FinEng 6_Model dwumianowy1 - E-SGH

Inżynieria Finansowa:
6. Wycena martyngałowa, dynamiczna
replikacja i model dwumianowy
Piotr Bańbuła
Katedra Ekonomii Ilościowej, KAE
Listopad 2014 r.
Warszawa, Szkoła Główna Handlowa
Wycena pochodnych: ułatwiona
Stworzenie statycznego portfela replikującego służącego do
określenia ceny pewnego instrumentu wymaga:
Istnienia odpowiedniej ilości płynnych aktywów bazowych
Liniowej zależności pomiędzy ceną instrumentu replikowanego i
aktywów użytych do replikacji
Jeśli cena instrumentu pochodnego zmienia się liniowo wraz ze
zmianą ceny aktywu bazowego możliwa jest statyczna replikacja,
gdyż wartość portfela replikującego zmienia się proporcjonalnie do
zmian cen bazowego
Wycena pochodnych: utrudniona
Kiedy:
Istnieje odpowiednia ilość płynnych aktywów bazowych,
ale
Zależności pomiędzy ceną instrumentu replikowanego i aktywów
bazowych (używanych do replikacji) jest nieliniowa – zmiany cen
obydwu nie są stabilnie proporcjonalne
Konieczna jest dynamiczna replikacja.
Przykład: zabezpieczenie pozycji opcyjnej
Wystawiliśmy opcję kupna 100 akcji o terminie zapadalności 1Y,
K=105, przy cenie bieżącej S0=100. Stopa procentowa wynosi 5%.
Chcemy zabezpieczyć ryzyko, jakie generuje pozycja opcyjna
(koszt tego zabezpieczenia powie nam jednocześnie ile opcja
powinna kosztować).
Rozważmy trzy strategie zabezpieczenia:
1. Kupujemy 100 akcji już dziś za pożyczone pieniądze
2. Brak zakupu jakichkolwiek akcji
3. Kupujemy 50 akcji już dziś za pożyczone pieniądze (np.
szacujemy, że istnieje 50% szans na wykonanie kontraktu)
Przy trzech scenariuszach zmiany cen:
1. Cena wzrośnie do 120
2. Cena pozostanie bez zmian
3. Cena spadnie do 80
Przykład: zabezpieczenie pozycji opcyjnej
Wyniki z poszczególnych strategii są następujące:
1. 𝜋 𝑇 = − 𝐦𝐚𝐱 𝑺𝑻 − 𝑲, 𝟎 + 𝑺𝑻 − 𝑲 − 𝒆𝒓𝝉 𝑺𝒕𝟎 100
2. 𝜋 𝑇 = − 𝒎𝒂𝒙 𝑺𝑻 − 𝑲, 𝟎 100
3. 𝜋 𝑇 = − 𝒎𝒂𝒙 𝑺𝑻 − 𝑲, 𝟎 100 + 𝑺𝑻 − 𝑲 − 𝒆𝒓𝝉 𝑺𝒕𝟎 50
100%
0%
50%
𝐒𝐓 =120
0
-15
-7,5
𝐒𝐓 =100
-5
0
-2,5
𝐒𝐓 =80
-25
0
-12,5
Wniosek: żadna ze strategii nas nie zabezpieczyła
(zabezpieczenie oznaczałoby, że niezależnie od scenariusza nasz
wynik pozostaje taki sam i wynosi 0)
Dynamiczna replikacja
Portfel replikujący:
Dokładnie odzwierciedla końcowe wypłaty z wycenianego
instrumentu
Nie wymaga wypłat ani wpłat pieniędzy
Zwykle ma zmienną strukturę na przestrzeni czasu
Ta metoda wymaga określenia charakteru współzależności pomiędzy
cenami instrumentu wycenianego (replikowanego) i aktywu
bazowego
Model (drzewo) dwumianowe
Równania różniczkowe cząstkowe
Stochastyczne równania różniczkowe
Jednookresowy model dwumianowy - założenia
Rozpatrujemy tylko dwa punkty w czasie: t0 (w skrócie 0) oraz T
Dwa aktywa na rynku:
pozbawiona ryzyka obligacja zerokuponowa B(0,T), która jest
także utożsamiana z rachunkiem bankowym i daje deterministyczny
dochód
B 0, 𝑇 = 𝐷𝐹 0, 𝑇 = 1/(1 + 𝐿𝑟) = 𝑒 −𝑟𝜏 gdzie 𝜏 = ∆(0, 𝑇)
Aktywo obarczone ryzykiem,
którego wartość (cena) w chwili obecnej jest znana: 𝑆0
nie przynosi dochodu w okresie [0,T]
i ma losową wartość (cenę) w T:
𝑆𝑇 =
gdzie 0 < D < U
𝑆0 𝑈 z prawdopodobieństwem "𝑝"
𝑆0 D z prawdopodobieństwem "1 − 𝑝"
Jednookresowy model dwumianowy - schemat
𝑆𝑇,𝑈 = 𝑆𝑡0 𝑈
𝑝
𝑆𝑡0
1−𝑝
t0
𝑆𝑇,𝐷 = 𝑆𝑡0 𝐷
T
Jednookresowy model dwumianowy - założenia
Wartość ryzykownego aktywu w momencie T możemy także zapisać
jako:
𝑆𝑇 = 𝑆0 𝑍
gdzie Z jest zmienną losową:
𝑍=
𝑈
D
z prawdopodobieństwem "𝑝"
z prawdopodobieństwem "1 − 𝑝"
Wartość europejskiego instrument pochodnego X wystawionego
na aktywo S w terminie zapadalności jest zmienną losową
opisanego pewną funkcją 𝜑:
𝑋𝑇 = 𝜑(𝑆𝑇 )
Np. dla opcji kupna ta funkcja ma postać:
𝑋𝑇 = 𝜑(𝑆𝑇 ) = max 𝑆𝑇 − 𝐾, 0 = max 𝑆0 𝑍 − 𝐾, 0
Model dwumianowy - przykład
35.1 ∙ 𝑈 = 35.1 ∙ 1.17 = 41
0.7
35.1
0.3
35.1 ∙ 𝐷 = 35.1 ∙ 0.85 = 30
Bieżąca cena obligacji wolnej od ryzyka: 𝐵 0, 𝑇 = 0.965
Cena obligacji w terminie zapadalności (pewna): 𝐵 𝑇 = 1
𝐵 0, 𝑇 = 1/(1 + 𝑟) zatem stopa wolna od ryzyka: 𝑟 = 3.6%
Jak jest oczekiwana stopa zwrotu z ryzykownego aktywu?
Przykład – c.d.
0.7
𝑆𝑇 = 35.1 ∙ 𝑈 = 35.1 ∙ 1.17 = 41
𝐵(𝑇) = 1
𝑆0 = 35.1
𝐵(0, 𝑇) = 0.965
0.3
𝑆𝑇 = 35.1 ∙ 𝐷 = 35.1 ∙ 0.85 = 30
𝐵(𝑇) = 1
𝐸 𝑃 𝑆𝑇 = 0.7 ∙ 41 + 0.3 ∙ 30 = 37.7 stąd: 𝑝 = 35.1 < 𝑒 −0.042 37.7 ≈ 36.4
Cena 𝑆0 jest niższa niż bieżąca wartość oczekiwana wypłat 𝑒 −𝑟 𝐸 𝑃 𝑆𝑇 :
Jaka jest oczekiwana stopa zwrotu z akcji?
𝐸𝑃
𝑅𝑆
𝑆0 𝑈
𝑆0 𝐷
41
30
=𝑝
+ 1−𝑝
= 0.7
+ 0.3
= 0.7 ∙ 1.17 + 0.3 ∙ 0.85 = 1.074
𝑆0
𝑆0
35.1
35.1
𝑅𝑆 = 1 + 𝑟 →= 7.4%
Przykład – c.d.
0.7
𝑆𝑇 = 35.1 ∙ 𝑈 = 35.1 ∙ 1.17 = 41
𝐵(𝑇) = 1
𝑆0 = 35.1
𝐵(0, 𝑇) = 0.965
0.3
𝑆𝑇 = 35.1 ∙ 𝐷 = 35.1 ∙ 0.85 = 30
𝐵(𝑇) = 1
𝐸 𝑃 𝑆𝑇 = 0.7 ∙ 41 + 0.3 ∙ 30 = 37.7 stąd: 𝑝 = 35.1 < 𝑒 −0.042 37.7 ≈ 36.4
Cena 𝑆0 jest niższa niż bieżąca wartość oczekiwana wypłat 𝑒 −𝑟 𝐸 𝑃 𝑆𝑇 :
Jaka jest oczekiwana stopa zwrotu z akcji?
𝐸𝑃
𝑅𝑆
𝑆0 𝑈
𝑆0 𝐷
41
30
=𝑝
+ 1−𝑝
= 0.7
+ 0.3
= 0.7 ∙ 1.17 + 0.3 ∙ 0.85 = 1.074
𝑆0
𝑆0
35.1
35.1
𝑅𝑆 = 1 + 𝑟 →= 7.4%
WZÓR wyceny aktywów
Cena
𝑝𝑖 = 𝐸(𝑚𝑥𝑖 )
Oczekiwania
(prawdopodobieństwo)
Czynnik
dyskontujący
Wypłaty
To podstawowy wzór klasycznej wyceny aktywów
Co jest ważne?
Wypłaty x
Mechanizmy oczekiwań E
Czynnik dyskontujący m
(zależny od preferencji stochastic discount factor, zwany zależnie od
okoliczności także state-price density, pricing kernel)
Przykład
Przestrzeń stanów
S=(załamanie gospodarcze, kryzys, stagnacja, wzrost, silny wzrost)
𝜋 𝑆 = (2%, 10%, 20%, 50%, 18%)
𝑥1 − obligacja bez ryzyka
𝑥2 − obligacja korporacyjna o ratingu A
𝑥3 − akcja
𝑥4 − ubezpieczenie
𝑥5 − venture capital
𝑥1𝑠1
⋮
𝑋=
𝑥5𝑠1
⋯ 𝑥1𝑠5
⋱
⋮
⋯ 𝑥5𝑠5
=
1 1
1
1
1
0 0.6 1.2 1.2 1.2
0 0.3 1.1 1.5 1.9
0
2 0.5 0
0
0 0
0 1.3 2.5
Wycena - przykład
Preferencje
Co jest dla nas ważne (zwykle z punktu widzenia majątku/konsumpcji)?
S=(załamanie gospodarcze, kryzys, stagnacja, wzrost, silny wzrost)
𝑀 𝑆 = 1.4 1.1 1 0.95 0.9
Ceny
𝑝 𝑥1 = 𝐸 𝑚𝑥1 =
𝜋𝑠 𝑚𝑠 𝑥1𝑠 =
𝑠
= 0.02 × 1.4 × 1 + 0.1 × 1.1 × 1 + ⋯ + 0.18 × 0.9 × 1 =
= 0.975
𝑝 𝑋 = 0.975
1.070
1.273 0.111
1.023
Przykład – c.d.
Ceny – cd.
Ile kosztowałyby papiery, gdyby patrzeć tylko na wartość
oczekiwaną?
𝑝′ 𝑥1 = 𝐸 𝑥1 =
𝜋𝑠 𝑥1𝑠 =
𝑠
= 0.02 × 1 + 0.1 × 1 + ⋯ + 0.18 × 1 = 1
𝑝′ 𝑋 = 1
1.116
1.342 0.09
1.1
Jak obie ceny mają się do siebie?
𝑝′ 𝑋
= 1.026
𝑝 𝑋
1.043
1.054 0.811
1.076 = (𝟏 + 𝐫)
Ich relacja określa oczekiwaną stopę zwrotu z aktywu, która stanowi
kompensację za ryzyko
Równoważne spojrzenia na równanie wyceny
Stochastyczny czynnik dyskontujący
𝑝(𝑥) = 𝐸(𝑚𝑥)
Ceny przestrzeni stanów (Arrow-Debreu)
𝑝(𝑥) =
𝑝𝑐 𝑠 𝑥 𝑠
Miara martyngałowa (equivalent martingale measure,
risk-neutral valuation)
𝑝(𝑥) =
1
𝐸 𝑄 (𝑥)
1+𝑟𝑓
gdzie 𝜋 𝑄 𝑠 = 𝑅𝑓 𝑝𝑐 𝑠
Ceny przestrzeni stanów (AD)
Niech S będzie zmienną losową opisującą przyszłe stany natury, a s
ich realizacjami
Instrument Arrow-Debreu wypłaca 1 jeśli wystąpi stan s i 0 w
przeciwnym wypadku. Cena takiego instrumenty to pc(s).
Ile kosztuje instrument, który wypłaca x(s)?
Zdefiniujmy 𝑝𝑐 𝑠 = m 𝑠 𝜋(𝑠), wtedy
𝑝(𝑥) =
𝜋 𝑠 𝑚 𝑠 𝑥 𝑠 =
𝑝𝑐 𝑠 𝑥(𝑠)
Cena aktywu jest sumą cen składających się na niego instrumentów
A-D
Inżynieria finansowa „wydobywa” ceny AD z cen rynkowych
Ceny przestrzeni stanów (AD)
A gdybyśmy chcieli stworzyć aktywa, które wypłacają 1 w pewnym
stanie i 0 w pozostałych?
Portfel je opisujący byłby macierzą jednostkową
𝑋𝑋
−1
1 ⋯ 0
=𝐼= ⋮ 1 ⋮
0 ⋯ 1
Ile by te aktywa kosztowały?
𝑞′ = 0.028
𝑝=𝑋 𝑞
𝑞 = 𝑋 −1 𝑝
0.11 0.2 0.475
0.162
Ceny q są iloczynem prawdopodobieństw każdego ze stanów i
przypisywanej mu wagi.
𝑝(𝑥) =
𝑝𝑐 𝑠 𝑥 𝑠 =
𝜋 𝑠 𝑚(𝑠) 𝑥 𝑠
Mając je możemy wycenić dowolny papier…
Wycena arbitrażowa
Ile kosztowałoby aktywo dające poniższe wypłaty?
𝑥6 = 4 1 0.5 0 0
Zwrócimy uwagę, że składa się ona z 4 instrumentów A-D dla
pierwszego stanu, 1 dla drugiego i 0.5 dla trzeciego.
Mając ceny A-D
𝑞 = 0.028
0.11
0.2 0.475
0.162
„przykładamy” je do składu dowolnego portfela
𝑝(𝑥6 ) = 4
1 0.5 0 0 ∙ 0.028
0.11
0.2 0.475
0.162 ′
i otrzymujemy cenę tegoż portfela
𝑝(𝑥6 ) = 0.322
W jakich warunkach możemy w jednoznaczny sposób uzyskać ceny
A-D?
Kompletny rynek
Rynek jest kompletny jeśli za pomocą odpowiedniego portfela
inwestycyjnego można otrzymać dowolną wypłatę we wszystkich
stanach
Warunek konieczny i wystarczający: rz(𝑀) = 𝑆 (tzn. 𝐽 ≥ 𝑆)
𝑋=
1 1
1
1
1
0 0.6 1.2 1.2 1.2
0 0.3 1.1 1.5 1.9
2 0.5 0
0
0
0 0
0 1.3 2.5
Jeśli rynek jest kompletny możemy jednoznacznie odtworzyć ceny
A-D. Portfel je opisujący byłby macierzą jednostkową
𝑋𝑋 −1
1 ⋯ 0
=𝐼= ⋮ 1 ⋮
0 ⋯ 1
Jeśli nie jest kompletny, nie można odwrócić macierzy, a równanie
opisujące ceny A-D ma wiele rozwiązań (jest nieoznaczone): wiele
kombinacji cen A-D daje ceny rynkowe
Risk-neutral valuation
Zdefiniujmy 𝑞 𝑠 jako:
𝑞 𝑠 = 𝑅𝑓 𝑚 𝑠 𝜋 s = 𝑅𝑓 𝑝𝑐 𝑠 = 𝑝𝑐 𝑠 /𝐸(𝑚)
𝑞 𝑠 spełnia aksjomaty prawdopodobieństwa:
Jest wszędzie dodatnie, mniejsze (równe) 1 i sumuje się do 1
Zapiszmy równanie dla ceny jeszcze raz:
𝑝 𝑥 =
1
𝑝𝑐 𝑠 𝑥 𝑠 =
𝑅𝑓
𝐸𝑄 𝑥
𝑞 𝑠 𝑥 𝑠 =
𝑅𝑓
Cena równa się zdyskontowanej wartości oczekiwanej (liczonej wg
nowej miary prawdopodobieństwa)
Nazywa się ją także ekwiwalentną miarą martyngałową, gdyż
deflując ceny ryzykownych aktywów ceną obligacji :
𝑥
𝑝 𝑥 = 𝐸𝑄
1 + 𝑟𝑓
Risk-neutral valuation - intuicja
Ceny A-D (EMM)
Risk-neutral measure
Cena
Wypłata
=
0
3.5
Prawdopodobieństwo
3.5
4
Źródło: Opracowanie własne
8
4.5
4
3.5
4.5
4
„Użyteczność”,
czynnik dyskontujący
3.5
4
4.5
4.5
Model dwumianowy i risk-neutral pricing - przykład
35.1 ∙ 𝑈 = 35.1 ∙ 1.17 = 41
?
35.1
1−?
35.1 ∙ 𝐷 = 35.1 ∙ 0.85 = 30
Czy możemy znaleźć takie wartości prawdopodobieństwa dla których
cena bieżąca będzie równa zdyskontowanej wartości oczekiwanej
przyszłych cen?
1 𝑄
𝑆0 =
𝐸 𝑋𝑇
𝑅𝑓
Te nowe prawdopodobieństwa zawierałyby łączny wpływ obiektywnego
prawdopodobieństwa i premii za ryzyka różnych stanów.
Model dwumianowy - rozwiązanie
Szukamy takich 𝑞 𝑈, 𝐷 by:
𝑆0 =
1 𝑄
1
𝐸 𝑆𝑇 =
(𝑞 𝑈 𝑆0 𝑈 + 𝑞 𝐷 𝑆0 𝐷)
𝑅𝑓
𝑅𝑓
Uprościmy zapis 𝑞 𝑈 = 𝑞 𝑈 pamiętając, że 𝑞 𝑈 = 1 − 𝑞 𝐷
1
35.1 =
(𝑞 𝑈 ∙ 35.1 ∙ 1.17 + (1 − 𝑞 𝑈 ) ∙ 35.1 ∙ 0.85)
1.036
Dzielimy obie strony przez 𝑆0 , mnożymy przez 1 + 𝑟𝑓 :
1 + 𝑟𝑓 = 𝑞 𝑈 𝑈 + (1 − 𝑞 𝑈 ) 𝐷
𝑞𝑈 =
𝑞𝐷
1 + 𝑟𝑓 − 𝐷 1.036 − 0.85
=
= 0.58
𝑈−𝐷
1.17 − 0.85
1 + 𝑟𝑓 − 𝐷 𝑈 − 1 + 𝑟𝑓
1.17 − 1.036
=1−
=
=
= 0.42
𝑈−𝐷
𝑈−𝐷
1.17 − 0.85
Dwa prawdopodobieństwa – zmiana miary
Jak te wartości miały się do obiektywnych prawdopodobieństw?
𝑞 𝑈 = 0.58
podczas gdy
𝑝𝑈 = 0.7
𝑞 𝐷 = 0.42
podczas gdy
𝑝𝐷 = 0.3
Dzięki zmianie miary, tak by nowe prawdopodobieństwo uwzględniało
zarówno prawdopodobieństwo zajścia, jak i wagę poszczególnych
zdarzeń aktywa możemy wyceniać w formie wartości oczekiwanej.
𝑸
𝑬
𝑿𝑻
= 𝑬𝑷 𝒎𝑿𝑻
𝟏 + 𝒓𝒇
Model dwumianowy – inne spojrzenie
Nasz rynek możemy przedstawić jako (wiersze to aktywa, kolumny to
wypłaty w poszczególnych stanach):
𝑝𝑐 𝐷
1
∙
41 𝑝𝑐 𝑈
1
0.965
=
30
35.1
(Rynek jest kompletny, bo liczba stanów równa się liczbie niezależnych
aktywów i można odwrócić macierz portfela)
𝑝𝑐 𝐷
𝑝𝑐 𝑈
1
=
30
𝑝𝑐 𝐷
𝑝𝑐 𝑈
1
41
=
−1
0.965
35.1
0.560
0.405
Jak ceny AD wiążą się z prawdopodobieństwami R-N?
𝒒 𝒔 = 𝑹𝒇 𝒑𝒄 𝒔
𝒒 𝑫
𝒒 𝑼
=
0.58
0.42
=
𝒑𝒄 𝑫
0.560
𝑹𝒇 =
∙ 1.036
𝒑𝒄 𝑼
0.405
Model dwumianowy - warunek braku arbitrażu
Jeśli zachodzi:
1 + 𝑟𝑓 = 𝑞 𝑈 𝑈 + 𝑞 𝐷 𝐷
To spełnione jest również:
𝐷 < 1 + 𝑟𝑓 < 𝑈
A na rynku nie jest możliwy arbitraż.
Portfel - definicja
Portfel rynkowy h definiujemy jako parę:
ℎ = (𝑥, 𝑦)
gdzie x jest kwotą zainwestowaną w obligację, a y ilość
ryzykownego aktywu; 𝑥, 𝑦 ∈ (−∞, +∞)
Przykład:
Portfel h=(-50,50): pożyczamy 50 i kupujemy 50 akcji
Portfel h=(10,-50): sprzedajemy 50 akcji i składamy depozyt
Wartość portfela w czasie t0:
𝑉0 ℎ = 𝑥 + 𝑦𝑆0
Wartość portfela w czasie T jest zmienną losową zależną od Z:
𝑉𝑇 ℎ = 𝑥(1 + 𝐿𝑟) + 𝑦𝑆0 𝑍
L to operator „przenoszący” roczną stopę na czas trwania kontraktu
Portfel arbitrażowy
To portfel rynkowy h(x,y) spełniający trzy warunki:
Koszt jego utworzenia wynosi 0:
𝑉0 ℎ = 0
Na pewno nie przyniesie strat:
𝑃(𝑉𝑇 ℎ ≥ 0) = 1
Być może przyniesie zysk:
𝑃(𝑉𝑇 ℎ > 0) > 0
Brak arbitrażu - dowód
𝑦
Konstruujemy portfel (𝑆 to ilość akcji w portfelu, czyli ich wartość to 𝑦)
0
𝑉0 ℎ(−𝑦,
𝑦
) =0
𝑆0
W terminie zapadalności jego wartość wyniesie:
𝑉𝑇 ℎ =
𝑦 (𝑈 − 1 + 𝑟𝑓 )
𝑦 (𝐷 − 1 + 𝑟𝑓 )
w stanie"𝑈"
w stanie"𝐷"
Jeśli 𝟏 + 𝒓𝒇 ≤ 𝑫 ≤ 𝑼
𝑉𝑇 ℎ =
𝑦 (𝑈 − 1 + 𝑟𝑓 ) ≥ 0
𝑦 (𝐷 − 1 + 𝑟𝑓 ) ≥ 0
w stanie"𝑈"
w stanie"𝐷"
Czyli mamy arbitraż.
(jeśli D ≤ 𝑈 ≤ 1 + 𝑟𝑓 konstruujemy odwrotny portfel)
Wycena instrumentu pochodnego
Chcemy wycenić roczną opcję z kursem wykonania K=35.1
Ile powinna kosztować?
𝑆𝑇 = 35.1 ∙ 𝑈 = 35.1 ∙ 1.17 = 41
𝐵(𝑇) = 1
𝑪𝑻 = 𝐦𝐚𝐱 𝑺𝑻 − 𝑲, 𝟎 = 𝟓. 𝟗
𝑆0 = 35.1
𝐵 0, 𝑇 = 0.965
𝑪𝟎 (𝑲 = 𝟑𝟓. 𝟏, 𝑻)
𝑆𝑇 = 35.1 ∙ 𝐷 = 35.1 ∙ 0.85 = 30
𝐵(𝑇) = 1
𝑪𝑻 = 𝐦𝐚𝐱 𝑺𝑻 − 𝑲, 𝟎 = 𝟎
Wycena risk-neutral (EMM)
Każdy instrument możemy wycenić stosując prawdopodobieństwa
martyngałowe (risk-neutral):
𝑋0 =
1 𝑄
𝐸 𝑋𝑇
𝑅𝑓
1 𝑈
𝐶0 =
𝑞 ∙ 𝐶𝑇 (𝑈) + 𝑞 𝐷 ∙ 𝐶𝑇 (𝐷)
𝑅𝑓
1
𝐶0 =
𝑞 𝑈 ∙ 5.9 + 𝑞 𝐷 ∙ 0
1.036
Jak wcześniej policzyliśmy 𝑞 𝑈 = 0.58 a 𝑞 𝐷 = 0.42
𝐶0 =
1
0.58 ∙ 5.9 + 0.42 ∙ 0 = 3.3
1.036
Przy okazji: jaka jest oczekiwana stopa zwrotu z opcji 𝐸 𝑃 𝐶𝑇 ?
5.9
0
𝐸 𝑃 𝐶𝑇 /𝐶0 = 0.7 ∙
+ 0.3 ∙
= 1.252 → 𝑟 = 25.2%
3.3
3.3
Wycena na bazie replikacji-przykład
Rozpatrzmy portfel składający się z:
Δ jednostek aktywu bazowego 𝑆0
sprzedanego instrumentu pochodnego 𝑋𝑇 po cenie Π0 (𝑋𝑇 )
(opcji kupna K=35.1)
Wartość portfela w terminie zapadalności wynosi:
𝑉𝑇 ℎ =
𝑆0 𝑈∆ −𝜑(𝑆0 𝑈)
𝑆0 𝐷∆ −𝜑(𝑆0 𝐷)
𝑉𝑇 ℎ =
41∆ −5.9
30∆ −0
w stanie"𝑈"
w stanie "𝐷"
w stanie"𝑈"
w stanie "𝐷"
Chcemy by portfel był pozbawiony ryzyka, tj. by jego wartość była
taka sama niezależnie od stanu rynku:
𝑆0 𝑈∆ −𝜑(𝑆0 𝑈) = 𝑆0 𝐷∆ −𝜑(𝑆0 𝐷)
41∆ −5.9 = 30∆
Wycena na bazie replikacji - przykład c.d.
Rozwiążmy z uwagi na Δ:
∆=
𝜑(𝑆0 𝑈)−𝜑(𝑆0 𝐷)
𝑆0 (𝑈−𝐷)
∆=
5.9
11
= 0.53
Przy ilości Δ zakupionego aktywu bazowego zmiany ceny obydwu
składników portfela wzajemnie się znoszą
Koszt utworzenia portfela w czasie 0 wynosi:
𝑉0 ℎ = 𝑆0 ∆ −Π0 (𝑋𝑇 )
Jako pozbawiony ryzyka (bo jego wartość jest taka sama niezależnie od
stanu natury w przyszłości) musi dawać dochód równy obligacji B(0,T):
1 + 𝐿𝑟𝑓 𝑉0 ℎ = 𝑉𝑇 ℎ
1 + 𝐿𝑟𝑓 𝑆0 ∆ −𝜋 𝑋0
= 𝑆0 𝑈∆ −𝜑(𝑆0 𝑈) = 𝑆0 𝐷∆ −𝜑(𝑆0 𝐷)
Wycena na bazie replikacji - przykład c.d.
Rozwiązujemy równanie
1 + 𝐿𝑟𝑓 𝑆0 ∆ −Π0 (𝑋𝑇 ) = 𝑆0 𝑈∆ −𝜑(𝑆0 𝑈) = 𝑆0 𝐷∆ −𝜑(𝑆0 𝐷)
z uwagi na Π 𝑋0 :
Π0 (𝑋𝑇 ) = 𝑆0 ∆ −
1
1 + 𝑟𝑓
(𝑆0 𝑈∆ −𝜑(𝑆0 𝑈))
Używając naszego przykładu liczbowego:
Π0 (𝑋𝑇 ) = 35.1 ∙ 0.53 − 0.965(41 ∙ 0.53 − 5.9) = 3.3
czyli tyle samo ile stosując wycenę risk-neutral!
Wycena na bazie replikacji - założenia
Cenę instrumentu pochodnego Π𝑡 (𝑋) powinna być równa kosztowi jego
replikacji, dokonywanej w oparciu o aktywa bazowe:
Π𝑡 𝑋 = 𝑉𝑡 ℎ
gdzie ℎ = 𝑥, 𝑦 , x jest kwotą zainwestowaną w obligację, a y ilością
ryzykownego aktywu, czyli 𝑉0 ℎ = 𝑥 + 𝑆0 𝑦
Instrument pochodny jest osiągalny jeśli:
𝑃(𝑉𝑇 ℎ = Π 𝑇 𝑋 ) = 1
Portfel h(X) nazywamy replikującym, a –h zabezpieczającym
Aby instrument był osiągalny konieczne jest by:
𝑉𝑇 ℎ =
𝜑(𝑆0 𝑈)
𝜑(𝑆0 𝐷)
w stanie"𝑈"
w stanie "𝐷"
Wycena na bazie replikacji - założenia
Z warunku:
𝑉𝑇 ℎ =
𝜑(𝑆0 𝑈)
𝜑(𝑆0 𝐷)
w stanie"𝑈"
w stanie "𝐷"
oraz
𝑉𝑇 ℎ = 1 + 𝐿𝑟𝑓 𝑥 + 𝑆0 𝑍𝑦
wynika, że
1 + 𝐿𝑟𝑓 𝑥 + 𝑆0 𝑈𝑦 = 𝜑(𝑆0 𝑈)
1 + 𝐿𝑟𝑓 𝑥 + 𝑆0 𝐷𝑦 = 𝜑(𝑆0 𝐷)
Rozwiązując układ równań otrzymujemy:
𝑥=
1
𝑈𝜑(𝑆0 𝐷) − 𝐷𝜑(𝑆0 𝑈)
= −15.1
(𝑈 − 𝐷)
1 + 𝐿𝑟𝑓
𝜑(𝑆0 𝑈) − 𝜑(𝑆0 𝐷)
𝑦=
= ∆= 0.525
𝑆0 (𝑈 − 𝐷)
Wycena na bazie replikacji – inne spojrzenie
Nasz rynek możemy przedstawić jako:
𝑝𝑐 𝐷
1
1
0.965
=
∙
30 41 𝑝𝑐 𝑈
35.1
Gdzie wiersze odpowiadają poszczególnym aktywów, a kolumny stanom.
Zapisujemy każdy aktyw jak zbiór instrumentów AD
Jeśli mamy sprzedać obligacji za 15.1, to ile ich mamy sprzedać?
−15.1
= −15.65
0.965
Tworzymy portfel przy kupując i sprzedając odpowiednie ilości x i y:
−15.65 0.525 ∙
0.965
= −15.1 + 18.4 = 3.3
35.1
Replikacja a risk-neutral
Jak jest relacja pomiędzy dwiema metodami?
Zacznijmy od replikacji:
𝜫𝟎 𝑿 = 𝒙 + 𝑺𝟎 𝒚 =
1
𝑈𝜑(𝑆0 𝐷) − 𝐷𝜑(𝑆0 𝑈)
𝜑(𝑆0 𝑈) − 𝜑(𝑆0 𝐷)
+ 𝑆0
=
(𝑈 − 𝐷)
𝑆0 (𝑈 − 𝐷)
1 + 𝐿𝑟𝑓
Mnożymy drugi wyraz przez 1 + 𝐿𝑟𝑓 i porządkujemy zmienne 𝜑(𝑆0 𝐷):
1
1 + 𝐿𝑟𝑓
1
1 + 𝐿𝑟𝑓
1 + 𝐿𝑟𝑓 − 𝐷
𝑈 − 1 + 𝐿𝑟𝑓
𝜑(𝑆0 𝑈) +
𝜑(𝑆0 𝐷) =
𝑈−𝐷
𝑈−𝐷
𝑞 𝑈 𝜑(𝑆0 𝑈) + 𝑞 𝐷 𝜑(𝑆0 𝐷) =
𝟏 𝑸
𝑬 𝑿𝑻
𝑹𝒇
1
1 + 𝐿𝑟𝑓
𝐸 𝑄 (𝜑(𝑆𝑇 )) =
Dwa spojrzenia
Przy założeniu kompletności rynku inżynieria finansowa sprowadza się
do:
Wydobywania z cen aktywów na rynku cen AD i używaniu ich do
wyceny dowolnego instrumentu, którego wypłaty w różnych stanach
możemy określić (risk-neutral valuation)
lub
do tworzenia portfela, którego skład (pod względem instrumentów AD)
dokładnie odzwierciedla skład replikowanego instrumentu (replikacja)
Koncepcyjnie wydają się różne, ale (przy założeniu zupełnego rynku)
są tym samym.