Komputer kwantowy: nowe wyzwanie dla nanotechnologii

MATERIAŁY XXXVI ZJAZDU FIZYKÓW POLSKICH – TORUŃ 2001 – WYKŁADY PLENARNE
Komputer kwantowy:
nowe wyzwanie dla nanotechnologii
Lucjan Jacak
Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska
1. Pomiar, dekoherencja,
informacja kwantowa
Kwantowa ewolucja zamkniętego układu opisanego hamiltonianem jest równie deterministyczna jak ewolucja klasyczna opisywana przez
równanie Newtona. Chociaż kwantowy układ nie
ma trajektorii w przestrzeni fazowej, to ma ją
w przestrzeni Hilberta. Pomiar powoduje jednak nieodwracalną utratę informacji. Według von
Neumanna pomiar prowadzi do utraty informacji zawartej w funkcji falowej poprzez jej przypadkowe rzutowanie na kierunek jednej z funkcji własnych operatora wielkości mierzonej. Pomiar jest wynikiem oddziaływania układu z przyrządem pomiarowym. Oddziałujące układy nie są
z reguły opisane swoimi funkcjami falowymi (nie
są w stanach czystych), ale można je opisać za
pomocą macierzy gęstości.
Każde oddziaływanie dwóch układów można
interpretować jako pomiar jednego układu dokonywany przez drugi; pomiar von Neumanna zachodzi wtedy, gdy układ pomiarowy jest makroskopowy (superselekcja) [1,2]. Ewolucja macierzy
gęstości jednego z układów pod wpływem oddziaływania z drugim jest nazywana ogólnie dekoherencją. W wyniku oddziaływania układów dochodzi do splątania kwantowego. Czysty stan całego układu nazywa się stanem splątanym, jeśli nie jest prostym iloczynem tensorowym stanów czystych obu układów (jest on wtedy liniową kombinacją takich iloczynów). Podukłady
nie są wtedy w stanach czystych. Splątanie układów jest naturalnym wynikiem ich oddziaływania
i nie może być uzyskane lokalnie przez manipulowanie tylko w jednym z układów. Splątanie leży
u podstaw pomiaru i dekoherencji – najpowszechniejszych zjawisk w mikroświecie. Dla dostatecz72
nie małych układów, obu mikroskopowych (np.
pojedynczych cząstek), można analizować i nawet wpływać na ewolucję splątania i wzajemnej
dekoherencji. Stwarza to nowe możliwości przetwarzania informacji w kwantowy sposób, niedostępny dla informatyki klasycznej. Można planować deterministyczną kwantową ewolucję układów złożonych z małych oddziałujących podukładów, w analogii do klasycznych algorytmów. Konieczne jest jednak, by zdążyć przetworzyć kwantową informację w niewielkim układzie, wykorzystując w kontrolowany sposób splątywanie się jego
podukładów, dopóki nie doplącze się otoczenie
i nie dokona dekoherencji (pomiaru) w niekontrolowany sposób. Podstawową jednostką informacji kwantowej jest qubit – abstrakcyjny dwustanowy układ kwantowy, którego zawartością,
w odróżnieniu od klasycznego bitu, może być dowolna superpozycja obu stanów (zob. także artykuł M. Horodeckiego na s. 35 niniejszego zeszytu
– Red.).
Ze względu na nielokalny charakter mechaniki
kwantowej przejawiający się w kwantowym splątaniu, przetwarzanie informacji kwantowej i jej
przekazywanie jest zupełnie nieklasycznym zjawiskiem. Pojemność informacyjna nawet niewielkich układów kwantowych jest ogromna, również
niespotykana w klasycznej informatyce – wymiar
przestrzeni Hilberta dla np. 100 qubitów wynosi
2100 (wymiar iloczynu tensorowego 100 dwuwymiarowych przestrzeni). Przetwarzanie informacji, jaką można zakodować w stanie kwantowym
100 qubitów, przekracza zatem możliwości jakichkolwiek klasycznych komputerów – chodzi o przetwarzanie macierzy 2100 × 2100 (układ kwantowy
przetwarza je sam). Opanowanie technik sterowania procesami kwantowymi otworzyłoby niezwykłe możliwości. Informację zrozumiałą dla czło-
POSTĘPY FIZYKI
TOM DODATKOWY 53D
ROK 2002
MATERIAŁY XXXVI ZJAZDU FIZYKÓW POLSKICH – TORUŃ 2001 – WYKŁADY PLENARNE
wieka (czyli klasyczną) należałoby wczytać w sterowany układ kwantowy, pozwolić jej błyskawicznie i nielokalnie ewoluować zgodnie z zaprojektowanym algorytmem kwantowym, a następnie
wynik odczytać w postaci klasycznej. Z odczytaniem byłyby trudności – zgodnie z zasadą nieoznaczoności nie cała kwantowa informacja jest
dostępna. Jednak odpowiednio manipulując superpozycją (czyli wykorzystując efekty interferencyjne), można uzyskać pożądaną część kwan-
towej informacji w postaci klasycznej. Równoległe i równoczesne przetwarzanie całej kwantowej
informacji w wielocząstkowym układzie kwantowym jest wykładniczo szybsze od informatyki klasycznej (pewne spowolnienia wynikają z ograniczeń odczytu). Podanie szybkich kwantowych algorytmów (tab. 1, [3,4]) dla rozwiązania kłopotliwych zagadnień klasycznej informatyki może zatem zapowiadać rewolucję informatyczną i technologiczną.
Tabela 1. Algorytmy kwantowe.
Nazwa algorytmu
Problem
Przyspieszenie
Algorytm Deutscha i Jozsy, 1992
odróżnienie funkcji zrównoważonej od stałej
(Oracle setting)
wykładnicze
Algorytm Simona, 1997
odróżnienie funkcji 1-1 od funkcji 2-1
wykładnicze
Algorytm Shora dla faktoryzacji, 1994
znajdowanie liczb pierwszych
wykładnicze
Transformata Fouriera wg Kitajewa, 1995
szybka kwantowa transformata Fouriera
Algorytm Grovera, 1995
przeszukiwanie bazy danych
(Finding needle in a haystack)
Algorytm Shora kwantowej korekty błędów, 1996
kwantowa korekta błędów
Należy podkreślić, że wyidealizowane algorytmy kwantowe bardzo trudno zrealizować
praktycznie. Nieunikniona dekoherencja wywołana przez otoczenie nawet najlepiej izolowanego
układu prowadzi do kumulacji błędów i nieodwracalnej utraty informacji. Dopiero zastosowanie kwantowej korekty błędów [3–5] na każdym
etapie kwantowego algorytmu mogłoby umożliwić praktycznie bezbłędną realizację procedur
kwantowych. Dobrze już rozpoznane protokoły
korekty błędów o charakterze kombinatorycznym prowadzą jednak do silnego zwielokrotnienia układu, a co za tym idzie, do gwałtownego (wykładniczego) wzrostu dekoherencji wraz
z liczbą qubitów. Stąd stosunek czasu dekoherencji do czasu kwantowych elementarnych operacji
logicznych musi być dostatecznie duży (co najmniej 105 ), by można było skutecznie zastosować procedury korekty. Nie są to jedyne trudności na drodze praktycznego wykorzystania informacji kwantowej. Równie silne ograniczenia wynikają z podstawowych własności stanów kwantowych, w szczególności qubitów, odróżniających je
od klasycznych bitów. Twierdzenia: no-cloning [6],
no-broadcasting [7] i no-deleting [8], mówiące
o niemożności kopiowania stanów (kopiowanie
POSTĘPY FIZYKI
TOM DODATKOWY 53D
kwadratowe
umożliwiłoby równoczesne pomiary, przecząc zasadzie nieoznaczoności), rozpowszechniania i wymazywania nieznanych stanów znacznie komplikują niektóre procedury, np. proste resetowanie
kwantowego rejestru, niezbędne dla powtarzalności kwantowego komputera.
Informatyka kwantowa ma niezwykłe i zadziwiające możliwości – wynikają one jednak, podobnie jak splątanie, z elementarnych własności algebraicznych iloczynu tensorowego. Można to zademonstrować na przykładzie kwantowego kodowania i kwantowej teleportacji (Dodatki 1 i 2, [3–5]).
W przypadku kodowania kwantowego wykorzystuje się nielokalny charakter stanów splątanych.
Dokonując operacji lokalnych tylko na jednym
qubicie, z jednego stanu splątanego można uzyskać trzy pozostałe splątane stany tzw. bazy Bella
w 4-wymiarowej przestrzeni Hilberta dwóch qubitów (w przypadku klasycznym kodowanie pary
bitów wymaga działań na obu bitach).
Podobnie – w przypadku teleportacji kwantowej – wykorzystanie własności iloczynu tensorowego pozwala na interpretację prostych zależności algebraicznych jako przekazania zawartości
qubitu 1 na inny, nawet odległy qubit 3 (Dodatek 2). Mimo że kwantowy transport informacji
ROK 2002
73
MATERIAŁY XXXVI ZJAZDU FIZYKÓW POLSKICH – TORUŃ 2001 – WYKŁADY PLENARNE
jest natychmiastowy, w czasie teleportacji nienaruszona jest relatywistyczna zasada ograniczenia
przekazu informacji przez prędkość światła. Qubit 3 ma wprawdzie natychmiast pełną informację
o qubicie 1, ale w zbyt dużej ilości. Żeby odbiorca
przy qubicie 3 wiedział, która jest właściwa, musi
otrzymać dodatkową informację klasyczną, przekazaną wolniej niż prędkość światła w próżni. Fakt
ten zwraca również uwagę na niezrozumiany jeszcze do końca aspekt informacji klasycznej – układ
kwantowy bez tej informacji to co innego (teleportacja nieujawniona) niż układ kwantowy zaopatrzony w taką informację (teleportacja dokonana).
Kwantowa teleportacja może być wykorzystana także do wykonywania operacji logicznych
w odmienny sposób niż za pomocą fizycznie implementowanych bramek [9]. Uogólnienia protokołu teleportacji pozwalają bowiem transportować również operatory unitarne, tzn. wykonywać
ewolucje kwantowe na odległość (zmieniając stan
qubitu 1, zmienimy także stan qubitu 3 po teleportacji). Można by więc teleportacyjnie wykonywać operacje logiczne kwantowych algorytmów,
omijając w ten sposób dekoherencję fizycznych
bramek. Wydaje się prawdopodobne przeprowadzenie takiego scenariusza realizacji kwantowych
algorytmów w ramach optyki liniowej, gdzie opanowano dokładne operacje jednoqubitowe, i bardzo zaawansowane są techniki precyzyjnego splątywania dwóch i trzech qubitów (potrzebnych do
teleportacji operacji dwuqubitowych [5,9]).
2. Komputer kwantowy –
perspektywy i ograniczenia
Dowolną deterministyczną ewolucję kwantową można przedstawić jako sekwencję operacji
jednoqubitowych i uniwersalnej operacji dwuqubitowej, np. sterowanego zaprzeczenia CNOT [3,4].
Na prostej bazie przestrzeni H1 ⊗H2 działa ono wg
przepisu: |00i ⇒ |00i, |01i ⇒ |01i, |10i ⇒ |11i,
|11i ⇒ |10i. Pozwala to na algorytmizację procesów kwantowych i leży u podstaw koncepcji
komputera kwantowego [4,5,10]. Gdyby dysponować idealnymi qubitami i móc je dowolnie sprzęgać ze sobą oddziaływaniami w kontrolowany sposób, to nawet niewielka ich liczba (w porównaniu
z liczbą tranzystorów w klasycznych procesorach),
tj. 100–1000 qubitów, pozwoliłaby na realizację
74
nieosiągalnych klasycznie zadań w bardzo krótkim czasie [3–5,10].
Działają już 3-qubitowe komputery kwantowe
(tab. 2 [5,10]) na jonach uwięzionych w pułapkach i spinach jądrowych cząsteczek, jednak ich
możliwości są jeszcze niewielkie. W przypadku
obu konstrukcji nie wydaje się możliwe skalowanie i przekroczenie bariery kilkuqubitowych układów (działania na jonach są zbyt wolne, liczba
oddziałujących spinów jądrowych w cząsteczkach
jest mała, w obu konstrukcjach są kłopoty z resetowaniem [5]). Główny problem skalowania polega na tym, że wraz z liczbą qubitów niekontrolowana dekoherencja rośnie wykładniczo. Kwantowe schematy korekty błędów [3–5] wykorzystują
niezmienniczość określonych podprzestrzeni zwielokrotnionych układów wobec skorelowanej dekoherencji. Taka dekoherencja rośnie wprawdzie
szybciej z liczbą qubitów N (tj. jak exp(N 2 ), podczas gdy nieskorelowana dekoherencja rośnie jak
exp(N )), ale umożliwia określenie nieczułych na
dekoherencję podprzestrzeni (uogólnienia stanów
singletowych), w których można bezpiecznie przechowywać informację.
Inne koncepcje ochrony przed dekoherencją to tymczasowa teleportacja informacji do
bardziej odpornych części układu lub znalezienie fizycznego mechanizmu korekty, jak w przypadku koncepcji topologicznego komputera na
anyonach [11].
Konstrukcja komputera kwantowego w rzeczywistym układzie fizycznym wymaga, by spełniony był szereg warunków:
1) odpowiednio zdefiniowany qubit – dwa
stany kwantowe oddzielone od pozostałych stanów układu (względnie duże odległości energetyczne, wzbronione przejścia itp.), tak by informacja weń wpisana nie ulegała wypływowi,
2) określenie możliwości wpisywania informacji w qubit, tj. możliwości uzyskania dowolnej superpozycji dwóch stanów qubitu za pomocą zewnętrznego, makroskopowo zmienianego pola (np.
oscylacje Rabiego w realistycznym obszarze pól),
3) możliwość skalowania qubitu do urządzenia
wieloqubitowego,
4) zaprojektowanie i realizacja uniwersalnej
operacji dwuqubitowej, którą można byłoby wykorzystać do wykonania dowolnej kwantowej operacji logicznej (może to być CNOT lub inna
bramka [5,10]; w każdym przypadku konieczne
POSTĘPY FIZYKI
TOM DODATKOWY 53D
ROK 2002
MATERIAŁY XXXVI ZJAZDU FIZYKÓW POLSKICH – TORUŃ 2001 – WYKŁADY PLENARNE
jest opanowanie techniki włączania i wyłączania oddziaływania qubitów w precyzyjny sposób,
w bardzo krótkich odstępach czasu, tj. sterowanie
splątaniem dwóch qubitów),
5) zapewnienie stosunku rzędów czasu potrzebnego na wykonanie elementarnych operacji
logicznych i czasu dekoherencji na poziomie nie
mniejszym niż 5,
Tabela 2. Realizacje komputera kwantowego.
Dziedzina
Obiekt
Autorzy
Fizyka atomowa
(zrealizowany 3-qubitowy)
jony w pułapkach elektrycznych
Cirac, Zoller (1995)
Monroe i in. (1995)
Optyka kwantowa
QED – kwantowa elektrodynamika
mikrownęk
Turchette i in. (1995)
Imamoglu i in. (1999)
Jądrowy rezonans magnetyczny, NMR
(zrealizowany 3-qubitowy)
spiny jądrowe molekuł w cieczach
Cory i in. (1997)
Gershenfeld i in. (1997)
Elektronowy rezonans magnetyczny, EPR
spiny elektronowe
Kane (1998)
Vrijen (2000)
Rezonansowa spektroskopia nadprzewodników
nadprzewodzące złącza Josephsona
Averin i in. (1997)
Shnirman i in. (1997)
Mooij i in. (1999)
Fizyka elektronów
elektrony na powierzchni He-4
Platzman, Dykman (1999)
Sterowane polem magnetycznym
lub elektrycznym struktury nanoskopowe
(kropki kwantowe)
spinowe stopnie swobody
kropek kwantowych
DiVincenzo i in. (1998)
DiVincenzo i in. (2000),
Tanamoto (2000)
Jacak i in. (2001)
Optycznie sterowane struktury nanoskopowe
(kropki kwantowe)
orbitalne stopnie swobody
kropek kwantowych
(elektronowe lub ekscytonowe)
Zanardi, Rossi (1998)
Li, Arakawa (2000),
Bayer i in. (2001)
Automaty komórkowe, układy biologiczne
automaty komórkowe
Lloyd (1993)
Benjamin (2000)
Wzbudzenia topologiczne
anyony, ułamkowy efekt Halla
Kitajew (1997)
6) zapewnienie możliwości oddziaływania dużej liczby qubitów, albo bezpośrednio (co jest
trudne), albo poprzez qubit pośredniczący (np.
foton), w celu skalowania komputera i realizacji
korekty błędów,
7) zapewnienie możliwości odczytu informacji
na wyjściu,
8) zapewnienie możliwości ponownego ustawienia całego układu (resetowania).
Niektóre zastosowania kwantowej informatyki, jak kodowanie i transmisja, nie wymagają
spełnienia wszystkich wyżej wymienionych warunków i wydają się łatwiejsze do realizacji,
o czym świadczy znaczny postęp w tym zakresie [5]; ograniczenia związane są tam głównie ze
swobodnymi nośnikami informacji – ruchomymi
qubitami, np. fotonami – i możliwościami utrzymania ich kwantowych cech na dużych odległościach (ostatnie eksperymenty ze spowalnianiem
POSTĘPY FIZYKI
TOM DODATKOWY 53D
i zatrzymywaniem światła wydają się tu też bardzo obiecujące).
Jako qubity proponuje się rozmaite układy
fizyczne [5]: foton (jest, nie ma w danym modzie), ekscyton (jest, nie ma w kropce kwantowej),
spin jądrowy lub elektronowy w polu magnetycznym (1/2, −1/2), prąd tunelowy w nadprzewodzącym złączu Josephsona (kierunek → lub ←).
Bardziej zaawansowane koncepcje to pojedynczy
qubit na wielocząstkowych stanach w układach
spinowych [12], fermionowych, bozonowych, a nawet anyonowych [11]. Poszukuje się zwłaszcza rozwiązań w obszarze nanotechnologii przy wykorzystaniu dobrze rozwiniętej technologii miniaturyzacji klasycznej informatyki (epitaksji, litografii
i procesów samoorganizacji). Szczególnie interesujące są tu kropki kwantowe – układy o rozmiarach od kilku do kilkudziesięciu nanometrów,
najczęściej w heterostrukturach półprzewodnikoROK 2002
75
MATERIAŁY XXXVI ZJAZDU FIZYKÓW POLSKICH – TORUŃ 2001 – WYKŁADY PLENARNE
wych, mogące zawierać nawet pojedyncze elektrony. Stany elektronów zlokalizowanych w takich
kropkach, z energią wiązania od kilku do kilkudziesięciu meV, mogą być (w przeciwieństwie do
elektronów w atomach) łatwo modyfikowane polem magnetycznym (do 10 T) w zakresie do kilkudziesięciu procent, a także, w podobnym zakresie,
łatwo osiągalnym polem elektrycznym. Stale rozwijane techniki wytwarzania kropek pozwalają na
budowę skorelowanych układów kropek, np. cząsteczek czy łańcuchów kropek – niezbędnych dla
procesorów kwantowych.
Brane są pod uwagę zarówno orbitalne (elektronowe lub ekscytonowe), jak i spinowe stopnie swobody nośników uwięzionych w kropkach [12–16]. Całkowicie sterowana światłem ekscytonowa bramka logiczna na kwantowej cząsteczce (sprzężonej parze kropek) GaAs/InAs [14]
jest całkiem możliwa do realizacji – zademonstrowano już splątanie stanów [15]. Czas relaksacji
ekscytonów w kropkach jest rzędu nanosekundy,
więc zastosowanie ultraszybkich, femtosekundowych technik optycznych [17] daje szansę na korektę błędów. Ostatnio pojawiły się zastrzeżenia
w związku z możliwością pikosekundowej dekoherencji ekscytonów poprzez kanał niestabilnych
polaronów [18]. Wydaje się jednak, że wstępne
oszacowanie czasu tej dekoherencji było zawyżone. Poza tym, przez odpowiedni wybór rozmiarów kropki można będzie ominąć tę dekoherencję. Rozmiary kropek generowanych naprężeniem zależą (w niewielkim zakresie) od szczegółów technologii, być może należy zatem użyć kropek kształtowanych polem elektrycznym, o bardziej plastycznych charakterystykach.
Spinowe stopnie swobody mogą okazać się
znacznie korzystniejsze [12,13]. Czas dekoherencji spinu pojedynczego elektronu w kropce szacuje
się w skali mikrosekund (wobec bardzo słabego
sprzężenia z fononami). Trudności w tym przypadku związane są raczej z uzyskaniem pojedynczego elektronu w kropce oraz ze słabym rozszczepieniem Zeemana (np. 0,03 meV/T w GaAs). Różnica energii stanów qubitu zadanego przez dwie
orientacje spinu w polu magnetycznym jest zatem mała, a czas operacji jednoqubitowych byłby
niekorzystnie długi. W celu ominięcia tej trudności DiVincenzo [12] podał koncepcję qubitu spinowego na stanach trzech elektronów w trzech jednoelektronowych kropkach i wykorzystania do jed76
noqubitowych operacji silnego oddziaływania wymiennego (oddziaływanie to komutuje z Ŝ 2 i Ŝz ;
dla ośmiu stanów trójki spinów, dwie pary stanów mają te same S i Sz , a na jednej z nich
proponuje się rozpiąć qubit; wcześniej proponowano też qubit na stanach singletowym i trypletowym pary elektronów w kropce [16]). Oddziaływanie wymienne, choć spinowe, jest pochodzenia orbitalnego (Dodatek 3) i wyraża się poprzez różnicę energii stanów trypletowego i singletowego pary elektronów. Dobrze znane przejście singlet–tryplet w polu magnetycznym (dla
pola rzędu 1 T, w przypadku kropek kwantowych)
umożliwia zaprojektowanie sterowanego polem
magnetycznym splątania stanów spinowych, co
przy dużej wartości rozszczepienia singlet–tryplet
poza punktem krytycznym może pozwolić na implementację bardzo szybkich dwuqubitowych operacji (Dodatek 3), a także jednoqubitowych dla
wielospinowych qubitów.
Mimo wielkich wysiłków nie zbudowano jednak jeszcze pozwalającej na skalowanie bramki
logicznej w technologii półprzewodnikowej, nawet przy użyciu kropek kwantowych. Wobec skali
trudności tego zadania praktyczna konstrukcja
dużego komputera kwantowego może nie być zadaniem realistycznym w najbliższym czasie, jednakże gwałtowny postęp w zakresie doświadczalnej mechaniki kwantowej doprowadzi z pewnością
do wielu ważnych odkryć i praktycznych zastosowań, już dziś bardzo atrakcyjnych np. w zakresie
zabezpieczeń i transmisji.
Dodatek 1
Protokół gęstego kodowania kwantowego
Maksymalnie splątane stany pary qubitów (tzw.
stany Bella):
√
|ψ 1 i12 = (1/ 2)(|0i1 ⊗ |1i2 + |1i1 ⊗ |0i2 ),
√
|ψ 2 i12 = (1/ 2)(|0i1 ⊗ |1i2 − |1i1 ⊗ |0i2 ),
√
|ψ 3 i12 = (1/ 2)(|0i1 ⊗ |0i2 + |1i1 ⊗ |1i2 ),
√
|ψ 4 i12 = (1/ 2)(|0i1 ⊗ |0i2 − |1i1 ⊗ |1i2 ).
Dokonując wyłącznie lokalnych operacji na qubicie 2,
można uzyskać wszystkie stany Bella wychodząc z jednego, np.:
1. operacja tożsamościowa,
|0i2 → |0i2 i |1i2 → |1i2 daje |ψ 1 i12 ⇒ |ψ 1 i12 ,
2. zamiana stanów,
|0i2 → |1i2 i |1i2 → |0i2 daje |ψ 1 i12 ⇒ |ψ 3 i12 ,
POSTĘPY FIZYKI
TOM DODATKOWY 53D
ROK 2002
MATERIAŁY XXXVI ZJAZDU FIZYKÓW POLSKICH – TORUŃ 2001 – WYKŁADY PLENARNE
3. zróżnicowanie fazowe o π,
|0i2 → −|0i2 i |1i2 → |1i2 daje |ψ 1 i12 ⇒ |ψ 2 i12 ,
4. zamiana stanów i zróżnicowanie fazowe,
|0i2 → −|1i2 i |1i2 → |0i2 daje |ψ 1 i12 ⇒ |ψ 4 i12 .
Dodatek 2
Protokół teleportacji kwantowej
Chcemy przeteleportować stan qubitu 1, |ϕi1 =
α|0i1 + β|1i1 , na inny qubit 3. W tym celu splątu2
jemy
√ qubit 3 z pomocniczym qubitem 2, np. |ψ i23 =
(1/ 2)(|0i2 ⊗ |1i3 − |1i2 ⊗ |0i3 ); wtedy układ trzech
qubitów jest w stanie |φi123 = |ϕi1 ⊗ |ψ 2 i23 i można
go przedstawić w innej bazie:
2
Ŝ i =
2|φi123 = |ψ 2 i12 ⊗ (−α|0i3 − β|1i3 )
+ |ψ 1 i12 ⊗ (−α|0i3 + β|1i3 )
+ |ψ 4 i12 ⊗ (α|1i3 + β|0i3 )
+ |ψ 3 i12 ⊗ (α|1i3 − β|0i3 ).
Dodatek 3
Realizacja bramki CNOT
w spinowej konfiguracji pary kropek
Ĥ =
i=1,2
+
2
(p̂i + (e/c)A)
+ ωi ri2 + gi µB Ŝ i · B
2m∗
e2
.
ε|r 1 − r 02 |
POSTĘPY FIZYKI
TOM DODATKOWY 53D
1+
1
2
= 34 ,
3
2
+ 2Ŝ 1 · Ŝ 2 .
Dla singletu: S = 0, Ŝ 2 ⇒ S(S + 1) = 0, skąd
Ŝ 1 · Ŝ 2 ⇒ −3/4.
Dla trypletu: S = 1, Ŝ 2 ⇒ S(S + 1) = 2, skąd
Ŝ 1 · Ŝ 2 ⇒ 1/4.
Zatem operator (1/4)(Es +3Et )−(Es −Et )Ŝ 1 · Ŝ 2
ma takie same wartości własne dla singletu S = 0 i trypletu S = 1 jak orbitalna część hamiltonianu Ĥ, czyli
X
Ĥ = (Et − Es )Ŝ 1 · Ŝ 2 +
gi µB Ŝ i · B.
i=1,2
Oddziaływanie wymienne Et − Es = J(B) zmienia się mocno dla pola w zakresie kilku T, przechodząc
przez zero, co pozwala na włączanie lub wyłączanie oddziaływania i splątania obu qubitów. Sterowana polem
magnetycznym operacja CNOT wyraża się wtedy wzorami [13]:
z
z
z
ÛCNOT = eiπŜ1 /2 e−iπŜ2 /2 Û 1/2 eiπŜ1 Û 1/2 ,
Rτ
i
Ĥ dt
Û = T e 0 int
(h̄ = 1),
Z τ
J dt = π.
Ĥint = J Ŝ 1 · Ŝ 2 ,
0
Literatura
Rolę qubitów odgrywają w tym przypadku spiny
elektronów w dwóch jednoelektronowych kropkach
(patrz rysunek) w polu magnetycznym. Hamiltonian
tego układu ma postać
(
1
2
Ŝ 2 = (Ŝ 1 + Ŝ 2 )2 =
Wykorzystano tu bazę przestrzeni H1 ⊗ H2 ⊗ H3 rozpiętą przez wektory Bella w H1 ⊗ H2 (Dodatek 1).
Współczynniki α i β, które chcemy teleportować, od
razu już znajdują się przy qubicie 3 (nawet bardzo odległym, ale splątanym z 2) w czterech różnych kombinacjach. Wystarczy wybrać jeden z ortogonalnych stanów |ψ i i12 (przez pomiar – rzutowanie), a cały układ
znajdzie się np. w stanie |ψ 4 i12 ⊗ (α|1i3 + β|0i3 ), jeśli
wybraliśmy i = 4. Należy teraz poinformować (klasycznie) odbiorcę przy qubicie 3, które i wybraliśmy,
żeby wiedział, jak lokalnie na qubicie 3 uzyskać stan
|ϕi3 = α|0i3 + β|1i3 . Równocześnie qubit 1 przestaje
być w stanie czystym |ϕi1 , bo zostaje splątany z qubitem 2, podczas gdy qubit 3 odplątuje się i po lokalnej
manipulacji uzyskuje wyjściową zawartość qubitu 1.
Stan qubitu 1 jest więc teleportowany na qubit 3 bez
naruszenia twierdzenia no-cloning ani zasad relatywistycznych (klasyczna informacja o i została przekazana
wolniej niż światło).
X
Dla spinu 1/2:
)
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
W. Żurek, Phys. Rev. D 26, 1862 (1982).
M.B. Menskij, Usp. Fiz. Nauk 169, 1017 (1998).
D. Aharonov, quant-ph/98 12037 (1999).
J. Preskill, http://www.theory.caltech.edu/˜preskill/
ph229.
D. Bouwmeester, A. Ekert, A. Zeilinger, The Physics
of Quantum Information (Springer Verlag, 2000).
W.K. Wootters, W.H. Żurek, Nature 299, 802 (1982).
H. Barnum i in., Phys. Rev. Lett. 76, 2818 (1996).
A.K. Pati, S.L. Braunstein, Nature 404, 184 (2000);
W.H. Żurek, Nature 404, 130 (2000).
ROK 2002
77
MATERIAŁY XXXVI ZJAZDU FIZYKÓW POLSKICH – TORUŃ 2001 – WYKŁADY PLENARNE
[9] D. Gottesman, I.L. Chuang, Nature 402, 390 (1999).
[10] Ch. Bennet, D.P. DiVincenzo, Nature 404, 247
(2000); D.P. DiVincenzo, Science 270, 255 (1995).
[11] M.H. Friedman, quant-ph/0101025 (2001); A. Kitaev,
Russian Math. Survey 52, 1191 (1997).
[12] D.P. DiVincenzo i in., Nature 408, 339 (2000).
[13] D. Loss, D.P. DiVincenzo, Phys. Rev. A 57, 120
(1998); G. Burkard i in., Phys. Rev. B 59, 2070
(1999).
78
[14] P. Zanardi, F. Rossi, Phys. Rev. Lett. 81, 4752 (1998);
Phys. Rev. B 59, 6170 (1999); E. Biolatti i in., Phys.
Rev. Lett. 85, 564 7 (2000).
[15] M. Bayer i in., Nature 405, 923 (2000); Science 291,
451 (2001); G. Chen i in., Science 289, 1906 (2000).
[16] L. Jacak i in., Acta Phys. Pol. A 99, 277 (2001).
[17] J.M. Kikkawa, D.D. Awschalom, Nature 397, 139
(1999); Phys. Today, June 1999, s. 33.
[18] O. Verzelen i in., Phys. Rev. B 62, R4809 (2000).
POSTĘPY FIZYKI
TOM DODATKOWY 53D
ROK 2002