morze czerwone max

Zagadnienia AI
1
Technologie i systemy oparte na logice rozmytej
Mają zastosowania w sytuacjach kiedy nie posiadamy
wystarczającej wiedzy o modelu matematycznym rządzącym
danym zjawiskiem…
…oraz tam gdzie zbudowanie
nieopłacalne lub nawet niemożliwe.
takiego
modelu
jest
Technologie oparte na logice rozmytej znajdują zastosowanie
m.in. w bazach danych, sterowaniu, modelowaniu i
przetwarzaniu języka naturalnego.
Na czym polega różnica
„tradycyjną” i logiką rozmytą?
między
logiką
Paweł zarabia 5 tys. złotych.
Paweł kupił 2 kg jabłek.
Paweł ma 25 lat.
Paweł w ciągu wakacji 3 dni spędził nad morzem.
Określenia precyzyjne.
Przypisanie 0 lub 1 jest
jednoznaczne.
Logika „tradycyjna”
Paweł zarabia dużo.
Paweł kupił trochę jabłek.
Paweł jest młody.
Paweł w ciągu wakacji był krótko nad morzem.
Określenia nieprecyzyjne.
Przypisanie 0 lub 1 nie
jest jednoznaczne.
Logika rozmyta
Rozmyty świat
Czy to jest pudełko
zawierające niebieskie kulki?
Czy to jest pudełko
zawierające czerwone kulki?
Czy to jest pudełko zawierające
niebieskie/czerwone kulki?
Bez rozmycia
Brak czerwonych kulek
0
Tylko czerwone kulki
1
Między stanami 0 i 1 możliwe są stany pośrednie….
Rozmycie
Pudełko nie zawiera
czerwonych kulek (0).
Pudełko zawiera
znikomą ilość
czerwonych kulek.
Pudełko zawiera
trochę czerwonych
kulek.
Pudełko zawiera
sporo czerwonych
kulek.
Pudełko zawiera
przeważnie
czerwone kulki.
Tak, pudełko zawiera
tylko czerwone kulki (1).
Logika „klasyczna”
0
1
Tylko dwie wartości: prawda i fałsz
Logika rozmyta
0
1
Wartości z przedziału [0,1]
Zanim poznamy logikę rozmytą musimy poznać teorię zbiorów
rozmytych…
Zbiory - powtórzenie
Zbiór to kolekcja, wielość obiektów.
Pojęcie zbioru jest podstawowe i niedefiniowalne.
Określenie zbioru musi być jednoznaczne w tym sensie, że
musi być jasne czy dany konkretny obiekt należy do tego
zbioru.
Obiekt który należy do zbioru jest nazywany elementem
zbioru.
Zbiór definiujemy przez podanie jego elementów.
Przykład
A = {0, 10, -5, 7}
B=ø
C = {{1},1,{{1},{3}}}
D = {x R: x>4}
E = zbiór zielonych samochodów
F = zbiór latających słoni
W przypadku każdego z tych zbiorów łatwo określić czy dany
obiekt należy do zbioru czy nie należy.
7 A
3 D
Zbiory rozmyte
Istnieją zbiory w przypadku których określenie przynależności
danego konkretnego obiektu nie jest jednoznaczne.
Przykład
A = zbiór młodych ludzi
B = zbiór szybkich samochodów
C = zbiór wysokich drzew
W przypadku takich
przynależności.
zbiorów
możemy
mówić
o
stopniu
Przykład
Można powiedzieć, że osoba w wieku 35 lat należy do zbioru A w
większym stopniu niż osoba w wieku 80 lat.
Dla ustalenia uwagi określmy tzw. obszar rozważań (ang. the
universe of the discourse). Nazywać go będziemy przestrzenią lub
zbiorem i oznaczymy przez X.
Definicja
Zbiorem rozmytym A w pewnej (niepustej) przestrzeni X, co
zapisujemy jako A X nazywamy zbiór par
A={(x,
gdzie
A:
A(x)):
x X}
X  [0,1]
jest funkcją przynależności zbioru rozmytego A.
Funkcja ta każdemu elementowi x X przypisuje jego stopień
przynależności do zbioru rozmytego A.
Możemy wyróżnić 3 przypadki:
1) A(x)=1 oznacza pełną przynależność elementu x do zbioru
rozmytego A, tzn. x A.
2) A(x)=0 oznacza brak przynależność elementu x do zbioru
rozmytego A, tzn. x A.
3) 0< A(x)<0 oznacza częściową przynależność elementu x do
zbioru rozmytego A.
Jeżeli X jest przestrzenią o skończonej liczbie elementów
X={x1,x2,…,x3}
To zbiór rozmyty A oznaczamy następująco
A
( x1 )
x1
A
( x2 )

x2
A
( xn )
xn
A
Jeżeli X zawiera nieskończoną liczbę elementów to zbiór rozmyty
A X symbolicznie zapisujemy jako
(x)
x
A
A
X
Przykład
Niech X=N (zbiór liczb naturalnych)
Zbiór liczb naturalnych „bliskich liczbie 12” określamy następująco:
A
0,1 0,4
9 10
0,7
11
1
12
0,7
13
0,4
14
0,1
15
Przykład
Niech X=R (zbiór liczb rzeczywistych)
Zbiór liczb rzeczywistych „bliskich liczbie 12” (oznaczmy go przez A)
określamy wykorzystując następującą funkcję przynależności:
A
(x)
1
1
1 ( x 12)2
0,5
Zatem
A
[1 ( x 12)2 ]
x
X
1
0
6
8
10
12
x
14
16
18
Przykład
Niech X=R (zbiór liczb rzeczywistych)
Zbiory rozmyte liczb rzeczywistych „bliskich liczbie” 12 można też
określić inaczej wykorzystując inną funkcję przynależności:
1
A
(x)
1
x 12
, 9
x
15
0,5
3
0 , w przeciwnym razie
0
6
8
10
12
x
14
16
18
Przykład
Sformalizujmy teraz określenie „temperatura wody odpowiednia do
kąpieli”.
Zbiór rozważań:
X=[15, 16,…, 24, 25]
Zbiór rozmyty:
A
0,1 0,3
16 17
0,5
18
0,8
19
0,95
20
1 0,9
21 22
0,8
23
0,75
24
0,7
25
Inna możliwość:
A
0,1 0,2
15 16
0,4
17
0,7
18
0,9
19
1
20
0,9
21
0,85
22
0,8
23
0,75
24
0,7
25
Przykłady funkcji przynależności
1.4
1.2
1
Funkcja Gaussowska
A(x)
0.8
x
exp
x
0.6
2
0.4
0.2
2
gdzie x jest środkiem, a
4
6
8
10
12
14
określa szerokość krzywej.
1
Funkcja typu dzwonowego
0.8
0.6
1
A ( x; a, b, c )
1
x c
a
2b
0.4
0.2
2
4
6
8
10
gdzie parametr a określa szerokość, b określa nachylenie, natomiast c
określa środek.
12
Przykłady funkcji przynależności
Funkcja klasy t
0
t ( x; a, b, c )
x
b
c
c
dla
a
a
x
b
0
x
a
1
dla a
x
b
0.8
0.6
dla b
x
c
0.4
0.2
dla
x
c
2
4
6
8
10
12
Funkcja klasy L
1
1
L( x; a, b )
b x
b a
0
dla
x
dla a
dla
a
x
x
0.8
b
b
0.6
0.4
0.2
2
4
6
8
10
12
Przykłady funkcji przynależności
Funkcja klasy s
0
dla
x
a
2
1
x a
2
c a
x c
1 2
c a
1
s( x; a, b, c )
dla a
x
b
0.8
0.6
dla b
x
0.4
c
0.2
dla
x
c
2
4
6
8
10
Funkcja radialna
A
(x)
exp
x
2
x
2
2
1
0.75
4
0.5
2
0.25
0
-4
0
-2
-2
0
2
4
-4
12
Przykłady funkcji przynależności
Funkcja klasy
1
0
( x; a, b )
dla
x a
b a
1
x
dla a
a
x
0.8
b
0.6
0.4
dla
x
b
0.2
2
Funkcja singleton
A
(x)
1 dla x
x
0 dla x
x
Do zbioru rozmytego A należy tylko x.
4
6
8
10
12
Przykład
Niech X= [0, 100000 zł]
Funkcję przynależności zbioru
określamy jako funkcję klasy s.
rozmytego
„dużo
pieniędzy”
14
100000
16
1
0,5
0
0
2
4
1000
6
8
10000
10
12
Definicja
Zbiór elementów przestrzeni X dla których A(x)>0 nazywamy
nośnikiem zbioru rozmytego A. Wprowadzamy oznaczenie:
supp A:={ x X:
A(x)>0
}
Przykład
Jeżeli X={1,2,3,4,5,6,7,8} oraz
A
wówczas
0,2
1
0,4
2
0,6
5
0,3
7
supp A={1, 2, 5, 7}
Definicja
Wysokość zbioru rozmytego A oznaczamy przez h(A) i określamy
jako:
h( A) sup
x X
A(x)
Przykład
Jeżeli X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} oraz
A
wówczas
0,2
1
0,4
2
0,6
5
h(A) = 0,6
0,3
7
Definicja
Mówimy, że zbiór rozmyty A jest pusty (ozn. A=ø) wtedy i tylko
wtedy
supp A:= ø
Definicja
Mówimy, że zbiór rozmyty A zawiera się w zbiorze B (ozn. A B)
wtedy i tylko wtedy
A
dla każdego
Przykład
x
(x)
B
(x)
X
1
B
A
0,5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Operacje na zbiorach rozmytych
Definicja
Przecięciem zbiorów rozmytych A,B X jest zbiór rozmyty A B o
funkcji przynależności
A B
( x ) min{
A
( x ),
B
( x )}
W przypadku wielu zbiorów A1, A2,…,An przecięcie określone jest
następującą funkcją przynależności
A1 ... An
(x)
min{
A1
( x ),...,
An
1
B
A
0,5
A B
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
( x )}
Definicja
Sumą zbiorów rozmytych A,B X jest zbiór rozmyty A B o funkcji
przynależności
A B
( x ) max{
A
( x ),
B
( x )}
W przypadku wielu zbiorów A1, A2,…,An przecięcie określone jest
następującą funkcją przynależności
A1 ... An
(x)
max{
A1
( x ),...,
An
1
B
A
0,5
A B
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
( x )}
Definicja
A
Dopełnieniem zbioru rozmytego A X jest zbiór rozmyty o funkcji
przynależności
A
gdzie x X.
(x) 1
A
(x)
1
A
0,5
A
0
0
Przykład
2
A
Jeżeli X={1,2,3,4}
oraz
wówczas
A
0,8
1
4
A
0,6
2
6
8
0,2
1
0,4
4
10
0,4
2
1
3
12
14
0,6
4
16
Można łatwo pokazać (ćwiczenia!), że przypadku
rozmytych nie są spełnione prawa dopełnienia tzn:
A
A
A
A
zbiorów
X
Zachodzą natomiast prawa de Morgana oraz absorbcji (ćwiczenia!).
Ponadto w przypadku operacji na zbiorach rozmytych zachodzą
własności przemienności, łączności oraz rozdzielności.
Przykład
Jeżeli X={1,2,3} oraz
wówczas
A
A
A
A
A
0,8
1
0,2
1
0,2
1
0,6
2
0,4
2
0,4
2
1
3
A
X
0,8
1
0,6
2
1
3
Definicja
Iloczynem kartezjańskim zbiorów rozmytych A X
nazywamy zbiór rozmyty A B funkcji przynależności
A B
( x, y ) min{
A
( x ),
B
i
( y )}
gdzie x X i y Y.
Przykład
Jeżeli X={1,2,3,4,5} oraz
A
0,2
1
0,4
2
0,6
5
B
0,4
1
0,3
2
wówczas
A B
0,2
(1,1)
0,2
(1,2)
0,4
(2,1)
0,3
(2,2)
0,4
(5,1)
0,3
(5,2)
B Y
t -normy
Przecięcie zbiorów rozmytych A,B X określiliśmy jako zbiór rozmyty
A B o funkcji przynależności
A B
( x ) min{
A
( x ),
B
( x )}
Zamiast funkcji min możemy użyć dowolnej t-normy, tzn. funkcji T
takiej, że:
T(T(a, b), c) = T(a, T(b, c)) (łączność)
T(a, b) = T(b, a) (przemienność)
T(a, b)
T(d, c) dla a
d, b
c (monotoniczność)
T(a, 1) = a (warunek brzegowy)
Wprowadźmy oznaczenie T (a, b)
T
a b
Operatory t -normy
s -normy
Sumę zbiorów rozmytych A,B X określiliśmy jako zbiór rozmyty
A B o funkcji przynależności
A B
( x ) max{
A
( x ),
B
( x )}
Zamiast funkcji max można wziąć dowolna s-normę, tzn.
dowolna funkcje spełniająca warunki:
S(S(a, b), c) = S(a, S(b, c)) (łaczność)
S(a, b) = S(b, a) (przemienność)
S(a, b)
S(d, c) dla a
d, b
c (monotoniczność)
S(a, 0) = a (warunek brzegowy)
Wprowadźmy oznaczenie S(a, b )
S
a b
Operatory s -normy
Relacje rozmyte
Zbiory rozmyte
sformułowaniami
pozwalają
nam
operować
nieprecyzyjnym
temperatura wody odpowiednia do kąpieli
szybki samochód
Zajmiemy się teraz relacjami rozmytymi.
Relacje takie pozwalają sprecyzować nieprecyzyjne sformułowania np.
x jest znacznie mniejsze od y
zdarzenie x miało miejsce dużo wcześniej niż zdarzenie y
Definicja
Relacją rozmytą R między dwoma niepustymi zbiorami
(nierozmytymi) X i Y nazywamy zbiór rozmyty określony na
iloczynie kartezjańskim X Y tzn:
R
x, y ,
R
( x, y )
x
X
y Y
gdzie
R
:X Y
[0,1]
jest funkcją przynależności.
Oznaczenia
( x, y )
( x, y )
R
R
X Y
( x, y )
( x, y )
R
R
X Y
Przykład
Niech X={3,4,5} i Y={4,5}.
Zdefiniujmy następującą relację
R
0,8
(3,4)
0,3
(3,5)
1
( 4,4)
0,8
( 4,5)
0,8
(5,4)
1
(5,5)
Relację tą możemy interpretować jako reprezentację zdania „x
jest mniej więcej równe y”.
Funkcja przynależności dla tej relacji
1
R
( x, y )
dla
x
y
0,8 dla
x
y
1
0,3 dla
x
y
2
Przykład (cd)
Relację
R
0,8
(3,4)
0,3
(3,5)
1
( 4,4)
0,8
( 4,5)
możemy zapisać za pomocą macierzy
y1 y 2
x1 0,8 0,3
x 2 1 0,8
x3 0,8 1
gdzie x1=3, x2=4, x3=5 oraz y1=4, y2=5.
0,8
(5,4)
1
(5,5)
Przykład
Przyjmijmy, że X=Y=[40,300] będzie przedziałem prędkości
osiąganych przez samochody.
Rozważmy relację R o następującej funkcji przynależności
0
R ( x, y )
x y
70
1
dla
x
dla 0
dla
y
x
x
0
y
y
70
70
Relację tą możemy interpretować jako reprezentację zdania
„samochód osiągający prędkość maksymalną x jest dużo
szybszy od samochodu osiągającego prędkość maksymalną y”.
Złożenie relacji
Niech X, Y i Z będą zbiorami nierozmytymi.
Rozważmy dwie relacje rozmyte
R X Y z funkcją przynależności
R
( x, y )
S Y Z z funkcją przynależności
S
(y, z)
Definicja
Złożeniem typu sup-T relacji rozmytych R i S nazywamy relację
rozmytą R S X Z określoną następującą funkcją przynależności
T
RS
( x, z )
sup {
y Y
R
( x, y )
gdzie T jest operatorem t –normy.
S
( y , z )}
Przykład
Jeżeli T(a, b)=min{a, b} wówczas otrzymujemy
RS
( x, z )
sup {min{
y Y
R
( x, y ),
S
( y , z )} }
(tzw. złożenie typu sup-min)
Jeżeli zbiór Y ma skończoną liczbę elementów wówczas
RS
( x, z )
max {min{
y Y
(tzw. złożenie typu max-min)
R
( x, y ) ,
S
( y , z )} }
Przykład
Rozważmy dwie relacje rozmyte
R
0,3
1
0,4
S
0,6 0,7
1
0,4
0,3 0,8
1
gdzie X={x1, x2}, Y={y1, y2}, Z={z1, z2, z3}
Złożenie typu max-min relacji R i S ma postać
R S
0,3
1
0,6 0,7

0,4
1
0,3 0,8
a11 a12
a13
a21 a22
a23
0,4
1
Przykład (cd)
Korzystając ze wzoru
RS
( x, z )
max {min{
y Y
R
( x, y ) ,
S
( y , z )} }
Znajdujemy wartości aij
a11 max{min{ 0,3;0,4}; min{1;0,3}} 0,3
a12 max{min{ 0,3;1}; min{1;0,8}} 0,8
a13 max{min{ 0,3;0,4}; min{1;1}} 1
a21 max{min{ 0,6;0,4}; min{ 0,7;0,3}} 0,4
a22 max{min{ 0,6;1}; min{ 0,7;0,8}} 0,7
a23 max{min{ 0,6;0,4}; min{ 0,7;1}} 0,7
Przykład (cd)
Ostatecznie
R S
0,3 0,8
1
0,4 0,7 0,7