Szczególna Teoria Względności

Szczególna Teoria Względności
Szczególna Teoria Względności
U podstaw teorii relatywistycznej leży niezwykle istotny fakt doświadczalny, że prędkość światła jest
skończona, a jej wartość nie zależy od wyboru układu odniesienia, w którym dokonujemy jej pomiaru.
Stąd też przyjmuje się obecnie prędkość światła w próżni za stałą fizyczną. Albert Einstein przyjął
stałość prędkości światła jako jedno z założeń swojej szczególnej teorii względności czyli relatywistycznej teorii przestrzeni i czasu (1905 praca „O elektrodynamice ciał w ruchu” zaproponowana
pierwotnie w celu wyjaśnienia pewnych niespójności pomiędzy teorią elektromagnetyzmu i mechaniką klasyczną) opierając ją na 2 postulatach obowiązujących we wszystkich inercjalnych układach
odniesienia.
1. Postulat stałej prędkości światła. Prędkość rozchodzenia się w próżni światła (lub ogólniej: fali elektromagnetycznej) jest jednakowa w każdym kierunku we wszystkich inercjalnych układach odniesienia, niezależnie od wzajemnego ruchu źródła i obserwatora. Jest to zarazem
maksymalna prędkość rozchodzenia się oddziaływań (sygnałów) w przyrodzie.
2. Zasada względności Einsteina. Prawa przyrody mają jednakową postać w e wszystkich inercjalnych układach odniesienia. Ich postać jest zatem niezmiennicza dla wszystkich obserwatorów w tych układach.
Przykład
Zegar świetlny. Rozważmy 2 równoległe zwierciadła Z1 i Z2 znajdujące się w stałej odległości L od siebie. Pomiędzy zwierciadłami porusza się tam i z powrotem krótki impuls światła. Za każdym razem
kiedy światło odbija się od jednego zwierciadła Z1 rejestrujemy „tyknięcie zegara”. Badamy odstęp w
czasie pomiędzy kolejnymi „tyknięciami” T.
a) Obserwacje prowadzimy w układzie, w którym zegar spoczywa (czas własny)
droga przebyta przez światło pomiędzy tyknięciami: L
odstęp pomiędzy tyknięciami: T=2L/c
b) Umieszczamy zegar w rakiecie poruszającej się wzdłuż osi x z prędkością V. Obserwator pozostaje nieruchomy (rysunek).
droga przebyta przez światło pomiędzy tyknięciami: 2cT>2L. Spełniony jest warunek:
(
c 2 T 2 = V 2 T 2 + L2 . Stąd T = 2 L / c 1 - V 2 / c 2
)
Poruszający się zegar tyka wolniej niż spoczywający. Efekt ten nazywamy dylatacją czasu. Dylatacja
jest własnością samego czasu, a nie jakiegoś konkretnego zegara. A więc wszelkie procesy fizyczne,
chemiczne i biologiczne spowalniają gdy zachodzą podczas ruchu..
Transformacja Galileusza (obowiązuje w mechanice klasycznej, wyprowadzona przy założeniu, ze
czas jest absolutny)
x’=x-vt y’=y, z’=z, t’=t
vx ' = vx -V , vy ' = vy , vz ' = vz
Transformacja Lorentza
W STW Einstein wykorzystał transformację współrzędnych zaproponowaną 1895 r. przez Hendrika
Lorentza.
Zdarzenie – dowolne zjawisko fizyczne zachodzące w bardzo małym obszarze przestrzeni (punkcie) i
trwające bardzo krótko.
Niech U i U’- dwa inercjalne układy odniesienia z równoległymi osiami i początkami O i O’ pokrywającymi się w chwili t=t’=0. Układ U’ porusza się wzdłuż osi x układu U z prędkością V. Niech (x,y,z,t) zdarzenie w układzie U. Jakie będą współrzędne tego zdarzenia (x’,y’,z’,t’) w układzie U’?
iwiedza
1
Szczególna Teoria Względności
1
x’=g(x-Vt), y’=y, z’=z, t’=g(t-Vx/c2 ), gdzie g =
³1
1 -V 2 / c 2
Odwrotna transformacja Lorentza (z układu poruszającego się do nieruchomego):
x= g(x’+Vt’), y=y’, z=z’, t= g(t’+Vx’/c2)
Ponieważ g musi być skończone g < ¥ , zatem V<c. Jest to jeden z ważniejszych wniosków wynikających z STW: żaden z fizycznych układów odniesienia nie może poruszać się z prędkością większą lub
równą prędkości światła.
Transformacja Lorentza prędkości
v x '+V
vx =
1 + (Vv x ' ) / c 2
vx -V
1 - (Vv x ) / c 2
Konsekwencje transformacji Lorentza:
· Dylatacja czasu
Zegar świetlny umieszczony w rakiecie U’ poruszającej się wzdłuż osi x z prędkością V
Badamy odstęp w czasie pomiędzy zdarzeniami:
zdarzenie A - wysłanie impulsu światła przez zwierciadło Z1
zdarzenie B – powrót impulsu światła do Z1
a) obserwacje prowadzi pilot rakiety U’
współrzędne zdarzeń: A (xA’, tA’), B (xB’, tB’)
xA’=xB’ (zdarzenia A i B zachodzą w tym samym miejscu) Dx' = 0
Dt’=tB’-tA’=s’/c=2L/c
b) obserwacje prowadzimy w nieruchomym układzie laboratoryjnym U
współrzędne zdarzeń: A (xA, tA), B (xB, tB)
korzystamy z odwrotnej transformacji Lorentza:
tA=g(t A’+VxA/c2)
tB=g(tB’+VxB/c2)
Dt=tB-tA=gDt’ ³ Dt’
vx ' =
Czas między zdarzeniami jest zawsze najkrótszy w układzie, w którym zdarzenia te zachodzą w tym
samym miejscu (jest to tzw. czas własny)
W domu: Przeanalizować zagadnienie: Zegar świetlny spoczywa w układzie laboratoryjnym U. Obserwator porusza się w rakiecie U’. Ile wynosi czas pomiędzy tyknięciami zegara w każdym z układów?
· Skrócenie długości
Przykład: Pręt o długości Dx w układzie nieruchomym spoczywa wzdłuż osi OX. Współrzędne jego
końców x1 i x2 nie zależą od czasu t. Dx= x2- x1.
Co
widzi obserwator w poruszającym się układzie U’? W chwili t’ obserwuje on położenie końców
pręta w punktach o współrzędnych x1’ i x2’. L’=Dx’= x2’(t’)- x1’(t’) (zdarzenia jednoczesne w
układzie U’, ale nie jednoczesne w U !!!)
Korzystamy z odwrotnej transformacji Lorentza:
x1= g(x1 ’+vt’), x2= g(x2’+vt’)
x2-x1= g(x2’+vt’)- g(x1’+vt’)=g(x2’-x1’)
L= Dx = gDx ' ³ Dx ' =L’
L’=L/g
Odległość między dwoma punktami jest zawsze największa w układzie, w którym te punkty spoczywają
iwiedza
2
Szczególna Teoria Względności
W domu: Przeanalizować zagadnienie: Pręt spoczywa w rakiecie U’. Obserwator znajduje się w układzie laboratoryjnym U. Ile wynosi długość pręta w każdym z układów?
Dlaczego takich efektów nie obserwujemy na co dzień?
Dla v=1800km/h=0.5km/s g=1.000000833
Masa i energia relatywistyczna
Masa
Zarówno z teorii, jak i doświadczenia wynika jednoznacznie, że w układzie inercjalnym U, w którym
r
cząstka porusza się z prędkością v , jej masa relatywistyczna jest równa :
m0
= g m0
m = m (v ) =
1 - v2 / c2
gdzie m 0 jest masą spoczynkową cząstki, tzn. masą w przypadku, gdy cząstka spoczywa w układzie
inercjalnym U. Związek ten jest słuszny, niezależnie od tego, czy cząstka porusza się ze stałą, czy
zmienną prędkością w układzie U. Przyjmujemy zatem, ze masa cząstki jest niezależna od jej przyspieszenia względem układu inercjalnego U. Łatwo zauważyć, że gdy v ® c , wówczas m ® ¥ , natomiast dla v << c m ® m0 . Wnioski te pozostają w zgodzie z faktem, że ciała o niezerowej masie spoczynkowej mogą poruszać się wyłącznie z prędkościami mniejszymi od prędkości światła, oraz że w
przybliżeniu nierelatywistycznym (mechanice newtonowskiej) masa cząstki jest wielkością stałą.
Energia
Wprowadźmy teraz wielkość zdefiniowaną jako: E = mc = E 0 + E k . Wielkość tę nazywamy energią
całkowitą cząstki. Jest to słynne prawo Einsteina stwierdzające, że każdej masie bezwładnej odpowiada ściśle określona energia i od wrotnie – każdej energii odpowiada ściśle określona masa. Innymi
słowy: energia i masa są dwiema miarami tej samej wielkości fizycznej i mogą się wymieniać.
Energia spoczynkowa cząstki jest równa energii cząstki spoczywającej w danym inercjalnym układzie
odniesienia U, możemy ją więc interpretować jako swego rodzaju energię potencjalną spoczywającej
cząstki, która może zostać uwolniona. Przewidywanie Einsteina, że spoczywająca masa zawiera
ogromne ilości energii zostało potwierdzone i pociągnęło za sobą różnego rodzaju konsekwencje –
m.in. energia jądrowa i bomba atomowa.
2
iwiedza
3