wyznaczanie współczynnika lepkości cieczy na podstawie

Ćwiczenie 8
WYZNACZANIE
WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY
NA PODSTAWIE PRAWA STOKESA
Cel ćwiczenia: Badanie ruchu ciał spadających w ośrodku ciekłym,
wyznaczenie współczynnika lepkości cieczy metodą Stokesa,
wyznaczanie zależności współczynnika lepkości cieczy od temperatury
za pomocą wiskozymetru Höpplera.
Zagadnienia: Zjawisko lepkości cieczy. Laminarny i turbulentny ruch
cieczy, prawo Stokesa, równanie ruchu kulki w cieczy lepkiej i jego
rozwiązanie.
8.1. Wprowadzenie
Lepkością lub tarciem wewnętrznym nazywamy zjawisko występowania
sił stycznych przeciwstawiających się przemieszczeniu jednych części ciała
względem innych jego części. Zjawisko to powstaje na skutek ruchów
cieplnych cząsteczek oraz sił międzycząsteczkowych. W wyniku działania
siły tarcia wewnętrznego występującego między warstwami cieczy,
poruszająca się warstwa pociąga za sobą warstwy sąsiadujące z nią
z prędkością tym bardziej zbliżoną do prędkości własnej, im ciecz jest
bardziej lepka. Analogicznie - spoczywająca warstwa cieczy hamuje
sąsiadujące z nią poruszające się warstwy.
Ze względu na to, że wszystkie rzeczywiste ciecze są lepkie, zjawisko
lepkości odgrywa istotną rolę podczas przepływu cieczy oraz podczas ruchu
ciała stałego w ośrodku ciekłym.
1
Podstawową metodą opisu ruchu płynu w hydrodynamice jest metoda
Eulera, polegająca na podaniu zależności wartości wektora v prędkości
przepływu płynu w różnych punktach przestrzeni, od współrzędnych tych
G
G
punktów i czasu - v = f (r , t ) .
Przepływ płynu nazywany ustalonym lub stacjonarnym jeżeli prędkość
cieczy w każdym punkcie obszaru zajętego przez ciecz nie zmienia się
w czasie, czyli v nie zależy od t.
Przepływ nazywamy laminarnym lub warstwowym w przypadku, gdy
strumień stanowi zespół warstw przemieszczających się jedna względem
drugiej bez mieszania. Przy małych prędkościach przepływ cieczy przez
rurę gładką jest przepływem laminarnym - warstwowym (prędkość w
każdym punkcie jest jednoznacznie określona) - rys. 8.1.
Gdy prędkość maksymalna przepływu cieczy przekroczy pewną wartość
krytyczną, charakterystyczną dla
danej cieczy - ruch przestaje być
laminarny. Następuje mieszanie
różnych warstw cieczy w wyniku
tworzących się wirów. Prędkość
przestaje być określoną funkcją
współrzędnych położenia. Ruch
taki nazywamy turbulentnym Rys. 8.1. Rozkład prędkości cieczy w rurze o wirowym.
przekroju kołowym; 2R - średnica rury
Płyn, w którym nie występuje
tarcie wewnętrzne między warstwami cieczy lub można je zaniedbać,
nazywamy płynem doskonałym.
Prawo empiryczne określające siłę oddziaływania występującą między
dwiema warstwami cieczy (ruch laminarny) podał Newton. Można je
wyrazić wzorem
Ft = ηS
2
dv
.
dx
(8.1)
Siła Ft , jaką wywierają na siebie nawzajem dwie sąsiadujące ze sobą
warstwy płynu, jest proporcjonalna do iloczynu ich powierzchni styku S
i gradientu prędkości dv/dx (rys. 8.1). Współczynnik proporcjonalności η
nazywamy współczynnikiem lepkości. Jednostka współczynnika lepkości
ma w układzie SI wymiar
[η ] = N 2s
m
.
Współczynnik lepkości ośrodka zależy od temperatury T. Dla cieczy słuszna
jest w przybliżeniu zależność
η = Ce b / T ,
(8.2)
gdzie: C, b - stałe charakteryzujące ciecz.
Zjawisko lepkości, podobnie jak dyfuzja i przewodnictwo cieplne, należy
do grupy zjawisk obejmowanych wspólną nazwę zjawisk transportu.
W zjawiskach lepkości, dzięki ruchom cieplnym cząsteczek cieczy, mamy
do czynienia z transportem pędu między warstwami poruszającymi się z
różną prędkością. Ten właśnie transport sprzyja wyrównywaniu się
prędkości w całym strumieniu przepływającej cieczy.
Prawo Stokesa
Ciało stałe, poruszające się w ośrodku ciekłym, napotyka na opór.
Mechanizm tego zjawiska jest następujący: warstwa cieczy przylegająca do
powierzchni poruszającego się ciała, wprawia w ruch pozostałe warstwy
cieczy. Tak więc istotną rolę odgrywa tu lepkość cieczy. Wypadkowa siła
oporu działa przeciwnie do kierunku ruchu ciała. Doświadczalnie
stwierdzono, że dla małych prędkości siła oporu Ft jest wprost
proporcjonalna do prędkości v, zależy od charakterystycznego wymiaru
liniowego ciała l oraz od współczynnika lepkości cieczy η .
Równanie określające siłę oporu ma postać
3
Ft = −αlηv ,
(8.3)
gdzie: α - stała zależna od kształtu ciała.
Dla kuli o promieniu r ( l = r ) współczynnik α = 6π i równanie (8.3)
przechodzi w tzw. prawo Stokesa
Ft = −6πrηv .
(8.4)
Rozpatrzmy ruch małej kulki o promieniu r, spadającej swobodnie
w cieczy lepkiej. Na kulkę działają siły:
- ciężar kulki P = mg = ρVg ,
- siła wyporu Archimedesa W = − ρ ′Vg ,
- siła oporu wynikająca z ruchu Ft = −6πrηv ,
4
przy czym: V = πr 3 - objętość kulki, ρ - gęstość materiału kulki,
3
ρ - gęstość cieczy.
Siła wypadkowa F, działająca na ciało wynosi
F = P + W + Ft
(8.5)
i jest ona siłą malejącą. Przyczyną takiego stanu jest zwiększanie się
prędkości kulki i w konsekwencji wzrost wartości siły Ft . Przyspieszenie
ciała maleje zatem w czasie, a prędkość dąży do wartości granicznej,
odpowiadającej stanowi F = 0 .
Równanie ruchu kulki ma postać
m
dυ
= ρVg − ρ ′Vg − 6πrηυ .
dt
(8.6)
Rozwiązaniem tego równania różniczkowego (przy założeniu, że w chwili
t 0 = 0 v(t0 ) = 0 ) jest funkcja
υ=
gdzie:
4
A
(1 − e − Bt ) ,
B
A=
Vg ( ρ − ρ ′)
,
m
B=
6πrη
.
m
(8.7)
Prędkość graniczna (prędkość stała)
υ g = lim υ (t ) =
t →∞
A
B
(8.8)
ściśle zatem kulka osiąga prędkość graniczną po czasie nieskończenie
długim. W rzeczywistości jednak już po niedługim czasie ruch można z
dobrym przybliżeniem uważać za jednostajny. Ażeby pokazać rząd tego
przybliżenia, obliczmy po jakim czasie ruchu t1 prędkość cząstki v będzie
się różniła od prędkości granicznej vg nie więcej niż o ε v g . Błąd względny
wyznaczania v g
ε=
υ g −υ
= e − Bt1 . .
υg
Stąd
1 1
t1 = ln =
B ε
2r 2 ρ ln
9η
1
ε..
Widzimy więc, że czas konieczny do zbliżenia się do stanu określonego
przez ε może być zmniejszony przez użycie małej (małe r) i lekkiej
(małe ρ ) kulki. Podstawiając we wzorze (8.8) określającym ruch
jednostajny stałe A i B, otrzymujemy
η=
2r 2 g ( ρ − ρ ′ )
.,
9υ g
(8.9)
Korzystając z tego wzoru wyznaczamy współczynnik lepkości cieczy.
Zauważmy jeszcze, że wzór (8.9) jest ściśle słuszny tylko dla obszaru
nieograniczonego cieczy. Jeżeli badana ciecz znajduje się w naczyniu, to
należy uwzględnić działania ścianek na ruch kulki. Dla warstwy cieczy
o wysokości H, znajdującej się w naczyniu cylindrycznym o promieniu R,
jeśli kulka porusza się wzdłuż osi cylindra, otrzymujemy wzór
5
η=
2
9
( ρ − ρ ′)r 2 g
r 
r 

υ g 1 + 2,4 1 + 3,1 
R 
H

..
(8.10)
Poprawki uwzględniające oddziaływanie ścianek bocznych i dna
naczynia, można pominąć dla względnie dużych naczyń (r/R, r / H = 0 ).
Uwzględniając wzory (8.9, 8.10) możemy w przypadku kulki spadającej
w cieczy przedstawić współczynnik lepkości w postaci
η = k ( ρ − ρ ′ ) t. .
(8.11)
Stałą k określają warunki doświadczenia, a t jest czasem przebycia zadanej
drogi w ruchu jednostajnym.
8.2. Zasada pomiaru i układ pomiarowy
1. W
pierwszej
części
ćwiczenia
współczynnik lepkości wyznaczamy metodą
Stokesa, posługując się szerokim szklanym
naczyniem
cylindrycznym
wypełnionym
badaną cieczą.
Na zewnątrz powierzchni bocznej naczynia
znajdują się dwa przesuwne pierścienie
(rys. 8.2). Za ich pomocą ustalamy drogę,
Rys. 8.2. Urządzenie do
pomiaru współczynnika
którą kulka ma przebyć w cieczy ruchem
lepkości cieczy metodą
jednostajnym. Wybraną kulkę puszczamy
Stokesa: 1 - ciecz, 2 - cylinder
szklany, 3 - spadająca kulka,
swobodnie tuż nad powierzchnią cieczy w ten
4 - pierścienie, h - odległość
sposób, aby jej tor w przybliżeniu pokrywał
między pierścieniami
się z osią naczynia. Przy kilku położeniach
górnego pierścienia mierzymy średnią prędkość kulki na drodze między
pierścieniami. Równe prędkości średnie świadczą o jednostajnym ruchu
6
kulki między pierścieniami. W przypadku niejednakowych wartości
prędkości należy odpowiednio obniżyć górny pierścień.
2. W drugiej części ćwiczenia wyznaczamy współczynnik lepkości cieczy
wykorzystując metodę Stokesa w wiskozymetrze Höpplera (rys. 8.3).
Stosunkowo duża kulka ( r ≅ R )
porusza się w cieczy zamkniętej w
szklanej rurze. Całość znajduje się
w osłonie termostatycznej. Temperatura cieczy stanowiącej osłonę
może być regulowana. Dzięki
temu za pomocą wiskozymetru
Höpplera możemy wyznaczyć
zależność lepkości cieczy od
temperatury.
Rys. 8.3. Wiskozymetr Höpplera: 1 - rurka,
2 - kulka, 3 - kreski, między którymi mierzy Rurka może się obracać wokół osi
się czas spadania kulki, 4 - osłona
a − a ′ , prostopadłej do ramienia
termostatyczna, 5 - termometr
statywu. Urządzenie aretujące
pozwala ustawić stabilnie rurkę. Droga pomiarowa jest określona przez
kreski znaczące na rurce. Stała k przyrządu jest zatem ściśle określona.
Gęstość cieczy jest podana. Mierząc czas ruchu kulki na odcinku między
kreskami, wyznaczamy lepkość cieczy w oparciu o wzór (8.11).
8.3. Zadania do wykonania
A) Pomiary:
a) w szerokim naczyniu cylindrycznym
1. Ustalić właściwe drogi pomiarowe (odpowiednie położenie pierścienia
górnego).
2. Za pomocą linijki z podziałką milimetrową zmierzyć odległość między
pierścieniami.
7
3. Wybrać kilka kulek i zmierzyć ich średnice śrubą mikrometryczną.
Pomiaru średnicy każdej kulki dokonać kilka razy w różnych kierunkach.
4. Wyznaczyć areometrem gęstość badanej cieczy.
5. Zmierzyć stoperem czasy ruchu kulek na drodze między pierścieniami
(górnym i dolnym). Dla każdej kulki dokonać kilka razy pomiaru czasu.
6. Zmierzyć wysokość słupa cieczy w naczyniu oraz promień cylindra.
b) w wiskozymetrze Höpplera
1. Ustalić temperaturę cieczy w osłonie.
2. Dla danej kulki zamkniętej w rurce z badaną cieczą zmierzyć kilkakrotnie
stoperem czas opadania kulki na drodze między kreskami znaczącymi.
Kulkę wprawiamy w ruch przez odaretowanie rurki wraz z osłoną
termostatyczną i jej obrót wokół osi a − a ′ o kąt 180° .
3. Analogiczne pomiary wykonać przy innych temperaturach cieczy.
B) Opracowanie wyników:
a) dla szerokiego naczynia cylindrycznego
1. Obliczyć wartości średnie promieni kulek.
2. Obliczyć wartości średnie czasów opadania kulek między pierścieniami.
3. Ze wzoru (8.10) obliczyć współczynnik lepkości cieczy. Wyznaczyć
wartość średnią ze wszystkich pomiarów.
4. Obliczyc bezwzględny i względny błąd pomiaru współczynnika lepkości.
b) dla wiskozymetru Höpplera
1. Obliczyć średni czas opadania kulki.
2. Obliczyć współczynnik lepkości badanej cieczy, dla danej temperatury
pomiaru, korzystając ze wzoru (8.11) oraz z załączonej karty
uwierzytelniającej przyrządu.
3. Oszacować dokładność pomiaru (błąd maksymalny).
4. Sporządzić wykres ln η = f (1 / T ) .
8