- at: www.journal.ue.wroc.pl

D I D A C T I C S
O F
M A T H E M A T I C S
No. 4 (8)
2007
Janusz Łyko
(Wrocław)
O STANDARDACH KSZTAŁCENIA
Abstract. The Bologna process has caused great changes in polish highest educational
system. The one of main modifications is a new program of academic courses in all
specializations. In case of program of mathematics for economics does not have correlation
with secondary school course. Main aim of the article is an attempt to evaluate the
possibilities of realizing the agenda (included in the teaching standards) in comparison to
the time needed to achieve it.
Key words: education, teaching standards.
Zmiany, które w ostatnich latach wprowadzono w programach
nauczania matematyki w szkole średniej istotnie wpłynęły na poziom
wiedzy absolwentów z tego przedmiotu. Zostały zaakceptowane praktycznie
dwie ścieŜki nauczania. Jedna prowadząca do uzyskania świadectwa
dojrzałości bez egzaminu maturalnego z matematyki lub do zdania go na
poziomie podstawowym, druga do zdania matury z matematyki na poziomie
rozszerzonym. RóŜnice w zakresie programów między tymi dwoma
wariantami są znaczne. MoŜna je zauwaŜyć, analizując rozporządzenie
Ministra Edukacji Narodowej i Sportu z 10 kwietnia 2003 r. zmieniające
rozporządzenie w sprawie standardów wymagań będących podstawą
przeprowadzania sprawdzianów i egzaminów (DzU z 2003 r. Nr 90, poz.
846) zawierające standardy wymagań będące podstawą przeprowadzenia
egzaminu maturalnego. W praktyce kurs podstawowy realizowany jest w
wymiarze 9 godzin tygodniowo w ujęciu 3-letnim. Oznacza to, Ŝe średnio w
kaŜdym roku nauki słuchacz uczy się tego przedmiotu przez 3 godziny w
tygodniu. Czas, w jakim przekazywane są treści programu rozszerzonego,
jest róŜny w zaleŜności od typu szkoły i profilu kształcenia. Wynika to z
tego, Ŝe dyrekcja szkół moŜe pewną liczbę godzin rozdysponować w
charakterze zajęć fakultatywnych. Z reguły dodatkowy czas nie jest
mniejszy niŜ 4 godziny tygodniowo w ujęciu 3-letnim. Przyjmując, Ŝe
6
Janusz Łyko
średnio rok szkolny trwa 36 tygodni, a w III klasie jest o 8 tygodni krótszy,
czas poświęcony na zrealizowanie róŜnic wynosi 100 godzin.
W programach ekonomicznych szkół wyŜszych zawierających
matematykę najczęściej znajdują się elementy algebry liniowej i analizy
matematycznej. W niektórych wypadkach, a w szczególności kierunków, na
których kształci się studentów w Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu,
był on rozszerzony o logikę, rachunek zbiorów i teorię relacji. Kurs ten w
znacznym zakresie zakłada znajomość zagadnień będących w programach
szkoły średniej. Pomijając pewne elementy planimetrii i stereometrii,
przyswojenie pozostałej części programu decyduje o moŜliwości
zrozumienia treści wykładu akademickiego.
W chwili obecnej szkoły wyŜsze praktycznie zrezygnowały z
egzaminów wstępnych jako formy rekrutacji. Odbywa się ona na podstawie
wyników egzaminu maturalnego, a władze szkoły decydują jedynie o
przedmiotach, z których wyniki zostają uwzględnione. Mogą one takŜe
wyznaczyć wymagany poziom, czyli podstawowy bądź rozszerzony lub w
taki sposób ustalić punktację wyników szkolnych, by preferowała
rozszerzoną wersję matury. Określenie wyŜszych wymagań rekrutacyjnych
zmniejsza oczywiście potencjalny krąg kandydatów i na taki krok
najczęściej nie decydują się organy ustalające zasady rekrutacji. Praktycznie
nie jest to moŜliwe w przypadku wyŜszych szkół zawodowych, które
powołane zostały z myślą dotarcia ze swoją ofertą edukacyjną do
szerokiego kręgu absolwentów szkół średnich mieszkających poza duŜymi
ośrodkami akademickimi, a takŜe w przypadku szkół niepublicznych, gdyŜ
zasady konkurencji nie pozwalają na ograniczanie kręgu potencjalnych
kandydatów. Powoduje to, Ŝe studentami takich uczelni zostają w
większości osoby, które nie zdawały matury z matematyki lub zdały ją,
często z wynikiem miernym, na poziomie podstawowym. Pamiętać trzeba,
Ŝe to absolwenci tych szkół stanowią liczne grono kandydatów na studia
drugiego stopnia w uczelniach publicznych.
NiŜ demograficzny, a co za tym idzie, zmniejszenie liczby chętnych do
podjęcia studiów pierwszego stopnia, sprawił, Ŝe podobnie postępują juŜ
uczelnie publiczne. Zasady rekrutacji w 2008 r. uchwalone przez Senat
Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu z wyjątkiem dwóch z trzech
kierunków Wydziału Zarządzania, Informatyki i Finansów określają
egzamin maturalny z matematyki jako fakultatywny w procedurze przyjęcia
na studia. NaleŜy wobec tego liczyć się z moŜliwością prowadzenia
wykładów dla słuchaczy, którzy nie znają treści zawartych w programie
rozszerzonym. Biorąc pod uwagę wspomniane wcześniej rozporządzenie i
O standardach kształcenia
7
potrzeby kursu akademickiego, wiedzę absolwenta szkoły średniej naleŜy
uzupełnić o takie elementy, jak: zasada indukcji matematycznej,
rozwiązywanie równań i nierówności z wartością bezwzględną, pojęcie oraz
własności funkcji róŜnowartościowej, parzystej, nieparzystej i okresowej,
definicję funkcji wymiernej, wykładniczej i logarytmicznej oraz metody
rozwiązywania równań i nierówności wymiernych, wykładniczych i
logarytmicznych, sposoby rozwiązywania równań trygonometrycznych
uwzględniających m.in. wzory redukcyjne, dwumian Newtona, elementy
planimetrii, a w szczególności definicję wektora, sumy wektorów i iloczynu
wektora przez liczbę oraz z zakresu geometrii analitycznej przynajmniej o
równanie okręgu. Ponadto jedynie program rozszerzony zawiera treści
związane z analizą matematyczną, w tym definicję granicy ciągu
liczbowego oraz sposoby obliczania granic, pojęcie sumy szeregu
geometrycznego, pojęcie funkcji ciągłej, definicję i interpretację pochodnej
oraz zastosowania do badania monotoniczności i szukania ekstremów
wielomianów i funkcji wymiernych.
W zakresie tych uzupełnień student pierwszego roku jest zdany
praktycznie tylko na siebie, gdyŜ trudno sobie wyobrazić, Ŝe w coraz
skromniejszym wymiarze godzin kursu akademickiego znajdzie się czas na
te elementy. Musiałoby się na to przeznaczyć większość ze 100 godzin, w
czasie których materiał ten jest realizowany w szkołach średnich. Nawet
biorąc pod uwagę to, Ŝe praca ze studentami ma inny charakter, treści
programowe przekazywane są inaczej, a w konsekwencji potrzeby czasowe
są mniejsze, nie moŜna tego uczynić, mieszcząc się w minimalnej liczbie
godzin przewidzianej standardami dla szkół wyŜszych. Co więcej, nie jest to
nawet wskazane ze względu na grono osób rozpoczynających naukę na
uczelni ze znajomością programu rozszerzonego. Inną kwestią jest właściwa
informacja skierowana do kandydatów. Nie moŜna w wymaganiach
rekrutacyjnych określać jednego zakresu, a na wykładach wymagać
znajomości pojęć zawartych w szerszym programie. Odpowiednia
orientacja co do skali róŜnic na pewno przyczyniłaby się do wyrównania
wysiłku potrzebnego do opanowania wykładu na studiach.
Mimo wprowadzenia obowiązkowej matury z matematyki w
najbliŜszych latach sytuacja nie ulegnie poprawie, a wręcz przeciwnie,
wiedza absolwentów szkół średnich w zakresie tego przedmiotu będzie
jeszcze mniejsza. Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej z 28
sierpnia 2007 r. zmieniające rozporządzenie w sprawie standardów
wymagań będących podstawą przeprowadzania sprawdzianów i egzaminów
(DzU z 2007 r. Nr 157, poz. 1102) zdecydowanie zawęŜa podstawę
8
Janusz Łyko
programową i redukuje wymagania w zakresie zarówno programu
podstawowego, jak i rozszerzonego. Z programu podstawowego usunięto
elementy rachunku zdań i zbiorów, dzielenie wielomianów, twierdzenie
Bezout, pojęcie funkcji homograficznej, miary łukowej kąta oraz definicję
funkcji trygonometrycznej dowolnego kąta. Dodano natomiast pojęcie
logarytmu, definicje funkcji wykładniczej i równanie okręgu. WaŜniejsze
zmiany dotyczą programu rozszerzonego. W zakresie istotnym dla treści
wykładu na kierunkach ekonomicznych pominięto indukcję matematyczną,
dwumian Newtona i wszystko co jest związane z analizą matematyczną
począwszy od granicy ciągu liczbowego! W zamian program został
uzupełniony o rozwiązywanie prostych nierówności trygonometrycznych i
elementy rachunku wektorowego w ujęciu analitycznym.
Patrząc na te zmiany z punktu widzenia akademickiego kursu
matematyki moŜna dostrzec jedynie jeden pozytywny aspekt. Zmniejszy się
róŜnica w poziomie wiedzy między słuchaczami. Zmniejszenie to jest
jednak równaniem w dół. Wiedza uczniów realizujących program
rozszerzony zmniejszy się nieporównywalnie bardziej niŜ zwiększą
wiadomości zdających maturę na poziomie podstawowym. Sytuacja taka nie
stanowi znacznego utrudnienia w realizacji programu uniwersyteckich
kierunków ścisłych czy politechnicznych kierunków inŜynierskich. Liczba
godzin przewidziana programem tych studiów moŜe z jednej strony
wystarczyć na uzupełnienie braków, a z drugiej pozwolić na wykład od
podstaw, jak choćby w przypadku analizy matematycznej. W tym drugim
wypadku moŜe się to okazać nawet korzystniejsze dla wykładowcy i nie
odczuje on u słuchaczy braku wiedzy w tym zakresie. W zdecydowanie
gorszej sytuacji zostaną postawieni wykładowcy matematyki w tych
uczelniach i na tych kierunkach, gdzie nie jest ona przedmiotem wiodącym,
a jedynie dostarczającym narzędzi dla przedmiotów kierunkowych i
specjalistycznych. Taką właśnie rolę matematyce wyznacza się w
uczelniach ekonomicznych. Realizacja programu, która w obecnej chwili
jest juŜ bardzo trudna, za dwa lata stanie się przy obecnych trendach w
kształtowaniu standardów praktycznie niemoŜliwa.
Od roku akademickiego 2007/2008 na wszystkich kierunkach, w
zakresie których prowadzone jest kształcenie w Akademii Ekonomicznej we
Wrocławiu, obowiązują nowe standardy nauczania. W grupie przedmiotów
podstawowych, jakim jest m.in. matematyka, określają one zakres
umiejętności oraz minimalną liczbę godzin na zrealizowanie programu. W
zakresie treści standardy nie zmniejszają programu w stosunku do lat
poprzednich, natomiast liczba godzin uległa istotnemu ograniczeniu. Na
O standardach kształcenia
9
przykład na kierunku finanse i rachunkowość, który zastąpił kierunek
finanse i bankowość, w ciągu kilku lat zmniejszyła się ona ze 120 do 30. W
standardach podawana jest oczywiście minimalna liczba, jednak ze względu
na ograniczenie ogólnej liczby godzin w trakcie studiów w praktyce
pozostaje ona na takim samym poziomie lub zostaje nieznacznie
zwiększona.
O skali problemu moŜna się przekonać, porównując dwa ostatnie
rozporządzenia dotyczące standardów nauczania na studiach pierwszego
stopnia. Pierwsze, poprzednio obowiązujące Rozporządzenie Ministra
Edukacji i Sportu z 18 kwietnia 2002 r. w sprawie określenia standardów
nauczania dla poszczególnych kierunków studiów i poziomów kształcenia
(DzU z 2002 r. Nr 116, poz. 1004) oraz aktualne Rozporządzenie Ministra
Nauki i Szkolnictwa WyŜszego z 12 lipca 2007 r. w sprawie standardów
kształcenia dla poszczególnych kierunków oraz poziomów kształcenia, a
takŜe trybu tworzenia i warunków, jakie musi spełniać uczelnia, by
prowadzić studia międzykierunkowe oraz makrokierunki kształcenia (DzU z
2007 r. Nr 164, poz. 1166).
Na kierunku stosunki międzynarodowe w ogóle zrezygnowano z kursu
matematyki. Jedynym przedmiotem ścisłym wykładanym według standardu
w wymiarze 30 godzin jest statystyka. W treściach innych przedmiotów
moŜna jednak znaleźć takie hasła, jak funkcja produkcji czy prognozowanie
demograficzne. Trudno wyobrazić sobie omawianie tych zagadnień bez
posługiwania się ścisłym, formalnym językiem. Słuchacz, który we własnym zakresie nie poszerzy swojej wiedzy z zakresu szkoły średniej, będzie
miał problemy ze zrozumieniem i właściwą interpretacją pojęć. Oddzielnym
problemem jest takŜe połączenie elementów statystyki opisowej, znanych
absolwentom szkół średnich, z treścią kształcenia zawartą w 30-godzinnym
kursie statystyki.
Pozostałe kierunki ekonomiczne mają w ramach standardu matematykę
jako jeden z przedmiotów podstawowych. Ze względu na to, Ŝe charakter
problemu na wszystkich jest zbliŜony, szczegóły zmian zostaną
przedstawione jedynie w przypadku dwóch, obecnie najbardziej
popularnych wśród kandydatów. Od początku lat dziewięćdziesiątych
poprzedniego stulecia największym zainteresowaniem absolwentów szkół
średnich cieszyły się finanse i bankowość oraz zarządzanie i marketing.
Obecne nazwy tych kierunków to: finanse i rachunkowość oraz zarządzanie.
Do czasu wprowadzenia poprzednich standardów matematyka na tych
kierunkach na Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu była wykładana na
wszystkich wydziałach w wymiarze 120 godzin. Realizowany program był
10
Janusz Łyko
taki sam, co więcej, w ramach wydziału na wykładzie nie istniał praktycznie
podział na kierunki. Pierwsze zmiany nastąpiły po wejściu w Ŝycie
rozporządzenia z 2002 r. Przewidywało ono na kierunku finanse i
bankowość 90-godzinny kurs matematyki, którego treść została ujęta
następująco: „Funkcje jednej, dwóch oraz wielu zmiennych i ich
zastosowania ekonomiczne (rachunek marginalny, ekstrema). Elementy
rachunku całkowego. Wprowadzenie do równań róŜniczkowych i
róŜnicowych – z zastosowaniem w ekonomii. Rachunek wektorów i
macierzy. Układy równań i nierówności liniowych – przykłady
ekonomiczne. Elementy ekonomii matematycznej”. Identyczny wymiar
godzin został przewidziany dla kierunku zarządzanie i marketing, a treść
wykładu to: „Funkcje jednej, dwóch oraz wielu zmiennych i ich
zastosowania ekonomiczne (rachunek marginalny, ekstrema). Elementy
rachunku całkowego. Wprowadzenie do równań róŜniczkowych i
róŜnicowych – z zastosowaniami w ekonomii. Rachunek wektorów i
macierzy. Układ równań i nierówności liniowych – przykłady
ekonomiczne”. Pomijając ostatni element kursu dla kierunku finanse i
bankowość, trudno dostrzec jakiekolwiek róŜnice poza dwoma
sformułowaniami gramatycznymi. Nawet niezbyt szczęśliwe określenie
„jednej, dwóch oraz wielu” jest takie samo. Oznacza to, Ŝe na pierwszym z
wymienionych kierunków materiał musi być realizowany szybciej, aby
wygospodarować czas na „elementy ekonomii matematycznej”.
Obowiązujące rozporządzenie nie pozostawia juŜ złudzeń co do
kierunku zmian w szkolnictwie wyŜszym. Treści kształcenia na kierunku
zarządzanie pozostały takie same: „Funkcje jednej, dwóch oraz wielu
zmiennych – zastosowania w zarządzaniu. Równania róŜniczkowe i
róŜnicowe – zastosowania w ekonomii i zarządzaniu. Elementy rachunku
całkowego. Rachunek wektorów i macierzy. Układy równań i nierówności –
przykłady z dziedziny zarządzania”. Efektem kształcenia ma być
wykorzystywanie matematyki w zarządzaniu, a czas przeznaczony na
realizację programu to 45 godzin. W jaki sposób moŜna dobrze nauczyć
tego samego w czasie o połowę krótszym? Tym bardziej, Ŝe odbiorcą
wykładu będzie absolwent szkoły średniej wiedzący na temat matematyki
mniej niŜ ten, który szkołę kończył na początku tego wieku. Pozostawienie
większej części materiału do samodzielnego opracowania musi odbić się na
jakości kształcenia. W chwili obecnej opanowanie wykładu akademickiego
sprawia studentom wiele kłopotów, po tej reformie będą one jeszcze
większe. Matematyki trudno się nauczyć jedynie z podręczników. Jest to
przedmiot, który jak Ŝaden inny wymaga kontaktu z nauczycielem.
O standardach kształcenia
11
Ograniczając ogólną liczbę godzin na studiach, oszczędności moŜna szukać
w kręgu innych przedmiotów, gdzie samodzielna praca daje lepsze wyniki
niŜ w przypadku matematyki. Nawet porównując program statystyki
opisowej wykładanej w takim samym wymiarze godzin, moŜna dostrzec
zdecydowanie mniej treści do zrealizowania niŜ na wykładzie z matematyki,
a redukcja w stosunku do poprzedniego standardu wynosi jedynie 15
godzin. Ponadto elementy statystyki opisowej znajdują się w programie
szkoły średniej, jest to więc kontynuacja i rozszerzenie. Dodając do tego
mało staranne sformułowania rozporządzenia w zakresie treści kształcenia z
matematyki, jak choćby wcześniej wspomniany cytat o funkcjach dwóch,
oraz wielu zmiennych, czy pozostawienie w domyśle, Ŝe chodzi o układy
równań i nierówności liniowych, oraz lakonicznie określony efekt
kształcenia, trudno oprzeć się wraŜeniu, iŜ matematykę na studiach
ekonomicznych spycha się na dalszy plan. Nie wiadomo, czym kierują się
decydenci i doradcy, którzy proponują takie rozwiązania. Nie jest to na
pewno dobro studenta, gdyŜ ekonomia jest nauką sformalizowaną, a nie
opisową. Wystarczy spojrzeć na dorobek noblistów czy przeczytać
światowe podręczniki, takie jak np. Makroekonomia dla zaawansowanych
Davida Romera czy Foundations of Modern Macroeconomics, którego
autorami są Ben J. Heijdra i Frederick van der Ploeg. Idąc dalej w tym
kierunku, będzie się kształcić źle!
Po tym, co zostało wcześniej napisane, zmiany w standardzie dla
kierunku finanse i rachunkowość moŜna właściwie pozostawić bez
komentarza. W czasie 30 godzin naleŜy przekazać następujące treści:
„Rachunek macierzowy. Wyznaczniki. Liniowa zaleŜność i niezaleŜność
wektorów. Rząd macierzy. Rozwiązywanie układów równań i nierówności
liniowych. Ciągi i szeregi liczbowe. Badanie przebiegu funkcji. Ekstrema
lokalne i globalne. Elementy rachunku róŜniczkowego i całkowego.
Elementy rachunku prawdopodobieństwa. Zmienne losowe. Rozkład
normalny. Rozkład wykładniczy. Rozkład dwumianowy. Rozkład Poissona.
Prawdopodobieństwo zdarzeń. Dwuwymiarowa zmienna losowa o
rozkładzie normalnym. Zmienne losowe nieskorelowane. Zmienne losowe
niezaleŜne. Wariancja sumy dwóch zmiennych losowych o tym samym
rozkładzie”. Zakres programu został istotnie zwiększony, a liczba godzin
zredukowana do jednej trzeciej. Jak to pogodzić z jednoczesnym
ograniczeniem kursu w szkole średniej? Jak podjąć się prowadzenia takiego
wykładu z przekonaniem, Ŝe zrobi to się dobrze? Dobrze to znaczy nauczy,
a nie wskaŜe podręczniki, w których zostało to opracowane. MoŜe
anonimowi w rozporządzeniu twórcy standardu powinni jako pierwsi tego
12
Janusz Łyko
dokonać, a obiektywny egzamin przeprowadzić komisja złoŜona z obecnych
wykładowców tego przedmiotu? Chyba Ŝe intencje autorów tych rozwiązań
były inne.
Limity przewidziane na realizację programu podane w rozporządzeniu
są oczywiście czasem minimalnym. Sumarycznie stanowią one jedną trzecią
ogólnej liczby godzin. Dokładniej 600 spośród tysiąca 1800. 270 godzin
zostało zarezerwowanych na wychowanie fizyczne, języki obce, technologię
informacyjną oraz przedmioty humanistyczne. Pozostałe godziny rady
jednostek organizacyjnych uczelni rozdysponowują według własnego
uznania. Oznacza to, Ŝe nic nie stoi na przeszkodzie, aby podaną minimalną
liczbę godzin przeznaczonych na matematykę zwiększyć. Tak naleŜy
interpretować zapisy standardu. W przeciwnym wypadku dochodzi się do
wcześniej wspomnianych absurdów. Niestety praktyka jest inna. Troska o
własne interesy, o zajęcia prowadzone przez swoje jednostki przesłaniają
dobro studenta i jakość kształcenia. Efektem tego są takie rozstrzygnięcia,
jakie zaproponowała w roku akademickim 2007/2008 Rada Wydziału Nauk
Ekonomicznych Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu. Matematyka będzie
wykładana w minimalnej liczbie godzin określonej w rozporządzeniu.
Literatura
Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej i Sportu z dnia 18 kwietnia 2002 r.
w sprawie określenia standardów nauczania dla poszczególnych kierunków
studiów i poziomów kształcenia. DzU 02.116.1004.
Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej i Sportu z dnia 10 kwietnia 2003 r.
zmieniające rozporządzenie w sprawie standardów wymagań będących
podstawą przeprowadzania sprawdzianów i egzaminów. DzU 03.90.846.
Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej z dnia 28 sierpnia 2007 r.
zmieniające rozporządzenie w sprawie standardów wymagań będących
podstawą przeprowadzania sprawdzianów i egzaminów. DzU 07.157.1102.
Rozporządzenie Ministra Nauki i Szkolnictwa WyŜszego z dnia 12 lipca 2007 r. w
sprawie standardów kształcenia dla poszczególnych kierunków oraz poziomów
kształcenia, a takŜe trybu tworzenia i warunków, jakie musi spełniać uczelnia,
by prowadzić studia międzykierunkowe oraz makrokierunki. DzU 07.164.1166.