materiał pochodzi ze strony matematyka.pisz.pl
Transkrypt
materiał pochodzi ze strony matematyka.pisz.pl
materiał pochodzi ze strony matematyka.pisz.pl Napisz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 3x − 2y + 2 = 0 i przechodzącej przez punkt P = (4, 1). Proste równoległe i prostopadłe Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy. y 2 3x − 2y + 2 = 0 y= x 2x 3 2x −1 y= 3 2x y= 2x Prosta y = : (−2) +1 3 2x Szukana prosta y = ax + b jest równoległa do y = + 1, więc a = 32 . + b przechodzi przez punkt A = (4, 1), więc 3 6 21 · 1= 6 42 + b 1=6+b y= y x −2 −3 y= 1 −1 −2y = −3x − 2 a1 = a2 −1 1 +2 Rozwiązanie: Znajduję postać kierunkową prostej. 1 x 2 −1 1−6=b Proste prostopadłe mają współczynniki kierunkowe spełniające wzór: x b = −5 Odp. Równanie szukanej funkcji liniowej to y = a1 · a2 = −1 3 2x − 5. −3 np. −2 · 1 2 = −1 Znajdź równanie funkcji liniowej, której wykres jest prostopadły do y = 3x − 2 i przechodzi przez punkt A = (6, 3). Rozwiązanie: Szukana prosta y = ax + b jest prostopadła do y = 3x − 2, więc Znajdź równanie funkcji liniowej, której wykres jest równoległy do y = 2x + 4 i przechodzi przez punkt A = (3, 7). a · 3 = −1 a= Rozwiązanie: Szukana prosta y = ax + b jest równoległa do y = 2x + 6, więc a = 2. :3 − 13 Prosta y = − 13 x + b przechodzi przez punkt A = (6, 3), więc Prosta y = 2x + b przechodzi przez punkt A = (3, 7), więc 3 = − 6 311 · 6 62 + b 7=2·3+b 3 = −2 + b 7−6=b b=1 3+2=b b=5 Odp. Równanie szukanej funkcji to y = − 13 x + 5. Odp. Równanie funkcji liniowej to y = 2x + 1 — matematyka.pisz.pl — 1 — matematyka.pisz.pl — Odp. Współczynniki kierunkowe a1 = 2 i a2 = 2 są równe, więc proste są równoległe. Znajdź równanie funkcji liniowej, której wykres jest prostopadły do x−3y +15 = 0 i przechodzi przez punkt A = (−2, −4). Rozwiązanie: Które z podanych par prostych są prostopadłe? Znajduję postać kierunkową prostej. y = 2x + 3 i x − 3y + 15 = 0 −3y = −x − 15 1 3 · a = −1 a = −1 · y = 3x + 2 i y = −2x + 3 Rozwiązanie: : (−3) Proste są prostopadłe, jeżeli iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy −1. y = 31 x + 5 Szukana prosta y = ax + b jest prostopadła do y = y = − 12 x + 4 1 3x + 5, więc 1 3 : y = 2x + 3 i y = − 21 x + 4 a1 · a2 = 2 · (− 21 ) = −1 Odp. Proste y = 2x + 3 i = − 12 x + 4 są prostopadłe. 3 1 a = −3 y = 3x + 2 i y = −2x + 3 a1 · a2 = 3 · (−2) = −6 6= −1 y = −3x + b Odp. Proste y = 3x + 2 i y = −2x + 3 nie są prostopadłe. Prosta y = −3x + b przechodzi przez punkt A = (−2, −4), więc −4 = −3 · (−2) + b −4 = 6 + b Znajdź równanie funkcji liniowej, która ma miejsce zerowe równe 6, a jej wykres jest prostopadły do y = 2x + 6. −4 − 6 = b Rozwiązanie: b = −10 Szukana prosta y = ax + b jest prostopadła do y = 2x + 6, więc Odp. Równanie szukanej funkcji to y = −3x − 10. a · 2 = −1 :2 a = − 21 Które z podanych par prostych są równoległe? y = 3x − 2 i y = −2x + 5 Prosta y = − 12 x + b ma miejsce zerowe 6, więc y = 2x − 1 i y = 2x + 8 0 = − 12 · 6 + b Rozwiązanie: 0 = −3 + b Proste są równoległe, jeżeli mają ten sam współczynnik kierunkowy a. 3=b y = 3x − 2 i Odp. Równanie szukanej funkcji to y = − 12 x + 3. y = −2x + 5 Odp. Współczynniki kierunkowe a1 = 3 i a2 = −2 są różne, więc proste nie są równoległe. y = 2x − 1 i Punkty B = (0, 10) i O = (0, 0) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego OAB , w którym | OAB| = 90◦ . Przyprostokątna OA zawiera się w prostej o równaniu y = 12 x. Oblicz y = 2x + 8 — matematyka.pisz.pl — 2 — matematyka.pisz.pl — współrzędne punktu A i długość przyprostokątnej OA. ( y = −2x + 10 y = 21 x Rozwiązanie: x 1 2x y= −2 0 2 −1 0 1 −2x + 10 = 12 x −2x − 12 x = −10 y −2 12 x = −10 B : − 52 x = −10 · − 25 l: − 52 x = −10 y= + ax b y k: = 1 x 2 x=4 y = 21 · 4 = 2 A A = (4, 2) x O Długość przyprostokątnej OA to odległość punktów O = (0, 0) i A = (4, 2) od siebie p (4 − 0)2 + (2 − 0)2 = 42 + 22 = √ √ √ = 16 + 4 = 20 = 4 · 5 = √ =2 5 |OA| = p √ Odp. A = (4, 2), |OA| = 2 5 1 2x Prosta k : y = jest prostopadła do l : y = ax + b, a więc ich współczynniki kierunkowe spełniają równanie: 1 2 · a = −1 a = −1 : : 1 2 1 2 a = −1 · 2 a = −2 Do prostej l : y = −2x+b należy punkt B = (0, 10), a więc współrzędne punktu B spełniają równanie prostej l 10 = −2 · 0 + b 10 = b b = 10 Punkt A jest to punkt przecięcia prostych l : y = −2x + 10 i k : y = można znaleźć rozwiązując układ równań: — matematyka.pisz.pl — 1 2 x. Jego współrzędne 3 — matematyka.pisz.pl —