Informatyka kwantowa i jej fizyczne podstawy Bramki jedno

Wykład 2
15 kwietnia 2015
Informatyka kwantowa i jej fizyczne podstawy
Bramki jednokubitowe
Łukasz Cywiński
[email protected]
http://info.ifpan.edu.pl/~lcyw/
Prace domowe: sugerowane zadania będą pojawiać się na stronie
internetowej (patrz wyżej).
Poprzedni wykład
Maszyna Turinga – Każdy problem, który może być intuicyjnie uznany za
obliczalny, jest rozwiązywalny przez maszynę Turinga.
Bity, bramki, komputer jako sieć bramek logicznych.
Złożonośc obliczeniowa: wielomianowa („łatwa”) vs wykładnicza („trudna”)
Klasy złożoności algorytmicznej P oraz NP. Czy P ≠ NP? NP-zupełność.
Klasyczne komputery: wszystkie równoważne sobie (jeden symuluje drugi
z co najwyżej wielomianowym kosztem czasowym). Silniejsza teza
Churcha-Turinga: Każdy "rozsądny" model obliczeń może być efektywnie
zasymulowany na probabilistycznej Maszynie Turinga.
Komputer kwantowy: zastąpic bity kubitami (kwantowymi układami o
dwóch poziomach energetycznych, czy też dwóch stanach w ogólności).
Algorytm kwantowy: ewolucja stanu kwantowego kontrolowana przez nas.
Algorytm Shora: wielomianowe skalowanie dla faktoryzacji!
Co z tego wynika dla teorii złożoności?
Hipotetyczny komputer kwantowy stanowi wyzwanie dla silniejszej wersji
tezy Churcha-Turinga (ale nie dla słabszej)!
Każdy "rozsądny" model obliczeń może być efektywnie
zasymulowany na probabilistycznej Maszynie Turinga.
Ale wydaje się, że komputer klasyczny nie potrafi
zasymulować efektywnie komputera kwantowego.
Uwaga na tezy z artykułów popularnonaukowych:
Nie wiadomo czy rozkład na czynniki pierwsze jest NPzupełny.
Nie wiadomo nawet, czy na pewno są problemy w NP
które nie są P (choć prawie wszyscy w to wierzą).
Główny problem – oddziaływanie z resztą świata
Czyste stany kwantowe są bardzo delikatne, prawie każde oddziaływanie z
otoczeniem (nawet próżnią!) może zniszczyć ich prawdziwie kwantowe
własności w procesie dekoherencji.
Dlatego nie widzimy kwantowych zjawisk w makroświecie – żyjemy w silnym
sprzężeniu z resztą świata. Obiektów makroskopowych praktycznie nie
można odizolować od ich otoczenia.
Faza jest szczególnie delikatna. Jeśli stracimy dobrze zdefiniowaną
względną fazę, to zamiast kubitu będziemy mieli bardzo zły klasyczny
bit
Czas dekoherencji = TD
Jak wiele obliczeń da się wykonać w tym czasie? Nie za dużo, o ile nie
pogłówkujemy…
Korekcja błędu
W obecności szumu klasyczny analogowy komputer zawodzi…
1996 – odkrycie kwantowej korekcji błędu
Wiele fizycznych kubitów koduje jeden kubit logiczny
Stany kubitu logicznego są splątane:
Kolektywny pomiar (np. parzystości dwóch fizycznych kubitów)
Wykłady Johna Preskilla
W ten sposób możemy wykryć błąd bez pomiaru stanu
kubitu logicznego (pomiar zabija superpozycje!)
Odporność na błędy (fault tolerance)
Jeżeli prawdopodobieństwo błędu na operację jest poniżej
pewnego progu, to zastosowanie kolejnej „warstwy”
korekcji zmniejsza całkowite prawdopodobieństwo
błędnego wykonania algorytmu (pomimo zwiększenia liczby
fizycznych kubitów)
Założenia twierdzeń o odporności:
Lokalne błędy (bez korelacji pomiędzy kubitami), otoczenie nie
„pamięta” co kubity robiły wcześniej. To nie jest całkowicie
realistyczne, w szczególności dla kubitów w
nanostrukturach.
Ciągle trwa spór naukowy (choć większośc wierzy w
teoretyczną odporność na błędy).
Symulacja faktoryzacji
Rozkład 1024-bitowej liczby algorytmem Shora (Suchara et al., arXiv:1312.2316)
uwzględniając obliczeniowy koszt korekcji błędu.
Czemu tym się zajmować?
Zbudowanie komputera kwantowego jest bardzo trudne –
czy warto robić to tylko dla łamania szyfrów?
• Przesuwanie granicy badań w nanoskali (dodatkowo potrzeba bardzo
precyzyjnej kontroli)
• Kilkukubitowe obwody będą potrzebna dla długodystansowej
komunikacji kwantowej.
• Testowanie mechaniki kwantowej dla coraz większych układów. Czy
kwantowa korekcja błędu rzeczywiście pozwoli na utrzymanie milionów
kubitów w stanie czystym?
• Możliwość (lub niemożliwość) zbudowania KK ma fundamentalne
znaczenie dla zrozumienia związku między przetwarzaniem informacji
a fizyką (natura w końcu jest kwantowo-mechaniczna).
• Pojedyncze kubity, lub grupy splątanych kubitów, mogą być użyte do
bardzo precyzyjnego obrazowania z nano-rozdzielczością.
Inicjalizacja
|1>
ΔE
|0>
Sprzężenie z otoczeniem w stanie równowagi termodynamicznej:
Prawdopodobieństwa przejść na jednostkę czasu Γg i Γd
Γg
Γd
Dla ΔE>>kBT
po pewnym czasie mamy
prawie czysty stan |0>
Inicjalizacja przez chłodzenie się otwartego układu kwantowego (kontrola nad ΔE
może się przydać – zwiększyć do ΔE>>kBT gdy chcemy inicjalizować)
Inicjalizacja przez idealny pomiar
Jeżeli wynik pomiaru to 0 -> po nim kubit jest w stanie |0>
W teorii łatwe (patrz podręcznik do mechaniki kwantowej)
W praktyce trudne – „jednostrzałowy” pomiar układu kwantowego
(single-shot + quantum non-demolition measurement)
Spin elektronu
Moment magnetyczny w polu:
Rys: Wikipedia
Elektron posiada „wewnętrzny” moment magnetyczny
Tak jakby ładunek w nim się kręcił – ale to jest klasyczny obrazek
Fakt doświadczalny: elektron ma dwa stany energetyczne w polu B,
związane z wewnętrznym stopniem swobody (niezależne od jego
funkcji falowej)
SPIN (w Małopolsce: kręt)
Kwantowy moment pędu elektronu
Spin elektronu
Dwuwymiarowa przestrzeń stanów spinu
Składowa z operatora momentu pędu
(skwantowana do
)
Operatory pozostałych składowych momentu pędu:
Pozostałe macierze Pauliego:
Obroty spinu
Kontrola „pola magnetycznego” wzdłuż dwóch osi:
Z początkowego stanu |0> możemy otrzymać dowolny inny stan:
Policzmy to…