Łączna gęstość stanów i osobliwości van Hove`a

Łączna gęstość stanów
i osobliwości van Hove’a
Łączna gęstość stanów i osobliwości van Hove’a
2
• Element macierzowy Pcv w poniższym wyrażeniu:
jest wolnozmienną funkcją wektora falowego i można przyjąć go jako stały.
• Zależność dyspersyjna  2   pochodzi z sumowania po funkcji delta.
• Sumowanie to może być zmienione na całkowanie po energii, definiując
funkcję łącznej gęstości stanów dla pasm przewodnictwa i walencyjnego:
gdzie S jest powierzchnią o stałej energii, zdefiniowanej przez:
Ec k   Ev k   
• Założona została podwójna degeneracja (spin) pasma walencyjnego
i przewodnictwa (prawda dla kryształów centrosymetrycznych,
ale już nie dla kryształów blendy cynkowej i niższej symetrii).
Łączna gęstość stanów i osobliwości van Hove’a
• Dla k Ec k   Ev k   0 w funkcji łącznej gęstości stanów pojawiają się
osobliwości zwane osobliwościami van Hove’a.
• Punkty te noszą nazwę punktów krytycznych.
• Osobliwości I rodzaju:
(występują w punktach strefy Brillouina o najwyższej symetrii)
• Osobliwości II rodzaju:
• Przebieg funkcji łącznej gęstości stanów jest lepiej widoczny po rozłożeniu
różnicy energii w szereg (zaniedbując wyrazy wyższych rzędów):
wokół punktu krytycznego k 0 , któremu odpowiada energia :
• Współczynniki ai decydują o rodzaju punktu krytycznego (4).
Łączna gęstość stanów i osobliwości van Hove’a
gdzie C jest stałą niezależną od energii
Łączna gęstość stanów i osobliwości van Hove’a
• W pobliżu punktu krytycznego o energii E0 prawdziwa jest zależność:
gdzie r jest indeksem punktu krytycznego M r .
• Zatem punkty krytyczne będą widoczne również w przebiegu części urojonej
przenikalności elektrycznej.
• W przypadku trójwymiarowym maksimum  2 występuje, gdy osobliwości
M 1 i M 2 występują przy tej samej energii.
• Dwuwymiarowe punkty krytyczne obserwowane są w widmach optycznych
materiałów anizotropowych (zwłaszcza o budowie warstwowej) oraz gdy
jeden ze współczynników ai jest wyraźnie mniejszy od pozostałych
(np. różne masy efektywne).
• W polu magnetycznym tylko jeden ze współczynników ai jest niezerowy.
Łączna gęstość stanów i osobliwości van Hove’a
Łączna gęstość stanów i osobliwości van Hove’a
• Rzeczywiste przebiegi przenikalności elektrycznej w pobliżu osobliwości
van Hove’a są rozmyte na skutek efektu poszerzenia stanów
(wynikającego ze skończonego czasu życia nośnika w danym stanie).
• Zgodnie z relacją Heisenberga nieoznaczoność energii wynosi:
gdzie czas  jest zależny od mechanizmów rozpraszania.
• Poszerzenie stanów jest większe dla materiałów o większym stopniu
zdefektowania, niejednorodności oraz w wyższych temperaturach.
• Poszerzenie przebiegu przenikalności elektrycznej uwzględnia się
zamieniając energię fotonu na energię zespoloną
,
co pozwala zapisać: