OGRANiCZANiE BŁĘDÓW W NAWiGACJi

PRACE iNSTYTUTU LOTNiCTWA
221, s. 161–172, Warszawa 2011
OGRANiCZANiE BŁĘDÓW W NAWiGACJi iNERCJALNEJ
StaNISłaW PoPoWSkI
Instytut Lotnictwa
Streszczenie
Do najbardziej istotnych zalet nawigacji inercjalnej należą: jej autonomiczny charakter, duża
niezawodność, wyjątkowa odporność na zakłócenia oraz możliwość uzyskiwania pełnej informacji o ruchu obiektu. Niestety, wadą ograniczającą jej powszechne stosowanie są wysokie wymagania odnośnie dokładności czujników pomiarowych, przyspieszeniomierzy i giroskopów
wchodzących w skład systemu, co bezpośrednio przekłada się na jego koszty – zwykle dosyć wysokie. Wspomniane wymagania są jednak niezbędne, ponieważ stosowana w takich systemach
procedura określanie położenia poprzez dwukrotne całkowanie sygnałów pomiarowych powoduje narastanie błędów nawigacji proporcjonalnie do kwadratu czasu, jaki upłynął od chwili rozpoczęcia jej prowadzenia. W pracy przedstawione zostały metody uzyskiwania liniowej
zależ-ności dokładności nawigacji od czasu. Krótko przypomniano osiągnięcia Maxa Schulera,
omówiono sposoby tłumienia tak zwanych oscylacji Schulera oraz przedstawiono ideę procedury
ZUPT (Zero Velocity UPdaTes), która także pozwala na zachowanie liniowej zależności błędu określenia położenia od czasu. Rozważania teoretyczne zostały zilustrowane wynikami obliczeń symulacyjnych i badań eksperymentalnych.
1. WProWadzeNIe
Nawigacja bezwładnościowa jest jedną z odmian nawigacji zliczeniowej [1], [2]. znając
miejsce startu, mierząc w każdej chwili kierunek lotu oraz prędkość względem przyjętego
układu współrzędnych można obliczyć aktualne położenie (rys. 1, 2 i 3). W nawigacji bezwładnościowej pierwotną, mierzoną informacją są składowe przyspieszenia w przyjętym układzie współrzędnych, a prędkość jest wielkością pośrednią. Składowe przyspieszenia mierzone
są przez przyspieszeniomierze, które najczęściej działają na zasadzie pomiaru sił bezwładności masy pomiarowej utrzymywanej w stałym położeniu za pomocą sił zawieszenia.
Niestety przyspieszeniomierze liniowe nie są w stanie zmierzyć obrotów i każdy ruch kątowy platformy niweczy dotychczasowy pomiar. Potrzebne jest dodatkowe urządzenie, które
odpowiednio zorientowałoby platformę względem przyjętego układu współrzędnych. takim
urządzeniem może być giroskop, który umożliwia pomiary obrotów w przestrzeni inercjalnej
[2], [3], (rys. 2).
162
StaNISłaW PoPoWSkI
Problem nawigacji na samolotach, okrętach i pojazdach lądowych polega na nawigowaniu
względem obracającej się ziemi, a nie przestrzeni inercjalnej. Ponadto istnieje jeszcze jeden
problem związany z zachowaniem odpowiedniej dokładności nawigacji inercjalnej w czasie.
Jeśli zastosowany przyspieszeniomierz w kierunku ruchu obiektu ma dokładność δf, to przy
pominięciu wszystkich innych błędów, po czasie t na skutek dwukrotnego całkowania błąd
określenia położenia wyniesie (wzór z prawej jest dla konkretnego przyspieszeniomierza
o błędzie δf = 10-3 m/s2):
,
.
(1)
Wartość Δxpnm wyrażona jest w milach morskich (1 nm = 1852 m), a czas t w godzinach.
Rys. 1. Nawigacja zliczeniowa
Rys. 2. Nawigacja inercjalna – platforma z czujnikami
ograNIczaNIe błędóW W NaWIgacJI INercJaLNeJ
163
Rys. 3. Proces dwukrotnego całkowania przyspieszenia
Podobnie dryf giroskopu byłby przyczyną pochylenia platformy od nominalnej płaszczyzny i powodowałby również błędy położenia równe (wzór z prawej strony jest dla dryfu
giroskopu = 0.1 deg/h i daje wartość błędu położenia w milach morskich przy czasie liczonym w godzinach):
,
.
(2)
W ciągu pięciu godzin lotu błąd sumaryczny wyniósłby 2500 mil (około 4630 km). taki system byłby całkowicie bezużyteczny.
2. koNcePcJa M. SchuLera ograNIczeNIa błędóW NaWIgacJI INercJaLNeJ
W 1923 roku M. Schuler opublikował pracę, w której podał rozwiązanie sterowania platformy w płaszczyźnie horyzontalnej ziemi w taki sposób, aby była ona niewrażliwa na przyspieszenia horyzontalne [1], [2], [3].
Istotą tego sterowania było utrzymanie częstotliwości drgań własnych platformy takich jak
drgania własne wahadła matematycznego o długości promienia ziemi. okres tych drgań wynosi
84.4 minut i nosi nazwę okresu Schulera (rys. 4 i 5).
Rys. 4. Struktura pojedynczego kanału nawigacji inercjalnej
164
StaNISłaW PoPoWSkI
Rys. 5. Błąd określenia położenia w funkcji czasu w zależności od błędów
giroskopu i przyspieszeniomierza
Przy spełnieniu warunków nastrojenia platformy zgodnie z zaleceniem Schulera błąd określenia położenia na skutek niedokładności czujników może narastać proporcjonalnie do czasu
prowadzenia nawigacji. było to największe osiągnięcie w rozwoju nawigacji inercjalnej i dało
podstawy dalszego jej rozwoju. Warunkiem koniecznym do zbudowania takiego układu jest
możliwość dokładnego pomiaru prędkości kątowej (błąd pomiaru powinien być kilka rzędów
mniejszy od prędkości wirowania ziemi) oraz przyspieszenia. Możliwości technologiczne i konstrukcyjne umożliwiły praktyczne sprawdzenie tej koncepcji dopiero 30 lat później.
3. koNcePcJa tłuMIoNych układóW SchuLera
3.1. Bez zewnętrznego źródła prędkości
układ pomiarowy z rysunku 4 nie ma tłumienia i każde zakłócenie powoduje oscylacyjny
przebieg błędów określenia położenia. aby wprowadzić tłumienie można w najprostszym przypadku dodać sprzężenie zwrotne wokół pierwszego integratora. Schemat takiego układu przedstawia rysunek 6.
Rys. 6. Wprowadzenie tłumienia w jednym kanale nawigacji inercjalnej – struktura
ograNIczaNIe błędóW W NaWIgacJI INercJaLNeJ
165
dla współczynnika tłumienia bliskiego tłumieniu krytycznego (a = 0.0016 s-1) otrzymano
błąd ustalony 107000 m przy założonej prędkości liniowej 100 m/s. daje to wielkość rzędu
0.3 km błędu położenia na każdy 1 km/h prędkości.
Podobny błąd powstanie w orientacji platformy. W stanie ustalonym (gdy t ∞) błąd ten
osiągnie wartość:
.
(3)
Rys. 7. Wykresy błędów położenia dla różnych wartości wzmocnienia a układu z rysunku 6
Jak łatwo zauważyć z zależności (3), kątowy błąd położenia platformy ma trzy składniki.
Jeden zależny od prędkości liniowej i dwa związane z błędami giroskopu i przyspieszeniomierza. dla przyjętych wielkości: współczynnika sprzężenia a, prędkości liniowej v = 100 m/s oraz
błędu giroskopu = 0.01 deg/h i przyspieszeniomierza δf = 10-6 g, znaczący udział ma pierwszy składnik związany z prędkością liniową. Pozostałe są, co najmniej dwa rzędy mniejsze i w
tym wypadku można ich nie uwzględniać.
3.2. Z zewnętrznym źródłem prędkości
dużo lepsze rezultaty tłumienia oscylacji błędu położenia można osiągnąć przy wykorzystaniu zewnętrznego sygnału prędkości, uzyskanego na przykład z radaru dopplera, z centrali
danych aerodynamicznych lub z ostatnio szeroko stosowanych odbiorników nawigacji satelitarnej (rys. 8).
Przy wyborze źródła sygnału trzeba pamiętać o różnicach w sygnałach dostarczanych z
wyżej wymienionych źródeł. Nawigacja inercjalna prowadzona jest względem ziemi i dlatego
potrzebne są prędkości względem ziemi. radar dopplera i odbiornik gPS dostarczają prędkości względem ziemi (prędkość podróżna). centrala danych aerodynamicznych dostarcza prędkości względem powietrza (prędkość przyrządowa lub rzeczywista). dlatego najczęściej
centrala danych aerodynamicznych uzupełniona jest radarem dopplera lub odbiornikiem gPS.
Wtedy znacząco wzrasta niezawodność systemu, a sygnały z obu źródeł umożliwiają oszacowanie parametrów wiatru, które wykorzystuje się w chwilach przerw w pracy radaru
dopplera czy odbiornika gPS.
166
StaNISłaW PoPoWSkI
charakterystyki systemu inercjalnego i radaru dopplera są komplementarne. Połączenie obu
tych układów może stworzyć system, który będzie miał najlepsze cechy każdego z nich jednocześnie minimalizując niekorzystne efekty ich indywidualnych błędów (rys. 8 i 9).
Rys. 8. Wprowadzenie tłumienia w jednym kanale nawigacji inercjalnej
z wykorzystaniem zewnętrznego sygnału prędkości
Rys. 9. Błędy położenia dla struktury z rys. 8 dla różnych wartości współczynnika a
i zerowego błędu prędkości zewnętrznej
radar dopplera ma swoją największą dokładność podczas długiego okresu pracy. Jednocześnie dokładnie można określić prędkość w krótkich okresach czasu przez całkowanie sygnałów z przyspieszeniomierzy. Można zbudować taki układ sterowania platformą, w którym jego
naturalna częstotliwość byłaby sztucznie zwiększana.
dawałoby to efekt szybkiego zanikania błędów przy wprowadzeniu tłumienia od zewnętrznego źródła sygnału prędkości. taki zmodyfikowany układ przedstawiono na rysunku
10, a błędy położenia na rysunku 11.
ograNIczaNIe błędóW W NaWIgacJI INercJaLNeJ
167
Rys. 10. Struktura układu
z rysunku 8 ze zwiększoną
częstotliwością własną układu
Rys. 11. Błędy położenia dla struktury
z rysunku 10 dla różnych współczynników Y
Przy założeniu, że Y jest stałe, naturalna częstotliwość systemu wzrasta (1 + Y) razy i system
jest tłumiony szybciej przy wykorzystaniu zewnętrznego źródła sygnału prędkości niż poprzednio (rys. 8).
Rys. 12. Struktura z rysunku 10
z dodatkowo wprowadzonym całkowaniem
168
StaNISłaW PoPoWSkI
Jeśli zamiast stałej wartości Y przyjmiemy zależność:
,
(4)
to w sprzężeniu nastąpi całkowanie błędu stanu ustalonego i wtedy błąd określenia położenia
dla stanu ustalonego osiągnie wartość:
.
(5)
Rys. 13. Zależność błędu położenia
układu z rysunku 12 dla różnych wartości współczynnika b i przy zerowym
błędzie prędkości zewnętrznej
Rys. 14. Błędy określenia położenia
dla struktury z rysunku 12 w przypadku zmierzonej prędkości zewnętrznej z dokładnością względną
0.5%, 0.2% i 0.05%
ograNIczaNIe błędóW W NaWIgacJI INercJaLNeJ
169
Na rysunku 12 przedstawiono schemat takiego układu. W tym przypadku wartość Y dla
zero-wej częstotliwości dąży do nieskończoności. Przedstawione rozwiązanie może być praktycznie stosowane w celu osiągnięcia optymalnych własności układu.
Na rysunku 13 przedstawiono błędy położenia otrzymane dla układu z rysunku 12 dla różnych wartości współczynnika b i przy założeniu zerowego błędu zewnętrznego źródła prędkości. W przypadku pojawienia się błędów prędkości wzrastają błędy położenia, ale zależność
ich w funkcji czasu jest liniowa (rys. 14).
4. WykorzyStaNIe Procedury zuPt
do ograniczenia błędów nawigacji inercjalnej można również wykorzystać procedurę zuPt
(zero Velocity uPdates) [4]. Procedura ta polega na kalibracji czujników inercjalnych podczas
zatrzymania obiektu względem ziemi lub innego ciała niebieskiego. z tego powodu procedura
ta jest łatwa do stosowania w nawigacji lądowej. W pewnych sytuacjach można ją rozszerzyć
na obiekty ruchome [5]. Na rysunku 15 zostały przedstawione wykresy trzech składowych
prędkości obiektu otrzymane w wyniku pomiarów inercjalnych (po pierwszym całkowaniu).
W czasie 600 s obiekt przebył około 2000 m, zatrzymując się po drodze cztery razy na jedną
minutę. Pomiary przyspieszeń dokonano z dokładnością 0.005 m/s2, a prędkości kątowej
z dokładnością 0.05 deg/h. Wykres na rysunku 15 przedstawia składowe prędkości (u, v, w)
otrzymane z całkowania podczas całej trasy. Widać wyraźnie proces narastania błędów mierzonych prędkości.
Rys. 15. Składowe prędkości obiektu otrzymane przez całkowanie przyspieszeń
Wykres na rysunku 16 przedstawia pomiary na tej trasie, ale otrzymane z całkowania poszczególnych odcinków drogi. W momencie zatrzymania (składowe prędkości zerowe) zerowano również prędkości. Wielkości błędów oszacowane z pierwszego odcinka drogi
wprowadzano jako poprawki w następnym odcinku. W ten sposób otrzymano poprawione składowe pręd-kości, które następnie posłużyły po drugim całkowaniu do prowadzenia nawigacji.
170
StaNISłaW PoPoWSkI
Rys. 16. Składowe prędkości otrzymane przez całkowanie przyspieszeń
po zastosowaniu procedury ZUPT
Punkt końcowy dla pierwszego przypadku był odległy od dokładnej pozycji o przeszło
1000 m. Współrzędne punktu końcowego otrzymane z przebiegów z wykresu rysunku 16 były
odległe od pozycji dokładnej o 60 m. Wzrost dokładności w tym eksperymencie jest ponad piętnastokrotny! ograniczając czas całkowania do krótkich odcinków (praktycznie parominutowych)
i rozdzielając je momentami zatrzymania (poniżej minuty) można wielokrotnie zwiększyć dokładność prowadzonej nawigacji. zależność błędu nawigacji od czasu, która w przypadku nawigacji inercjalnej jest kwadratowa udaje się w ten sposób sprowadzić do liniowej. efekt
podobny tzn. błąd liniowy jak w przypadku stosowania układu Schulera.
5. WNIoSkI końcoWe
Przedstawione metody zmniejszania błędów układów nawigacji inercjalnej znalazły szerokie zastosowanie we współczesnych systemach nawigacji lądowej, morskiej i lotniczej.
Najbardziej uniwersalny jest układ Schulera. Można go stosować na wszystkich obiektach
poruszających się na ziemi lub w jej pobliżu. układ Schulera szczególnie nadaje się w przypadku długiego czasu prowadzenia nawigacji (od godzin do dni, miesięcy). efektem jego wprowadzenia jest otrzymanie liniowej zależności błędu położenia od czasu ruchu (rys. 17).
W przypadku układów nietłumionych pojawiają się charakterystyczne oscylacje z okresem
Schulera (ok. 84 minut). amplituda tych oscylacji zależy od dokładności giroskopów i przyspieszeniomierzy użytych do budowy układu.
Szczególne miejsce zajmują układy tłumione zewnętrznym sygnałem prędkości. W takich
układach poza wzrostem dokładności można również mówić o wzroście niezawodności spowodowanej redundancją. Ponadto poprzez wytłumienie oscylacji otrzymujemy liniową zależność błędu określenia położenia od czasu (rys. 18). układy tłumione Schulera są szeroko
wykorzystane w nawigacji lotniczej, morskiej i lądowej.
ograNIczaNIe błędóW W NaWIgacJI INercJaLNeJ
171
Rys. 17. Efekt działania układu Schulera na dokładność określenia położenia
Rys. 18. Efekt działania tłumionego układu Schulera
Procedura zuPt szczególnie nadaje się do układów nawigacji lądowej. Na rysunku 19 przedstawiono w sposób poglądowy jej ideę. zamiast prowadzić nawigację z nieliniowo narastającym
błędem określenia położenia, (lewa strona rys. 19), można ograniczyć czas jej prowadzenia do
stosunkowo krótkiego okresu. Po jego zakończeniu pojazd powinien się zatrzymać, wprowadzić
końcowy wynik nawigacji z pierwszego etapu jako warunek początkowy w następnym i przejść
do nawigacji w drugim etapie. Następne cykle przedstawionej procedury się powtarzają. efekt
widoczny jest po prawej stronie rysunku 19.
Pewne modyfikacje tej metody [5] można stosować na obiektach pływających i latających.
zarówno układ Schulera jak i procedura zuPt pozwala na osiągnięcie liniowej zależności błędu
prowadzonej nawigacji w funkcji czasu. W przypadku nawigacji lądowej można wymienione
procedury stosować łącznie, tworząc systemy nawigacji z korekcją od zewnętrznego sygnału
prędkości, w których również procedura zuPt może być wykonywana.
Rys. 19. Efekt działania procedury ZUPT
Poza wymienionymi metodami zmniejszania błędów w nawigacji inercjalnej można stosować integrację tych metod z innymi, współczesnymi systemami nawigacji jak na przykład z nawigacją satelitarną czy nawigacją korelacyjno-porównawczą.
172
StaNISłaW PoPoWSkI
bIbLIograFIa
[1] r. P. g. collinson: Introduction to Avionics, chapman & hall, 1996.
[2] M. kayton, W. r. Fried: Elektroniczne układy nawigacji lotniczej, tłumaczenie: J. kręcisz,
Wkił, 1976.
[3] S. Merhav: Aerospace Sensor Systems and Applications, Springer – Verlag, 1996.
[4] J. Szymanowski, J. grzelak, S. Popowski: Static Initial Azimuth Update Method in Land Navigation Systems, annual of Navigation, nr 6, 2003.
[5] J. Szymanowski, J. grzelak, S. Popowski: Dynamic Initial Settings Update Method in Inertial
Navigation Systems, annual of Navigation, nr 8, 2004.
StaNISłaW PoPoWSkI
LIMItatIoNINg oF INertIaL NaVIgatIoN errorS
Summary
Some of the most significant inertial navigation advantages are: its autonomy, high reliability,
extraordinary resistance to interferences and the possibility to receive full information about vehicle motion. Unfortunately, the disadvantage limiting its common application are high requirements for measurement sensors precision, as well as accelerometers and gyroscopes included in
the system, which affects directly its usually high cost. Such requirements are nevertheless essential because the procedure used in such system (i.e. location determination through double integration of measurement signals) provokes the navigation errors rise, proportionally to the square
of time elapsed since the moment of the beginning of that procedure. The paper presents methods
of so called Schuler oscillations damping. Also the idea of ZUPT (Zero Velocity UPdaTes) that allows for maintaining the linear relationship between the location determination error and time.
Theoretical considerations were completed with results of simulation calculations and experimental research.