n - Skarga.edu.pl

Sławomir Jemielity
Twierdzenie Steinera
Twierdzenie Steinera dotyczy zmiany momentu bezwładności ciała sztywnego przy zmianie osi obrotu. Musimy więc przypomnieć sobie, co to jest moment bezwładności.
Definicja 1
Jeżeli bryła dzieli się na punkty o masach m1 , m2 , ... , mn oddalonych od osi obrotu o r1 ,
r2 , ... , rn , to momentem bezwładności bryły względem tej osi obrotu nazywamy wyrażenie:
n
I = m1r12 + m2 r22 + K + mn rn2 =
∑m r
2
i i
i =1
Z definicji wynika, że z dwóch brył o równych masach, ta ma większy moment bezwładności, której punkty są bardziej oddalone od osi obrotu. Moment bezwładności mówi nam nie
tylko masie bryły lecz i o tym, jak masa jest rozłożona względem osi obrotu. Przesunięcie
lub zmiana kierunku osi obrotu względem bryły sztywnej powoduje zmianę momentu bezwładności, zatem nie jest to stała cecha ciała.
Potrzebna nam będzie jeszcze definicja środka masy.
Definicja 2
Wyobraźmy sobie, że podzieliliśmy bryłę na n punktów materialnych o masach m1, m2, m3,
... , mn. Niech te punkty mają współrzędne (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3), ... (xn, yn, zn).
Środkiem masy bryły nazwiemy wtedy punkt, który ma współrzędne:
x0 =
m1x1 + m2 x 2 + K + mn x n
m1 + m2 + K mn
y0 =
m1y 1 + m2 y 2 + K + mn y n
m1 + m2 + K mn
z0 =
m1z1 + m2 z2 + K + mn zn
m1 + m2 + K mn
Zamiast trzech równości na współrzędne środka masy, można napisać jedną zależność –
wektorową.
r0 =
m1r1 + m2 r2 + K + mn rn
m1 + m2 + K mn
Po tym przygotowaniu możemy już sformułować i udowodnić twierdzenie Steinera.
Twierdzenie (Steiner)
Jeśli moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy ciała wynosi
I0, to względem osi równoległej do danej i odległej od niej o a, moment bezwładności będzie wynosił:
I = I 0 + ma 2 , gdzie m – masa ciała
a
m
środek masy
Oś obrotu
przechodząca
przez środek masy
Nowa oś
obrotu
Dowód
Wyobraźmy sobie, że bryła składa się z n punktów materialnych rozłożonych jakoś w
przestrzeni. Układ współrzędnych wybierzmy tak, by oś z-owa była osią obrotu, a środek
masy był położony w środku układu współrzędnych. Nic nas nie ogranicza w wyborze
układu współrzędnych, więc możemy to zrobić tak, by było najprościej.
Poniższy rysunek pokazuje rzut bryły (jej punktów) na płaszczyznę xy. Oś obrotu (z) jest
więc niewidoczna.
y
4
3
r4
5
r3
2
r5
r2
środek
masy
r1
1
rn
x
n
Przyjmijmy, że punkty mają masy m1, m2, m3, … mn. Ich współrzędne to:
(x1, y 1, z1 )
(x 2 , y 2 , z2 )
( x 3 , y 3 , z3 )
M
( x n , y n , zn )
Zaś odległości od osi obrotu to r1, r2, r3, … rn.
Z twierdzenia Pitagorasa mamy:
r12 = x12 + y 12
r22 = x 22 + y 22
M
2
n
r = x n2 + y n2
W tej chwili moment bezwładności wynosi:
I 0 = m1r12 + m2 r22 + K + mn rn2
Przesuńmy teraz oś obrotu o a wzdłuż osi Ox. Osie są równoległe.
y
i
ri
yi
r i´
oś obrotu
przechodząca
przez środek
masy
xi
x
a
nowa oś obrotu
Nowy moment bezwładności wynosi
I = m1r1′2 + m2 r2′2 + K + mn rn′2
r1′2 = (x1 − a ) + y 12
2
r2′2 = (x 2 − a ) + y 22
2
M
rn′ = (x n − a ) + y n2
2
2
Zatem
I = m1 (x1 − a ) + m1y 12 + m2 (x 2 − a ) + m2 y 22 + K + mn (x n − a ) + mn y n2
2
2
2
I = m1x12 − 2m1x1a + m1a 2 + m1y 12 + m2 x 22 − 2m2 x 2a + m2a 2 + m2 y 22 + K +
+ mn x n2 − 2mn x n a + mn a 2 + mn y n2
Zapiszmy to trochę inaczej.
I = m1x12 + m1a 2 + m1y 12 + m2 x 22 + m2a 2 + m2 y 22 + K + mn x n2 + mn a 2 + mn y n2 +
− 2m1x1a − 2m2 x 2a + K − 2mn x n a
I = m1x12 + m1a 2 + m1y 12 + m2 x 22 + m2a 2 + m2 y 22 + K + mn x n2 + mn a 2 + mn y n2 +
− 2a(m1x1 + m2 x 2 + K + mn x n )
Wyrażenie w nawiasie to licznik wzoru na x-ową współrzędną środka masy. Współrzędna
ta wynosi zero. To co w nawiasie jest więc równe zeru.
Mamy więc:
I = m1x12 + m1a 2 + m1y 12 + m21x 22 + m2a 2 + m2 y 22 + K + mn x n2 + mn a 2 + mn y n2
I = m1x12 + m1y 12 + m2 x 22 + m2 y 22 + K + mn x n2 + mn y n2 + m1a 2 + m2a 2 + K + mn a 2
I = m1x12 + m1y 12 + m2 x 22 + m2 y 22 + K + mn x n2 + mn y n2 + (m1 + m2 + K + mn )a 2
144444444424444444443
I0
To co w nawiasie to całkowita masa bryły, a klamra obejmuje pierwotny moment bezwładności. Mamy więc:
I = I 0 + ma 2
I tego należało dowieść!