Inżynierskie zastosowania statystyki – ćwiczenia

Inżynierskie zastosowania statystyki – ćwiczenia
Temat 2: Prawdopodobieństwo warunkowe. Zmienna losowa. Gęstość i dystrybuanta
zmiennej losowej.
Zadania do rozwiązania:
1. W urnie znajduje się 10 kul w tym 7 kul białych oraz 3 czarne. Z urny losujemy dwukrotnie po
jednej kuli. Obliczyć prawdopodobieństwo, że obydwie wylosowane kule są białe.
2. Ze zbioru cyfr {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} losujemy bez zwrotu k elementów, które tworzą liczbę
L=C1C2C3. Zakładamy, że wszystkie możliwe do otrzymania w ten sposób liczby są jednakowo
prawdopodobne. Obliczyć prawdopodobieństwo, że otrzymana liczba L < 444.
3. W kanale łączności nadawane są tylko 3 rodzaje ciągów liter: AAAA, BBBB, CCCC z
prawdopodobieństwami 0,4; 0,3; 0,3. W trakcie transmisji może dojść do zakłócenia
losowego, które może powodować, że np. litera A zostanie odebrana jako B lub C.
Prawdopodobieństwo transmisji poprawnej lub przekłamania znaku pokazane jest w tabeli.
A
B
C
A
0,8
0,1
0,1
B
0,1
0,8
0,1
C
0,1
0,1
0,8
a) Oblicz prawdopodobieństwo na wyjściu sygnałów: AAAA, ACAA, CCCC, ABCA
b) Na wyjściu odebrano sygnał ACAA – oblicz prawdopodobieństwo, że został on nadany
jako AAAA
c) Na wyjściu odebrano sygnał AAAA – oblicz prawdopodobieństwo, że został on nadany
również jako AAAA
4. W fabryce przeprowadzany jest test diagnostyczny mający na celu wykrycie wadliwych
wyrobów. Test stosuje się do zbadania pojedynczych sztab wylosowanych z dużej partii tego
wyrobu. Wiadomo, że przeciętnie 5% całej produkcji stanowią produkty wadliwe.
Sprawdzono również, że jeżeli produkt jest wadliwy, to w 90% test wykazuje wadliwość (czyli
wynik testu jest pozytywny). Jeżeli produkt jest wykonany prawidłowo to w 90% test nie
wykazuje wadliwości.
a) Wyznacz prawdopodobieństwo, że produkt jest wadliwy, jezeli wynik testu był
pozytywny?
b) Jak zmieni się powyższe prawdopodobieństwo, jeżeli produkt będzie badany dwukrotnie
i w obu przypadkach wyniki testu będą pozytywne?
5. Na ćwiczeniach Inżynierskie Zastosowania Statystyki przeprowadzono kolokwium. Niech X
oznacza ocenę (dla uproszczenia skala czterostopniowa 2.0, 3.0, 4.0, 5.0) losowo wybranego
studenta. Załóżmy, że stosunek ocen ma się jak 1 : 3 : 4 : 2.
a. dlaczego X możemy traktować jako zmienną losową?
b. wyznacz dla zmiennej losowej X funkcję prawdopodobieństwa i naszkicuj wykres,
c. wyznacz dystrybuantę i naszkicuj jej wykres,
d. oblicz prawdopodobieństwo P( X < 3,5) korzystając
i. z funkcji prawdopodobieństwa,
ii. z dystrybuanty (zaznaczając prawdopodobieństwo na rysunku),
e. analogicznie oblicz prawdopodobieństwo P( 3 <= X < 4,5),
f. na wykresie dystrybuanty podaj interpretację prawdopodobieństwa P(X=3).
IZS 2014, Temat 2, str. 1
6. Dystrybuanta F zmiennej losowej X jest określona w następujący sposób:
x
 ,2
 2,3
5, 
3,5
F(x)
0
0,4
0,5
1
Wyznacz funkcję prawdopodobieństwa tej zmiennej.
7. Rozpatrujemy funkcję określoną wzorem F ( x)  A  B arctan x dla    x   . Dobierz
stałe A i B tak, żeby funkcja F(x) była dystrybuantą zmiennej losowej X. Wyznacz gęstość
zmiennej losowej X.
8. Funkcja niezawodności urządzenia oznacza prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy
urządzenia w ciągu czasu t. Często przyjmuje się, że czas X bezawaryjnej pracy urządzenia jest
zmienną losową ciągłą o gęstości:
1
 x
 exp    dla x  0
f ( x)   
 
dla pozostalyc h x
0

Zakładając, że parametr   10 :
a) oblicz prawdopodobieństwo P (5 <= X <= 10)
b) wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej X
c) zinterpretuj obliczone prawdopodobieństwo przy pomocy wykresu gęstości i
dystrybuanty (wystarczy szkic wykresu)
IZS 2014, Temat 2, str. 2