Ogólna teoria względności

Ogólna teoria względności
Względności teoria ogólna, OTW, współczesna teoria grawitacji, tłumacząca zjawiska grawitacyjne
geometrycznymi własnościami zakrzywionej czasoprzestrzeni. Jej podstawowe idee (wynikające z
rozważań nad zasadą równoważności oraz z dążenia do uniezależnienia opisu zjawisk od układu
odniesienia) sformułował A. Einstein (1916).
OTW oparta jest na czterech postulatach:
1) czasoprzestrzeń zgodna jest lokalnie ze szczególną teorią względności, tj. w każdym dostatecznie
małym otoczeniu każdego punktu może ona być przybliżona przez płaską czterowymiarową
przestrzeń Minkowskiego.
2) czasoprzestrzeń jest czterowymiarową przestrzenią topologiczną, różniczkowalną i spójną - w
każdym jej punkcie określone są: metryczny tensor gαβ (i interwał czasoprzestrzenny ds =
{gαβdxαdxβ}1/2) oraz jej krzywizna (w sensie Riemanna) wyrażona przez tensor Riemanna
,
gdzie Γ z indeksami górnymi i dolnymi oznacza symbol Christoffela (Christoffela symbole).
3) tensor metryczny gαβ spełnia równanie pola Einsteina: Rαβ - gαβR/2 = (8πG/c4)Tαβ, gdzie: Rαβ tensor Ricciego równy zwężonemu (posiadającemu powtórzone indeksy) tensorowi Riemanna Rσασβ, R skalar krzywizny równy gαβRαβ, Tαβ - tensor energii-pędu układu, G - klasyczna stała grawitacji, c prędkość światła w próżni. Lewa strona równania Einsteina zapisywana jest często jako tzw. tensor
Einsteina Gαβ.
W oryginalnym sformułowaniu teorii prawa strona równania uzupełniona była o tzw. człon
kosmologiczny, usunięty później jako niefizyczny (Wszechświata modele).
4) linie świata cząstek próbnych (tj. cząstek posiadających energię wpływającą w stopniu znikomym
na krzywiznę przestrzeni) są geodetykami w czasoprzestrzeni.
Równanie pola Einsteina jest zwięzłym zapisem układu sześciu niezależnych nieliniowych równań
różniczkowych drugiego rzędu, w którym niewiadomą są składowe tensora metrycznego, określone
poprzez rozkład energii (masy) i pędu układu (tensor Tαβ). Oznacza to że rozkład masy, energii i pędu
układu materialnego odpowiada za zakrzywienie czasoprzestrzeni (poglądową analogią może być tu
zakrzywienie elastycznej membrany po umieszczeniu na niej masywnego przedmiotu), które w
klasycznej fizyce odbierane jest jako pojawienie się pola potencjału siły centralnej.
Pierwszymi doświadczalnymi dowodami prawdziwości OTW były: wyjaśnienie tzw. nadwyżki ruchu
peryhelium (perycentrum) orbity Merkurego (a później również analogicznego ruchu dla Wenus i
Ziemi) oraz stwierdzenie zakrzywienia biegu promieni światła gwiazd w czasie zaćmienia Słońca.
Kolejne potwierdzenie przyniosło odkrycie soczewkowania grawitacyjnego i badanie układu
podwójnego z pulsarem (J.H. Taylor).
OTW przewiduje istnienie fal grawitacyjnych i czarnych dziur. Pozwala też konstruować naukowe
modele Wszechświata jako całości (kosmologia). Nie jest ona teorią kwantową, przez co pozostaje w
pewnej opozycji do współczesnej fizyki. Trwają poszukiwania kwantowej teorii grawitacji.
Minkowskiego przestrzeń, czasoprzestrzeń szczególnej teorii względności. Oś czasu jest urojona,
osie przestrzenne są rzeczywiste. Punkty w Minkowskiego przestrzeni noszą nazwę punktochwil lub
zdarzeń elementarnych.
Uogólniona odległość pomiędzy dwoma zdarzeniami A i B (długość przedziału czasoprzestrzennego
lub interwał czasoprzestrzenny) równa się:
gdzie t - czas, r - wektor położenia, c - prędkość światła w próżni. Jeśli s=0, to punkty A i B można
połączyć promieniem świetlnym, jeśli s jest rzeczywiste, to punkty A i B są przestrzenno-podobne,
jeśli s jest zespolone, to punkty A i B są czasopodobne.
Względności teoria szczególna, STW, teoria fizyczna, której zręby przedstawił A. Einstein w
pracy O elektrodynamice ciał w ruchu (1905). W kolejnych pracach Einstein opracował zgodne z nową
teorią zasady mechaniki, tworząc tym samym fizykę relatywistyczną. Elektrodynamika opisana
równaniami Maxwella zgodna była z teorią względności.
Podstawowe założenie STW to stałość prędkości światła w każdym układzie odniesienia (MichelsonaMorleya doświadczenie) - wynika z tego prawo transformacji współrzędnych przestrzennych i czasu
przy przejściu od jednego układu odniesienia do drugiego, opisane przez transformację Lorentza,
oraz postulat prawdziwości zasady względności głoszącej, że prawa fizyki mają taką samą postać w
każdym inercyjnym układzie odniesienia.
Einstein wykorzystał wprowadzony przez H. Poincarégo i udoskonalony przez H. Minkowskiego
formalizm czterowymiarowej płaskiej czasoprzestrzeni. Elementem rewolucyjnym było nadanie
fizycznej realności prawu, które, przy zmianie układu odniesienia, oprócz współrzędnych
przestrzennych, przekształcało również czas (wcześniej traktowano je czysto formalnie).
Przestrzeń przestała więc pełnić rolę obiektywnej "sceny" zjawisk przyrody, a czas stracił swoją
absolutność - stały się one względne, zależne od układu odniesienia, gdyż zgodnie z STW dwa
zdarzenia równoczesne w pewnym układzie odniesienia nie muszą być równoczesne w innym.
W STW energia i pęd cząstki tworzą czterowektor, dla cząstki swobodnej spełniony jest związek
(E/c)2 = p2 + m2c2, gdzie m - masa cząstki.
Dla cząstki spoczywającej, tj. przy p = 0, wzór ten sprowadza się do wyrażenia E=m0c2, które
interpretuje się jako równoważność masy i energii.
Prawa STW przechodzą w prawa klasycznej fizyki, gdy prędkość światła w próżni zmierza do
nieskończoności.
Opis: Stożek świetlny: A - obszar przestrzennopodobny, B - obszar czasopodobny. Autor: Dawid
Tracz, Mietelski Jerzy Wojciech
Lorentza transformacja, Lorentza przekształcenie, przekształcenie matematyczne opisujące
transformacje wielkości fizycznych w czasoprzestrzeni czterowymiarowej przy przechodzeniu od
jednego inercjalnego układu odniesienia, określonego przez współrzędne przestrzenne x, y, z i
współrzędną czasową t, do drugiego, określonego przez współrzędne x', y', z' oraz t'.
W najprostszym przypadku, jeśli układ (x', y', z', t') porusza się jednostajnie w kierunku osi x z
prędkością v, to transformacja Lorentza ma postać:
gdzie c - prędkość światła w próżni.
Często dla uproszczenia postaci zapisu transformacji do wzorów powyższych stosuje się
podstawienie: β=v/c oraz
a także mnoży się obustronnie przez c równanie opisujące transformację czasu dla uzyskania
formalnej identyczności równań dla zmiennych: czasowej (równej ct) i przestrzennej x, wówczas:
x'=γ(x-βct), y'=y, z'=z, ct'=γ(ct-βx).
Z transformacji Lorentza wynikają wszystkie efekty kinematyczne szczególnej teorii względności,
takie jak: reguła sumowania się prędkości prowadząca do niemożności uzyskania prędkości większej
od prędkości światła, względność pojęcia równoczesności, skrócenie Lorentza-Fitzgeralda,
spowolnienie biegu poruszających się zegarów.
Równania transformacji Lorentza zostały opracowane ponad 10 lat przed sformułowaniem przez A.
Einsteina szczególnej teorii względności (zostały wywnioskowane z równań Maxwella), były jednak
wówczas traktowane jako formalne równania matematyczne, bez konsekwencji fizycznych.
Transformacja Lorentza uzupełniona obrotami w przestrzeni trójwymiarowej stanowi tzw. grupę
przekształceń Poincarégo.
Dla małych prędkości v, rozwijając w szeregi potęgowe wzory opisujące transformację Lorentza,
przy zaniedbaniu wyższych wyrazów, otrzymuje się klasyczne przekształcenie Galileusza.
Transformacja Lorentza równoważna jest geometrycznie obrotowi w czterowymiarowej, zespolonej
przestrzeni Minkowskiego o rzeczywistych osiach x,y,z, oraz urojonej osi czasowej (zmienna
czasowa ma wówczas postać ict, gdzie i - jednostka urojona, c - prędkość światła w próżni).
W transformacji Lorentza niezmienną wielkością jest tzw. interwał czasoprzestrzenny określony
jako: ds2=dx2+dy2+dz2-c2dt2. Transformacji Lorentza podlegają inne wielkości czterowektorowe,
takie jak np. czterowektor energii-pędu. Wówczas do powyższych wzorów podstawia się zamiast
czasu energię relatywistyczną cząstki podzieloną przez c, a składowe wektora położenia zastępuje
się składowymi pędu. Wielkości tensorowe, spinorowe, itp. podlegają ogólnemu przekształceniu
Lorentza, wyrażonemu bardziej złożonym układem równań.
Inercjalny układ odniesienia, układ odniesienia należący do wyróżnionej klasy układów, w których
spełniona jest pierwsza zasada dynamiki Newtona. Istnienie inercjalnego układu odniesienia jest
postulatem mechaniki klasycznej. Wszystkie prawa fizyki mają taką samą postać w każdym
inercyjnym układzie odniesienia (Galileusza przekształcenie, Lorentza transformacja). Ogólna teoria
względności podważa szczególną rolę inercjalnego układu odniesienia.
Opracowanie
mgr Grzegorz Kwaśnicki