Proces gamma w zarządzaniu ryzykiem ubezpieczeniowym

Zbigniew Michna
(Wrocáaw)
PROCES GAMMA
W ZARZĄDZANIU RYZYKIEM UBEZPIECZENIOWYM
Abstract. In this article we approximate the risk process by gamma Lévy process. We show that if
the number of claims in a finite time interval goes to infinity and the claim size distribution satisfies
certain assumptions then the distribution of the risk process can be approximated by the distribution
of gamma Lévy process. We recall the known results on the infinite and finite time ruin probabilities
for gamma Lévy process.
Key words: finite time ruin probability, gamma Lévy process, infinite time ruin probability risk
process.
1. WstĊp
Ryzyko pojawia siĊ w kaĪdej dziaáalnoĞci czáowieka związanej z jego Īyciem
prywatnym i zawodowym. Podmioty gospodarcze i osoby fizyczne mogą jednak
zredukowaü straty spowodowane przez czynniki losowe przez ubezpieczenie siĊ
w danej firmie ubezpieczeniowej. Tak wiĊc zakáad ubezpieczeĔ ma na celu redukcjĊ strat poniesionych przez ubezpieczonych. Stąd wielkoĞü wypáat firmy ubezpieczeniowej (gáówne koszty, jakie ponosi firma ubezpieczeniowa roszczenia)
jest caákowicie losowo uwarunkowana i w przeciwieĔstwie do innych rodzajów
dziaáalnoĞci gospodarczej nie zaleĪy np. od struktury organizacyjnej czy mocy
technologicznych. Nie oznacza to jednak, Īe nie moĪna redukowaü i kontrolowaü
ryzyka firmy ubezpieczeniowej (zarządzaü ryzykiem firmy ubezpieczeniowej).
Ryzyko ubezpieczyciela (zakáadu ubezpieczeĔ) jest m.in. okreĞlone przez tzw.
prawdopodobieĔstwo ruiny. Szacowanie prawdopodobieĔstwa ruiny danej firmy
ubezpieczeniowej czy danego portfela ubezpieczeĔ ma na celu zbadanie poziomu
ryzyka, a takĪe sáuĪy do wyznaczania kapitaáu początkowego i wielkoĞci skáadki,
jaką powinni páaciü ubezpieczeni. Tak wiĊc kapitaá początkowy i wielkoĞü skáadki
są podstawowymi narzĊdziami mogącymi zredukowaü ryzyko (prawdopodobieĔstwo ruiny). Poza tymi dwoma narzĊdziami istnieje jeszcze moĪliwoĞü reasekuracji, czyli wtórnego ubezpieczenia siĊ ubezpieczyciela, oraz moĪliwoĞü inwestycji
bieĪącego kapitaáu ubezpieczyciela. Zarządzanie ryzykiem ubezpieczyciela ma do
Proces gamma w zarządzaniu ryzykiem ubezpieczeniowym...
31
dyspozycji kilka narzĊdzi, które mogą zmniejszyü prawdopodobieĔstwo ruiny.
Jednak, aby zarządzaü ryzykiem ubezpieczyciela, naleĪy przede wszystkim zbadaü
poziom ryzyka, czyli wyznaczyü (oszacowaü) prawdopodobieĔstwo ruiny firmy
ubezpieczeniowej czy danego ubezpieczenia (portfela ubezpieczeĔ). Analiza i
aproksymacja tzw. prawdopodobieĔstwa ruiny, tj. prawdopodobieĔstwa, z jakim
proces nadwyĪki finansowej firmy ubezpieczeniowej staje siĊ ujemny, jest gáównym zadaniem teorii ryzyka. Ryzyko ubezpieczyciela, które jest okreĞlone przez
prawdopodobieĔstwo ruiny firmy ubezpieczeniowej, powinno podlegaü badaniu i
ocenie nie tylko ze wzglĊdu na dobro ubezpieczyciela i ubezpieczonych, lecz takĪe
caáego rynku ubezpieczeĔ. W celu oszacowania prawdopodobieĔstwa ruiny zarządzający ryzykiem musi wykonaü trzy podstawowe rzeczy. Po pierwsze, naleĪy
zebraü z pewnego okresu czasu dane opisujące wielkoĞci roszczeĔ i momenty ich
pojawienia siĊ. Dane te naleĪy poddaü obróbce statystycznej, tzn. naleĪy dopasowaü do danych odpowiedni rozkáad wielkoĞci roszczeĔ oraz dobraü odpowiedni
proces liczący roszczenia i opisujący momenty ich pojawienia siĊ. Po drugie, moĪna jeszcze zbadaü zaleĪnoĞü pomiĊdzy wielkoĞciami kolejnych roszczeĔ, a takĪe
uwzglĊdniü losową wielkoĞü páaconych skáadek. Na tym etapie liczba testów statystycznych jest zaleĪna od modelu ubezpieczeniowego, który musimy dobraü do opisu. Tak wiĊc trzeci etap to dobranie do danych odpowiedniego modelu ubezpieczeniowego. Tu z pomocą przychodzi matematyka ubezpieczeniowa, a wáaĞciwie teoria
ryzyka ubezpieczeniowego. Dopasowanie odpowiedniego modelu jest zaleĪne od
stopnia idealizacji, jaki przyjmujemy, i moĪliwoĞci obliczeniowych, jakie posiadamy, a takĪe dokáadnoĞci, z jaką chcemy okreĞliü prawdopodobieĔstwo ruiny.
Celem tej pracy jest wáaĞnie zaprezentowanie pewnego modelu ubezpieczeniowego, który moĪe sáuĪyü do szacowania prawdopodobieĔstwa ruiny. NaleĪy
jeszcze podkreĞliü, Īe modelowanie i szacowanie ryzyka dla caáej dziaáalnoĞci zakáadu ubezpieczeĔ są w praktyce niemoĪliwe. Jednak badanie prawdopodobieĔstwa ruiny dla poszczególnych portfeli czy ubezpieczeĔ powinno byü wykorzystane w zarządzaniu ryzykiem do pewnych decyzji, które poprawiają bezpieczeĔstwo finansowe firmy ubezpieczeniowej i chronią przed upadáoĞcią.
Nowoczesna teoria ryzyka miaáa początek w 1903 r., kiedy to Filip Lundberg
zaproponowaá kolektywny model ryzyka. Od tego czasu w tej dziedzinie powstaáo
wiele prac, ale nadal pozostaáo wiele problemów do rozwiązania.
Proces nadwyĪki finansowej danej firmy ubezpieczeniowej moĪna ogólnie opisaü w nastĊpujący sposób:
nadwyĪka = kapitaá początkowy + wpáywy (skáadki) wypáaty (roszczenia).
W klasycznym modelu wpáywy opisane są funkcją liniową, a proces wypáat za
pomocą záoĪonego procesu Poissona (model Craméra–Lundberga). Model ten ma
równieĪ zastosowania w takich dziedzinach, jak badania operacyjne, np. problem
magazynowania lub problem transportu, jednak najczĊĞciej wymienianą dziedziną
zastosowaĔ są ubezpieczenia.
32
Zbigniew Michna
Analiza i aproksymacja tzw. prawdopodobieĔstwa ruiny, tj. prawdopodobieĔstwa, z jakim proces nadwyĪki finansowej staje siĊ ujemny, jest gáównym zadaniem teorii ryzyka. Ryzyko ubezpieczyciela, które jest okreĞlone m.in. przez prawdopodobieĔstwo ruiny firmy ubezpieczeniowej, powinno podlegaü badaniu i ocenie ze wzglĊdu na dobro ubezpieczających, ubezpieczonych i rynku ubezpieczeĔ.
Gáównym zadaniem teorii ryzyka jest szacowanie prawdopodobieĔstwa ruiny.
Mamy tu kilka róĪnych podejĞü do tego problemu. Niech R(t) bĊdzie procesem
ryzyka. Wtedy czas ruiny W okreĞlony jest nastĊpująco:
W = W (u) = W (R) = inf {s > 0: R(s) < 0},
gdzie u jest kapitaáem początkowym.
PrawdopodobieĔstwo ruiny moĪna podzieliü na:
x prawdopodobieĔstwo ruiny na skoĔczonym horyzoncie czasu
<(u, t) = P{W (u) d t};
x
prawdopodobieĔstwo ruiny na nieskoĔczonym horyzoncie czasu
<(u) = P{W (u) < f}.
x
x
x
WyróĪniamy nastĊpujące sposoby szacowania prawdopodobieĔstwa ruiny:
dokáadne wzory (niemoĪliwe oprócz kilku prostych przykáadów);
ograniczenia górne (waĪniejsze od dolnych);
formuáy asymptotyczne dla duĪych wartoĞci kapitaáu początkowego, tzn. szukamy funkcji g(u, t), g(u) takich, Īe
< u, t u o f g u, t lim
x
< u u of g u 1, lim
1;
aproksymacje poprzez przejĞcia graniczne do innych procesów, dla których
moĪna oszacowaü prawdopodobieĔstwo ruiny:
ruch Browna aproksymacja dyfuzyjna,
Į-stabilny ruch Lévy’ego,
uáamkowy ruch Browna,
subordynowany (podporządkowany) ruch Browna,
proces gamma.
W pracy bĊdziemy rozwaĪaü aproksymacje przez przejĞcia graniczne do innych
procesów stochastycznych, a dokáadniej do procesu gamma (aproksymacje przy
uĪyciu innych procesów zob. np. Z. Michna (2002), (2009)). Tak wiĊc przedstawimy model ryzyka, w którym proces ryzyka jest przybliĪany procesem gamma.
Proces nadwyĪki finansowej bĊdziemy aproksymowaü za pomocą procesu, który
ma prostszą strukturĊ i jest gáównym celem badaĔ wielu gaáĊzi teorii procesów
stochastycznych. Pozwoli nam to lepiej oceniü prawdopodobieĔstwo ruiny. RozwaĪany model graniczny moĪe byü punktem wyjĞcia do bardziej skomplikowanych
Proces gamma w zarządzaniu ryzykiem ubezpieczeniowym...
33
modeli, a co za tym idzie, bardziej odpowiadających rzeczywistoĞci (np. modele
uwzglĊdniające moĪliwoĞci inwestowania i zaciągania poĪyczek przez firmy ubezpieczeniowe). Warto tu równieĪ poczyniü analogiĊ do modeli finansowych, gdzie
proces cen na drzewku dwumianowym aproksymuje klasyczny model Blacka–
Scholesa, a cena opcji otrzymana wedáug algorytmu na drzewku dwumianowym
w granicy daje cenĊ Blacka–Scholesa. Tak wiĊc uĪyta tu idea aproksymacji jest
stosowana w wielu innych modelach, nie tylko w modelach rynku opcji, lecz takĪe
w modelach obsáugi kolejki czy modelach fluidowych sáuĪących np. do opisu sieci
telekomunikacyjnych.
2. Proces gamma jako aproksymacja klasycznego procesu ryzyka
Proces gamma jest procesem Lévy’ego z jednowymiarowym rozkáadem gamma.
Definicja 1. Proces stochastyczny Z = {Z(t), 0 d t < f} jest procesem gamma
z parametrem ksztaátu a i parametrem skali b, jeĞli
1) Z(0) = 0 p.w.;
2) Z ma niezaleĪne przyrosty;
3) Z ma stacjonarne przyrosty;
4) Z(l) ma rozkáad gamma z parametrem ksztaátu a > 0 i parametrem skali
b > 0, tzn. rozkáad z gĊstoĞcią
f ( y)
­0
°
® 1
a 1
y
° b a *( a ) y exp b ¯
jeĞli
yd0
jeĞli
y ! 0,
(1)
gdzie * jest funkcją gamma.
Proces gamma moĪna otrzymaü jako granicĊ záoĪonych procesów Poissona
(klasycznych procesów skumulowanych roszczeĔ). Niech
^Y `
( p)
k
bĊdzie ciągiem wielkoĞci kolejnych roszczeĔ niezaleĪnych od siebie o wspólnym
rozkáadzie (dystrybuancie) F(p) zaleĪnym od parametru p > 0. Dokáadniej
F
( p)
( y)
­0
°
® Q( y )
°1 Q ( p )
¯
jeĞli
yd p
jeĞli
y ! p,
(2)
gdzie
Q y
f
a bx
³y x e dx.
(3)
34
Zbigniew Michna
Ponadto zaáóĪmy, Īe N(p)(t) jest procesem Poissona o intensywnoĞci
Q(p) i niezaleĪnym od ciągu
^Y ` .
( p)
k
Zdefiniujmy proces skumulowanych roszczeĔ
N ( p ) (t )
S
( p)
(t )
¦
Yk( p ) .
(4)
k 1
Stwierdzenie. JeĞli p p 0, to
S(p) Ÿ Z
sáabo w topologii Skorochoda, gdzie Z jest procesem gamma.
Dowód. PoniewaĪ S(p)(l) Ÿ Z(l) (zob. F. Dufresne, H.U. Gerber, E.S.W. Shiu
(1991)) i procesy S(p) oraz Z są procesami Lévy’ego, wiĊc z Tw. V.19 D. Pollarda
(1984) wynika teza twierdzenia.
3. PrawdopodobieĔstwo ruiny dla procesu gamma
Najpierw rozpatrzymy prawdopodobieĔstwo ruiny na nieskoĔczonym horyzoncie czasu, tzn.
·
§
(5)
P ¨ sup Z (t ) ct ! u ¸ ,
© t !0
¹
gdzie c > 0. Zajmiemy siĊ asymptotycznymi wáasnoĞciami prawdopodobieĔstwa
(5). Skorzystamy tu z wyniku F. Dufresne’a, H.U. Gerbera i E.S.W. Shiu (1991),
gdzie wyprowadzona jest dokáadna asymptotyka prawdopodobieĔstwa (5). Autorzy
korzystają z tego, Īe proces gamma jest granicą záoĪonego procesu Poissona. Dowód jest oparty na wynikach dla záoĪonego procesu Poissona (tw. Craméra–
Lundberga). PrzejĞcia graniczne nie są ĞciĞle uzasadniane.
< (u )
Twierdzenie (Dufresne, Gerber i Shiu). Niech Z bĊdzie procesem z parametrem ksztaátu a i skali b. Wtedy
§ R ·
< (u ) # C exp ¨ u ¸ ,
© b ¹
gdzie r = R jest rozwiązaniem równania
1
1 r
§ rc ·
exp ¨ ¸
© ab ¹
oraz
C
c ab 1 R .
ab c 1 R Proces gamma w zarządzaniu ryzykiem ubezpieczeniowym...
35
NastĊpnie znajdziemy asymptotykĊ prawdopodobieĔstwa ruiny na skoĔczonym
horyzoncie, tzn.
< u, T §
·
Z (t ) ct ! u ¸ ,
¨ sup
© t dT
¹
(6)
skorzystamy tu z wyniku Z. Michny i A. Werona (2007).
Twierdzenie (Michna, Weron). Niech Z bĊdzie procesem z parametrem
ksztaátu a i skali b. Wtedy
C1 d lim inf
uof
< (u, T )
< (u, T )
d lim sup
d C2 ,
g (u )
g (u )
uof
(7)
gdzie
g (u )
§ u·
u aT 1 exp ¨ ¸ ,
© b¹
§ cT ·
exp ¨ ¸
© b ¹
b aT 1*(aT )
C1
(8)
(9)
oraz
C2
§ cT ·
1 exp ¨ ¸
© b ¹.
aT 2
cTb *(aT )
(10)
Dowód. ZauwaĪmy, Īe
§
·
P ¨ sup Z (t ) ct ! u ¸
© t dT
¹
§
·
P ¨ sup Z (Tt ) cTt ! u ¸
© t d1
¹
i proces Zc(t) = Z(Tt) jest procesem gamma z parametrem ksztaátu aT i skali b. Stąd
wystarczy rozpatrywaü sup na odcinku [0, 1].
W dowodzie skorzystamy z szeregowej reprezentacji procesu gamma (zob.
J. RosiĔski (2001)). Proces gamma moĪna przedstawiü nastĊpująco
Z (t )
gdzie 0 d t d 1,
^*k `k
f
1
f
§ *
b¦ exp ¨ k
© a
k 1
·
¸Vk I ^U k d t`,
¹
(11)
jest ciągiem czasów przybyü dla procesu Poissona
z jednostkową intensywnoĞcią, ^Vk `k
f
1
jest ciągiem niezaleĪnych zmiennych lo-
36
Zbigniew Michna
sowych o rozkáadzie wykáadniczym z parametrem równym 1 i ^U k `k
f
1
jest cią-
giem zmiennych losowych niezaleĪnych o rozkáadzie jednostajnym na odcinku
[0,1]. Ciągi te są niezaleĪne.
Ponadto w dowodzie bĊdziemy warunkowaü zmienną *1. àatwo zauwaĪyü, Īe
proces gamma Z pod warunkiem *1 = x, gdzie x > 0 (*1 ma rozkáad wykáadniczy z
parametrem równym 1) moĪna przedstawiü nastĊpująco
Z x (t )
Ax (t ) Yx (t ),
(12)
gdzie
be aV1I ^U1 d t`,
x
Ax (t )
d
Yx (t ) be
ax
§ * k ·
¸Vk I ^U k d t`
a ¹
f
¦ exp ¨©
k 1
jest procesem gamma z parametrem ksztaátu a, skali be
niezaleĪne. ZauwaĪmy, Īe
§
·
P ¨ sup Z (t ) ct ! u ¸
© t d1
¹
f
§
³ P ¨© sup Z
0
t d1
x
ax
i procesy Ax oraz Yx są
·
(t ) ct ! u ¸ e x dx .
¹
(13)
Najpierw wyprowadzimy górne ograniczenie. Proces Yx ma niemalejące trajektorie, dostajemy wiĊc nastĊpujące górne ograniczenie
§
·
P ¨ sup Z x (t ) ct ! u ¸
© t d1
¹
§
·
P ¨ sup Ax (t ) ct Yx (t ) ! u ¸
© t d1
¹
§
·
d P ¨ sup Ax (t ) ct Yx (1) ! u ¸ .
© t d1
¹
(14)
GĊstoĞü rozkáadu zmiennej losowej Yx(1) jest postaci
f x ( y)
jeĞli y d 0
­0
°
® ex
§ y ax ·
a 1
° ba *( a ) y exp ¨ b e ¸ jeĞli y ! 0.
©
¹
¯
(15)
Tak wiĊc, korzystając z niezaleĪnoĞci procesów Ax oraz Yx, dla szacowania (14)
otrzymujemy
37
Proces gamma w zarządzaniu ryzykiem ubezpieczeniowym...
f
§
·
P ¨ sup Ax (t ) ct Yx (1) ! u ¸
© t d1
¹
§
·
³ P ¨© sup A (t ) ct ! u y ¸¹ f
x
t d1
0
§
u
·
³ P ¨© sup A (t ) ct ! u y ¸¹ f
x
t d1
0
x
x
( y )dy
( y )dy
(16)
f
³ f x ( y )dy.
(17)
u
Rozpatrzmy najpierw funkcjĊ podcaákową w (16) dla y < u
§
·
P ¨ sup Ax (t ) ct ! u y ¸
1
t
d
©
¹
³ P be
1
x
P be aV1 cU1 ! u y
ax
V1 cs ! u y
0
1
§
³ P ¨©V
1
0
!
u cs y ax ·
e ¸ ds
b
¹
§ u cs y ax ·
e ¸ ds
b
¹
1
³ exp ¨© 0
§ u y ax ·
§ c x ·
exp ¨ e ¸ ³ exp ¨ e a s ¸ ds
b
©
¹0
© b
¹
1
b ax
§ u y ax · ª
§ c x ·º
e exp ¨ e ¸ «1 exp ¨ e a ¸ » .
c
b
©
¹¬
© b ¹¼
Stąd potrafimy obliczyü (16)
u
§
·
³ P ¨© sup A (t ) ct ! u y ¸¹ f
0
t d1
x
x
( y )dy
x
b ax
§ u y ax · ª
§ c ax · º e
§ y x·
e
e
e
y a 1exp ¨ e a ¸ dy
exp
1
exp
¨
¸«
¨
¸» a
³0 c
b
©
¹¬
© b ¹ ¼ b *( a )
© b ¹
u
ex
ax
§ u ax · ª
§ c ax · º a 1
e
e
exp
1
exp
¨
¸
¨ e ¸ » ³ y dy
«
cba 1*( a )
© b ¹¬
© b ¹¼ 0
u
e xu a
x
§ u x ·ª
§ c x ·º
e a exp ¨ e a ¸ «1 exp ¨ e a ¸ » .
a 1
acb *( a )
© b ¹¬
© b ¹¼
38
Zbigniew Michna
Tak wiĊc dziĊki (13) powinniĞmy scaákowaü (16) wzglĊdem gĊstoĞci rozkáadu
wykáadniczego. Ponadto, korzystając z ostatnich obliczeĔ, mamy
f u
§
·
³ ³ P ¨© sup A (t ) ct ! u y ¸¹ f
x
t d1
0 0
x
( y )dye x dx
f
ua
x
§ u x ·ª
§ c x ·º
e a exp ¨ e a ¸ «1 exp ¨ e a ¸ » dx
a 1
³
acb *( a ) 0
© b ¹¬
© b ¹¼
u ax
e , kontynuujemy
b
podstawiając s
f
f
c
º
u a 1 ª
2 s
2 s 1 u s
e
ds
s
e
ds
«
»,
³
cba *(a ) ¬ u³/ b
u/b
¼
podstawiając w
c·
§
s ¨ 1 ¸ w drugiej caáce, otrzymujemy
© u¹
f
f
º
u a 1 ª
c·
§
2 s
2 w
s
e
ds
1
«³
¨
¸ ³ w e dw » ,
a
cb *( a ) « u / b
© u ¹ uc / b
»¼
¬
korzystając z wáasnoĞci niepeánej funkcji gamma
f
³s
§
§ 1 ··
u peu ¨1 O ¨ ¸ ¸
© u ¹¹
©
p s
e ds
u
(18)
dla u o f, gdzie p  R, dostajemy
1 exp bc a 1
§ u ·§
§ 1 ··
u exp ¨ ¸ ¨ 1 O ¨ ¸ ¸ .
a 2
cb *(a )
© b ¹©
© u ¹¹
Scaákujmy teraz (17)
ff
³³ f
x
( y )dye x dx
0 u
f
f
u
0
x
³ dy ³ f x ( y )e dx
podstawiając s
f
f
1
§ y x·
dyy a 1 ³ exp ¨ e a ¸ dx
a
³
b *( u ) u
© b ¹
0
y ax
e , kontynuujemy
b
(19)
Proces gamma w zarządzaniu ryzykiem ubezpieczeniowym...
f
39
f
a
dyy a 1 ³ s 1e s ds
a
³
b *( u ) u
y/b
f
bs
a
dss 1e s ³ y a 1dy
a
³
b *( u ) u / b
u
f
1
s 1e s b a s a u a ds
ba *( a ) u³/ b
f
f
ua
1
a 1 s
s
e
ds
s 1e s ds
a
³
³
b *(u ) u / b
*( a ) u / b
1
1
§
§ 1 ··
u a 1e ¨ 1 O ¨ ¸ ¸ a 1
u a 1e
b *( a )
© u ¹ ¹ b *( a )
©
1
§ u· §1·
u a 1 exp ¨ ¸ O ¨ ¸ ,
a 1
b *( a )
© b¹ ©u¹
a 1
ub
ub
(20)
§ § 1 ··
¨1 ¨ O u ¸ ¸
¹¹
© ©
gdzie w przedostatniej równoĞci korzystamy z (18). àącząc (19) i (20), otrzymujemy górną granicĊ z (7).
Teraz rozpatrzymy dolne ograniczenie prawdopodobieĔstwa ruiny na skoĔczonym horyzoncie czasu
§
·
P ¨ sup Z (t ) ct ! u ¸ t P Z (1) c ! u © t d1
¹
P Z (1) ! u c f
y
1
y a 1e b dy
a
³
b *( a ) u c
f
1
s a 1e s ds
*( a ) u ³c / b
#
#
1 §uc·
¨
¸
*( a ) © b ¹
a 1
e
u b c
#
exp bc a 1
§ u·
u exp ¨ ¸ ,
a 1
b *( a )
© b¹
gdzie w trzeciej równoĞci podstawiamy s
(18), co daje dolną granicĊ z (7).
y
i przedostatniej równoĞci uĪywamy
b
40
Zbigniew Michna
Literatura
P. Cižek, W. Härdle, R. Weron (2005). Statistical Tools for Finance and Insurance. Springer-Verlag.
Berlin, Heidelberg.
F. Dufresne, H.U. Gerber, E.S.W. Shiu (1991). Risk theory with the gamma process. Astin Bulletin
21. Str. 177-192.
Z. Michna (2002). Modele graniczne w teorii ryzyka ubezpieczeniowego. Wydawnictwo Akademii
Ekonomicznej. Wrocáaw.
Z. Michna (2009). Zastosowanie procesów Į-stabilnych w zarządzaniu ryzykiem ubezpieczeniowym.
Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej. Wrocáaw. Praca záoĪona do druku.
Z. Michna, A. Weron (2007). Asymptotic behavior of the finite ruin probability of a gamma Lévy
process. Acta Physica Polonica B 38. Str. 1881-1889.
D. Pollard (1984). Convergence of Stochastic Processes. Springer-Verlag. New York.
J. RosiĔski (2001). Series representation of Lévy processes from the perspective of point processes.
W: O.E. Barndorff-Nielsen, T. Mikosch, S. Resnick [eds.]. Lévy Processes – Theory and Applications. Birkhauser. Boston. Str. 401-415.