1 v v a t = + ⋅ 2 v v a s s = + ⋅ −

WM-E; kier. MBM, lista zad. nr 3. pt. (z karty przedmiotu): Rozwiązywanie wybranych zagadnień z zakresu
kinematyki punktu materialnego: ruchy prostoliniowe i krzywoliniowe; związki między parametrami kinematycznymi:
droga, prędkość, przyspieszenie do kursu Fizyka 1.6, r. ak. 2015/16; pod koniec listy zadania do samodzielnego
rozwiązania oraz tabele wybranych wzorów matematycznych i fizycznych. Materiał dydaktyczny dostępny na stronie:
http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1_pliki/2_Kinematyka_punktu_materialnego.pdf
11. a) Indianin Sokole Oko przejechał na koniu odległość S dzielącą jego wigwam od
źródła wody pitnej z prędkością v = 10 km/h. Z jaką prędkością powinien wrócić do
obozu, aby jego prędkość średnia była równa: a) v/2; b) 2v? b) Cząstka rozpoczyna ruch
przyspieszony z zerową prędkością początkową. Zależność przyspieszenia od czasu
przedstawia wykres. Wyznaczyć: (a) prędkość cząstki w chwilach t1 = 10 s i t2 = 20 s; (b)
średnią prędkość w czasie od t1 do t2; (c) drogę przebytą przez nią po czasie t2.
12. Ciało swobodnie spadające pokonuje połowę drogę w ostatniej sekundzie ruchu. Z jakiej wysokości spadało?
13. Od jadącego wagonu pociągu odczepił się ostatni wagon. Pociąg nadal jedzie z tą samą prędkością. Pokaż, że
droga przebyta przez pociąg jest dwa razy dłuższa od drogi przebytej przez wagon do chwili jego zatrzymania się, jeśli
założyć, że wagon poruszał się ruchem jednostajnie opóźnionym.
14. Kamień rzucono pionowo do góry. Mija on punkt A z prędkością vA, a punkt B, leżący 3 m wyżej niż punkt A z
prędkością vA/2. Oblicz: (a) prędkość vA; (b) maksymalną wysokość wzniesienia się kamienia ponad punkt B. Ws-ka:
Droga przebyta w czasie t w ruchu jednostajnie zmiennym przyspieszonym s (t) = [v0 + v(t)]t/2.
15. Sterowiec porusza się na wysokości 2 km w kierunku poziomym z prędkością 3 m/s. Ze sterowca wyrzucono kulkę
metalową, nadając jej poziomą prędkość początkową 5 m/s (względem sterowca) w chwili, gdy przelatywał on nad
wierzchołkiem masztu stacji radiowej stojącego na płaskim terenie. Jak daleko od masztu upadła kulka? Jaki był czas
ruchu kulki? Wyznaczyć wektor prędkości v1, wysokość h, przyspieszenie całkowite a oraz składową styczną as
przyspieszenia kulki po czasie t = 3 s od momentu jej wyrzucenia ze sterowca. Opory powietrza zaniedbać. Przyjąć g
= 10m/s2.
16. Na mistrzostwach świata w Tokio w 1991 r., Mike Powell skoczył w konkursie skoku w dal 8,95 m. Wyznaczyć
jego prędkość początkową, jeśli kąt wybicia był równy 40°. Przyjąć g = 10 m/s2.
17. Talerz twardego dysku o średnicy jednego cala = 2,74 cm uzyskuje, przyspieszając jednostajnie, końcową prędkość
kątową 7200 obrotów na minutę w czasie t = 3 sek. Wyznaczyć: a) drogę kątową punktów talerza położonych poza
osią obrotu zakreśloną w czasie t = 3 sek.; b) liczbę obrotów, które wykonał talerz podczas przyspieszonego ruchu
obrotowego; c) końcową prędkość kątową wyrażoną w radianach na sekundę; c) przyspieszenie kątowe talerza; d)
przyspieszenie styczne punktów położonych na brzegu tarczy podczas przyspieszonego ruchu obrotowego; e)
prędkość liniową punktów na brzegu tarczy po czasie t = 3 sek.; e) zależność od czasu przyspieszenia dośrodkowego
punktów na brzegu tarczy w trakcie przyspieszonego ruchu obrotowego; f) przyspieszenie dośrodkowe punktów na
brzegu tarczy po czasie t = 3 sek.
Tabele wzorów fizycznych i matematycznych
Ruch prostoliniowy (podano wartości)
Prędkość średnia
v = ∆s ∆t
Przyspieszenia: średnie i
chwilowe
a=
Prędkość
v − v0
F (t ) dv
a=
=
t − t0 ;
m
dt
vk = v0 + a ⋅ t
s = s0 + v0t + at 2 2
Droga
vk2 = v02 + 2a ⋅ ( sk − s0 )
Prędkość i droga w ruchu
jednostajnie zmiennym
Oprac. W. Salejda, L. Bujkiewicz, K. Kluczyk, M. Mulak, J. Szatkowski.
Wrocław, 9 października 2015
1
Siłownia umysłowa. Zadania przeznaczone do samodzielnego rozwiązania
1. Rybak płynie łódką w górę rzeki. Przejeżdżając pod mostem gubi zapasowe wiosło, które wpada do wody. Po
godzinie rybak zauważył brak wiosła i zawrócił po nie, doganiając je 6 km poniżej mostu. Jaka jest prędkość rzeki,
jeśli rybak poruszając się w dół i w górę rzeki wiosłował jednakowo?
2. Dwóch pływaków A i B skacze jednocześnie do rzeki, w której woda płynie z prędkością v. Prędkość c (c > v)
każdego pływaka względem wody jest taka sama. Pływak A przepływa z prądem odległość L i zawraca do punktu
startu. Pływak B płynie cały czas prostopadle do brzegów rzeki (pomimo znoszącego go prądu) i oddala się na
odległość L, po czym zawraca do punktu startu. Który z nich wróci pierwszy?
3. Kula pistoletowa wystrzelona poziomo przebiła dwie pionowo ustawione kartki papieru, umieszczone w
odległościach l1 = 20 m i l2 = 30 m od pistoletu. Różnica wysokości na jakich znajdują się otwory w kartkach wynosi h
= 5 cm. Oblicz prędkość początkową kuli. Przyspieszenie ziemskie 10 m/s2.
4. Satelita obiega Ziemię w czasie 98 minut poruszając się ze stałą wartością prędkości na wysokości 640 km. Jaka
jest jego prędkość i przyspieszenie?
5. Francuski pociąg o nazwie TGV (Train a` Grande Vitesse) ma średnią prędkość 216 km/h. Jego pasażerowie nie
powinni być poddani większemu przyśpieszeniu niż 0,05g. Ile wynosi najmniejszy promień toru, po jakim może
jechać TGV z podaną prędkością? Jaka jest dopuszczalna prędkość TGV na łuku toru o promieniu 1 km?
6. Strzelba jest wycelowana w cel wiszący na wysokości H. W tej samej chwili pada strzał i cel zaczyna swobodnie
spadać. Pokazać, że kula trafi w cel.
7. Punkt materialny porusza się w płaszczyźnie OXY, a jego ruch opisują parametryczne równania: x(t ) = at, y(t ) =
bt − ct2, gdzie a, b, c są wielkościami stałymi. Uzasadnij, korzystając z tabeli wzorów matematycznych, że: a) po
upływie czasu t1 składowe wektora prędkości chwilowej wynoszą
,
dx ( t )
dy ( t )

v =  vx ( t1 ) =
= a; v y ( t1 ) =
= b − 2ct1 


dt t =t
dt t =t

1
1

natomiast wektora przyspieszenia chwilowego
;
dv ( t )
dv ( t )

a =  a x ( tt ) = x
= 0; a y ( t1 ) = y
= −2c 

dt t =t
dt

t =t1
1


b) długości wektorów prędkości i przyspieszenia chwilowego zadają wzory:
2
v ( tt ) = v ( t1 ) = a 2 + ( b − 2ct1 ) , a = a = 2c.
c) jeśli wartość składowej chwilowego przyspieszenia stycznego wynosi
as ( t1 ) =
dv ( t )
d
2
=
a 2 + ( b − 2ct )
dt t = t1 dt
=2
t = t1
,
ct1 − b
a 2 + ( b − 2ct )
2
wyznacz wartość przyspieszenia dośrodkowego an uwzględniając związki a = aS +aN ; aS ⋅ aN =0.
8. Ciało znajdujące się na wysokości h nad powierzchnią ziemi rzucono pionowo do góry z prędkością v0 = 5 m/s.
Prędkość końcowa ciała (tuż przed upadkiem) wyniosła |vk | = 5v0 . Wyznaczyć h. Na jaką maksymalną wysokość H
nad powierzchnię ziemi wzniosło się ciało? Ile czasu tc trwał ruch ciała?
9. Ciało rzucono pionowo w dół z wysokości H, nadając mu prędkość początkową v0 = 5 m/s. Ciało uderzyło o ziemię
z prędkością vk = 35 m/s. Z jakiej wysokości H zostało rzucone? Ile sekund trwał ruch ciała? Jaką prędkość v1 miało to
ciało w chwili, gdy przebyło drogę s1 = H/6?
10. Układający się do drzemki kot spostrzega doniczkę przelatującą za oknem, najpierw w górę, a potem w dół.
Łączny czas, w jakim kot ma doniczkę w polu widzenia, wynosi 0,5 s, a wysokość okna, przez które ją obserwuje, jest
równa 2 m. Jak wysoko nad górną framugę okna wzniosła się doniczka?
11. W chwili, gdy zapala się zielone światło, samochód osobowy rusza z miejsca ze stałym przyspieszeniem 2,2 m/s2.
W tej samej chwili wyprzedza go ciężarówka, jadąca ze stałą prędkością 9,5 m/s. (a) W jakiej odległości od
sygnalizatora samochód osobowy dogoni ciężarówkę? (b) Ile wynosić będzie wówczas jego prędkość?
2
12. Wysokość szybu windy w hotelu Marquis Marriott w Nowym Jorku wynosi 190 m. Maksymalna prędkość kabiny
jest równa 305 m/min. Przyspieszenie windy w obu kierunkach jazdy ma wartość 1,22 m/s2. (a) Na jakiej drodze
ruszający z miejsca wagonik osiąga maksymalną prędkość jazdy? (b) Jak długo trwa pełny, 190-metrowy przejazd
wagonika bez zatrzymania po drodze, licząc od chwili startu w górę do chwili zatrzymania na górze?
13. Biegacz przebiegł połowę trasy z prędkością 18 km/h, a drugą połowę z inną prędkością v. Gdyby biegł cały czas
ze stałą prędkością 12 km/h, to czas potrzebny na przebycie całej trasy nie zmieniłby się. Oblicz wartość prędkości v.
2
14. Motocyklista rusza ze stałym przyspieszeniem a = 0.5 m/s . Po 0,6 min od chwili rozpoczęcia ruchu zatrzymuje go
policjant. Czy motocyklista zapłaci mandat z powodu przekroczenia dozwolonej prędkości 60 km/h?
15. Aby móc oderwać się od ziemi samolot musi osiągnąć prędkość 100 m/s. Znaleźć czas rozbiegu i przyspieszenie
samolotu, jeżeli długość rozbiegu wynosi d = 600 m. Założyć, że ruch samolotu jest jednostajnie zmienny .
16. Samochód jadący z prędkością v 0 = 36 km h w pewnej chwili zaczął hamować tak, że zatrzymał się po upływie 2 s.
Zakładając, że ruch samochodu był jednostajnie zmienny, wyznacz przyspieszenie a samochodu oraz drogę s, jaką
przebył on od chwili rozpoczęcia hamowania.
17. Kamień rzucono ukośnie z powierzchni ziemi. Na wysokości 9,1 m jego prędkość jest równa v = 7,6i + 6,1j. Jaka
jest maksymalna wysokość i zasięg rzutu? Jaka była prędkość początkowa i końcowa (tuż przed upadkiem) kamienia?
18. Wartość prędkości początkowej pewnego pocisku wyrzuconego ukośnie jest pięć razy większa od jego prędkości w
punkcie maksymalnego wzniesienia. Pod jakim kątem wystrzelono pocisk?
19. Samolot lecący z prędkością v = 290 km/h nurkuje pod kątem 30° do powierzchni morza i wypuszcza pakunek z
żywnością dla rozbitków znajdujących się w odległości 700 m liczonej po powierzchni morza od punktu leżącego
bezpośrednio pod samolotem w momencie, gdy wypuszcza ładunek. Jak długo trwał lot pakunku? Na jakiej wysokości
znajdował się samolot w momencie wyrzucenia ładunku?
20. Wiewiórka spada z drzewa. Gdy przebyła ona drogę d z drzewa zaczyna spadać student, który zdołał wspiąć sie
na odległość h od wierzchołka. Wiewiórka i student spadają na ziemię w tej samej chwili. Policz wysokość drzewa.
21. W meczu tenisowym Edi Federer serwując nadał piłce znajdującej się na wysokości 2,37m prędkość poziomą 23,6
m/s stojąc w odległości 12 m od siatki. Czy piłka przejdzie nad siatką?
22. Rowerzyści w czasie wycieczki rejestrowali swoją prędkość.
a) Rowerzysta A godzinę jechał z prędkością v1 = 25 km/h podczas drugiej na skutek zmęczenia jechał z prędkością v2
= 15 km/h.
b) Rowerzysta B pierwsze 20 km jechał z prędkością v1 = 25 km/h a kolejne 20 km z prędkością v2 = 15 km/h.
c) Rowerzysta C godzinę jechał z prędkością v1 = 25 km/h a następne 20 km z prędkością v2 = 15 km/h.
Oblicz prędkości średnie rowerzystów.
23. Dwa samochody poruszają się po dwóch prostoliniowych i wzajemnie prostopadłych drogach w kierunku ich
przecięcia ze stałymi szybkościami v1 = 50 km/h i v2 = 100 km/h. Przed rozpoczęciem ruchu pierwszy samochód
znajdował się w odległości s1=100km od skrzyżowania dróg, a drugi w odległości s2 = 50km. od ich przecięcia. Po
jakim czasie od chwili rozpoczęcia ruchu odległość między samochodami będzie najmniejsza?
24. Krople deszczu spadają na ziemię z chmury znajdującej się na wysokości 1700 m. Oblicz, jaką wartość prędkości
(w km/h) miałyby te krople w chwili upadku na ziemię, gdyby ich ruch nie był spowalniany w wyniku oporu
powietrza.
2
25. Oblicz prędkość jaką uzyskasz poruszając się przez 1 rok prostoliniowo z przyspieszeniem ziemskim g = 9,81m/s .
26. Brzeg krzesełka obracającej się karuzeli znajduje się w odległości r metrów od osi obrotu karuzeli. Wartość
prędkości liniowej brzegu krzesełka jest równa v m/s. z jaką częstotliwością obraca się karuzela?
27. Punkt materialny zaczął poruszać się po okręgu o promieniu r cm ze stałym co do wartości przyspieszeniem
stycznym a. Po jakim czasie przyspieszenie dośrodkowe będzie co do wartości dwa razy większe od przyspieszenia
stycznego?
28 Karuzela wykonuje w ciągu minuty n obrotów. Promień toru, po którym porusza się człowiek, wynosi r. Ile
wynosi przyspieszenie dośrodkowe człowieka, który siedzi na karuzeli?
Oprac. W. Salejda, J. Szatkowski.
Wrocław, 9 października 2015
3