15.11.
Transkrypt
15.11.
Przegląd metod dowodzenia twierdzeń. Tabela zawiera zestawienie podstawowych technik dowodowych. Założenie twierdzenia jest oznaczone przez A, teza przez B. Tabela została zaczerpnięta z rozprawy Clausa Zinna pt. „Understanding informal mathematical discourse”, Erlangen 2004, str. 40, oryginalnie pochodzi z książki Daniela Solowa „How to read and do proofs”, Wiley 1982. 1 Technika dowodu Kiedy używamy? dedukcyjno – redukcyjna Jako pierwsza próba oraz gdy B nie ma rozpoznawalnej postaci. Gdy w B jest słowo „nie”. nie wprost przez sprzeczność konstrukcja Gdy w B jest słowo „nie” oraz gdy pierwsze dwie metody zawodzą. Gdy w B jest zwrot „istnieje”, „ jest”, „dla pewnego” lub podobny. Co zakładamy? A Co mamy uzyskać? B nie B nie A A i „nie B” Jakąś sprzeczność A Istnieje szukany obiekt. Jak to wykonujemy? Wyciągamy kolejne wnioski z A, budujemy przesłanki, z których wynika B. Wyciągamy kolejne wnioski z „nie B”, budujemy przesłanki, z których wynika „nie A”. Wyciągamy wnioski z A i „nie B”, aż uzyskamy sprzeczność. Odgadujemy lub konstruujemy szukany obiekt. Następnie pokazujemy, że ten obiekt ma wymaganą własność. 2 Technika Kiedy używamy? dowodu wybór Gdy w B jest zwrot „dla dowolnego”, „dla każdego” lub podobny. Co zakładamy? A, i wybieramy obiekt mający daną własność. indukcja Twierdzenie Twierdzenie zachodzi zachodzi dla n. dla n + 1. Trzeba też sprawdzić, że twierdzenie zachodzi dla n0 . Gdy B ma zachodzić dla każdej liczby naturalnej, począwszy od pewnej liczby, np. n0 . Co mamy uzyskać? Zachodzi pewien warunek. Jak to wykonujemy? Wyciągamy wnioski z A i z tego, że ten obiekt ma daną własność. Również budujemy przesłanki, z których wynika, że zachodzi rozważany warunek. Najpierw podstawiamy n0 za n i pokazujemy, że twierdzenie jest prawdziwe. Następnie przyjmujemy założenie, że twierdzenie zachodzi dla n i dowodzimy go dla n + 1. 3 Technika dowodu Kiedy używamy? przypadek szczególny Gdy w B jest zwrot „istnieje”, „dla wszystkich”, „dla każdego” lub podobny. bezpośrednia Gdy w B jest jednozwrot „dokładznaczność nie jeden” lub „ jednoznacznie określony”. pośrednia jednoznaczność przez eliminację Gdy w B jest zwrot „dokładnie jeden” lub „ jednoznacznie określony”. Gdy B ma postać „C lub D” Co zakładamy? Jak to wykonujemy? A Co mamy uzyskać? B Są dwa (niekoniecznie różne) takie obiekty i zachodzi A. Są dwa różne takie obiekty i zachodzi A. A i „nie C” D Wyciągamy wnioski z A i „nie C”, a także budu4 jemy przesłanki, z których wynika D. Wyciągamy wnioski przez zastosowanie A do jednego konkretnego obiektu mającego daną własność. Te dwa Wyciągamy wnioski wyobiekty korzystując A oraz własą sności danych obiekrówne. tów. Również budujemy przesłanki, z których wynika, że te obiekty są równe. Jakąś Wyciągamy wnioski z sprzecz- A wykorzystując właność. sności danych obiektów oraz fakt, że są różne. Technika dowodu przez przypadki Kiedy używamy? Gdy A ma postać „C lub D” max/min 1 Gdy B ma postać „ max S 6 x” lub „ min S > x” max/min 2 Gdy B ma postać „ max S > x” lub „ min S 6 x” Co zakładamy? Przypadek 1: C Co mamy uzyskać? B Przypadek 2: D Wybieramy element s w zbiorze S i zakładamy A. B A Konstrukcję elementu s zbioru S, takiego że s > x lub s6x s 6 x lub s > x Jak to wykonujemy? Najpierw dowodzimy, że z C wynika B, następnie dowodzimy, że z D wynika B. Wyciągamy wnioski z A oraz z faktu, że s należy do S. Również budujemy przesłanki, z których wynika B. Wykorzystujemy A oraz sposób konstrukcji do stworzenia szukanego elementu s zbioru S. 5 Uwagi dotyczące pisania rozumowań matematycznych. Richard Hammack, Book of proof, Virginia Commonwealth University, str. 107–109. http://www.people.vcu.edu/~rhammack/BookOfProof/BookOfProof.pdf 6 Zbiory 7 Sposoby określania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f (t), gdzie t przebiega zbiór T : {f (t); t ∈ T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X spełniających warunek ϕ(x): {x ∈ X : ϕ(x)}. 3) Zbiór skończony możemy określić przez wypisanie jego elementów, np. {n ∈ N1 : n | 6} = {1, 2, 3, 6}. 8 • Zbiór liczb parzystych możemy określić na dwa sposoby: {2k; k ∈ Z} = {n ∈ Z : 2 | n}. • Prostą o równaniu y = ax + b możemy określić jako zbiór punktów o współrzędnych (x, ax + b), gdzie x ∈ R: {(x, ax + b); x ∈ R} lub jako zbiór tych punktów o współrzędnych (x, y), które spełniają warunek y = ax + b: {(x, y) ∈ R2 : y = ax + b}. 9 Ważny przykład zbiorów stanowią przedziały osi liczbowej. (a, b) = {x ∈ R : x > a ∧ x < b}, [a, b) = {x ∈ R : x > a ∧ x < b}, (−∞, a) = {x ∈ R : x < a}. 10 Inkluzja zbiorów Mówimy, że zbiór A jest zawarty w zbiorze B, co zapisujemy A ⊂ B, jeśli wszystkie elementy zbioru A należą do zbioru B, czyli dla dowolnego elementu x prawdziwe jest zdanie (x ∈ A) ⇒ (x ∈ B). Jeśli A ⊂ B, to zbiór A nazywamy podzbiorem zbioru B. 11 Przykłady: {0} ⊂ [0, 1) ⊂ (−1, 1) ⊂ [−1, 1] ⊂ (−∞, 1], N1 ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Dwie podstawowe własności inkluzji: 1) jeżeli A ⊂ B i B ⊂ A, to A = B, 2) jeżeli A ⊂ B i B ⊂ C, to A ⊂ C. 12 Zbiór pusty Zbiór pusty to zbiór posiadający 0 elementów, oznaczamy go symbolem ∅. Zbiór pusty jest zawarty w każdym zbiorze: ∅ ⊂ A. 13 Działania na zbiorach Rozważmy dowolne dwa zbiory A i B. Suma A ∪ B składa się z wszystkich elementów, które należą do zbioru A lub do zbioru B: (x ∈ A ∪ B) ⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B). Część wspólna (przekrój) A ∩ B składa się z wszystkich elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B: (x ∈ A ∩ B) ⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B). 14 Różnica A \ B składa się z wszystkich elementów, które należą do zbioru A, ale nie należą do zbioru B: (x ∈ A \ B) ⇔ (x ∈ A ∧ x6∈B). Uwaga: (x6∈A) ⇔∼ (x ∈ A). Różnica symetryczna A ÷ B składa się z wszystkich elementów, które należą do zbioru A, a nie należą do B, oraz tych, które należą do B, a nie należą do A: (x ∈ A ÷ B) ⇔ (x ∈ A Y x ∈ B). Uwaga: A ÷ B = (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B). 15