a) ∧ ϕ(a −P b) = ϕ(a) −S ϕ(b);
3. ϕ(na) = ϕ (a +P a +P . . . +P a) = ϕ(a) +S ϕ(a) +S . . . +S ϕ(a) = nϕ(a) n ∈ N;
|
{z
n składników
}
|
{z
n składników
}
4. ϕ(an ) = [ϕ(a)]n n ∈ N.
Tw. 2. Jeśli ϕ : P → S jest homomorfizmem pierścieni, to:
• jeśli P1 jest podpierścieniem P , to ϕ(P1 ) jest podpierścieniem S,
w szczególności Imϕ jest podpierścieniem S;
• jeśli S1 jest podpierścieniem S, to ϕ−1 (S1 ) jest podpierścieniem P ,
w szczególności Kerϕ jest podpierścieniem P .
Uwaga: Jeśli ϕ : P → S - homomorfizm pierścieni, to: ∀a ∈ Kerϕ ∀ b ∈ P a · b ∈ Kerϕ,
co oznacza, że Kerϕ jest ideałem w P .