Zadania z algebry Zestaw 3 1. Sprawdzić, że dany zbiór liczb

Zadania z algebry
Zestaw 3
1. Sprawdzić, że dany zbiór liczb jest pierścieniem względem zwykłego dodawania i mnożenia zawężonego do tego zbioru:
(a) R;
(b) Z;
(c) nZ;
(d) Z[i]
√ (= {a + bi ∈√C : a, b ∈ Z});
(e) Z[√ 5] (= {a + b√5 ∈ R√: a, b ∈ Z});
(f) Z[ 3 2] (= {a + b 3 2 + c 3 4 ∈ R : a, b, c ∈ Z});
(g) Z[ε] (= {a0 + a1 ε + a2 ε2 + . . . + an−1 εn−1 ∈ C : ai ∈ Z}, gdzie ε jest
pierwiastkiem stopnia n z jedynki);
2. Niech dla dowolnego przedziału I osi rzeczywistej CI oznacza zbiór wszystkich funkcji ciągłych f : I → R. Sprawdzić, że dany zbiór tworzy pierścień
przemienny względem dodawania i mnożenia funkcji. Czy pierścień ten ma
jedynkę?
(a) C[a,b] ;
(b) {f ∈ C[a,b] : f (a) ∈ Q};
(c) {f ∈ C(−∞,∞) : ∀x ∈ R f (−x) = f (x)};
(d) {f ∈ C(0,∞) : ∀n ∈ N f (n) = 0};
(e) {f ∈ C[a,b] : f (a) = f (b)};
(g) {f ∈ C(0,∞) : lim f (x) = 0};
x→∞
3. Niech X będzie niepustym zbiorem i niech 2X oznacza rodzinę podzbiorów
zbioru X. Udowodnić, że struktura (2X , ÷, ∩) jest pierścieniem (÷ oznacza
różnicę symetryczną zbiorów). Czy pierścień ten jest przemienny? Czy ma
jedynkę? Czy ma dzielniki zera? Które elementy są odwracalne? W zbiorze
2R rozwiązać równanie:
A∩X ÷B∩C =D
gdzie A = {2, 4, 5, 6}, B = {4, 5, 6, 7, 8}, C = {1, 5, 8, 9}, D = {2, 4, 6, 7}.
4. W zbiorze Z określić działania ⊕ i tak aby (Z, ⊕, ) był pierścieniem z
jedynką , którego zerem jest liczba 1, a jedynką jest liczba 0.
5. Udowodnić, że jeśli P jest niezerowym pierścieniem z jedynką to 0P 6= 1P .
6. Wyznaczyć elementy odwracalne i dzielniki zera pierścienia R × Z.
1
7. Niech p będzie liczbą pierwszą. Oblicz liczbę dzielników zera i elementów
odwracalnych pierścienia Zp × Zp oraz pierścienia Zp2 .
8. Udowodnić, że jeśli element a2 jest dzielnikiem zera to element a też jest
dzielnikiem zera.
9. Niech a będzie elementem pierścienia z jedynką takim, że a2 = 1P . Wykazać, że wtedy elementy 1P − a oraz 1P + a są dzielnikami zera.
10. Niech a będzie elementem pierścienia z jedynką takim, że an = 1P .
Wykazać, że wtedy element 1P − a jest dzielnikiem zera.
11. Niech a będzie elementem pierścienia z jedynką takim, że a2 = 0P . Wykazać, że wtedy elementy 1P − a oraz 1P + a są odwracalne.
12. Niech a będzie elementem pierścienia z jedynką takim, że an = 0P .
Wykazać, że wtedy element 1P − a jest odwracalny.
13. Udowodnić, że jeśli element a dziedziny całkowitości P spełnia an = 0P
to a = 0P .
√
√
√
14. Sprawdzić, że struktura (Q( 5), +, ·), gdzie Q( 5) = {a + b 5 : a, b ∈
Q}, a + i · są zwykłymi działaniami, jest ciałem.
15. Sprawdzić, że zbiór Q2 wraz z działaniami:
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) (c, d) = (ac + 5bd, ad + bc)
jest ciałem.
16. Sprawdzić, że zbiór R wraz z działaniami:
a⊕b=a+b+1
a b = a + b + ab
jest ciałem.
17. Sprawdzić, że zbiór R wraz z działaniem dodawania:
√
3
a ⊕ b = a3 + b 3
oraz zwykłym mnożeniem jest ciałem. Rozwiązać równanie 5x ⊕ 7 = 11.
2
18. Zbadać, który z ponizszych zbiorów jest podpierścieniem pierścienia
M2 (R):
#
("
)
a b
(a)
∈ M2 (R) : a, b, c ∈ R
0 c
("
#
)
a b
(b)
∈ M2 (R) : a, c ∈ Q, b ∈ R
0 c
(c) M2 (Q)
(d) {T ∈ M2 (R) : det T = 0}
(e) {T ∈ M2 (R) : det T ∈ Q}
3