4. Zmienne losowe

Wst¦p do statystycznej analizy danych
(3 inf, 2015/2016)
4. Zmienne losowe
Niech X oznacza liczb¦ orªów w trzech rzutach monet¡.
a) Wyznacz rozkªad, dystrybuant¦ (wzór i wykres) zmiennej losowej X .
b) Oblicz P(X ≤ 1), P(X > 2), P(X = 1, 5), P(X = 1), P (2 ≤ X ≤ 3), P(X < 3).
Zad. 4.1
Wyznacz rozkªad zmiennej losowej, której dystrybuanta wyra»a si¦ nast¦puj¡cym wzorem:

Zad. 4.2
0,
t < −1,



0.2, −1 ≤ t < 12 ,
F (t) =
 0.4, 12 ≤ t < 3,


1,
t ≥ 3.
Niech X b¦dzie zmienn¡ losow¡ okre±laj¡c¡ liczba sukcesów w schemacie Bernoullego. Obliczy¢ EX , V ar(X).
Zad. 4.3
Zad. 4.4
Niech X ∼ P oiss(λ). Oblicz
a) P(X = 2),
b) warto±¢ oczekiwan¡ zmiennej losowej Y = eX .
Dobierz staªe A i B tak, aby funkcja okre±lona dla x ∈ R wzorem F (x) =
A + Barctgx, byªa dystrybuant¡ zmiennej losowej X . Wyznacz g¦sto±¢ X .
Zad. 4.5
Zad. 4.6
Niech X b¦dzie zmienn¡ losow¡ o g¦sto±ci f (t) =
0;
t∈
/ [−2, 2]
2
a(4 − t ); t ∈ [−2, 2].
a) Wyznacz parametr a i narysuj wykres f .
b) Wyznacz dystrybuant¦ zmiennej X i narysuj jej wykres.
c) Oblicz E(X), V ar(X).
d) Wyznacz E(3X + 2)2 .
e) Oblicz prawdopodobie«stwo, »e X > 1 lub X < −1.
f) Zinterpretuj P (X < −1) na wykresie g¦sto±ci i dystrybuanty.
Zad. 4.7
Niech X ma rozkªad N (1, 2). Oblicz P(X < 0), P(X < 1), P(X > −1),
P(|X| > 1).
Wiedz¡c, »e X ma rozkªad wykªadniczy z parametrem λ > 0 i P(X < 2) = 43 ,
znajd¹
Zad. 4.8
a) dystrybuant¦ zmiennej losowej X ,
b) λ;
c) warto±¢ oczekiwan¡ i wariancj¦ zmiennej losowej e−X .
Wiadomo, »e E(X + Y ) = a, E(X − Y ) = b, V ar(X − Y ) = V ar(X + Y ).
Oblicz E(XY ).
Zad. 4.9
Zmienne losowe X i Y s¡ niezale»ne i maj¡ rozkªad normalny N (0, 1). Czy
zmienne losowe 2X + Y i X + 2Y s¡ niezale»ne?
Zad. 4.10
1
Wst¦p do statystycznej analizy danych
(3 inf, 2015/2016)
4'. Zmienne losowe - zadania do samodzielnego rozwi¡zania.
Z partii zawieraj¡cej 100 wyrobów, z których 10 jest wybrakowanych, losujemy 5 wyrobów do sprawdzenia (bez zwracania). Znale¹¢ rozkªad zmiennej losowej
okre±laj¡cej liczb¦ braków w wylosowanej próbce.
Zad. 4'.1
Zmienne losowe X , Y s¡ niezale»ne i maj¡ rozkªad geometryczny z parametrem
p, 0 < p < 1. Niech Z = min(X, X − Y ). Znale¹¢ P(Z = −1).
Zad. 4'.2
Wyznacz rozkªad zmiennej losowej, której dystrybuanta wyra»a si¦ nast¦puj¡cym wzorem:
Zad. 4'.3
a)

0,



0.3,
F (t) =
0.6,



1,
t < − 12 ,
− 12 ≤ t < 3,
3 ≤ t < 3.5,
t ≥ 3.5.
b)

0,



0.2,
F (t) =
0.7,



1,
Zad. 4'.4
t < −2,
−2 ≤ t < 1.5,
1.5 ≤ t < 5,
t ≥ 5.
Niech X oznacza ilo±¢ reszek w rzutach czterema monetami. Wyznacz:
a) rozkªad zmiennej losowej X ,
b) warto±¢ oczekiwan¡ i wariancj¦ zmiennej losowej X ,
c) dystrybuant¦ (wzór i wykres) tej zmiennej losowej.
Do trzech kolorowych pudeªek (czerwone, niebieskie, zielone) wkªadamy 3 kolorowe piªki (czerwon¡, niebiesk¡, zielon¡). Ka»da piªka musi tra¢ do dokªadnie
jednego pudeªka. Kolor pudeªek, do których wkªadamy piªki nie jest znany w trakcie do±wiadczenia. Niech X b¦dzie zmienn¡ losow¡ okre±laj¡c¡ ilo±¢ prawidªowych
przyporz¡dkowa« kul do pudeªek pod wzgl¦dem kolorów. Wyznacz:
Zad. 4'.5
a) rozkªad zmiennej losowej X ,
b) warto±¢ oczekiwan¡ i wariancj¦ zmiennej losowej X ,
b) dystrybuant¦ (wzór i wykres) tej zmiennej losowej.
W pudeªku znajduj
a sie trzy ponumerowane od 1 do 3 »etony. Gracz losuje
trzykrotnie »eton bez zwracania. Zdobywa tyle punktów, w ilu przypadkach numer
»etonu zgadza sie z numerem losowania. Wyznacz:
Zad. 4'.6
a) rozkªad zmiennej losowej X , okre±laj¡cej liczb¦ zdobytych punktów,
b) warto±¢ oczekiwan¡ i wariancj¦ zmiennej losowej X ,
b) dystrybuant¦ (wzór i wykres) tej zmiennej losowej.
2
Wst¦p do statystycznej analizy danych
Zad. 4'.7
(3 inf, 2015/2016)
Niech X ma rozkªad N (4, 16). Oblicz:
a) P(X > −1),
b) P(|X| < 6).
Zad. 4'.8
Niech X ma rozkªad N (3, 9). Oblicz:
a) P(X > −2),
b) P(|X| < 5).
Zad. 4'.9
Zmienna losowa X ma g¦sto±¢ f (x) = α(x2 − 1)1(−2,2) (x).
a) Wyznacz dystrybuant¦ zmiennej X .
b) Wyznacz parametr α.
c) Oblicz warto±¢ oczekiwan¡ zmiennej (1 − X)2 .
d) Oblicz P (X > 0).
Zad. 4'.10
Zmienna losowa X ma g¦sto±¢ dan¡ wzorem:
f (x) = ax(x − 3)1(0,3) (x).
(a) Wyznacz parametr a i narysuj wykres g¦sto±ci.
(b) Wyznacz dystrybuant¦ zmiennej X i narysuj jej wykres.
(c) Oblicz warto±¢ oczekiwan¡ zmiennej (X − 1)2 .
(d) Oblicz P (X > 1).
Zad. 4'.11
Zmienna losowa X ma g¦sto±¢ f (x) = α(−x2 + x + 2)1(−1,2) (x).
a) Wyznacz dystrybuant¦ zmiennej X .
b) Wyznacz parametr α.
c) Oblicz warto±¢ oczekiwan¡ zmiennej (2X − 3)2 .
d) Oblicz P (X > 1).
Zad. 4'.12
Zmienna losowa X ma g¦sto±¢ f (x) =
αxα−1 , x ∈ (0, 1),
.
0,
w p.p.
a) Wyznacz dystrybuant¦ zmiennej losowej X .
b) Wyznacz parametr α.
c) Oblicz wariancj¦ zmiennej X oraz warto±¢ oczekiwan¡ zmiennej (1 − X)2 .
d) Oblicz P (X > 21 ).
Znajd¹ warto±¢ oczekiwan¡ pola prostok¡ta, którego obwód jest równy 20,
a jeden bok jest zmienn¡ losow¡ X o rozkªadzie jednostajnym na [1, 10].
Zad. 4'.13
Znajd¹ warto±¢ oczekiwan¡ pola trójk¡ta, którego wysoko±¢ jest dwa razy
krótsza ni» podstawa b¦d¡ca zmienn¡ losow¡ X o rozkªadzie U [1, 4].
Zad. 4'.14
3