Przedziaª ufno±ci dla nieznanej warto±ci przeci¦tnej

Rachunek prawdopodobie«stwa
‚wiczenia 12
Denicja 1.
Prost¡ prób¡ losow¡ (lub krócej prób¡ losow¡) o liczno±ci n nazywamy ci¡g niezale»nych
zmiennych losowych X1 , X2 , . . . , Xn okre±lonych na przestrzeni zdarze« elementarnych Ω i takich, »e
ka»da ze zmiennych ma taki sam rozkªad.
Denicja 2.
Statystyk¡ nazywamy ka»d¡ zmienn¡ losow¡ b¦d¡c¡ ustalon¡ funkcj¡ próby losowej
X1 , X2 , . . . , Xn .
Denicja 3.
Ka»d¡ statystyk¦, któr¡ przyjmujemy jako oszacowanie (przybli»enie) nieznanego parametru rozkªadu b¦dziemy nazywa¢ estymatorem.
Denicja 4.
Przedziaªem ufno±ci dla parametru Θ na poziomie ufno±ci 1 − α (0 < α < 1) nazywamy
przedziaª (Θ1 , Θ2 ) speªniaj¡cy warunki:
1. jego ko«ce s¡ funkcjami Θ1 = Θ1 (X1 , . . . , Xn ), Θ2 = Θ2 (X1 , . . . , Xn ) i nie zale»¡ od szacowanego parametru Θ
2. Prawdopodobie«stwo pokrycia przez ten przedziaª nieznanego parametru Θ jest równe 1 − α
P (Θ1 (X1 , . . . , Xn ) < Θ < Θ2 (X1 , . . . , Xn )) = 1 − α
Uwaga 1.
Parametr 1 − α nazywa si¦ wspóªczynnikiem ufno±ci.
Przedziaª ufno±ci dla nieznanej warto±ci przeci¦tnej
Model
(1). Przedziaª ufno±ci dla nieznanej warto±ci przeci¦tnej µ populacji, w której badana cecha
ma rozkªad N (µ, σ 2 ), w przypadku gdy σ jest znana, na podstawie nelementowej próby X1 , . . . , Xn
wynosi
α σ
α σ
√ , X̄ + u 1 −
√
X̄ − u 1 −
2
2
n
n
gdzie u(α) oznacza kwantyl rz¦du α rozkªadu normalnego N (0, 1) oraz
n
X̄ =
1X
Xi .
n
i=1
Zadanie 1. Niech σ = 2. Na podstawie próbki o liczno±ci n = 16 wyznaczono X̄ = 34.1. Przyjmuj¡c
α = 0.05 oblicz przedziaª ufno±ci dla nieznanej warto±ci przeci¦tnej µ uzyskany dla danej próbki przy
poziomie ufno±ci 1 − α = 0.95.
1
2
Model
(2). Przedziaª ufno±ci dla nieznanej warto±ci przeci¦tnej µ populacji, w której badana cecha
ma rozkªad N (µ, σ 2 ), w przypadku gdy zarówno µ jak σ s¡ nieznane, na podstawie nelementowej
próby X1 , . . . , Xn (n<100) wynosi
α
α
S
S
√
√
, X̄ + t 1 − , n − 1
X̄ − t 1 − , n − 1
2
2
n−1
n−1
gdzie
S2 =
n
n
i=1
i=1
1X
1X
(Xi − X̄) oraz X̄ =
Xi
n
n
oraz t(α, n) oznacza kwantyl rz¦du α o n stopniach swobody rozkªadu tstudenta.
Zadanie 2.
Zmierzono wytrzymaªo±¢ 10 losowo wybranych gotowych elementów konstrukcji budowlanych i otrzymano nast¦puj¡ce wyniki: 383, 284, 339, 340, 305, 386, 378, 335, 344, 346.
Zakªadamy, »e rozkªad wytrzymaªo±ci tych elementów jest rozkªadem normalnym N (µ, σ 2 ) o nieznanych parametrach. Wyznaczy¢ na podstawie tej próbki 95%ow¡ realizacj¦ przedziaªu ufno±ci dla
nieznanej warto±ci parametru µ badanej cechy populacji.
Zadanie 3.
W celu wyznaczenia ªadunku elektrycznego wykonano 26 pomiarów tego ªadunku
metod¡ Millikana, otrzymuj¡c:
X̄ = 1.574 · 10−19 , S = 0.043·−19
Zakªadaj¡c »e pomiary pochodz¡ z rozkªadu normalnego o nieznanym parametrze σ wyznaczy¢
na podstawie danych 99%-owy przedziaª ufno±ci.
Model
(3). Przedziaª ufno±ci dla nieznanej warto±ci przeci¦tnej µ populacji, w której badana cecha
ma rozkªad N (µ, σ 2 ), w przypadku gdy zarówno µ jak σ s¡ nieznane, na podstawie nelementowej
próby X1 , . . . , Xn (n ≥ 100) wynosi
α S∗
α S∗
√
√
X̄ − u 1 −
, X̄ + u 1 −
2
2
n
n
gdzie u(α) oznacza kwantyl rz¦du α rozkªadu normalnego N (0, 1) oraz
n
S
∗2
1 X
=
(Xi − X̄).
n−1
i=1
Zadanie 4.
Z populacji wªókien baweªny pobrano 300elementow¡ próbk¦ wªókien i zmierzono ich
dªugo±ci. Obliczono X̄ = 27, 43 oraz S ∗2 = 51, 598. Znale¹¢ 95% realizacje przedziaªu ufno±ci dla
nieznanej warto±ci.
Przedziaª ufno±ci dla wariancji oraz odchylenia standardowego
Model (1).
Przedziaª ufno±ci dla nieznanego odchylenia standardowego σ populacji, w której badana
cecha ma rozkªad N (µ, σ 2 ), w przypadku gdy zarówno µ jak σ s¡ nieznane, na podstawie nelementowej
próby X1 , . . . , Xn (n<50) wynosi
(g1 (α, n − 1) · S ∗ , g2 (α, n − 1) · S ∗ )
gdzie
s
g1 (α, n − 1) =
n−1
oraz g1 (α, n − 1) =
χ2 (1 − 12 α, n − 1)
s
n−1
− 1)
χ2 ( 21 α, n
gdzie χ2 (α, n) oznacza kwantyl rz¦du α o n stopniach swobody rozkªadu χ2 .
3
Zadanie 5.
Wykonano pomiar liczby skr¦tów dla losowo wybranych odcinków prz¦dzy o dªugo±ci
1 m, uzyskuj¡c wyniki: 87, 102, 119, 81, 97, 93, 100, 114, 99, 100, 112, 93, 95, 85, 123, 99.
Zakªadaj¡c, »e liczba skr¦tów odcinków prz¦dzy ma rozkªad normalny, znale¹¢ 90%-owe realizacje
przedziaªów ufno±ci wariancji i odchylenia standardowego liczby skr¦tów caªej partii prz¦dzy.
Model (2).
Przedziaª ufno±ci dla nieznanego odchylenia standardowego σ populacji, w której badana
cecha ma rozkªad N (µ, σ 2 ), w przypadku gdy zarówno µ jak σ s¡ nieznane, na podstawie nelementowej
próby X1 , . . . , Xn (n ≥ 50) wynosi
!
√
√
S 2n
S 2n
√
,√
2n − 3 + u(1 − 12 α) 2n − 3 − u(1 − 12 α)
gdzie u(α) oznacza kwantyl rz¦du α rozkªadu normalnego N (0, 1).
Zadanie 6. W celu sprawdzenia dokªadno±ci skrawania za pomoc¡ pewnego urz¡dzenia, dokonano
pomiarów wykonanych 50 cz¦±ci i otrzymano S 2 = 0.00068. Zakªadaj¡c, »e rozkªad bª¦dów wymiarów cz¦±ci jest normalny o nieznanym σ , na poziomie ufno±ci 0.95 wyznaczy¢ na podstawie danych
realizacj¦ przedziaªów ufno±ci dla odchylenia standardowego σ .
Zadania dla wszystkich modeli
Zadanie 7.
W centrali telefonicznej dokonano 17 obserwacji dªugo±ci losowo wybranych rozmów
w ci¡gu jednego dnia i otrzymano (w min): X̄ = 5.48, S = 1.2; na tej podstawie przy zaªo»eniu,
»e dªugo±¢ rozmów telefonicznych maj¡ rozkªad normalny wyznaczy¢ 95%-ow¡ realizacj¦ przedziaªu
ufno±ci dla warto±ci przeci¦tnej dªugo±ci rozmowy telefonicznej przeprowadzonej za po±rednictwem
tej centrali w danym dniu.
Zadanie 8.
Z grupy robotników pewnego zakªadu wykonuj¡cych tak¡ sam¡ prac¦ wybrano w sposób
losowy 13 pracowników i dokonano badani pod wzgl¦dem wydajno±ci pracy (w szt./h) uzyskuj¡c
dane: 21, 12, 11, 15, 9, 10, 17, 8, 16, 13, 12, 9, 18. Na tej podstawie zakªadaj¡c, »e badana cech ma
rozkªad normalny, wyznaczy¢ 95%-ow¡ realizacj¦ przedziaªu ufno±ci dal nieznanej warto±ci przeci¦tnej
wydajno±ci pracy.
Zadanie 9.
W losowo wybranej grupie 10 samochodów osobowych przeprowadzono badanie zu»ycia
benzyny na tej samej dla wszystkich samochodów trasie dªugo±ci 100 km. Okazaªo si¦, »e ±rednia
zu»ycia benzyny (w 1/100 km) dla tej grupy samochodów wynosi X̄ = 8.1; odchylenie standardowe
0, 8. Zakªadaj¡c, »e badana cecha ma rozkªad normalny, wyznaczy¢ 99%-ow¡ realizacj¦ przedziaªu
ufno±ci dla warto±ci przeci¦tnej zu»ycia benzyny przez samochody tej marki na rozpatrywanej trasie.
Zadanie 10.
Dwunastu tokarzy wykonuje takie same cz¦±ci. Ich ±rednia wydajno±ci w sztukach
na godzin¦ wynosz¡ odpowiednio: 4.6, 6.1, 10.3, 9.8, 6.7, 12.3, 14.5, 8.7, 9.0, 7.3, 8.8, 11.2. Znale¹¢
98%ow¡ realizacj¦ przedziaªu ufno±ci dla wariancji liczby sztuk wykonywanych w ci¡gu godziny przez
jednego tokarza.