W matematyce chaos oznacza, że rozwiązania układu szybko

Nr wniosku: 186553, nr raportu: 18642. Kierownik (z rap.): prof. dr hab. Grzegorz Świątek
W matematyce chaos oznacza, że rozwiązania układu szybko rozbiegają
się z upływem czasu. Kontrastuje to z przypadkiem zwykłego atraktora, takiego jak punkt lub cykl graniczny, kiedy to każde rozwiązanie bez względu
na dane początkowe dąży do prostej równowagi. W tym sensie, długoterminowe zachowanie takiego układu jest przewidywalne. Tematem przewodnim
badań podjętych w ramach tego projektu była krawędź chaosu, to znaczy
takie układy, które przy dowolnie małym zaburzeniu parametrów mogą stać
się przewidywalne lub chaotyczne. Często dzieje się tak, że na krawędzi chaosu istnieje globalny atraktor, ale nie jest prosty. Ma on bogatą strukturę
geometryczną i jest zwany dziwnym.
Pierwszy z badanych problemów dotyczył bardzo prostego przykładu wielomianów postaci z d + c, gdzie d ≥ 2, z jest zmienną zespoloną, a c zespolonym parametrem. W tym przypadku krawędź chaosu jest brzegiem miejsca
spójności w płaszczyźnie parametrów. Dla d = 2 miejsce spójności nazywa
się zbiorem Mandelbrota i jego obrazy mogą łatwo być otrzymane wyszukiwarką internetową. Brzeg ma subtelną strukturę geometryczną, a nasze
badania wprowadziły nowe pomysły do jej badania, oparte na narzędziach
analitycznych takich jak miara harmoniczna lub ruchy holomorficzne.
Kolejny problem ma do czynienia z układami określanymi jako krytyczne
nakrycia okręgu. Leżą one na krawędzi chaosu i same są chaotyczne w ścisłym sensie. Istnieje jednak teoretyczna możliwość, że statystycznie są one
przewidywalne. Innymi słowy przypadkowo wybrane rozwiązanie dążyłoby
do dziwnego atraktora topologicznie związanego z obrotem na okręgu o stały
kąt. Ostatecznym celem badań jest udzielenie odpowiedzi, czy rzeczywiście
tak się zdarza, ale otrzymane jak dotąd rezultaty pokazały, że wielkość, która
o tym decyduje, zwana dryftem, ma wartość na granicy i jej oszacowanie wymaga większej precyzji niż zapewniają istniejące metody.
Wreszcie, zajęliśmy się algorytem propagacji przekonań. Ma on znaczenie
praktycznie. Z punktu widzenia zastosowań, chaos jest zjawiskiem niepożądanym, bo oczekuje się raczej prostej odpowiedzi. Krawędź chaosu składa
się z parametrów, dla których algorytm przestaje być poprawny w sposób
możliwy do udowodnienia, a staje się metodą przybliżoną - może nie udzielić
odpowiedzi, a udzielona odpowiedż może nie być właściwa. Nasze rezultaty
pokazują, że tuż koło krawędzi chaosu układ staje się bardzo skomplikowany,
co nie wróży dobrze zastosowaniom przybliżonym.
1